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2012年高考数学试题数列分类汇编


2012 年高考数学试题分类汇编——数列
(2012 浙江理数) (3)设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 (A)11 (B)5 (C) ?8 (D) ?11

S5 ? S2

解析:解析:通过 8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a2 ? a2 q 3 ?

0 ,解得 q =-2, 带入所求式可知答案选 D, 本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和 公式,属中档题 ( 2012 全 国 卷 2 理 数 ) ( 4 ) . 如 果 等 差 数 列 ?an ? 中 , a3 ? a4 ? a5 ? 12 , 那 么

a1 ? a 2 ? ... ? a 7?
(A)14 (B)21 (C)28 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】 a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 12, a4 ? 4,? a1 ? a2 ? (D)35

? a7 ?

7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

(2012 辽宁理数) (6)设{an}是有正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和。已知 a2a4=1,

S3 ? 7 ,则 S5 ?
(A)

15 2

(B)

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2

【答案】B 【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式,考查了同学们解决 问题的能力。
2 4 【解析】由 a2a4=1 可得 a1 q ? 1 ,因此 a1 ?

1 ,又因为 S3 ? a1 (1 ? q ? q2 ) ? 7 , q2

1 1 1 联力两式有 ( ? 3)( ? 2) ? 0 ,所以 q= ,所以 S5 ? 2 q q
( 2012 江 西 理 数 ) 5. 等 比 数 列

4 ? (1 ?

1 ) 25 ? 31 ,故选 B。 1 4 1? 2

?an ?

中 , a1 ? 2 , a8 =4 , 函 数

f? x ( ? 2x ) a ( ?,则 f 'a ? ? ( x ?x1 ) a ? 0? ? ( ) 8 x )
A. 2 【答案】C
6

B. 2

9

C. 2

12

D. 2

15

【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数 学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有 x 项均取 0,则 f
'

? 0? 只与函数 f ? x ? 的一次项

有关;得: a1 ? a2 ? a3

a8 ? (a1a8 )4 ? 212 。
? 1? ?? 3n ? (

? 1 1 lim ?1 ? ? 2 ? x ?? ? 3 3 (2012 江西理数)4.
5 A. 3 3 B. 2



C. 2

D. 不存在

【答案】B

1 1? n 3 )? 3 【解析】 考查等比数列求和与极限知识.解法一: 先求和, 然后对和取极限。lim ( n ??? 1 2 1? 3
(2012 重庆理数) (1)在等比数列 ?an ? 中, a2010 ? 8a2007 ,则公比 q 的值为 A. 2 解析: B. 3 C. 4 D. 8

a2010 ?q 3 ? 8 a2007

?q ? 2

(2012 北京理数) (2)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 am ? a1a2 a3a4 a5 ,则 m= (A)9 答案:C (2012 四川理数) (8) 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0 , 其前 n 项的和为 Sn , 且 Sn?1 ? 2Sn ? a1 , 则 lim (B)12 (C)11 (D)12

an ? n ?? S n
(B)

(A)0

1 2

(C) 1

(D)2

解析:由 Sn?1 ? 2Sn ? a1 ,且 Sn? 2 ? 2Sn?1 ? a1

w_w_w. k*s 5* u.c o* m

作差得 an+2=2an+1 又 S2=2S1+a1,即 a2+a1=2a1+a1 ? a2=2a1 故{an}是公比为 2 的等比数列 - Sn=a1+2a1+22a1+??+2n 1a1=(2n-1)a1 则 lim 答案:B

w_w w. k#s5_u.c o* m

an 2n?1 a 1 ? lim n 1 ? n ?? S n ?? (2 ? 1) a 2 n 1

(2012 天津理数) (6)已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, s n 是 ?an ? 的前 n 项和,且
2

?1? 9s3 ? s6 ,则数列 ? ? 的前 5 项和为 ? an ?
(A)

15 或5 8

(B)

31 或5 16

( C)

31 16

(D)

15 8

【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质,属于中等题。 显然 q ? 1, 所以

1 1 9(1 ? q3 ) 1-q6 所以 { } 是首项为 1, 公比为 的 = ? 1 ? q3 ? q ? 2 , 2 an 1-q 1? q

1 1 ? ( )5 2 ? 31 . 等比数列, 前 5 项和 T5 ? 1 16 1? 2
【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分,降低幂的次数,同时也要注意基本量 法的应用。

(2012 广东理数)4. 已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为 A.35

5 ,则 S5 = 4
B.33 C.31 D.29

4.C.设{ an }的公比为 q ,则由等比数列的性质知,a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 2a1 ,即 a4 ? 2 。由 a4 与 2 a7 的等差中项为 ∴q ?
3

5 5 1 5 1 5 1 知, a4 ? 2a7 ? 2 ? ,即 a7 ? (2 ? ? a4 ) ? (2 ? ? 2) ? . 4 4 2 4 2 4 4
[来源:高考资源网 K

1 1 a7 1 ? ,即 q ? . a4 ? a1q 3 ? a1 ? ? 2 ,即 a1 ? 16 . 2 8 a4 8

(2012 全国卷 1 理数) (4)已知各项均为正数的等比数列{ an }中, a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =12, 则

a4 a5a6 =
(B) 7 (C) 6 (D) 4 2

(A) 5 2

(2012 山东理数)
3

1.(2012 安徽理数)12、设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2 n 项和与前 3n 项和 分别为 X , Y , Z ,则下列等式中恒成立的是 A、 X ? Z ? 2Y C、 Y ? XZ
2

B、 Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ? D、 Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?

12.D 【分析】取等比数列 1, 2, 4 ,令 n ? 1 得 X ? 1, Y ? 3, Z ? 7 代入验算,只有选项 D 满足。 【方法技巧】对于含有较多字母的客观题,可以取满足条件的数字代替字母,代入验证,若 能排除 3 个选项,剩下唯一正确的就一定正确;若不能完全排除,可以取其他数字验证继续 排除.本题也可以首项、公比即项数 n 表示代入验证得结论. (2012 湖北理数)7、如图,在半径为 r 的园内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆, 又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设 s n 为前 n 个圆的面 积之和,则 lim s n =
n??

A. 2 ? r

2

B.

8 ? r2 3

C.4 ? r

2

D.6 ? r

2

4

(2012 福建理数) 3. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等于 A.6 【答案】A B.7 C.8 D.9

【解析】设该数列的公差为 d ,则 a4 ? a6 ? 2 a1 ? 8 d ? 2 ?( ?11) ? 8 ,解得 d ? ?6

d ? 2,
所以 S n ? ?11n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 12n ? (n ? 6) 2 ? 36 ,所以当 n ? 6 时, Sn 取最小 2

值。 【命题意图】 本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用, 考查二次函数最值的 求法及计算能力。 (2012 全国卷 2 理数) (18) (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? (n2 ? n) 3n . (Ⅰ)求 lim

an ; n ?? S n
a a1 a2 ? 2 ?…? n >3n . 2 1 2 n2

(Ⅱ)证明:

【命题意图】本试题主要考查数列基本公式 an ? ?

?

s1 (n ? 1)

? sn ? sn?1 (n ? 2)

的运用,数列极限和数列

不等式的证明,考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】

5

【点评】2012 年高考数学全国 I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不 等式放缩法问题作为押轴题的命题模式, 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、 基本 方法基本技能,重视两纲的导向作用, 也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考, 对数列的考查主要涉及数列的基本公式、 基本性质、 递推数列、 数列求和、 数列极限、简单的数列不等式证明等,这种考查方式还要持续. (2012 江西理数)22. (本小题满分 14 分) 证明以下命题: (1) 对任一正整 a,都存在整数 b,c(b<c),使得 a ,b ,c 成等差数列。 (2) 存在无穷多个互不相似的三角形△ n ,其边长 an,bn,cn 为正整数且 an 2,bn 2,cn 2 成等差数列。 【解析】作为压轴题,考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。
6
2 2 2

(1)考虑到结构要证 a ? c ? 2b , ;类似勾股数进行拼凑。
2 2 2

证明:考虑到结构特征,取特值 12 ,52 ,72 满足等差数列,只需取 b=5a,c=7a,对一切正整 数 a 均能成立。 结合第一问的特征, 将等差数列分解, 通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角 形,再证明互不相似,且无穷。
2 2 2 2 2 2 2 证明:当 an 成等差数列,则 bn , ,bn ,cn ? an ? cn ? bn

分解得: (bn ? an )(bn ? an ) ? (cn ? bn )(cn ? bn ) 选取关于 n 的一个多项式, 4n(n2 ?1) 做两种途径的分解

