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广东省佛山市三水中学2012届高三5月临考集训试卷(文数)


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三水中学 2012 届高三临考集训试卷 数学试题(文科)
参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面面积, h 为锥体的高。 3 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一.选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 ) 1. i 是虚数单位,复数 A. ?1 ? i

1? i 等于 ( i3
B. 1 ? i

) C. ?1 ? i ( ) D. {x | x ? 2} D. 1 ? i

2.已知全集 U=R,集合 P={x︱log2x≥1},那么 A. {x | 0 ? x ? 2} 3.设 tan ? ? B. {x | x ? 2}

C. {x | x. ? 2} )

3 3? ,? ? ? ? , 则 sin ? ? cos ? 的值( 3 2

1 3 1 3 1 3 1 3 A. ? ? B. ? ? C. ? D. ? 2 2 2 2 2 2 2 2 4.从 1,2,3,4,5 中随机取出二个不同的数,其和为奇数的概率为(



A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5


5.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n C. 若m‖? , m ? , 则?‖ ? ‖ B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n )

6.已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x ) 是( A、最小正周期为 ? 的奇函数 C、最小正周期为 ? 的偶函数 B、最小正周期为

? 的奇函数 2 ? D、最小正周期为 的偶函数 2


x2 ? y2 ? 1 7.过点 P ( 2 , 1 ) 的双曲线与椭圆 4 共焦点,则其渐近线方程是 (
A. x ? 2 y ? 0 B. 2 x ? y ? 0 C. x ? 2 y ? 0 D. 2 x ? y ? 0

??? ??? ???? ? ? 8.已知 ?ABC 中, AB ? AC ? 4, BC ? 4 3 ,点 P 为 BC 边所在直线上的一个动点,则 AP ? ( AB ? AC ) 满足
A.最大值为 16 B.最小值为 4 C.为定值 8 D.与 P 的位置有关
1

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9.执行右面的程序框图, 如果输入的 N 是 6, 那么输出的 p 的值是 ( A. 120 B. 720 C. 1440 D.5040

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?3 x ? y ? 2 ? 0, ? 10 . 设 x , y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 0, 若目标函数 ? x ? 0, y ? 0, ?
z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值 1,则
A. 4 B. 2 C. 2 2

1 1 ? 的最小值为 a b
D.1

.

第Ⅱ 卷(非选择题

共 100 分)

二.填空题: (本大题 11~13 题为必做题,14~15 题为选做题) 11. 设抛物线的顶点在原点,其焦点 F 在 y 轴上,抛物线上的点 P(k , ?2) 与点 F 的距离为 4,则抛物线方程 为 . 12 如图,是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图, 且正视图、侧视图都是矩形,则该几何体的体积是 13. 已知 2 ?



4 4 2 2 3 3 4 ? 22 ? ,? ? 32 ? , ? ? 42 ? , 3 ……, 15 15 3 3 8 8 a a 2 若 8 ? ? 8 ? (a、b 为正整数)则 a ? b ? . b b
14. (坐标系与参数方程选做题) (坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的参数方程为: ?

? x ? 2t ( t 为参数) ,圆 C 的极坐标为 ? y ? 1 ? 4t

? ? 2 2 sin ? ,则直线 l 与圆 C 的位置关系为________
15.(几何证明选讲选做题) 如右图:已知 AC=BD,过 C 点的圆的 切线与 BA 的延长线 E 点,若 ?ACE = 40 ,
0

则 ?BCD =



三.解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分;解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程。 ) 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? (1)求函数 f ( x) 的解析式,并写出 f ( x) 的单调减区间; (2)记 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边长分别为 a,b,c ,

y
1
?? 3

?
2

) 的部分图象如图所示.

f ( A) ? 1, cos B ?

4 , a ? 5 求 ?ABC 的面积. 5

o

? 6

x

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2

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17. (本小题满分 12 分)某学校 900 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,抽取其 中 50 个样本,将测试结果按如下方式分成五组:第一组 ?13,14) ,第二组 ?14,15) ,…,第五组 ?17,18? , 下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩小于 14 秒认为优秀,求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数; (2)请估计本年级 900 名学生中,成绩属于第三组的人数; (3)若样本第一组中只有一个女生,其他都是男生,第五组则只有一个男生,其他都是女生,现从第一、 五组中各抽一个同学组成一个新的组,求这个新组恰好由一个男生和一个女生构成的概率.
频率 组距 0.38 0.32

0.16

0.08 0.06 O

13

14

15

16

17

18



18.(本小题满分 14 分)在边长为 4cm 的正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 的中点,M、N 分别为 AB、 CF 的中点,现沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合,构成一个三棱锥. (1)判别 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明; (2)证明 AB⊥平面 BEF; (3)求多面体 E-AFNM 的体积.
A D
M B N F E

19题 图

M

F
A

N B E C

19.(本小题满分 14 分)已知函数

f ? x? ?

