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内蒙古包头市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷



内蒙古包头市 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 2 1.设集合 M={x|x ≤4},N={﹣1,0,4},则 M∩N=( A.{﹣1,0,4} B.{﹣1,0} C.{0,4}

) D.{﹣2,﹣1,0} )

2.若复数 z 的共轭复数为 ,且满足 (2﹣i)=10+5i(i 为虚数单位) ,则|z|=( A.25 B.10 C .5 D. 3. 已知等差数列{an}的公差为 d=3, 若 a1, a2, a3, a4, a5 的平均数为 18, 则 a1 的值为( A.12 B.﹣12 C.24 D.﹣24 4.曲线 y=e +1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 x=0 围成的三角形面积为( A. B. C .1 D.2
x

)

)

5.如图是一个算法的流程图,若输出的结果是 255,则判断框中的整数 N 的值为(

)

A.6

B.7

C .8 )

D.9

6.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(

A.

B.

C.

D.2

7. (2x+1) (1﹣ ) 的展开式中的常数项是( A.﹣11 B.﹣10 C .1

5

) D.﹣9

8.设非负实数 x,y 满足 A.7 B.6

,则 z=3x+2y 的最大值是( C .9

) D.12

9.已知 AE 是△ ABC 的中线,若∠A=120°, A.﹣1 B.0 C .1

=﹣2,则|

|的最小值是( D.2

)

10.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y =2px(p>0)的准线 ,则 P

2

分别交于 M,N 两点,O 为坐标原点,若双曲线的离心率为 2,△ MON 的面积为 的值为( ) A. B.3 C .4 D.2

11.已知函数 f(x)= A.[0,2] B.[﹣2,0]

,若|f(x)|≥mx,则 m 的取值范围是( C. (﹣∞,2] D.[﹣2,+∞)

)

12.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)和圆 O:x +y =b ,若 C 上存在点 M,过点 M 引

2

2

2

圆 O 的两条切线,切点分别为 E,F,使得△ MEF 为正三角形,则椭圆 C 的离心率的取值 范围是( ) A.[ ,1) B.[ ,1) C .[ ,1) D. (1, ]

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 则 2 本数学书相邻的概率为 __________. 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三所大学时,甲说:我去过的大学比乙 多,但没去过 A 大学; 乙说:我没去过 B 大学; 丙说:我们三人去过同一所大学; 由此可判断乙去过的大学为__________. 15.设 是函数 f(x)=sin(2x+φ) (|φ|< )的一个零点,则函数 f(x)在区间(0,2π)

内所有极值点之和为__________.

16. 设数列{an}为等差数列, 其公差为 d, 数列{bn}为等比数列, 若 a1<a2, b1<b2, 且 b1=ai (i=1,2,3) ,则 __________.

2

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 3cos(B﹣C)=1+6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ ABC 的面积为 2 ,求 b+c 的值. 18.如图,已知在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=A1A= AB=2,点 E 是棱 AB 上一点, 且 =λ.

(1)证明:D1E⊥A1D; (2)若二面角 D1﹣EC﹣D 的余弦值为 ,求 CE 与平面 D1ED 所成的角.

19.从某大学中随机选取 7 名女大学生,其身高 x(单位:cm)和体重 y(单位:kg)数据 如表: 编号 1 2 3 4 5 6 7 身高 x 163 164 165 166 167 168 169 体重 y 52 52 53 55 54 56 56 (1)求根据女大学生的身高 x 预报体重 y 的回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析这 7 名女大学生的身高和体重的变化,并预报一名身高 为 172cm 的女大学生的体重; (3)试分析说明回归方程预报的效果. 附:1.回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

, = ﹣



2.反映回归效果的公式为:R =1﹣

2

,其中 R 越接近于 1,表示回归的效

2

果越好.

3.参考数据:

(y1﹣

) =2.25.