4n(n2 ?1) ? (2n ? 2)(2n2 ? 2n) ? (2n2 ? 2n)(2n ? 2) 4n(n2 ?1)
?an ? n 2 ? 2n ? 1 ? 2 对比目标式,构造 ? bn ? n ? 1 (n ? 4) ,由第一问结论得,等差数列成立, ? c ? n 2 ? 2n ? 1 ? n
考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任 取 正 整 数 m , n , 若 △
m




n

相 似 : 则 三 边 对 应 成 比 例

m 2 ? 2m ? 1 m 2 ? 1 m 2 ? 2 m ? 1 ? ? , n 2 ? 2 n ? 1 n 2 ? 1 n 2 ? 2n ? 1
由比例的性质得:

m ?1 m ?1 ? ? m ? n ,与约定不同的值矛盾,故互不相似。 n ?1 n ?1

(2012 重庆理数) (21) (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 在数列 ?an ? 中, a1 =1, an?1 ? can ? c (I) (II) 求 ?an ? 的通项公式; 若对一切 k ? N * 有 a2k ? azk ?1 ,求 c 的取值范围。
n?1

? 2n ?1?? n ? N *? ,其中实数 c ? 0 。

7

8

9

(2012 北京理数) (20) (本小题共 13 分) 已 知 集 合

Sn ? {X X| ? x1 x( … , xn ,x ? 2 ,

1

) i ?,

…n { n 0? , 1 对 } 于 ,

1 ,

2 ,

A ? (a1 , a2 ,…an ,) , B ? (b1, b2 ,…bn ,) ? Sn ,定义 A 与 B 的差为 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,…| an ? b n |);
A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ?

?
i ?1

| a1 ? b1 |

(Ⅰ)证明: ?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) ; (Ⅱ)证明: ?A, B, C ? Sn , d ( A, B), d ( A, C), d ( B, C) 三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设 P ? Sn ,P 中有 m(m≥2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为 证明: (P)≤

d

(P).

d

mn . 2( m ? 1)

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

10

证明: (I)设 A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1 , c2 ,..., cn ) ? Sn 因为 ai , bi ??0,1 ? ,所以 ai ? bi ??0,1? , (i ? 1, 2,..., n) 从而 A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |,...,| an ? bn |) ? Sn 又 d ( A ? C, B ? C ) ?
www. @ks@5 u.com

?|| a ? c |? | b ? c ||
i ?1 i i i i

n

由题意知 ai , bi , ci ??0,1? (i ? 1, 2,..., n) . 当 ci ? 0 时, || ai ?ci | ? | bi ? ci ||?|| ai ? bi | ; 当 ci ? 1 时, || ai ?ci | ? | bi ? ci ||?| (1 ? ai ) ? (1 ? bi ) |?| ai ? bi |

所以 d ( A ? C , B ? C ) ?

?| a ? b | ? d ( A, B)
i ?1 i i

n

(II)设 A ? (a1 , a2 ,..., an ) , B ? (b1 , b2 ,..., bn ) , C ? (c1 , c2 ,..., cn ) ? Sn

d ( A, B) ? , k d ( A, C ) ? l , d ( B, C ) ? h .
记 O ? (0,0,...,0) ? Sn ,由(I)可知

d ( A, B) ? d ( A ? A, B ? A) ? d (O, B ? A) ? k d ( A, C) ? d ( A ? A, C ? A) ? d (O, C ? A) ? l d ( B, C ) ? d ( B ? A, C ? A) ? h
所以 | bi ? ai | (i ? 1,2,..., n) 中 1 的个数为 k , | ci ? ai | (i ? 1, 2,..., n) 的 1 的 个数为 l 。 设 t 是使 | bi ? ai |?| ci ? ai |? 1成立的 i 的个数,则 h ? l ? k ? 2t 由此可知, k , l , h 三个数不可能都是奇数, 即 d ( A, B) , d ( A, C ) , d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数。 (III) d ( P) ?

1 2 Cm

A, B?P

? d ( A, B) ,其中 ? d ( A, B) 表示 P 中所有两个元素间距离的总和,
A, B?P

www.@ks@5u.com

设 P 种所有元素的第 i 个位置的数字中共有 ti 个 1, m ? ti 个 0
11



A, B?P

?

d ( A, B) = ? ti (m ? ti )
i ?1

n

由于 ti (m ? ti ) ?

m2 (i ? 1, 2,..., n) 4

nm 2 所以 ? d ( A, B) ? 4 A, B?P
从而 d ( P) ?

1 2 Cm

A, B?P

?

d ( A, B) ?

nm mn ? 2 4Cm 2(m ? 1)

2

(2012 四川理数) (21) (本小题满分 12 分) * 已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N 都有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2 (Ⅰ)求 a3,a5; * (Ⅱ)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N ),证明:{bn}是等差数列; - * (Ⅲ)设 cn=(an+1-an)qn 1(q≠0,n∈N ),求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决 问题的能力. 解:(1)由题意,零 m=2,n-1,可得 a3=2a2-a1+2=6 再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3-a1+8=20????????????2 分 * (2)当 n∈N 时,由已知(以 n+2 代替 m)可得 a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8 于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8 即 bn+1-bn=8 所以{bn}是公差为 8 的等差数列??????????????????5 分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为 b1=a3-a1=6,公差为 8 的等差数列 则 bn=8n-2,即 a2n+=1-a2n-1=8n-2 另由已知(令 m=1)可得
w_w w. k#s5_u.c o* m

a2 n ?1 ? a1 -(n-1)2. 2 a ? a2 n ?1 那么 an+1-an= 2 n ?1 -2n+1 2 8n ? 2 = -2n+1 2
an=

w_w w. k#s5_u.c o* m

=2n - 于是 cn=2nqn 1. 当 q=1 时,Sn=2+4+6+??+2n=n(n+1) - 当 q≠1 时,Sn=2·q0+4·q1+6·q2+??+2n·qn 1. 两边同乘以 q,可得 qSn=2·q1+4·q2+6·q3+??+2n·qn. 上述两式相减得

12

(1-q)Sn=2(1+q+q2+??+qn 1)-2nqn


w_w w. k#s5_u.c o* m

=2·

1 ? qn -2nqn 1? q 1 ? (n ? 1)q n ? nq n?1 1? q

=2·

nq n?1 ? (n ? 1)q n ? 1 所以 Sn=2· (q ? 1)2
?n(n ? 1) (q ? 1) ? 综上所述,Sn= ? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 ??????????12 分 (q ? 1) 2 ?2 (q ? 1) ?

(2012 天津理数) (22) (本小题满分 14 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N . a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成等差数列,其公差为 dk 。
*

(Ⅰ)若 dk = 2 k ,证明 a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列( k ? N )
*

(Ⅱ)若对任意 k ? N , a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等比数列,其公比为 qk 。
*

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式,前 n 项和公式、等比数列的定义、数 列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论 的思想方法。满分 14 分。 (Ⅰ)证明:由题设,可得 a 所以 a

2k ? 1

?a ? 4k , k ? N * 。 2k ? 1

2k ? 1

? a1 ? (a ?a ) ? (a ?a ) ? ... ? (a3 ? a1 ) 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 3

= 4k ? 4(k ? 1) ? ... ? 4 ?1 =2k(k+1) 由 a1 =0,得 a

2k ? 1

? 2k (k ? 1), 从而a ? a ? 2k ? 2k 2 , a ? 2(k ? 1) 2 . 2k 2k ? 1 2k ? 2

a a a k ? 1 a2k ? 2 k ? 1 , ? , 所以 2k ? 2 ? 2k ? 1 。 于是 2k ? 1 ? a 2k k a 2k ? 1 k a 2k ? 1 a 2k
所以 d k ? 2k时,对任意k ? N , a
*

2k

,a ,a 成等比数列。 2k ? 1 2k ? 2

13

(Ⅱ)证法一: (i)证明:由 a

2k ? 1

, a2 k , a ,a 成等差数列,及 a , a 成 2k ? 1 2k 2k ? 1 2k ? 2

等比数列,得 2a

a a ?a ?a , 2 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? 1 ? qk 2k 2k ? 1 2k ? 1 a a q 2k 2k k ?1
*

当 q1 ≠1 时,可知 qk ≠1,k ? N 从而

1 ? q k ?1 2 ?

1 1 q k ?1 ?1

?

1 1 ? 1,即 1 ? ? 1(k ? 2) q ?1 q q ?1 k ?1 k ?1 k ?1

所以 ?

? ? 1 ? ? ? 是等差数列,公差为 1。 q ? 1? ? ? k ?
4 ? 2, 1 =1.由(Ⅰ)有 2 q ?1 1

(Ⅱ)证明: a1 ? 0 , a2 ? 2 ,可得 a3 ? 4 ,从而 q1 ?

