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2013高中数学高考题详细分类考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性


考点 5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周 期性
一、选择题 1.(2013 ·福建高考文科· T5) 函数 f ? x ? ? ln ? x 2 ? 1? 的图像大致是 ( )

【解题指南】f(x)的定义域为 R,通过奇偶性 ,单调性进行筛选或带特殊点计 算.
2 【解析】选 A. f ? ? x ? ? ln(? ? x ? ? 1) ? ln( x 2 ? 1) ? f ? x ? ,所以 f ? x ? 的图象关于 y 轴对

称 ,又 x∈ (0,+∞ )时 , f ? x ? 是增函数 .且过点 (0,0). 2.( 2013 ·辽宁高考理科·T 11 )【备注:( 2013 ·辽宁高考文科·T 12) 与此题干相同,选项顺序不同】
2 2 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 2)x ? a2 , g ( x )? ? x ? 2(a ? 2)x? a ? 8,

设 H1 ( x) ? max ? f ( x), g( x)?, H2 ( x) ? min ? f ( x), g( x)? ( max ? p, q? 表示

p, q 中的较大值,

min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值)记 H1 ( x) 的最小值为 A , H 2 ( x) 的最大值为 B , 则
A? B ? (


B. D. ?16 a 2 ? 2a ? 16

A. C.

16 a 2 ? 2a ? 16

【解题指南】 搞清楚 H1 ( x) ? max ? f ( x), g( x)?, H2 ( x) ? min ? f ( x), g( x)? 的确切含义。 数形结合解决问题。 【解析】选 B.
? f ( x), f ( x) ? g ( x), H1 ( x) ? max ? f ( x), g ( x)? ? ? ? g ( x), f ( x) ? g ( x).

? f ( x), f ( x) ? g ( x), H 2 ( x) ? min ? f ( x), g ( x)? ? ? ? g ( x), f ( x) ? g ( x).

由 f ( x) ? g ( x) ? x2 ? 2(a ? 2) x ? a2 ? ?x2 ? 2(a ? 2) x ? a2 ? 8, 解得 x1 ? a ? 2, x2 ? a ? 2.
2 而 函 数 f ( x) ? x 的 图像的对称轴恰好分 ? 2 (a? 2 )x? 2 a , g (x ) ? ? 2x ? 2 (a? 2 ) x?2 a ? 8,

别为 x ? a ? 2, x ? a ? 2. 可见二者图像的交点正好在它们的顶点处。如图 1 所示, 结合 H1 ( x) ? max? f (x ),g (x? )? ?
? f ( x), f ( x )? g ( x ), ? g ( x), f ( x )? g ( x ).

? f ( x), f ( x) ? g ( x), H 2 ( x) ? min ? f ( x), g ( x)? ? ? ? g ( x), f ( x) ? g ( x). 可知
H1 ( x), H2 ( x) 的图像分别如图 2 ,图 3 所示(图中实线部分)

f ( x)

g ( x)

x ? a?2 x ? a?2

图1

可见, A ? H1 ( x)min ? f (a ? 2) ? ?4a ? 4 , B ? H 2 ( x)max ? g (a ? 2) ? 12 ? 4a. 从而 A ? B ? ?16. 3. ( 2013 ·湖南高考文科·T 4)已知 f( x)是奇函数, g( x)是偶函数, 且 f(- 1) +g( 1) =2, f( 1) +g (- 1) =4,则 g ( 1)等于( A.4 B.3 C.2 D.1 )

【解题指南】结合函数的奇偶性定义 f (? x) ? ? f ( x), g (? x) ? g ( x) 即可。

【解析】选 B, 因为 f (?1) ? ? f (1), g (?1) ? g (1) ,代入条件等式再相加,得 g (1) ? 3 4.( 2013 ·北京高考文科·T 3 )下列函数中,既是偶函数又在区间 (0,+ ∞ ) 上单调递减的是 ( A.y=
1 x