2

20.在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为 ,过椭圆 C 的

右焦点 F 作两条互相垂直的弦 EF 与 MN,当直线 EF 斜率为 0 时,|EF|+|MN|=7. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求|EF|+|MN|的取值范围. 21.已知函数 f(x)=x lnx (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)证明:对任意的 t>0,方程 f(x)﹣t=0 关于 x 在(1,+∞)上有唯一解 s,使 t=f(s) ; (3)设(2)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s=g(t) ,证明:当 t>e 时,有 < .
2 2



【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,⊙O 的半径 OC 垂直于直径 DB,F 为 BO 上一点,CF 的延长线交⊙O 于点 E, 过 E 点的切线交 DB 的延长线于点 A 2 (1)求证:AF =AB?AD; (2)若⊙O 的半径为 2 ,OB= OF,求 FE 的长.

【选修 4-2:极坐标与参数方程】 23.已知直线 n 的极坐标是 pcos(θ+ )=4 ,圆 A 的参数方程是 (θ

是参数) (1)将直线 n 的极坐标方程化为普通方程; (2)求圆 A 上的点到直线 n 上点距离的最小值.

【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=|x﹣1+a|+|x﹣a|

(1)若 a≥2,x∈R,证明:f(x)≥3; (2)若 f(1)<2,求 a 的取值范围.

内蒙古包头市 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 2 1.设集合 M={x|x ≤4},N={﹣1,0,4},则 M∩N=( A.{﹣1,0,4} B.{﹣1,0} C.{0,4}

) D.{﹣2,﹣1,0}

考点:交集及其运算. 专题:集合. 2 分析:先求出不等式 x ≤4 的解集 M,再由交集的运算求出 M∩N. 2 解答: 解:由 x ≤4 得﹣2≤x≤2, 则集合 M={x|﹣2≤x≤2}, 又 N={﹣1,0,4}, 所以 M∩N={﹣1,0}, 故选:B. 点评:本题考查交集及其运算,以及一元二次不等式的解法,属于基础题. 2.若复数 z 的共轭复数为 ,且满足 (2﹣i)=10+5i(i 为虚数单位) ,则|z|=( A.25 B.10 C .5 D. 考点:复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出. 解答: 解:∵满足 (2﹣i)=10+5i(i 为虚数单位) , ∴ = ∴z=3﹣4i. 则|z|= =5. = = = =3+4i, )

故选:C. 点评:本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式,属于基础题. 3. 已知等差数列{an}的公差为 d=3, 若 a1, a2, a3, a4, a5 的平均数为 18, 则 a1 的值为( A.12 B.﹣12 C.24 D.﹣24 考点:等差数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. )

分析:先用等差数列的性质与平均数的概念,求出 a3 的值,再用等差数列的通项公式求出 a1 的值. 解答: 解:等差数列{an}中,公差 d=3, ∵a1,a2,a3,a4,a5 的平均数为 18, ∴ =a3=18,

∴a1=a3﹣2d=18﹣2×3=12; 即 a1 的值为 12. 故选:A. 点评:本题考查了等差数列的通项公式以及平均数的应用问题,是基础题目. 4.曲线 y=e +1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 x=0 围成的三角形面积为( A. B. C .1 D.2
x

)

考点:定积分在求面积中的应用. 专题:计算题;导数的综合应用. 分析:先对函数 y=e +1 求导,求出 y 在 x=0 处的斜率,根据点斜式求出切线方程,再利 用面积公式进行求. 解答: 解:∵y=e +1, ﹣x ∴y′=﹣e , ∴切线的斜率 k=y′|x=0=﹣1,且过点(0,2) , ∴切线为:y﹣2=﹣x,∴y=﹣x+2, ∴切线与 x 轴交点为: (2,0) ,与 y 轴的交点为(0,2) , ∴切线与直线 y=0 和 y=0 围成的三角形的面积为:s= ×2×2=2, 故选:D. 点评:此题利用导数研究曲线上的点的切线,注意斜率与导数的关系,此题是一道基础题. 5.如图是一个算法的流程图,若输出的结果是 255,则判断框中的整数 N 的值为( )
﹣x ﹣x

A.6

B.7

C .8

D.9

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图.