1 q k ?1

? 1 ? k ? 1 ? k , 得qk ? k ? 1 , k ? N * k

2 a a a ( ) 2 k ? 2 2 k ? 1 k ? 1 2 k ? 2 k ? 1 所以 ? ? , 从而 ? ,k ? N * a a k a k2 2k ? 1 2k 2k

因此,

a2 k ?

a a k2 (k ? 1)2 22 . 2k ? 2 .... 4 .a ? . ... 2 .2 ? 2k 2 .a ? a . k ? 1 ? 2k ( k ? 1), k ? N * 2 2 2 2 k ? 1 2k k a a a (k ? 1) (k ? 2) 1 2k ? 2 2 k ? 4 2

a 2k

以下分两种情况进行讨论: (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m( m ? N )
*

若 m=1,则 2n ? 若 m≥2,则

k2 ? 2. ? k ? 2 ak
n

k 2 m (2k )2 m?1 (2k ? 1)2 m 4k 2 ?? ?? ?? 2 + ? a2k ?1 k ? 2 ak k ?1 a2 k k ?1 k ?1 2k
n
m ?1 m ?1 ? 4k 2 ? 4k ? 4k 2 ? 4k ? 1 1 ? 1?1 1 ?? ? 2 m ? ? ? 2 m ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2k (k ? 1) ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 2k ( k ? 1) k ?1 ? 2k ( k ? 1) k ?1 ? ? m ?1

1 1 3 1 ? 2m ? 2(m ? 1) ? (1 ? ) ? 2n ? ? 2 m 2 n.

14

所以 2n ?

n k2 3 1 3 k2 ? ? , 从而 ? 2 n ? ? 2, n ? 4,6,8... ? ? 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n
*

(2)当 n 为奇数时,设 n=2m+1( m ? N )

k 2 2m k 2 (2m ? 1) 3 1 (2m ? 1) 2 ?? ? ? 4m ? ? ? ? a2m?1 2 2m 2m(m ? 1) k ? 2 ak k ? 2 ak
n

2

1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? 2 2(m ? 1) 2 n ?1
所以 2n ?
n k2 3 1 3 k2 从而 · · ? ? , ? 2 n ? ? 2, n ? 3,5,7 · ? ? 2 n ?1 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

n 3 k2 综合(1) (2)可知,对任意 n ? 2 , n ? N ,有 ? 2n ? ? ?2 2 k ? 2 ak
?

证法二: (i)证明:由题设,可得 dk ? a2k ?1 ? a2k ? qk a2k ? a2k ? a2k (qk ?1),

dk ?1 ? a2k ?2 ? a2k ?1 ? qk 2a2k ? qk a2k ? a2k qk (qk ?1), 所以 dk ?1 ? qk dk
qk ?1 ? a2 k ?3 a2 k ?2 ? d k ?1 d d q ?1 ? ? 1 ? 2k ?1 ? 1 ? k ? 1 ? k a2 k ? 2 a2 k ?2 qk a2 k qk a2 k qk q 1 1 ? k ? ?1, qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ? 1 1 ?

由 q1 ? 1可知 qk ? 1, k ? N * 。可得

所以 ?

? 1 ? ? 是等差数列,公差为 1。 ? qk ? 1 ?

(ii)证明:因为 a1 ? 0, a2 ? 2, 所以 d1 ? a2 ? a1 ? 2 。 所以 a3 ? a2 ? d1 ? 4 ,从而 q1 ?

? 1 ? a3 1 ?2, ? 1 。于是,由(i)可知所以 ? ?是 a2 q1 ? 1 ? qk ? 1 ?
k ?1 1 = 1 ? ? k ?1? ? k ,故 qk ? 。 k qk ? 1

公差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得

从而

d k ?1 k ?1 ? qk ? 。 dk k dk d d d k k ?1 2 ? k . k ?1 ........ 2 ? . ...... ? k ,由 d1 ? 2 ,可得 d1 d k ?1 d k ?2 d1 k ? 1 k ? 2 1

所以

15

dk ? 2k 。
于是,由(i)可知 a2k ?1 ? 2k ? k ?1? , a2k ? 2k 2 , k ? N * 以下同证法一。 (2012 全国卷 1 理数) (22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? c ?

1 . an

(Ⅰ)设 c ?

5 1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; , bn ? 2 an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 an ? an?1 ? 3 成立的 c 的取值范围 .

16

(2012 山东理数) (18) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

? a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ? 2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? ( 2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2
1 1 1 1 1 1 1 ), = ? = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 ? (1- + ? + 4 2 2 3

1 1 1 1 n + ) = ? (1)= , n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟 练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 (2012 湖南理数)21. (本小题满分 13 分) 数列 ?an ? (n ? N ) 中,
*

是函数 f n ( x) ?

1 3 1 x ? (3an ? n 2 ) x 2 ? 3n 2 an x 的极 3 2

小值点 (Ⅰ)当 a=0 时,求通项 an ; (Ⅱ)是否存在 a,使数列 ?an ? 是等比数列?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请 说明理由。

17

18

(2012 湖北理数)

1? (Ⅲ) 证明:

1 1 1 n ? ? ??? ? ? ln (n +1)+ (n ? 1) 2 3 n ( 2 n +1)

19

20

21

2. (2012 安徽理数)20、 (本小题满分 12 分) 设数列 a1 , a2 ,

, an ,

中的每一项都不为 0。

证明: ?an ? 为等差数列的充分必要条件是:对任何 n ? N ,都有

1 1 ? ? a1a 2 a2 a3

?

1 n 。 ? an an?1 a1an?1

22

(2012 湖南理数) 15. 若数列 ?an ? 满足: 对任意的 n ? N , 只有有限个正整数 m 使得 am<n
?
? 成立,记这样的 m 的个数为 (an )? ,则得到一个新数列 ( an ) .例如,若数列 ?an ? 是

?

?

1, 2,3…,n,…,则数列 ?( an )? ? 是 0,1, 2,…,n ? 1,… .已知对任意的 n ? N? , an ? n2 ,
则 (a5 )? ? , .

((an )? )? ?

23

(2012 福建理数)11.在等比数列 ?a n ? 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的 通项公式 an ? 【答案】 4
n-1



【解析】由题意知 a1 ? 4a1 ? 16a1 ? 21 ,解得 a1 ? 1 ,所以通项 an ? 4

n-1



【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用,属基础题。 3. (2012 江苏卷) 8、 函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=____▲_____ [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak2)处的切线方程为: y ? ak 2 ? 2ak ( x ? ak ), 当 y ? 0 时,解得 x ? 所以 ak ?1 ?

ak , 2

ak , a1 ? a3 ? a5 ? 16 ? 4 ? 1 ? 21 。 2

1.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 各项均不为 0,其前 n 项和为 Sn ,且对任意 n ? N* 都有 (1 ? p)Sn ? p ? pan ( p 为大于 1 的常数) ,记 f (n) ?
2 1 ? C1 n a1 ? Cn a2 ? 2n S n n ? Cn an



(1) 求 a n ;

24

(2) 试比较 f (n ? 1) 与

p ?1 f (n) 的大小( n ? N* ) ; 2p

(3) 求证: (2n ? 1) f (n) 剟 f (1) ? f (2) ?

? f (2n ? 1)

2 n ?1 p ?1 ? ? p ?1? ? ?1 ? ? ( n ? N* ) . ? ?, p ?1 ? 2 p ? ? ? ? ?

解:(1) ∵ (1 ? p)Sn ? p ? pan , ∴ (1 ? p)Sn ?1 ? p ? pan ?1 . ②-①,得
(1 ? p)an ?1 ? ? pan ?1 ? pan ,

① ②

即 an ?1 ? pan . 在①中令 n ? 1 ,可得 a1 ? p . ∴ ?an ? 是首项为 a1 ? p ,公比为 p 的等比数列, an ? p n . (2) 由(1)可得 Sn ?
p(1 ? p n ) p ( p n ? 1) ? . 1? p p ?1
n 2 2 ? Cn an ? 1 ? pC1 n ? p Cn ?

(3 分)

(4 分)

2 1 ? C1 n a1 ? Cn a2 ?

n n ? Cn p ? (1 ? p)n ? ( p ? 1)n .

∴ f (n) ?

2 1 ? C1 n a1 ? Cn a2 ? 2n S n

n ? Cn an

?

p ? 1 ( p ? 1) n ? , p 2n ( p n ? 1)

(5 分)

f ( n ? 1) ?

p ? 1 ( p ? 1) n ?1 ? . p 2n ?1 ( p n ?1 ? 1)



p ?1 p ?1 ( p ? 1)n ?1 f ( n) ? ? n ?1 n ?1 ,且 p ? 1 , 2p p 2 ( p ? p)

∴ pn?1 ? 1 ? pn?1 ? p ? 0 , p ? 1 ? 0 . ∴ f (n ? 1) ?
p ?1 f ( n) , ( n ? N* ) . 2p p ?1 p ?1 f ( n) , , f (n ? 1) ? ( n ? N* ) . 2p 2p p ?1 p ?1 2 f (n ? 1) ? ( ) f (n ? 2) ? 2p 2p
2

(8 分)

(3) 由(2)知 f (1) ?