1 3 x ? ax 2 ? bx ? a,b? R ? . 3

(1) 若曲线 C : y ? f ? x ? 经过点 P ?1, 2 ? , 曲线 C 在点 P 处的切线与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 平行, a,b 的 求 值; (2)在(1)的条件下,试求函数 g ? x ? ? m ? 1 ? f ? x ? ? x ? ( m 为实常数, m ? ?1 )的极大值与 3
2

?

?? ?

7 ? ?

极小值之差;

20.(本小题满分 14 分)已知圆 C 方程: (x-1)2 + y 2=9,垂直于 x 轴的直线 L 与圆 C 相切于 N 点(N 在圆

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心 C 的右侧) ,平面上有一动点 P,若 PQ⊥L,垂足为 Q,且 (1)求点 P 的轨迹方程;

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| PC | 1 ? ; | PQ | 2

(2)已知 D 为点 P 的轨迹曲线上第一象限弧上一点,O 为原点,A、B 分别为 点 P 的轨迹曲线与 x, y 轴的正半轴的交点, 求四边形 OADB 的最大面积及 D 点 坐标.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ,设 g1 ( x) ? f ( x) ,

gn ( x) ? f ( gn?1 ( x)) (n ? 1, n ? N * ) .
(1)猜测并直接写出 gn ( x)(n ? N * ) 的表达式;此时若设 Tn ( x) ? g1 ( x) ? g2 ( x) ? g3 ( x) ? ?? gn ( x) ,且 关于 x 的函数 y ? x2 ? Tn ( x) (n ? N * ) 在区间 (??, ?1] 上的最小值为 6 ,则求 n 的值; (2)设数列 {an } 为等比数列,数列 {bn } 满足 bn ? f (n ? 1)a1 ? f (n ? 2)a2 ? ? ? f (1)an?1 ? f (0)an , n ? N ,若
b1 ? m ,
?

b2 ?

3m 2 ,其中 m ? 0 ,则

①当 m ? 1 时,求 bn ; ②设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,若对于任意的正整数 n ,都有 Sn ?[1, 3] ,求实数 m 的取值范围.

三水中学 2012 届高三临考集训试卷(文数)答案
一. 选择题:D B A C D , D A C B A 二. 填空题:11. x 2 ? ?8 y ; 12. 12 ; 13. 71 ; 14. _相交_____; 15.

400

.

三. 解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分;解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程。 16. 解析: (1)由图象最高点得 A=1, 由周期 T ?

1 2? ? 1 2? ? ? ? ? , ?? ? 2 -----------2’ 2 3 6 2 ? ? ? 当 x ? 时, f ( x) ? 1 ,可得 sin(2 ? ? ? ) ? 1 , 6 6 ? ? ? ? f ( x) ? sin( 2 x ? ) ----------4’ 因为 | ? |? ,所以 ? ? . 6 2 6 ? 2? ], k ? Z ----------6’ 由图象可得 f ( x) 的单调减区间为 [k? ? , k? ? 6 3

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(2)由(I)可知,

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s i n2(A ?

?
6

) ?1 ,

13? ? ? ? ?2A ? ? , A ? , . 6 6 6 6 2 6 3 ? 0 ? B ? ? ,? sin B ? 1 ? cos 2 B ? ----------9’ 5 a b ? ?b?6 由正弦定理得 ----------10’ sin A sin B 4?3 3 ? sin C ? sin(? ? A ? B) ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 10 1 1 4 ? 3 3 12? 9 3 .....................12’ ? ? S ?ABC ? ab sin C ? ? 5 ? 6 ? 2 2 2 10
?0 ? A ? ? , ?

?

? 2A ?

?

?