分析:模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 S,A 的值,当 S=255 时,由题意,此时不 满足条件 8≤N,退出循环,输出 S 的值为 255,从而判断出判断框中整数 N 的值. 解答: 解:模拟执行程序,可得 A=1,S=1 满足条件 A≤N,S=3,A=2 满足条件 A≤N,S=7,A=3 满足条件 A≤N,S=15,A=4 满足条件 A≤N,S=31,A=5 满足条件 A≤N,S=63,A=6 满足条件 A≤N,S=127,A=7 满足条件 A≤N,S=255,A=8 由题意,此时不满足条件 8≤N,退出循环,输出 S 的值为 255, 则判断框中的整数 N 的值应为 7. 故选:B. 点评: 本题主要考查了算法流程图, 同时考查了分析问题的能力和读图的能力, 属于基础题. 6.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.2

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直 观图,该几何体为正三棱柱. 解答: 解:该几何体为正三棱柱, 其底面的边长为 2,高为 1; 故其体积为 V= ×2× ×1= ,

故选 A. 点评:三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直 观图,本题考查了学生的空间想象力,识图能力及计算能力.
5

7. (2x+1) (1﹣ ) 的展开式中的常数项是( A.﹣11 B.﹣10 C .1

) D.﹣9

考点:二项式系数的性质. 专题:二项式定理.

分析:把(1﹣ ) 按照二项式定理展开,可得(2x+1) (1﹣ ) 的展开式中的常数项. 解答: 解: (2x+1) (1﹣ ) =(2x+1) (1﹣5? +10?
5

5

5

﹣10?

+5?



) ,

故展开式中的常数项是 2×(﹣5)+1=﹣9, 故选:D. 点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于 基础题.

8.设非负实数 x,y 满足 A.7 B.6

,则 z=3x+2y 的最大值是( C .9 D.12

)

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线 z=3x+2y 过点 B (1,2)时,z 最大值即可. 解答: 解:根据约束条件画出可行域 ∵直线 z=3x+2y 过点 B,z 取得最大值, 由 ,解得 ,

可得 B(1,2)时, z 最大值是 7, 故选:A.

点评: 本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题, 解题的关键是画出满足条件的区 域图,属于基础题.

9.已知 AE 是△ ABC 的中线,若∠A=120°, A.﹣1 B.0 C .1

=﹣2,则| D.2

|的最小值是(

)

考点:平面向量数量积的运算.

专题:计算题;不等式的解法及应用;平面向量及应用. 分析:运用向量的数量积的定义和中点的向量表示形式,及向量的平方即为模的平方,结合 重要不等式即可得到最小值. 解答: 解:设 AC=b,AB=c, 又∠A=120°, =﹣2,

则 bccos120°=﹣2,即有 bc=4, 由 AE 是△ ABC 的中线,则有 即有
2

= ( )

+

) ,

= (
2

+

+2

?

= (b +c ﹣4)≥ (2bc﹣4)= ×(8﹣4)=1. 当且仅当 b=c 时,| |的最小值为 1.

故选:C. 点评: 本题考查向量的数量积的定义和性质, 主要考查向量的中点表示形式及向量的平方即 为模的平方,运用重要不等式是解题的关键.

10.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y =2px(p>0)的准线 ,则 P

2

分别交于 M,N 两点,O 为坐标原点,若双曲线的离心率为 2,△ MON 的面积为 的值为( ) A. B.3 C .4 D.2

考点:双曲线的简单性质. 专题:解三角形;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:由双曲线的离心率公式及 a,b,c 的关系可得 b= a,由双曲线的渐近线方程和抛 物线的准线方程解得 M,N,求出三角形 MON 的面积,进而解得 p=2. 解答: 解:由 e= = = =2,

可得 =





,求得 M(﹣ ,

) ,N(﹣ ,﹣

) ,

所以 S△ MON= ? 将 =

? =
2



代入,得 p =4,解得 p=2.