∴当 n …2 时, f (n) ?

?(

p ? 1 n ?1 p ?1 n ) f (1) ? ( ) . 2p 2p

∴ f (1) ? f (2) ?

p ?1 ? p ?1? ? f (2n ? 1) ? ?? ? ? 2p ? 2p ?

? p ?1? ?? ? ? 2p ?

2 n ?1

2 n ?1 p ?1 ? ? p ?1? ? ? ?1 ? ? ? ?, p ?1 ? ? ? 2p ? ? ?

(12 分)

(当且仅当 n ? 1 时取等号) .
25

另一方面,当 n …2 , k ? 1, 2,
f (k ) ? f (2n ? k ) ?

, 2n ? 1 时,

p ? 1 ? ( p ? 1)k ( p ? 1)2 n ? k ? ? ? ? p ? 2k ( p k ? 1) 22 n ? k ( p 2 n ? k ? 1) ?



p ?1 ( p ? 1)k ( p ? 1)2n ?k ?2 k k ? 2n ? k 2n ?k p 2 ( p ? 1) 2 ( p ? 1)
p ? 1 2( p ? 1)n ? p 2n p ? 1 2( p ? 1)n ? p 2n 1 ( p k ? 1)( p 2 n ? k ? 1) 1 . p ? p ? p 2n ?k ? 1
2n k

?

?

∵ pk ? p2n?k …2 pn ,∴ p2n ? pk ? p2n?k ? 1 ? p2n ? 2 pn ? 1 ? ( pn ? 1)2 . ∴ f (k ) ? f (2n ? k ) … ∴ ? f (k ) ?
k ?1 2 n ?1

p ? 1 2( p ? 1) n ? ? 2 f (n) , (当且仅当 k ? n 时取等号) . (13 分) p 2n ( p n ? 1)

2 n ?1 1 2 n ?1 [ f (k ) ? f (2n ? k )] … ? f (n) ?(2n ? 1) f (n) . (当且仅当 n ? 1 时取等 ? 2 k ?1 k ?1

号) . 综上所述, (2n ? 1) f (n) 剟 ? f (k )
k ?1 2 n ?1 2 n ?1 p ?1 ? ? p ?1? ? ?1 ? ? ( n ? N* ) . (14 分) ? ?, p ?1 ? 2 p ? ? ? ? ?

2. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ?

( x ? 0) ?0 ?n[ x ? ( n ? 1)] ? f ( n ? 1)

( n ? 1 ? x ? n,n ? N*)



数列 {a n } 满足 a n ? f ( n)( n ? N*) (I)求数列 {a n } 的通项公式; ( II ) 设 x 轴 、 直 线 x ? a 与 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为

S(a ) (a ? 0) ,求 S( n) ? S( n ? 1)( n ? N*) ;
(III)在集合 M ? {N| N ? 2k,k ? Z ,且 1000 ? k ? 1500} 中,是否存在正整数 N, 使得不等式 a n ? 1005 ? S( n) ? S( n ? 1) 对一切 n ? N 恒成立?若存在,则这样的正整数 N 共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数 N;若不存在,请说明理由. (IV)请构造一个与 {a n } 有关的数列 {b n } ,使得 lim( b1 ? b 2 ??? b n ) 存在,并求出
n??

26

这个极限值. 解: (I)? n ? N *

? f ( n) ? n[ n ? ( n ? 1)] ? f ( n ? 1) ? n ? f ( n ? 1) ? f ( n) ? f ( n ? 1) ? n
??1 分

? f (1) ? f (0) ? 1 f (2) ? f (1) ? 2 f (3) ? f (2) ? 3
??

f ( n) ? f ( n ? 1) ? n
将这 n 个式子相加,得

f ( n) ? f (0) ? 1 ? 2 ? 3??? n ?

n( n ? 1) 2

? f (0) ? 0 n( n ? 1) ? f ( n) ? 2
n( n ? 1) ( n ? N*) ??3 分 2 (II) S( n) ? S( n ? 1) 为一直角梯形( n ? 1时为直角三角形)的面积,该梯形的两底 ?an ?
边的长分别为 f ( n ? 1) ,f ( n) ,高为 1

? S( n) ? S( n ? 1) ?

a ? an f ( n ? 1) ? f ( n) ? 1 ? n ?1 2 2
??6 分

1 n( n ? 1) n( n ? 1) n2 ? [ ? ]? 2 2 2 2
(III)设满足条件的正整数 N 存在,则

n( n ? 1) n2 n ? 1005 ? ? ? 1005 ? n ? 2010 2 2 2
又 M ? {2000,2002,?,2008,2010,2012,?,2998}

? N ? 2010,2012,??,2998 均满足条件
它们构成首项为 2012,公差为 2 的等差数列. 设共有 m 个满足条件的正整数 N,则 2010 ? 2( m ? 1) ? 2998 ,解得 m ? 495

27

? M 中满足条件的正整数 N 存在,共有 495 个, N min ? 2010
(IV)设 b n ?

??9 分

2 1 1 1 ,即 b n ? ? 2( ? ) n( n ? 1) n n ?1 an

1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? ( ? ) ? ( ? ) ???( ? )] ? 2(1 ? ) 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 1 ]?2 显然,其极限存在,并且 lim( b 1 ? b 2 ??? b n ) ? lim[2 ? ??12 分 n?? n?? n ?1
则 b 1 ? b 2 ??? b n ? 2[(1 ? 注 : bn ?
n 1 n c (c 为非零常数) , b n ? ( ) n ?1 ,b n ? q n ?1 (0 ?| q| ? 1) 等 都 能 使 2 an

2a

2a

n??

lim( b1 ? b 2 ??? b n ) 存在.

3. (本小题满分 13 分)
* 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn (n ? N ) ,且 Sn ? (m ? 1) ? man 对任意自然数都成

立,其中 m 为常数,且 m ? ?1. (I)求证数列 ?an ? 是等比数列; (II)设数列 ?an ? 的公比 q ? f (m) ,数列 ?bn ? 满足: b1 ?

1 a1 ,bn ? f (bn ?1 ) 3

(n ? 2,n ? N * ) ,试问当 m 为何值时, lim bn (lg an ) ? lim 3(b1b2 ? b2 b3 ? b3b4 ? n?? n??
? ? bn?1bn ) 成立?
解: (I)由已知 Sn?1 ? (m ? 1) ? man?1

(1)

Sn ? (m ? 1) ? man

(2)
*

由 (1) ? (2) 得: an?1 ? man ? man?1 ,即 (m ? 1)an ?1 ? man 对任意 n ? N 都成立

? m为常数,且m ? ?1 a m ? n ?1 ? an m?1 即?a n ?为等比数列 5分

(II)当 n ? 1时, a1 ? (m ? 1) ? ma1

28

? a1 ? 1,从而b1 ?

1 3 m m?1

由(I)知q ? f (m) ? ? bn ? f (bn ?1 ) ?

bn ?1 ( n ? 2 ,n ? N * ) bn ?1 ? 1

?

1 1 1 1 ? 1? ,即 ? ?1 bn bn ?1 bn bn ?1

?1? ? ? ?为等差数列 ? bn ? 1 1 ? ? 3 ? (n ? 1) ? n ? 2 ,bn ? (n ? N * ) bn n?2

9分

? m ? ? an ? ? ? ? m ? 1?

n ?1

n ?1 m m ? lim bn (lg a n ) ? lim · lg ? lg n?? n?? n ? 2 m?1 m?1 lim 3(b b ? b2 b3 ? ? ? bn ?1bn ) n?? 1 2 1 1 ? ?1 1 1 1 ? lim 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 n?? ? 3 4 4 5 n ? 1 n ? 2?
由题意知 lg

m m 10 ? 1 ,? ? 10, ? m ? ? m?1 m?1 9

13 分

4. (本小题满分 14 分) (理) 给定正整数 n 和正数 b , 对于满足条件 a1 ? an?1 ? b 的所有无穷等差数列 ?an ? ,
2

试求 y ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2n?1 的最大值,并求出 y 取最大值时 ?an ? 的首项和公差. (文) 给定正整数 n 和正数 b , 对于满足条件 a1 ? an?1 ? b 的所有无穷等差数列 ?an ? ,
2

试求 y ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2n?1 的最大值,并求出 y 取最大值时 ?an ? 的首项和公差. (理)解:设 ?an ? 公差为 d ,则 an?1 ? a1 ? nd, nd ? an?1 ? a1 . 3分

y ? an?1 ? an? 2 ? ? ? a2 n?1 ? an?1 ? (an?1 ? d ) ? ? ? (an?1 ? nd) ? (n ? 1)an?1 ? (1 ? 2 ? ? ? n)d
? (n ? 1)a n ?1 ? n(n ? 1) d 2
4分

29

? (n ? 1)(a n ?1 ?
?

a ? a1 nd ) ? (n ? 1)(a n ?1 ? n ?1 ) 2 2
7分
2

n ?1 (3a n ?1 ? a1 ) . 2
2

又 a1 ? an?1 ? b,? ?a1 ? ?b ? an?1 . ∴ 3a n ?1 ? a1 ? ?a n ?1 ? 3a n ?1 ? b ? ?(a n ?1 ? ) ?
2 2

3 2

9 ? 4b 9 ? 4b ? , 当 且 仅 当 4 4

a n ?1 ?

