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2.3.4平面向量共线的坐标表示学案(人教A版必修4) - 副本 - 副本


2.3.4

平面向量共线的坐标表示

课时目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.会根据平面向量的坐标,判断向量 是否共线.

1.两向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)当 a∥b 时,有______________________. (2)当 a∥b 且 x2y2≠0 时

,有____________________.即两向量的相应坐标成比例. → → 2.若P1P=λPP2,则 P 与 P1、P2 三点共线. 当 λ∈________时,P 位于线段 P1P2 的内部,特别地 λ=1 时,P 为线段 P1P2 的中点; 当 λ∈________时,P 位于线段 P1P2 的延长线上; 当 λ∈________时,P 位于线段 P1P2 的反向延长线上.

一、选择题 → → 1.已知三点 A(-1,1),B(0,2),C(2,0),若AB和CD是相反向量,则 D 点坐标是( ) A.(1,0) B.(-1,0) C.(1,-1) D.(-1,1) 2.已知平面向量 a=(x,1),b=(-x,x2),则向量 a+b( ) A.平行于 x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 3.若 a=(2cos α,1),b=(sin α,1),且 a∥b,则 tan α 等于( ) 1 1 A.2 B. C.-2 D.- 2 2 4.已知向量 a、b 不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果 c∥d,那么( ) A.k=1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 5.已知向量 a=(1,2),b=(0,1),设 u=a+kb,v=2a-b,若 u∥v,则实数 k 的值为( ) 1 A.-1 B.- 2 1 C. D.1 2 6.已知 A、B、C 三点在一条直线上,且 A(3,-6),B(-5,2),若 C 点的横坐标为 6,则 C 点的纵坐标为( ) A.-13 B.9 C.-9 D.13 1 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 7.已知向量 a=(2x+1,4),b=(2-x,3),若 a∥b,则实数 x 的值等于________. 8.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m)且 a∥b,则 2a+3b=________. 9.若三点 P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线,则 x 的值为________.

10.设向量 a=(1,2),b=(2,3).若向量 λa+b 与向量 c=(-4,-7)共线,则 λ=________. 三、解答题 11.已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是同向还 是反向?

12.如图所示,已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),O(0,0),求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标.

能力提升 → → 13.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC=mOA → +nOB,其中 m,n∈R 且 m+n=1,则点 C 的轨迹方程为( ) 2 2 A.3x+2y-11=0 B.(x-1) +(y-2) =5 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0 14.已知点 A(-1,-3),B(1,1),直线 AB 与直线 x+y-5=0 交于点 C,则点 C 的坐标为 ________.

1.两个向量共线条件的表示方法 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2) (1)当 b≠0,a=λb. (2)x1y2-x2y1=0. x1 y1 (3)当 x2y2≠0 时, = ,即两向量的相应坐标成比例. x2 y2 2.向量共线的坐标表示的应用 两向量共线的坐标表示的应用,可分为两个方面. (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识,可以证明三点共 线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行. (2)已知两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨迹方程.要注意方程思想的 应用,向量共线的条件,向量相等的条件等都可作为列方程的依据.

2.3.4

平面向量共线的坐标表示

答案
知识梳理 x1 y1 (2) = x2 y2 2.(0,+∞) (-∞,-1) (-1,0) 作业设计 1.C 2.C [∵a+b=(0,1+x2),∴平行于 y 轴.] 3.A [∵a∥b,∴2cos α×1=sin α. ∴tan α=2.故选 A.] 4.D [由 c∥d,则存在 λ 使 c=λd,即 ka+b=λa-λb, ∴(k-λ)a+(λ+1)b=0.又 a 与 b 不共线, ∴k-λ=0,且 λ+1=0. ∴k=-1.此时 c=-a+b=-(a-b)=-d. 故 c 与 d 反向,选 D.] 5.B [∵u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k), v=(2,4)-(0,1)=(2,3), 1 又 u∥v,∴1×3=2(2+k),得 k=- .故选 B.] 2 → → 6.C [C 点坐标(6,y),则AB=(-8,8),AC=(3,y+6). 3 y+6 ∵A、B、C 三点共线,∴ = ,∴y=-9.] 8 -8 1 7. 2 1 解析 由 a∥b 得 3(2x+1)=4(2-x),解得 x= . 2 8.(-4,-8) 解析 由 a∥b 得 m=-4. ∴2a+3b=2×(1,2)+3×(-2,-4)=(-4,-8). 9.3 → → 解析 PA=(1,-5),PB=(x-1,-10), → → ∵P、A、B 三点共线,∴PA与PB共线. ∴1×(-10)-(-5)×(x-1)=0,解得 x=3. 10.2 λ+2 2λ+3 解析 λa+b=(λ+2,2λ+3),c=(-4,-7),∴ = ,∴λ=2. -4 -7 11.解 由已知得 ka+b=(k-3,2k+2), a-3b=(10,-4),∵ka+b 与 a-3b 平行, 1 ∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得 k=- . 3 1 2 1 ? 此时 ka+b=? ?-3-3,-3+2?=-3(a-3b), 1 ∴当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向. 3 → 12.解 方法一 由题意知 P、B、O 三点共线,又OB=(4,4). → → 故可设OP=tOB=(4t,4t), → → → ∴AP=OP-OA=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t), → → → AC=OC-OA=(2,6)-(4,0)=(-2,6). → → 又∵A、C、P 三点共线,∴AP∥AC, 1.(1)x1y2-x2y1=0

3 ∴6(4t-4)+8t=0,解得 t= , 4 → ∴OP=(3,3),即点 P 的坐标为(3,3). → → 方法二 设点 P(x,y),则OP=(x,y),OB=(4,4). → → ∵P、B、O 三点共线,∴OP∥OB,∴4x-4y=0. → → → 又AP=OP-OA=(x,y)-(4,0)=(x-4,y), → → → AC=OC-OA=(2,6)-(4,0)=(-2,6), → → ∵P、A、C 三点共线,∴AP∥AC,∴6(x-4)+2y=0. ? ? ?4x-4y=0, ?x=3, 由? 得? ?6?x-4?+2y=0, ?y=3, ? ? 所以点 P 的坐标为(3,3). 13.D [设点 C 的坐标为(x,y), 则(x,y)=m(3,1)+n(-1,3)=(3m-n,m+3n), ?x=3m-n, ① ? ∴? ? ?y=m+3n, ② ①+2×②得,x+2y=5m+5n,又 m+n=1, ∴x+2y-5=0.所以点 C 的轨迹方程为 x+2y-5=0.] 14.(2,3) → → ?λ-1,λ-3?. 解析 设AC=λCB,则得 C 点坐标为? ? ?1+λ 1+λ? ?λ-1,λ-3?代入直线 x+y-5=0 的方程,解得 λ=-3.∴C 点坐标为(2,3). 把 C 点坐标? ? ?1+λ 1+λ?


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