) C.y=-x2+1 D.y=lg ∣ x∣

B.y=e -x

【解析】选 C. 根据在区间 (0,+∞ )上单调递减排除 D, 根据奇偶性排除 A,B. 5.(2013·广东高考理科·T2) 定义域为 R 的四个函数 y ? x3 , y ? 2x , y ? x2 ? 1, y ? 2sin x 中,奇函数的个数是( ) A. 4 B.3 C. 2 D.1

【解题指南】四个函数的定义域 R 关于原点对称,因此按照定义逐一验证奇 偶性即可 . 【解析】选 C. y ? x3 , y ? 2sin x是奇函数, y ? x2 ? 1 是偶函数, y ? 2x 是非奇非偶 函数 . 6. ( 2013 ·湖北高考文科·T 8) x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的最大整数, 则函数
f ( x) ? x ? [ x]在 R 上为 (

) C.增函数 D. 周期函数

A.奇函数

B.偶函数

【解题指南】画出图象求解 . 【解析】选 D. 由图象可知选 D.

7. ( 2013 ·湖北高考文科·T 10 )已知函数 则实数 a 的取值范围是 ( A. (??, 0) )
2

f ( x) ? x(ln x? ax)有两个极值点,

B. (0, 1 )

C. (0, 1)

D . (0, ? ?)

【解题指南】利用导数求极值 ,转化为两个函数交点的问题 .

【解析】选 B.令 f ?( x) =lnx-2ax+1=0, 则 lnx=2ax-1 有两解 ,即函数 y=lnx 与 y=2ax-1 有两个交点 ,直线是曲线 y=lnx 的割线 ;y=2ax-1 恒过点 A(0,-1),设 过 A(0,-1) 点 的 直 线 与 y=lnx 的 切 点 为 M 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 , 则 k=
1 ,y-lnx 0=错误!未找到引用源。 ,-1-lnx 0=错误!未找到引用源。 ,所以 x0
1 2

x0=1,k=1, 所以 0<2a<1,0<a< , 8. ( 2013 ·山东高考文科·T 3 )与( 2013 ·山东高考理科·T 3 )相同 已知函数 f(x)为奇函数 ,且当 x>0 时 , f(x) =x 2+ A.-2 B.0 C.1 D.2
1 ,则 f(-1)= ( x

)

【解题指南】 本题可利用函数为奇函数 f(-1)=- f(1) , 再利用当 x>0 时 , f(x) =x2+ 即可求得结果 . 【解析】选 A. 因为函数 f(x)为奇函数,所以 f(-1)=- f(1),又因为当 x>0 时 , f(x) =x 2+ ,所以 f ?1? ? 12 ? =2 , f(-1)=- f(1)=-2. 9. ( 2013 ·天津高考文科·T 7 )已知函数 在区间 [0,??) 单调递增 . 若实数 a 满足 是( A.
[1, 2] f ( x) 是定义在

1 x

1 x

1 1

R 上的偶函数 , 且
则 a 的取值范围

f (log2 a )? f (log ) 2 f (1), 1 a ?
2

) B.
? 1? ? 0, ? ? 2?

C.

?1 ? ? 2 , 2? ? ?

D.

(0, 2]

【解题指南】根据对数的运算性质和函数的奇偶性,将条件
f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) 化为 f (log2 a) ? f (1) ,再结合单调性转化为 log 2 a ? 1 求解 .
2

【 解 析 】 选 C. 根 据 对 数 的 运 算 性 质 和 函 数 的 奇 偶 性 可 知
f (log 1 a) ? f ? ? log 2 a ? ? f ? log 2 a ? ,因此 f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) 可化为 f (log2 a) ? f (1) ,又因
2 2

为函数
2

f ( x) 是定义在

R 上的偶函数 , 且在区间 [0, ??) 单调递增,故 log

2

a ? 1 ,解

得 1 ? a ? 2.