3 时,等号成立. 11 分 2 n ?1 (n ? 1)( 9 ? 4b) (3a n ?1 ? a1 ) ? ∴y? . 13 分 2 8 9 4b ? 3 (n ? 1)( 9 ? 4b) 当数列 ?an ? 首项 a1 ? b ? ,公差 d ? ? 时, y ? , 4 4n 8 (n ? 1)( 9 ? 4b) ∴ y 的最大值为 . 14 分 8
(文)解:设 ?an ? 公差为 d ,则 an?1 ? a1 ? nd, nd ? an?1 ? a1 . 3分

y ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 n ?1 ? a n ?1 (a n ?1 ? d ) ? ? ? (a n ?1 ? nd ) ? (n ? 1)a n ?1 ? (1 ? 2 ? ? ? n)d ? (n ? 1)a n ?1 ? n(n ? 1) nd d ? (n ? 1)(a n ?1 ? ) 2 2
a n ?1 ? a1 n ?1 )? (3a n ?1 ? a1 ) , 2 2
2

? (n ? 1)(a n ?1 ?
2

6分

又 a1 ? an?1 ? b,? ?a1 ? ?b ? an?1 . ∴ 3a n ?1 ? a1 ? ?a n ?1 ? 3a n ?1 ? b ? ?(a n ?1 ? ) ?
2 2

3 2

9 ? 4b 9 ? 4b ? . 4 4

3 时,等号成立. 11 分 2 n ?1 (n ? 1)( 9 ? 4b) (3a n ?1 ? a1 ) ? ∴y? . 13 分 2 8 9 4b ? 3 (n ? 1)( 9 ? 4b) 当数列 ?an ? 首项 a1 ? b ? ,公差 d ? ? 时, y ? . 4 4n 8 (n ? 1)( 9 ? 4b) ∴ y 的最大值为 . 14 分 8
当且仅当 a n ?1 ? 5. (本小题满分 12 分) 某突发事件, 在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0.3, 一旦发生, 将造成 400 万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施
30

所需的费用分别为 45 万元和 30 万元,采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率 为 0.9 和 0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用,请 确定预防方案使总费用最少. (总费用 =采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.) ... 本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力,满分 12 分. 解:①不采取预防措施时,总费用即损失期望为 400×0.3=120(万元) ; ②若单独采取措施甲,则预防措施费用为 45 万元,发生突发事件的概率为 1-0.9=0.1,损失期望值为 400×0.1=40(万元) ,所以总费用为 45+40=85(万元) ③若单独采取预防措施乙,则预防措施费用为 30 万元,发生突发事件的概率为 1- 0.85=0.15,损失期望值为 400×0.15=60(万元) ,所以总费用为 30+60=90(万元) ; ④若联合采取甲、乙两种预防措施,则预防措施费用为 45+30=75(万元) ,发生突发 事件的概率为(1-0.9) (1-0.85)=0.015,损失期望值为 400×0.015=6(万元) , 所以总费用为 75+6=81(万元). 综合①、②、③、④,比较其总费用可知,应选择联合采取甲、乙两种预防措施,可使 总费用最少.

6. (本小题满分 14 分) 已知 a ? 0, 数列 {an }满足a1 ? a, an?1 ? a ?

1 , n ? 1,2,?. an

(I)已知数列 {an } 极限存在且大于零,求 A ? lim a n (将 A 用 a 表示) ;
n??

(II)设 bn ? a n ? A, n ? 1,2,?, 证明 : bn?1 ? ? (III)若 | bn |?

bn ; A(bn ? A)

1 对n ? 1,2,? 都成立,求 a 的取值范围. 2n

本小题主要考查数列、 数列极限的概念和数学归纳法, 考查灵活运用数学知识分析问题和解 决问题的能力,满分 14 分. 解: (I)由 lim a n 存在, 且A ? lim a n ( A ? 0), 对a n ?1 ? a ?
n?? n??

1 两边取极限得 an

31

A?a?

1 a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , 解得A ? .又A ? 0,? A ? . A 2 2
1 1 得bn?1 ? A ? a ? . an bn ? A

(II)由a n ? bn ? A, a n ?1 ? a ?

? bn ?1 ? a ? A ? 即bn?1 ? ?

bn 1 1 1 ?? ? ?? . bn ? A A bn ? A A(bn ? A)

bn 对n ? 1,2,?都成立 A(bn ? A)
1 1 1 , 得 | a ? (a ? a 2 ? 4 ) |? . 2 2 2

(III) 令 | b1 |?

1 1 ?| ( a 2 ? 4 ? a) |? . 2 2 3 ? a 2 ? 4 ? a ? 1, 解得a ? . 2 3 1 现证明当a ? 时, | bn |? n 对n ? 1,2,?都成立. 2 2
(i)当 n=1 时结论成立(已验证). (ii)假设当 n ? k (k ? 1)时结论成立 , 即 | bk |?

1 , 那么 2k

| bk ?1 |?

| bk | 1 1 ? ? k | A(bk ? A) | A | bk ? A | 2
1 A | bk ? A | ? 1 3 ,即证A | bk ? A |? 2对a ? 成立. 2 2
2 a2 ? 4 ? a ,

故只须证明

由于A ?

a ? a2 ? 4 ? 2

3 而当a ? 时, a 2 ? 4 ? a ? 1,? A ? 2. 2 1 ?| bk ? A |? A? | bk |? 2 ? k ? 1,即A | bk ? A |? 2. 2 3 1 1 1 故当a ? 时, | bk ?1 |? ? k ? k ?1 . 2 2 2 2
即 n=k+1 时结论成立. 根据(i)和(ii)可知结论对一切正整数都成立. 故 | bn |?

1 3 对n ? 1,2,?都成立的 a的取值范围为 [ ,?? ). n 2 2

7. (本小题满分 14 分,第一小问满分 2 分,第二、第三小问满分各 6 分)
32

a 2 ? 6, a 3 ? 11 ,且 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 1, (5n ? 8)S n ?1 ? (5n ? 2)S n ? An ? B, n ? 1,,, 2 3 ,

B 为常数. 其中 A,

(Ⅰ)求 A 与 B 的值; (Ⅱ)证明:数列 ?a n ? 为等差数列; (Ⅲ)证明:不等式 5a mn ? a m a n ? 1 对任何正整数 m, n 都成立. 本小题主要考查等差数列的有关知识、不等式的证明方法,考查思维能力、运算能力. 解: (Ⅰ)由已知,得 S1 ? a1 ? 1 , S 2 ? a1 ? a 2 ? 7 , S 3 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? 18 . 由 (5n ? 8)S n ?1 ? (5n ? 2)S n ? An ? B ,知
??3S 2 ? 7S1 ? A ? B , ? A ? B ? ?28 , 即 ? ? 2 S ? 12 S ? 2 A ? B , ? 2 A ? B ? ?48 , 2 ? 3

解得

A ? ?20 , B ? ?8 .

(Ⅱ)方法 1 由(Ⅰ) ,得 所以 ②-①,得 所以 ④-③,得 因为 所以 又因为 所以 即
(5 n ? 8S )n ?1 ? n (5 ? S2 ?? n) n2 ?0 , 8

① ② ③ ④

(5n ? 3)S n ? 2 ? (5n ? 7)S n ?1 ? ?20n ? 28 . (5n ? 3)S n ? 2 ? (10n ? 1)S n ?1 ? (5n ? 2)S n ? ?20 , (5n ? 2)S n ? 3 ? (10n ? 9)S n ? 2 ? (5n ? 7)S n ?1 ? ?20 .