故选 D.

点评: 本题考查双曲线和抛物线的综合应用. 求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关系, 找到它们对应的几何量,属于中档题.

11.已知函数 f(x)= A.[0,2] B.[﹣2,0]

,若|f(x)|≥mx,则 m 的取值范围是( C. (﹣∞,2] D.[﹣2,+∞)

)

考点:函数恒成立问题;分段函数的应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:作出函数 f(x)的图象,结合不等式恒成立,对 m 进行分类讨论即可得到结论. 解答: 解:作出函数 f(x)的图象如图:若 m=0,则|f(x)|≥mx 成立, 若 m>0,由图象可知不等式|f(x)|≥mx 不成立, 若 m<0,当 x>0 时,不等式|f(x)|≥mx 成立, 要使|f(x)|≥mx 成立,则只需要当 x≤0 时|f(x)|≥mx 成立, 2 即|﹣x +2x|≥mx, 2 即 x ﹣2x≥mx, 2 则 x ≥(m+2)x 成立, ∵x≤0, 2 ∴不等式 x ≥(m+2)x 等价为 x≤m+2, 即 m≥x﹣2 恒成立, ∵x≤0,∴x﹣2≤﹣2, 即此时﹣2≤m<0, 综上﹣2≤m≤0, 故选:B

点评: 本题主要考查不等式恒成立问题, 利用数形结合以及分段函数的应用是解决本题的关 键.

12.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)和圆 O:x +y =b ,若 C 上存在点 M,过点 M 引

2

2

2

圆 O 的两条切线,切点分别为 E,F,使得△ MEF 为正三角形,则椭圆 C 的离心率的取值 范围是( )

A.[ ,1)

B.[

,1)

C .[

, 1)

D. (1, ]

考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 如图所示, 连接 OE, OF, OM, 由于△ MEF 为正三角形, 可得∠OME=30°, OM=2b≤a, 再利用离心率计算公式即可得出. 解答: 解:如图所示,连接 OE,OF,OM, ∵△MEF 为正三角形, ∴∠OME=30°, ∴OM=2b, 则 2b≤a, ∴ , = .

∴椭圆 C 的离心率 e= 又 e<1. ∴椭圆 C 的离心率的取值范围是 故选:C. .

点评:本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行, 则 2 本数学书相邻的概率为 .

考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:首先求出所有的基本事件的个数,再从中找到 2 本数学书相邻的个数,最后根据概率 公式计算即可. 解答: 解:2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,所有的基本事件有共 有 =6 种结果,

其中 2 本数学书相邻的有(数学 1,数学 2,语文) , (数学 2,数学 1,语文) , (语文,数学 1,数学 2) , (语文,数学 2,数学 1)共 4 个,故本数学书相邻的概率 P= 故答案为: . 点评: 本题考查了古典概型的概率公式的应用, 关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件. 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三所大学时,甲说:我去过的大学比乙 多,但没去过 A 大学; 乙说:我没去过 B 大学; 丙说:我们三人去过同一所大学; 由此可判断乙去过的大学为 C. 考点:进行简单的合情推理. 专题:推理和证明. 分析:可先由乙推出,可能去过 A 大学或 C 大学,再由甲推出只能是 B,C 中的一个,再 由丙即可推出结论. 解答: 解:由乙说:我没去过 B 大学,则乙可能去过 A 大学或 C 大学, 但甲说:我去过的大学比乙多,但没去过 A 大学,则乙只能是去过 B,C 中的任一个, 再由丙说:我们三人去过同一大学, 则由此可判断乙去过的大学为 C. 故答案为:C. 点评:本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题. .

15.设

是函数 f(x)=sin(2x+φ) (|φ|< .