17.解: (1)由频率分布直方图知,成绩在第一组的为优秀,频率为 0.06, 人数为:50×0.06=3 所以该样本中成绩优秀的人数为 3。 …………………… 2 分 (2)由频率分布直方图知,成绩在第三组的频率 0.38,以此估计本年级 900 名学生成绩属于第三组的概 率为 0.38, 人数为:900×0.38=342 所以估计本年级 900 名学生中,成绩属于第三组的人数为 342。……… 4 分 (3)样本中第一组共有 3 人, 由第五组的频率为 0.08,可得第五组共有 4 人。……… 5 分 其中第五组四人记为 a 、 b 、 c 、 d ,其中 a 为男生,b、c、d 为女生,第一组三人记为 1、2、3,其中 1、2 为男生,3 为女生,基本事件列表如下:……… 7 分 a b c d 1 1a 1b 1c 1d 2 2a 2b 2c 2d 3 3a 3b 3c 3d 所以基本事件有 12 个 …………………………………………………10 分 恰为一男一女的事件有 1b,1c,1d,2b,2c,2d,3a;共 7 个 ………11 分 因此新组恰由一男一女构成的概率是

7 . …………………12 分 12

18.: MN / /平面AEF , 证明如下:

………1 分

因翻折后 B、C、D 重合(如图) , 所以 MN 应是 ?ABF 的一条中位线, 则 MN ? 平面AEF ? ? MN ? 平面AEF . ………………3 分 ………6 分

MN ? AF

? ?

AF ? 平面AEF ? ?

(2)因为 ? AB ? BE, AB ? BF , 且 BE ? BF ? B

? AB ? 平面 BEF,

……………8 分

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(3) 方法一? AB ? 4, BE ? BF ? 2 ,

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V ∴ A? BEF ?


8 , 3

………………………………………10 分 ………………………………12 分 …………………………………14 分
B M N F E

VE ? AFNM S AFNM 3 ? ? VE ? ABF S?ABF 4

∴ E ? AFMN ? 2 . V

方法二:

A

VE ? AFNM ? VE ? ABF ? VE ?BMN
? VA?BEF ? VM ?BEN
………………………………………10 分

由(2)知 AB 即是三棱锥 A-BEF 的高,AB=4 MB 即是三棱锥 M-BEN 的高,MB=2,………………………………11 分

? BE ? BF 1 1 ? S? BEF ? ? BE ? BF ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2 1 1 S? BEN ? ? BE ? BN ? ? 2 ?1 ? 1 ………………………………………13 分 2 2

? VE ? AFMN

? VA?BEF ? VM ?BEN
1 1 1 1 1 1 ? ? S? BEF ? AB ? S? BEN ? ? ? BE ? BF ? AB ? ? ? BE ? BN ? MB 3 3 3 2 3 2

1 1 ? ? 2 ? 4 ? ? 1? 2 ? 2 ………………………………14 分 3 3 1 3 2 2 19.解: (1) f ? x ? ? x ? ax ? bx ? f ? ? x ? ? x ? 2ax ? b ,………………………1 分 3

? 直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的斜率为 2,? 曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2 ,

? f ? ?1? ? 1 ? 2a ? b ? 2 ……①
? 曲线 C : y ? f ? x ? 经过点 P ?1, 2? ,
1 ? f ?1? ? ? a ? b ? 2 ……② 3

………………………………………2 分

………………………………………3 分

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2 ? ?a ? ?3, ? 由①②得: ? ?b ? 7. ? 3 ?
(2) 由(1) 知: f ? x ? ?

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……………………………………………………………………4 分

4? 1 3 2 2 7 ? m2 ? 1 3 2 x ? x ? x ,? g ? x ? ? x ? 2 x 2 ,? g ? ? x ? ? ? m ? 1? x ? x ? ? , 3? 3 3 3 ? 3

?

?

由 g? ? x ? ? 0 ? x ? 0 ,或 x ?

4 .……………5 分 3

当 m2 ? 1 ? 0 ,即 m ? 1, 或 m ? ?1 时, x , g? ? x ? , g ? x ? 变化如下表

x
g? ? x ?

? ??,0?
+

0
0 极大 值

? 4? ? 0, ? ? 3?

4 3

?4 ? ? , ?? ? ?3 ?

-

0 极小 值

+

g ? x?
由表可知:

?4? ? 32 ? 32 g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? g ? 0 ? ? g ? ? ? 0 ? ?? ? m2 ? 1?? ? ? m2 ? 1? ……………9 分 ?3? ? 81 ? 81
当 m2 ? 1 ? 0, 即 ?1 ? m ? 1 时, x , g? ? x ? , g ? x ? 变化如下表

x
g? ? x ? g ? x?
由表可知:

? ??,0?
-

0
0 极小 值

? 4? ? 0, ? ? 3?

4 3

?4 ? ? , ?? ? ?3 ?

+

0 极大 值

-

32 32 ?4? g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? g ? ? ? g ? 0 ? ? ? ? m 2 ? 1? ? 0 ? ? ? m 2 ? 1? ………………13 分 81 81 ?3?
综上可知:当 m ? 1, 或 m ? ?1 时, g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? 当 ?1 ? m ? 1 时, g ? x ?极大 ? g ? x ?极小 ? ?