(5n ? 2)S n ? 3 ? (15n ? 6)S n ? 2 ? (15n ? 6)S n ?1 ? (5n ? 2)S n ? 0 .

a n ?1 ? S n ?1 ? S n ,
(5n ? 2)a n ? 3 ? (10n ? 4)a n ? 2 ? (5n ? 2)a n ?1 ? 0 .
5n ? 2 ? 0 ,

a n ? 3 ? 2a n ? 2 ? a n ?1 ? 0 ,
a n ? 3 ? a n ? 2 ? a n ? 2 ? a n ?1 , n ? 1 .

所以数列 ?a n ? 为等差数列. 方法 2 由已知,得 S1 ? a1 ? 1 , 又 (5n ? 8)S n ?1 ? (5n ? 2)S n ? ?20n ? 8 ,且 5n ? 8 ? 0 , 所以数列 ?S n ? 是唯一确定的,因而数列 ?a n ? 是唯一确定的.
33

设 bn ? 5n ? 4 ,则数列 ?bn ?为等差数列,前 n 项和 Tn ?

n(5n ? 3) . 2

于是

(5 n ? 8T )n?1 ? n (5 ? T2 ? n? (5 n )

(n ? 1 ) (n5? 8) 2

2) n n( ?5 3) ? n? (5 2) ?? n? , 20 2

8

由唯一性得

bn ? a n ,即数列 ?a n ? 为等差数列.

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知, a n ? 1 ? 5(n ? 1) ? 5n ? 4 . 要证 只要证 因为 故只要证 即只要证 因为

5a mn ? a m a n ? 1 , 5a mn ? 1 ? a ma n ? 2 a ma n .
a mn ? 5mn ? 4 , a m a n ? (5m ? 4)(5n ? 4) ? 25mn ? 20( m ? n) ? 16 ,

5( 5 mn ? 4? ) ?1 mn 2 5?

m 2? 0n ( ?

) ? 1a 6ma n 2,

20 m ? 2n 0 ? 3? 7

a 2ma n .

2 a ma n ? a m ? a n ? 5m ? 5n ? 8
? 5m ? 5n ? 8 ? (15m ? 15n ? 29)
? 20 m ? 20 n ? 37 ,

所以命题得证. 8. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N * ) (I)证明数列 ?an ?1 ? 是等比数列; (II) 令 f ( x) ? a1x ? a2 x2 ? 与 23n ? 13n 的大小.
2

求函数 f ( x ) 在点 x ? 1 处的导数 f ?(1) 并比较 2 f ?(1) ? an xn ,

解:由已知 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N * ) 可得 n ? 2, Sn ? 2Sn?1 ? n ? 4 两式相减得

Sn?1 ? Sn ? 2? Sn ? Sn?1 ? ?1 即 an?1 ? 2an ? 1 从 而 an?1 ?1 ? ? 2an ?

? 1当

n ?1 时

S2 ? 2S1 ? 1 ? 5 所以 a2 ? a1 ? 2a1 ? 6 又 a1 ? 5 所以 a2 ? 11 从而 a2 ?1 ? 2? a1 ?1?
故总有 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,n ? N 又 a1 ? 5, a1 ? 1 ? 0 从而
*

an?1 ? 1 ? 2 即数列 ?an ?1? 是等 an ? 1

比数列;
34

(II)由(I)知 an ? 3? 2n ?1 因为 f ( x) ? a1x ? a2 x2 ? 从而 f ?(1) ? a1 ? 2a2 ? =

? an xn 所以 f ?( x) ? a1 ? 2a2 x ?
? nan = ? 3 ? 2 ? 1? ? 2 ? 3 ? 22 ? 1? ?

? nan xn?1
? n(3 ? 2 n ? 1)
=

3 ? 2 ? 2 ? 22 ?
n ?1

? n ? 2n ?

-

?1 ? 2 ?

? n?

3 ? n ? 1? ? 2

n(n ? 1) ? ?6 2

B

由上 2 f ?(1) ? 23n ? 13n ? 12 ? n ? 1? ? 2 - 12 2n ? n ? 1 =
2 n 2

?

?

?

?

y

A M

12? n ?1? ? 2 ?12 ? n ?1? (2n ?1) =12 (n ? 1) ? ? 2 ? (2n ? 1) ? ?①
n
n

N

o

x
?p ? F ? ,0 ? ?2 ?

当 n ? 1 时,①式=0 所以 2 f ?(1) ? 23n ?13n ;
2

当 n ? 2 时,①式=-12 ? 0 所以 2 f ?(1) ? 23n2 ?13n 当 n ? 3 时, n ? 1 ? 0
n 0 1 又 2 ? ?1 ? 1? ? Cn ? Cn ? n n ?1 n ? Cn ? Cn ? 2n ? 2 ? 2 n ? 1

x??

p 2

n 2 所以 ? n ? 1? ? ? 2 ? ? 2n ? 1? ? ? ? 0 即① ? 0 从而 2 f ?(1) ? 23n ? 13n

9 数列{an}满足 a1 ? 1且a n ?1 ? (1 ?

1 1 )a n ? n (n ? 1) . n ?n 2
2

(Ⅰ)用数学归纳法证明: an ? 2(n ? 2) ; ( Ⅱ ) 已 知 不 等 式 ln( 1 ? x) ? x对x ? 0成立, 证明: an ? e 2 (n ? 1) , 其 中 无 理 数 e=2.71828?. (Ⅰ)证明: (1)当 n=2 时, a 2 ? 2 ? 2 ,不等式成立. (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时不等式成立,即 ak ? 2(k ? 2), 那么 a k ?1 ? (1 ?

1 1 )a k ? k ? 2 . 这就是说,当 n ? k ? 1 时不等式成立. k (k ? 1) 2

根据(1) 、 (2)可知: ak ? 2对所有n ? 2 成立. (Ⅱ)证法一:
35

由递推公式及(Ⅰ)的结论有 a n ?1 ? (1 ? 两边取对数并利用已知不等式得 ln a n ?1

1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? 2 ? n )a n .(n ? 1) n ?n 2 n ?n 2 1 1 ? ln(1 ? 2 ? n ) ? ln a n n ?n 2
2

? ln a n ?

1 1 1 1 ? n . 故 ln a n ?1 ? ln a n ? ? n n ?n 2 n(n ? 1) 2
2

(n ? 1).

上式从 1 到 n ? 1 求和可得

ln a n ? ln a1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? 2 ? ? ? n?1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 2 2 2

1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ( ? ) ??? ? ? ? 2 2 3 n ?1 n 2
即 ln an ? 2, 故an ? e 2 (Ⅱ)证法二:

1?

1 2 n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2. 1 n 2n 1? 2

(n ? 1).

由数学归纳法易证 2 n ? n(n ? 1)对n ? 2 成立,故

a n ?1 ? (1 ?

1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? an ? n(n ? 1) n(n ? 1) n ?n 2
2

(n ? 2).

令 bn ? a n ? 1

(n ? 2),则bn ?1 ? (1 ?

1 )bn n(n ? 1)

(n ? 2).

取对数并利用已知不等式得

l nbn ?1 ? l n 1 (?

1 ) ? l nbn n(n ? 1)

? ln bn ?

1 n(n ? 1)

(n ? 2). 1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

上式从 2 到 n 求和得

l nbn ?1 ? l nb2 ?

? 1?

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1. 2 2 3 n ?1 n

因 b2 ? a2 ? 1 ? 3.故ln bn?1 ? 1 ? ln 3, bn?1 ? e1?ln 3 ? 3e

(n ? 2).

故 an?1 ? 3e ? 1 ? e 2 , n ? 2, 又显然a1 ? e 2 , a2 ? e 2 , 故an ? e 2 对一切n ? 1 成立. 12. (本小题满分 12 分)

36

已知数列 {an } 的各项都是正数 , 且满足 : a 0 ? 1, a n ?1 ? (1)证明 an ? an?1 ? 2, n ? N ; (2)求数列 {an } 的通项公式 an. 解: (1)方法一 用数学归纳法证明: 1°当 n=1 时, a 0 ? 1, a1 ?

1 a n , (4 ? a n ), n ? N . 2

1 3 a0 (4 ? a0 ) ? , 2 2

∴ a0 ? a1 ? 2 ,命题正确. 2°假设 n=k 时有 ak ?1 ? ak ? 2. 则 n ? k ? 1时, a k ? a k ?1 ?

1 1 a k ?1 (4 ? a k ?1 ) ? a k (4 ? a k ) 2 2

1 ? 2(a k ?1 ? a k ) ? (a k ?1 ? a k )(a k ?1 ? a k ) 2 1 ? (a k ?1 ? a k )(4 ? a k ?1 ? a k ). 2
而 ak ?1 ? ak ? 0. 又 a k ?1 ?

4 ? ak ?1 ? ak ? 0,

? ak ? ak ?1 ? 0.