)的一个零点,则函数 f(x)在区间(0,2π)

内所有极值点之和为

考点:正弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:根据函数零点的定义求出 φ 的值,然后求出所有的最值相加即可即可. 解答: 解:∵ f( 即 )=sin(2× 是函数 f(x)=sin(2x+φ) (|φ|< +φ)=sin( +φ)=0, )的一个零点,

+φ=kπ,解得 φ=kπ﹣ , , ) ,

,k∈Z,

∵|φ|<

∴当 k=0 时,φ=﹣ 则 f(x)=sin(2x﹣

由 2x﹣ 得 x=

= +

+kπ, ,k∈Z,

∵x∈(0,2π) , ∴当 k=0 时,x= 当 k=1 时,x= 当 k=2 时,x= 当 k=3 时,x= ∴ + + . , , , , + = ,

故答案为:

点评:本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数的性质的应用,根据条件求出 φ 的值是解决本题的关键. 16. 设数列{an}为等差数列, 其公差为 d, 数列{bn}为等比数列, 若 a1<a2, b1<b2, 且 b1=ai (i=1,2,3) ,则 ﹣1.
2

考点:等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 2 分析:设等差数列{an}的公差为 d,可得 d>0,由数列{bn}为等比数列,可得 b2 =b1?b3,代 入化简可得 a1 和 d 的关系,分类讨论可得 b1 和 b2,可得结论. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, 由 a1<a2 可得 d>0, 2 2 2 2 2 ∴b1=a1 ,b2=a2 =(a1+d) ,b3=a3 =(a1+2d) , ∵数列{bn}为等比数列, 2 ∴b2 =b1?b3, 4 2 2 即(a1+d) =a1 ?(a1+2d) , 2 ∴(a1+d) =a1?(a1+2d) ① 2 或(a1+d) =﹣a1?(a1+2d) ,② 由①可得 d=0 与 d>0 矛盾,应舍去; 由②可得 a1= 当 a1=
2

d,或 a1= d 时,可得 b1=a1 =
2 2

﹣1d,

b2=a2 =(a1+d) =

,此时显然与 b1<b2 矛盾,舍去;

当 a1= ∴ =

﹣1d 时,可得 b1=a1 = ﹣1, .

2

,b2=(a1+d) =

2

,满足题意,

故答案为:

点评:本题考查等差数列与等比数列的性质,涉及分类讨论的思想,属中档题. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 3cos(B﹣C)=1+6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ ABC 的面积为 2 ,求 b+c 的值. 考点:余弦定理. 专题:解三角形. 分析: (1)已知等式利用两角和与差的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的余弦函 数公式及诱导公式化简,求出 cosA 的值即可; (2) 由 cosA 的值求出 sinA 的值, 利用三角形的面积公式表示出三角形 ABC 面积, 把 sinA, 2 2 已知面积代入求出 bc 的值,利用余弦定理列出关系式,把 a 与 cosA 的值代入求出 b +c 的 2 值,利用完全平方公式求出(b+c) 的值,开方即可求出 b+c 的值. 解答: 解: (1)由 3cos(B﹣C)=1+6cosBcosC, 整理得:3cosBcosC﹣3sinBsinC=﹣1, 即 3cos(B+C)=﹣1, ∴cosA=﹣cos(B+C)= ; (2)∵A 为三角形内角,∴sinA= ∵S△ ABC= bcsinA=2 ∴bc=6①, 由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 b +c =13②, 2 2 2 联立①②,得(b+c) =b +c +2bc=13+12=25, 则 b+c=5. 点评:此题考查了余弦定理,三角形面积公式,两角和与差的余弦函数公式,以及诱导公式 的作用,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
2 2 2 2 2

=





18.如图,已知在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=A1A= AB=2,点 E 是棱 AB 上一点, 且 =λ.

(1)证明:D1E⊥A1D; (2)若二面角 D1﹣EC﹣D 的余弦值为 ,求 CE 与平面 D1ED 所成的角.