10. ( 2013 · 重 庆 高 考 文 科 · T 9 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ax3 ? b sin x ? 4(a, b ? R) ,
? f (lg(log2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2))

A. ?5

B. ?1

C. 3

D. 4

【解题指南】根据函数的奇偶性求解 . 【解析】选 C.因为 lg(log2 10) ? 1g ? ?
? 1 ? ? ? ? ? lg(lg2) ? lg 2 ?

f (lg(log2 10)) ? f (? lg(lg 2)) ? a(? lg(lg 2))3 ? b sin(? lg(lg 2)) ? 4 ? 5

所以 a(? lg(lg 2))3 ? b sin(? lg(lg 2)) ? 1 所以 f (lg(lg2)) ? a(lg(lg2))3 ? b sin(lg(lg2)) ? 4 ? ?1 ? 4 ? 3 . 二、填空题 11. (2013·大纲版全国卷高考文科·T13)
f ? x ? 是以2为周期的函数,且当x ??1,3?时,f ? x ? = x ? 2 ,则 f (?1) ?

.

【解题指南】根据函数周期为 T ? 2 ,得 f ( x) ? f ( x ? 2) ,从而将 f (?1) 的函数值 转化为求 f (1) 的值 . 【解析】因为 T ? 2 ,则 f ( x) ? f ( x ? 2) ,又 f (?1) ? f (?1 ? 2) ? f (1) ,因为 x ? [1,3) 时,
f ( x) ? x ? 2 ,所以 f (?1) ? 1 ? 2 ? ?1 .

【答案】 ? 1 12. ( 2013 · 北京高考文科· T 13) 函数 f ( x) =? ?
?log 1 x, x ? 1
2 x

? ?2 , x ? 1

的值域为 _________.

【解题指南】分别求出每段的值域,再取并集。 【解析】当 x ? 1 时, log 1 x ? 0 ;当 x ? 1 时, 2 x ? 2 .因此,值域为 (??, 2) 。
2

【答案】 (??, 2) 13. ( 2013 ·四川高考理科·T 14 )已知 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ≥
0 时, f ( x) ? x2 ? 4 x,那么,不等式 f ( x ? 2) ? 5 的解集是 ________



【解析】依据已知条件求出 y=f(x),x∈ R 的解析式 ,再借助 y=f(x) 的图象求 解 .设 x<0,则 -x>0. 当 x≥ 0 时 ,f(x)=x 2-4x, 所以 f(-x)=(-x) 2-4(-x). 因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数 , 得 f(-x)=f(x), 所以 f(x)=x2+4x(x<0), 故错误!未找到引用源。 f ( x) ? ? ?
? x 2 ? 4 x, x ? 0
2 ? ? x ? 4 x, x ? 0

由 f(x)=5 得错误!未找到引用源。 ? 得 x=5 或 x=-5.

? x2 ? 4x ? 5 ?x ? 0

? x2 ? 4x ? 5 , 或? ?x ? 0

观察图象可知由 f(x)<5, 得 -5<x<5. 所以由 f(x+2)<5, 得 -5<x+2<5, 所以 -7<x<3. 故不等式 f(x+2)<5 的解集是 {x|-7<x<3}. 【答案】 {x|-7<x<3} 14.( 2013 ·上海高考理科·T12 )设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇 函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? 范围为 ________
a2 【解析】 f (0) ? 0,故 0 ? a ? 1? a ? ? 1;当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? ? 7 ? a ? 1 x
a2 ? 7 ,若 f ( x) ? a ? 1对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值 x