1 1 a k (4 ? a k ) ? [4 ? (a k ? 2) 2 ] ? 2. 2 2

∴ n ? k ? 1 时命题正确. 由 1°、2°知,对一切 n∈N 时有 an ? an?1 ? 2. 方法二:用数学归纳法证明: 1°当 n=1 时, a 0 ? 1, a1 ?

1 3 a 0 (4 ? a0 ) ? , ∴ 0 ? a0 ? a1 ? 2 ; 2 2

2°假设 n=k 时有 ak ?1 ? ak ? 2 成立,

1 x(4 ? x) , f ( x) 在[0,2]上单调递增,所以由假设 2 1 1 1 有: f (ak ?1 ) ? f (ak ) ? f (2), 即 a k ?1 (4 ? a k ?1 ) ? a k (4 ? a k ) ? ? 2 ? (4 ? 2), 2 2 2
令 f ( x) ? 也即当 n=k+1 时

ak ? ak ?1 ? 2 成立,所以对一切 n ? N , 有ak ? ak ?1 ? 2
1 1 a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) 2 ? 4], 所以 2 2

(2)下面来求数列的通项: a n ?1 ?

2(an?1 ? 2) ? ?(an ? 2) 2

37

1 2 1 1 2 2 1 1 1 1? 2??? 2n ?1 2n 22 令bn ? a n ? 2, 则bn ? ? bn (? bn ? 2 ) ? ? ? ( ) 2 bn bn ?1 ? ? ?1 ? ? ? ?( ) 2 2 2 2 2 2
,
2 又 bn=-1,所以 bn ? ?( )

1 2

n

?1

1 n , 即a n ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 2

11. (14 分)已知正项数列 ?an ? 中, a1 ? 6 ,点 An an , an ?1 在抛物线 y 2 ? x ? 1 上;数 列 ?bn ? 中,点 Bn ? n, bn ? 在过点 ? 0,1? ,以方向向量为 ?1,2? 的直线上. (Ⅰ)求数列 ?an ? ,?bn ? 的通项公式;

?

?

? ?an , (Ⅱ)若 f ? n ? ? ? ? ?bn ,

? n为奇数? ,问是否存在 k ? N ,使 f ?k ? 27 ? ?4 f ? k ? 成立,若 ? n为偶数?
a n ?1 ? 1 ?? 1? ?1 ? ??1 ? ? ? b1 ?? b2 ? ? 1? ?1 ? ? ? bn ?

存在,求出 k 值;若不存在,说明理由; (Ⅲ) 对任意正整数 n , 不等式

?

an n ? 2 ? an

? 0 成立, 求正数 a 的

取值范围. 解: (Ⅰ)将点 An an , an ?1 代入 y 2 ? x ? 1 中得

?

?

an ?1 ? an ? 1 ?

an ? a1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ? 5

? an ?1 ? an ? d ? 1
????????????????(4 分)

直线l : y ? 2 x ? 1, ? bn ? 2n ? 1
? ?n ? 5, (Ⅱ) f ? n ? ? ? ? ?2n ? 1,

? n为奇数 ? ????????????(5 分) ? n为偶数 ?
f ? k ? 27 ? ? 4 f ? k ?
????????(8 分)

当k为偶数时,k ? 27为奇数, ? k ? 27 ? 5 ? 4 ? 2k ? 1? , 2 ? k ? 27 ? ? 1 ? 4 ? k ? 5? , 当k为奇数时,k ? 27为偶数, ?

? k?4 35 ? 舍去? 2

? k?

综上,存在唯一的k ? 4符合条件。
(Ⅲ)由

a n ?1 ? 1 ?? 1? ?1 ? ??1 ? ? ? b1 ?? b2 ? ? 1? ?1 ? ? ? bn ?

?

an n ? 2 ? an

?0

38

即a ?

? 1? ?1 ? ? ? bn ? ? 1 1 ?? 1? ? 1? 记f ? n ? ? ?1 ? ??1 ? ? ?1 ? ? 2n ? 3 ? b1 ?? b2 ? ? bn ? ? 1 ?? 1? ?1 ? ??1 ? ? 2n ? 3 ? b1 ?? b2 ? 1 f ? n ? 1? ? f ? n ? 1? f ?n? ? ? 1 ?? 1? ?1 ? ??1 ? ? 2n ? 5 ? b1 ?? b2 ? 1 ? 1 ?? 1 ? ?1 ? ??1 ? ? ? bn ?? bn ?1 ?

? ?

2n ? 3 ? 1 ? 2n ? 3 2n ? 4 2n ? 4 ? ?1 ? ? ? ?? 2n ? 5 ? bn ?1 ? 2 n ? 5 2n ? 3 2n ? 5 ? 2n ? 3

? ? ? ?

?1 4n 2 ? 16n ? 15 f ? n ? 1? ? f ? n ? , 即f ? n ? 递增, f ? n ?min ? f ?1? ? 0?a? 4 5 15
????????????(14 分)

4n 2 ? 16n ? 16

1

4 4 5 ? , 5 3 15 ?

12. (14 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ?

2 1 2Sn ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 Sn 满足 an ? , 3 2Sn ? 1

(1) 求 Sn 的表达式及 lim

n ??

an 的值; 2 Sn

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 设 bn ?

1 (2n ? 1)3

?

1 (2n ? 1)3

,求证:当 n ? N 且 n ? 2 时, an ? bn .

解: (1) an ? Sn ? Sn?1 ?

2 2Sn 1 1 ? Sn?1 ? Sn ? 2Sn Sn?1 ? ? ? 2(n ? 2) 2Sn ? 1 Sn Sn?1

所以 ?

?1? 1 . ? 是等差数列.则 Sn ? 2n ? 1 ? Sn ?

lim

an 2 2 ? lim ? ? ?2 . 2 n ?? S n ?? 2 S ? 1 2 lim Sn ? 1 n n
n ??

(2)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 1 ?2 ? ? 2 , 2n ? 1 2n ? 1 4n ? 1

39

? 1 ? n ? 1? ? ? 3 综上, an ? ? . ? 2 ? n ? 2? ? ?1 ? 4n 2
(3)令 a ?

1 1 1 ,当 n ? 2 时,有 0 ? b ? a ? ,b ? 2n ? 1 2n ? 1 3
1 ? 2n ? 1 1

(1)

法 1:等价于求证

? 2n ? 1?

3

?

1 ? 2n ? 1

1

? 2n ? 1?

3

.

当 n ? 2 时, 0 ?

1 1 1 ? , 令 f ? x ? ? x 2 ? x3 , 0 ? x ? , 2n ? 1 3 3

3 3 1 3 f ? ? x ? ? 2 x ? 3x 2 ? 2 x(1 ? x) ? 2 x(1 ? ? ) ? 2 x(1 ? ) ? 0 , 2 2 2 3
则 f ? x ? 在 (0,

1 ] 递增. 3

又0 ?

1 1 1 ? ? , 2n ? 1 2n ? 1 3 1 1 ) ? g( 3 ), 即 an ? bn . 2n ? 1 2n ? 1

所以 g (

3

法(2) an ? bn ?

1 1 1 1 ? ?( ? ) ? b2 ? a 2 ? (b3 ? a3 ) 3 3 2n ? 1 2n ?1 (2n ? 1) (2n ?1)
( 2)

? (a ? b)(a2 ? b2 ? ab ? a ? b)
? (a ? b)[(a 2 ?


ab ab ? a) ? (b 2 ? ? b)] 2 2

? (a ? b)[a(a ?

b a ? 1) ? b(b ? ? 1)] 2 2
, 所

( 3)

a b 3a 3 3 b ? ?1 ? a ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? 0 2 2 2 2 2 3
b a ? ?b b 1? ? ) ? 2 2 ( 1 )



a(a ?

0

由(1) (3) (4)知 an ? bn . 法 3:令 g ?b? ? a ? b ? ab ? a ? b ,则 g ? ? b ? ? 2b ? a ? 1 ? 0 ? b ?
2 2
2 2 所以 g ? b ? ? max g ? 0 ? , g ? a ? ? max a ? a,3a ? 2a

1? a 2

?

?

?

?

40

因0 ? a ?