考点:直线与平面所成的角;二面角的平面角及求法. 专题:空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)建立空间坐标系,利用向量法即可证明:D1E⊥A1D; (2)求出平面的法向量,利用向量法即可求出线面所成的角的大小. 解答: (1)证明:建立如图所示的坐标系,则 D(0,0,0) ,A(2,0,0) ,B(2,4, 0) ,A1(2,0,2) ,B1(2,4,2) , C1(0,4,2) ,D1(0,0,2) . 因为 于是 则 即 ? ⊥ =λ,所以 E(2, =(2, =(2, , ,0) , =(﹣2,0,﹣2) ,

,﹣2) .

,﹣2)?(﹣2,0,﹣2)=0,

则 D1E⊥A1D. (2)解:因为 D1D⊥平面 ABCD,所以平面 DEC 的法向量为 又 =(2, ,﹣2) , =(0,﹣4,2) , =(x,y,z) , =(0,0,2) .

设平面 D1CE 的法向量为 则 ? ? =2x+y( =﹣4y+2z=0,

﹣4)=0,

所以向量

的一个解为(2﹣

,1,2) . .

因为二面角 D1﹣EC﹣D 的大小为



=

,较大 λ=1,

即 E(2,2,0) , 故 则 ? =(0,0,2) , =0, ? =(2,2,0) , =0, =(2,﹣2,0) ,

即 CE⊥平面 D1ED, 即 CE 与平面 D1ED 所成的角为 .

点评:本题考查线线垂直,考查二面角的平面角,考查向量知识的运用,考查学生的计算能 力,建立坐标系是解决本题的关键. 19.从某大学中随机选取 7 名女大学生,其身高 x(单位:cm)和体重 y(单位:kg)数据 如表: 编号 1 2 3 4 5 6 7 身高 x 163 164 165 166 167 168 169 体重 y 52 52 53 55 54 56 56 (1)求根据女大学生的身高 x 预报体重 y 的回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析这 7 名女大学生的身高和体重的变化,并预报一名身高 为 172cm 的女大学生的体重; (3)试分析说明回归方程预报的效果. 附:1.回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

, = ﹣



2.反映回归效果的公式为:R =1﹣

2

,其中 R 越接近于 1,表示回归的效

2

果越好. 3.参考数据: (y1﹣ ) =2.25.
2

考点:线性回归方程. 专题:应用题;概率与统计. 分析: (1)计算平均数,求出 b,a,即可求出回归方程; (2)b>0,可得这 7 名女大学生的身高和体重的变化具有正的线性相关关系,代入公式, 预报一名身高为 172cm 的女大学生的体重;

(3)求出 R =1﹣ 解答: 解: (1)∵ = = ∴b= ∴a=54﹣ ∴y= x﹣70.5; = , =﹣70.5,

2

=87.5%,即可说明回归方程预报的效果. =166, =54,

(2)∵b>0, ∴这 7 名女大学生的身高和体重的变化具有正的线性相关关系, x=172 时,y= ×172﹣70.5=58.5(kg) ; (3)R =1﹣
2

=87.5%,

∴女大学生的体重差异有 87.5%是由身高引起的,这说明回归方程预报的效果是良好的. 点评:本题考查回归方程,考查学生的计算能力,正确求出回归方程是关键.

20.在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为 ,过椭圆 C 的

右焦点 F 作两条互相垂直的弦 EF 与 MN,当直线 EF 斜率为 0 时,|EF|+|MN|=7. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求|EF|+|MN|的取值范围. 考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由题意知 e= = ,MN=7﹣2a,再由点(c, )在椭圆上,能求出椭圆的

方程. (2)当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在时,|EF|+|MN|=7;当两弦斜率均 存在且不为 0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,设直线 EF 的方程为 y=k(x﹣1) ,直线 MN 的方程为 y=﹣ (x﹣1) .由此能求出|EF|+|MN|,从而能求出其取值范围. 解答: 解: (1)由题意知,e= = ,|MN|=7﹣2a, 所以 a =4c ,b =3c ,…2 分 因为点(c, )在椭圆上,
2 2 2 2



+

=1,解得:c=1.