即 6 | a |? a ? 8 ,又 a ? ?1 ,故 a ? ? . 【答案】 a ? ? 三、解答题 15.( 2013 ·江西高考理科·T 21 )已知函数 f (x ) ? a (1? 2 | x? a> 0. ( 1)证明:函数 f ( x)的图像关于直线 x ? 对称; ( 2)若 x0 满足 f ( f( x0)) = x 0, 但 f( x0)≠ x0 ,则 x0 称为函数 f ( x)的 二阶周期点,如果 f( x)有两个二阶周期点 x1, x 2,试确定 a 的取值范围; ( 3)对于( 2)中的 x1,x2,和 a ,设 x3 为函数 f( f( x))的最大值点,A ( x1 , f ( f ( x1 ))), B ( x2 , f ( f ( x2 ))), C ( x3 , 0 ),记△ ABC 的 面积为 S( a),讨论 S( a)的单调性 . 【解题指南】( 1 )要证函数 f ( x )的图像关于直线 x ? 对称,只需证明
1 1 1 1 1 f ( ? x) ? f ( ? x) 即可 . ( 2)分 0 ? a ? 、a ? 、a ? 三种情况求 f (f ( x )) 的 解析式, 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 |) , a 为常数且 2
8 7

8 7

根据函数 f( x)的二阶周期点的定义求解;( 3)求 x3 , 由( 2)求出的 x1, x2 可得 S( a),借助导数研究函数的单调性 . 【解析】( 1)因为 f ( ? x) ? a(1 ? 2 | x |) , f ( ? x) ? a(1 ? 2 | x |) ,即 f ( ? x) ? f ( ? x) . 所以函数 f (x) 的图像关于直线 x ? 对称 .
1 ? 2 4a x, x? , ? 1 ? 2 (2)当 0 ? a ? 时,有 f (f ( x ))? ? 2 ?4a2 (1? x ), x? 1 . ? ? 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

所以 f (f (x))? x只有一个解 x=0 ,又 f (0) ? 0,故 0 不是二阶周期点 .
1 ? x, x ? , ? 1 ? 2 当 a ? 时,有 f (f ( x ))? ? 2 ?1 ? x, x ? 1 . ? ? 2

1 1? 1? ? 所以 f (f (x))? x 有解集 ? ?x | x ? ? ,又当 x ? 时, f ( x ) =x ,故 ?x | x ? ? 中的所

?

2?

2

?

2?

有点都不是二阶周期点 .
1 ? 2 ?4a x, x ? 4a , ? ?2a ? 4a 2 x, 1 ? x ? 1 , ? 1 4a 2 当 a ? 时,有 f (f (x)) ? ? 2 ?2a(1 ? 2a) ? 4a 2 x, 1 ? x ? 4a ? 1 , ? 2 4a ? 4a ? 1 ?4a 2 ? 4a 2 x, x ? . 4a ?
2a 2a 4a 2 , , 所以 f (f (x))? x 有四个解 0, ,又 1 ? 4a 2 1 ? 2a 1 ? 4a 2
2a 2a )? f (0) ? 0, f ( , 1 ? 2a 1 ? 2a f( 2a 2a 4a 2 4a 2 2a 4a 2 ) ? , f ( ) ? , ,故只有 是 f (x) 的二阶周期点 . 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 2

综上所述,所求 a 的范围为 a ? .
2a 4a 2 , x2 ? ( 3)由( 2)得 x1 ? ,因为 x3 为函数 f (f ( x )) 的 最大值点,所以 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2
x3 ? 1 4a ? 1 或 x3 ? . 4a 4a 1 2a ? 1 时, S(a ) ? ,因为 S?(a) ? ? 4a 4(1? 4a2 )

当 x3 ?

2(a ?

1? 2 1? 2 )(a ? ) 2 2 , (1 ? 4a 2 ) 2

所以当 a ? ( , 当 x3 ?

1 1? 2 1? 2 )时, S(a )单调递增,当 a ? ( , ??) 时, S(a )单调递减; 2 2 2

4a ? 1 1 8a2 ? 6a? 1 12a 2 ? 4a ? 3 ? 时, S(a) ? ,求导得: ,因为 a ? ,从而 S (a) ? 2 2 2 2 4a 4(1? 4a ) 2(1 ? 4a ) 1 12a 2 ? 4a ? 3 ? 0 ,所以当 a ? ( , ??) 时, S(a )单调递增 . 2 2 2 2(1 ? 4a )

有 S?(a) ?


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