2 1 4 1 , 则 a2 ? a ? a ? a ?1? ? 0 , 3a 2 ? 2a ? 3a(a ? ) ? 3a( ? )?0 3 3 9 3
(5)

所以 g ?b? ? a2 ? b2 ? ab ? a ? b ? 0 由(1) (2) (5)知 an ? bn

13. 等差数列 ?an ? 各项均为正整数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn ,等比数列 ?bn ? 中,b1 ? 1 ,且

b2 S2 ? 64 , ?bn ?
是公比为 64 的等比数列.求 an 与 bn ; 解:设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? qn?1
? ban?1 q 3? nd ? ? q d ? 64 ? 26 ? q 3? ( n ?1) d 依题意有 ? ban ① ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64 ?
由 (6 ? d )q ? 64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子 1,2,3,6 之一, 解①得 d ? 2, q ? 8 故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 8n?1

14. 设等差数列 ?a n ? 的公差为 d , d ? 0 ,数列 ?bn ?是公比为 q 等比数列,且 b1 ? a1 ? 0 . (1)若 a3 ? b3 , a7 ? b5 ,探究使得 an ? bm 成立时 n与m 的关系; (2)若 a2 ? b2 ,求证:当 n ? 2 时, a n ? bn . 解:记 a1 ?b1 ? a ,则 an ? a ? (n ? 1)d , bm ? aq m?1 ,……………1 分

?a ? 2d ? aq 2, (1)由已知得 ? 消去 d 得 2a ? 3aq 2 ? aq 4 , 4 a ? 6 d ? aq , ? 又因为 a ? 0 ,所以 q 4 ? 3q 2 ? 2 ? 0 ,所以 q 2 ? 1或q 2 ? 2 ,……………5 分
若 q 2 ? 1 ,则 d ? 0 ,舍去;……………6 分 若 q 2 ? 2 ,则 d ? 所以 n ? 2
m ?1 2

a a n ?1 ,因此 an ? bm ? a ? (n ? 1) ? aq m?1 ? 1 ? ? q m?1 , 2 2 2

? 1 ( m 是正奇数)时, a n ? bm ;……………8 分 b a a?d d ?1? ?1 , (2)证明:因为 d ? 0, a ? 0 ,所以 q ? 2 ? 2 ? b1 a1 a a

n ? 2 时, an ? bn ? a ? (n ? 1)d ? aq n?1 = a(1 ? q n?1 ) ? (n ? 1)d

…………11

= a(1 ? q)(1 ? q ? q 2 ? ?? ? q n?2 ) ? (n ? 1)d ? a(1 ? q)( n ? 1) ? (n ? 1)d
41

=

15. 已知分别以 d 1, d 2 为公差的等差数列 ?an ?, ?bn ?,满足 a1 ? 1, b2009 ? 409 . (1)若 d1 ? 1 ,且存在正整数 m ,使得 a m ? bm? 2009 ? 2009,求 d2 的最小值; (2) 若 ak ? 0 , bk ? 1600 且数列 a1 , a2 ,?ak ?1 , bk ,b k ?1 , bk ?2 ?, b2009,的前项 n 和 Sn 满 足
2

(n ? 1)?a(1 ? q) ? d ? ? (n ? 1)(a2 ? b2 ) ? 0 所以,当 n ? 2时,a n ? bn . …………………………16 分

S2009 ? 2012Sk ? 9045 ,求 ?an ?的通项公式.
解: (1)证明:
2

a m2 ? bm?2009 ? 2009 ,
, 即 ……4 分

?[a1 ? (m ?1)d1 ]2 ? b2009 ? md2 ? 2009

m ? 409? md2 ? 2009,
? d2 ? m ?

1600 1600 ? 2 m? ? 80 . m m 1600 " 即 " m ? 40" 时成立, 等号当且仅当 " m ? m 故 m ? 40 时, [d2 ]min ? 80 . ……7 分 (2) ak ? 0 , bk ? 1600 , a1 ? 1, b2009 ? 409 ? S2009 ? (a 1 ?a2 ? ? ak ?1 ? ak ) ? (bk ? b k ?1 ? ? b2009 ) (a ? a k )k (bk ? b2009)(2009? k ? 1) k 2009(2010 ? k ) ? ? ? = 1 ,…12 分 2 2 2 2 (a ? a )k k S2009 ? 2012Sk ? 9045 ? 2012 1 k ? 9045 = 2012 ? 9045 2 2 k k 2009(2010 ? k ) ? 2012 ? ? 9045 ? ? 2 2 2 ? 4020k ? 2009 ? 2010 ? 18090 ,? 2k ? 2009 ? 9 ,? k ? 1000 ……13 分 1 故得 a1000 ? 0, 又a1 ? 1 ,? d1 ? ? , 999 1000 1 ? an ? a1 ? (n ? 1)d 2 ? ? n , 因 此 ?an ? 的 通 项 公 式 为 999 999 1000 1 an ? ? n. ……15 分 999 999
16. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列

?

Sn ? 1 是公比为 2 的等比数列.

?

(1)证明:数列 ?an ? 成等比数列的充要条件是 a1 ? 3 ;

42

(2)设 bn ? 5n ? (?1) n an ( n ? N ? ) ,若 bn ? bn?1 对任意 n ? N ? 成立,求 a 1 的取值范围.

17、一个计算装置有一个入口 A 和一输出运算结果的出口 B,将自然数列 ?n? (n ? 1) 中的各 数依次输入 A 口,从 B 口得到输出的数列 ?an ? ,结果表明:①从 A 口输入 n ? 1 时,从 B 口得 a1 ?

1 ;②当 n ? 2 时,从 A 口输入 n ,从 B 口得到的结果 an 是将前一结果 an ?1 先乘 3

以自然数列 ?n? 中的第 n ? 1 个奇数,再除以自然数列 ?an ? 中的第 n ? 1 个奇数。试问: (1) 从 A 口输入 2 和 3 时,从 B 口分别得到什么数? (2) 从 A 口输入 120 时,从 B 口得到什么数?并说明理由。 解(1) a2 ? a1 ? 1 ? 5 ?

1 15

a3 ? a2 ? 3 ? 7 ?

1 35

(2)先用累乖法得 an ?

1 (n ? N * ) (2n ? 1)(2n ? 1)

得 a100 ?

1 1 ? (2 ? 100 ? 1)(2 ? 100 ? 1) 39999

43

18、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下:用 x 单位量的水清洗一次以后,蔬 菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比 为 f ( x) ? . .. 1 ? x2 (Ⅰ)试解释 f (0) 的实际意义; (Ⅱ)现有 a(a>0)单位量的水,可以清洗一次,也可以把水平均分成 2 份后清洗两 次.哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少?请说明理由. 答案:解: (I)f(0)=1.表示没有用水清洗时,蔬菜上的农药量没有变化.?????2' (Ⅱ)设清洗前蔬菜上的农药量为 1,那么用 a 单位量的水清洗 1 次后.残留的农药量

1

1 ;??????????????????????????4' 1 ? a2 a a 1 又如果用 单位量的水清洗 1 次,残留的农药量为 1×f( )= , a 2 2 2 1? ( ) 2 a 此后再用 单位量的水清洗 1 次后,残留的农药量为 2 a 16 1 1 W2= · f( )=[ ]2= .???????????8' a a 2 (4 ? a 2 ) 2 1 ? ( )2 1 ? ( )2 2 2
为 W1=1×f(a)= 由于 W1-W2=

1 a 2 (a 2 ? 8) 16 - = ,?????????9' 1 ? a 2 (4 ? a 2 ) 2 (1 ? a 2 )(4 ? a 2 )2

故当 a>2 2 时,W1>W2,此时,把 a 单位量的水平均分成 2 份后,清洗两次,残留的 农药量较少;当 a=2 2 时,W1=W2,此时,两种清洗方式效果相同;当 a<2 2 时,W1<W2, 此时,把 a 单位量的水清洗一次,残留的农药量较少.??????????12' 19、已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列,证明 am,am+2,am+1 成等差数列; (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题,判断它的真伪,并给出证明. 证 (Ⅰ) ∵Sm+1=Sm+am+1,Sm+2=Sm+am+1+am+2. 由已知 2Sm+2=Sm+Sm+1,∴ 2(Sm+am+1+am+2)=Sm+(Sm+am+1), 1 1 ∴am+2=-2am+1,即数列{an}的公比 q=-2. 1 1 ∴am+1=-2am,am+2=4am,∴2am+2=am+am+1,∴am,am+2,am+1 成等差数列. (Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是:若 am,am+2,am+1 成等差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列. 设数列{an}的公比为 q,∵am+1=amq,am+2=amq2. 1 由题设,2am+2=am+am+1,即 2amq2=am+amq,即 2q2-q-1=0,∴q=1 或 q=-2. 当 q=1 时,A≠0,∴Sm, Sm+2, Sm+1 不成等差数列. 逆命题为假.

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20、2005 年底,某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查,抽取 1200 户,按 本地区确定的标准,情况如右表: 本地区在“十一五”规划中明确 提出要缩小贫富差距,到 2012 年 高收入 125 户 中等收入 400 户 低收入 475 户

要实现一个美好的愿景,由右边圆图显示,则中等收入家庭的数 量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基 础要降低的百分比分别为 A.25% , 27.5% B.62.5% , 57.9% ( C.25% , 57.9%

低 收 入 15% 20%

高 收 入

B ) D.62.5%,42.1%

中 等 收 入 65%

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