所以椭圆的方程为:

+

=1;

(2)①当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在, 由题意知|EF|+|MN|=7, ②当两弦斜率均存在且不为 0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 且设直线 EF 的方程为 y=k(x﹣1) , 则直线 MN 的方程为:y=﹣ (x﹣1) , 将直线 EF 的方程代入椭圆方程中, 2 2 2 2 并整理得(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0, ∴x1= ,x2= ,

∴|EF|=

|x1﹣x2|=

,同理,|MN|=



∴|EF|+|MN|=
2 2 2



令 t=k +1,则 t>1,3+4k =4t﹣1,3k +4=3t+1, 设 f(t)= =﹣ + ,

∵t>1,∴ ∈(0,1) , ∴f(t)∈(12, ∴|EF|+|MN|= ) , ∈[ ,7]. ,7].

综合①与②可知,AB+CD 的取值范围是[

点评: 本题考查椭圆的方程的求法, 考查两条线段和的取值范围的求法, 解题时要认真审题, 注意分类讨论思想的合理运用. 21.已知函数 f(x)=x lnx (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)证明:对任意的 t>0,方程 f(x)﹣t=0 关于 x 在(1,+∞)上有唯一解 s,使 t=f(s) ;
2

(3)设(2)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s=g(t) ,证明:当 t>e 时,有 < .

2



考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)函数的定义域为(0,+∞) ,求导数令 f′(x)=0,可解得 x= ) ,和( ,+∞)的正负可得单调性; ,由导数在(0,

(2)当 0<x≤1 时,f(x)≤0,设 t>0,令 h(x)=f(x)﹣t,x∈[1,+∞) ,由(Ⅰ)可得 函数 h(x)的单调性,可得结论; (3)令 u=lns,原命题转化为 0<lnu< ,一方面由 f(s)的单调性,可得 u>1,从而 lnu >0 成立,另一方面,令 F(u)=lnu﹣ ,u>1,通过函数的单调性可得极值、最值,进而 得证. 解答: (1)解:由题意可知函数的定义域为(0,+∞) , 求导数可得 f′(x)=2xlnx+x ? =2xlnx+x=x(2lnx+1) , 令 f′(x)=0,可解得 x= ,
2

当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0, ) 0 极小值 ) ,单调递增区间为( ( ,+∞)

﹣ 单调递减

+ 单调递增 ,+∞) ;

所以函数 f(x)的单调递减区间为(0,

(2)证明:当 0<x≤1 时,f(x)≤0,设 t>0, 令 h(x)=f(x)﹣t,x∈[1,+∞) , 由(1)可知,h(x)在区间(1,+∞)单调递增, t 2t t 2t h(1)=﹣t<0,h(e )=e lne ﹣t=t(e ﹣1)>0, 故存在唯一的 s∈(1,+∞) ,使得 t=f(s)成立; (3)证明:因为 s=g(t) ,由(2)知,t=f(s) ,且 s>1, 从而 = = = = ,其中 u=lns,

要使 < 即 2<

< 成立,只需 < < ,即 2<2+ < ,

< ,

只需 0<
2

< ,变形可得只需 0<lnu< ,
2

当 t>e 时,若 s=g(t)≤e,则由 f(s)的单调性,有 t=f(s)≤f(e)=e ,矛盾, 所以 s>e,即 u>1,从而 lnu>0 成立, 另一方面,令 F(u)=lnu﹣ ,u>1,F′(u)= ﹣ , 令 F′(u)=0,可解得 u=2, 当 1<u<2 时,F′(u)>0,当 u>2 时,F′(u)<0, 故函数 F(u)在 u=2 处取到极大值,也是最大值 F(2)=ln2﹣1<0, 故有 F(u)=lnu﹣ <0,即 lnu< , 综上可证:当 t>e 时,有 <
2

< 成立.

点评:本题考查利用导数研究函数的单调性,涉及极值的求解和不等式的证明,属中档题. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,⊙O 的半径 OC 垂直于直径 DB,F 为 BO 上一点,CF 的延长线交⊙O 于点 E, 过 E 点的切线交 DB 的延长线于点 A 2 (1)求证:AF =AB?AD; (2)若⊙O 的半径为 2 ,OB= OF,求 FE 的长.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题;立体几何. 分析: (1)利用切线的性质、圆的性质、切割线定理即可得出; (2)求出 CF,利用 CF?FE=DF?FB,求 FE. 解答: (1)证明:连接 OE, ∵AE 切⊙O 于点 E,∴∠OEA=90°,∴∠OEC+∠CEA=90°, ∵OC=OE,∴∠OCE=∠OEC, ∵OC⊥DB 于点 O,∴∠OCE+∠CFO=90°. 故∠CEA=∠CFO=∠AFE,∴AF=AE, 2 又∵AE 切⊙O 于点 E,∴AE =AB?AD, 2 ∴AF =AB?AD; (2)解:∵OB=2 ,OB= OF, ∴OF=2, ∵OC=2 , ∴CF= =4, +2) (2 ﹣2)=8,

∵CF?FE=DF?FB=(2

∴FE=

=2.

点评:熟练掌握切线的性质、圆的性质、切割线定理是解题的关键. 【选修 4-2:极坐标与参数方程】 23.已知直线 n 的极坐标是 pcos(θ+ )=4 ,圆 A 的参数方程是 (θ

是参数) (1)将直线 n 的极坐标方程化为普通方程; (2)求圆 A 上的点到直线 n 上点距离的最小值. 考点:简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (1)由 ρcos(θ+ 即可得出;
2 2

)=4

,展开为

=4

,利用

(2)圆 A 的

(θ 是参数)化为普通方程为: (x﹣1) +(y+1) =2,圆

心(1,﹣1) ,半径 r= .利用点到直线的距离公式可得;圆心到直线 n 的距离 d.即可得 出圆 A 上的点到直线 n 上点距离的最小值=d﹣r. 解答: 解: (1)由 ρcos(θ+ 化为 x﹣y﹣8=0; (2)圆 A 的 心(1,﹣1) ,半径 r= . =3 . (θ 是参数)化为普通方程为: (x﹣1) +(y+1) =2,圆
2 2

)=4

,展开为

=4



∴圆心到直线 n 的距离 d=

∴圆 A 上的点到直线 n 上点距离的最小值=d﹣r=2 . 点评:本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程、点到直线的 距离公式、点与圆的位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.设函数 f(x)=|x﹣1+a|+|x﹣a|

(1)若 a≥2,x∈R,证明:f(x)≥3; (2)若 f(1)<2,求 a 的取值范围. 考点:不等式的证明;绝对值不等式的解法. 专题:综合题;不等式的解法及应用. 分析: (1)利用绝对值不等式,即可证明结论; (2)分类讨论,利用 f(1)<2,求 a 的取值范围. 解答: (1)证明:f(x)=|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|(x﹣1+a)﹣(x﹣a)|=|2a﹣1| ∵a≥2,∴|2a﹣1|≥3, ∴f(x)≥3; (2)解:f(1)=|a|+|1﹣a| a≤0 时,f(1)=|a|+|1﹣a|=1﹣2a ∵f(1)<2,∴1﹣2a<2,∴a>﹣ , ∴﹣ <a≤0; 0<a≤1 时,f(1)=1<2 恒成立; a>1 时,f(1)=|a|+|1﹣a|=2a﹣1 ∵f(1)<2,∴2a﹣1<2,∴a< , ∴1<a< 综上,a 的取值范围是(﹣ , ) . 点评:本题考查绝对值不等式,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.


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