32 2 ? m ? 1? ; 81

32 2 ? m ? 1? ……………………………………14 分 81

20.解: (1)设 P 点坐标为 ( x, y ) ,…………………………………………………………1 分

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则 PQ ? 4 ? x ,………………………………………………………………2 分

PC ? (x ? 1)2 ? y 2 ………………………………………………………………3 分
因为

| PC | 1 (x ? 1)2 ? y 2 1 ? ,所以 ? , …………………………………4 分 4? x 2 | PQ | 2

x2 y 2 ? ? 1 ………………………………………………………………5 分 4 3 x2 y 2 所以点 P 的轨迹方程是 ? ? 1 ……………………………………………6 分 4 3
化简得 (2)依题意得, A 点坐标为 (2, 0) , B 点坐标为 (0, 3) …………………………………7 分 设 D 点坐标为 (2cos? , 3 sin ? ),(0 ? ? ? ) ,…………………………………………8 分 2 则四边形 OADB 的面积 S四边形OADB ? S?OAD +S?OBD ,………………………………………9 分

?

1 1 ? ? 2 ? 3sin ? ? ? 3 ? 2cos? ………………10 分 2 2
? 3(sin ? ? cos? )

? 6 sin(? ? ) ……………………………………11 分 4
又因为 0 ? ? ? 所以

?

?
2

,所以

?
4

??+

?
4

?

3? …………………………………………………12 分 4

2 ? ? ? sin(? ? ) ? 1 ,即 3 ? 6 sin(? ? ) ? 6 2 4 4

所以四边形 OADB 的最大面积为 6 ,………………………………………13 分 当四边形 OADB 的面积取最大时, ? ? 此时 D 点坐标为 ( 2,

?
4

=

?
2

,即 ? =

?
4



6 ) ………………………………………………………………14 分 2

21. 解: (1)∵ g1 ( x) ? f ( x) ? x ? 1 , ∴ g2 ( x) ? f ( g1 ( x)) ? f ( x ? 1) ? x ? 2 ∴ gn ( x) ? x ? n .………………2 分 ∴ Tn ( x) ? g1 ( x) ? g 2 ( x) ? g 3 ( x) ? ? ? g n ( x) ? nx ?
2 2

g3 ( x) ? f ( g2 ( x)) ? f ( x ? 2) ? x ? 3 .…1 分

n(n ? 1) . 2

n(n ? 1) n 2 n 2 ? 2n ? (x ? ) ? ∴ y ? x ? Tn ( x) ? x ? nx ? .…………4 分 2 2 4

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n 2 n 2 ? 2n n ⅰ)当 ? ? ?1 ,即 n ? 2 时,函数 y ? ( x ? ) ? 在区间 (??, ?1] 上是减函数, 2 2 4
∴当 x ? ?1 时, ymin ?

n2 ? n ? 2 ? 6 ,即 n2 ? n ? 10 ? 0 ,该方程没有整数解.…5 分 2

ⅱ)当 ?

n 2 ? 2n n ? ?1 ,即 n ? 2 时, ymin ? ? 6 ,解得 n ? 4 ,综上所述, n ? 4 .…6 分; 2 4

m 3 a2 ? ? 2a1 ? a2 ? m 2 ; 所以数列 {an } 的 2 ,解得 (2)①由已知 b1 ? a1 ,所以 a1 ? m ; b2 ? 2a1 ? a2 ,所以
? 1? 1 an ? ? ? ? q?? ? 2? 2 ; .. 分当 m ? 1 时, 公比 ..7
bn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? 2an?1 ? an
n ?1

, bn ? f (n ? 1)a1 ? f (n ? 2)a2 ? ? ? f (1)an?1 ? f (0)an ,即

…①

1 ? bn ? na2 ? (n ? 1)a3 ? ? ? 2an ? an?1 2 ,………②,

n 1? ? 1? ? ? ?1 ? ? ? ? ? n 2? ? 2? ? 3 ? ? ? ? n ? 1 ?1 ? ? ? 1 ? ? ? bn ? ?n ? ? ? ? ? 2 3? ? 2? ? 3 ? 1? ? ? 1? ?? ? ? bn ? ?n ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an?1 ? 2? 2 ②-①得 , ,..8 分 ..

bn ?

2n 2 2 ? 1 ? 6n ? 2 ? (?2)1? n ? ? ?? ? ? 3 9 9? 2? 9 ...9 分 ..
n

? 1? m[1 ? ? ? ? ] n ? 2 ? ? 2m ? ?1 ? ? ? 1 ? ? Sn ? ? ? ? ? 3 ? ? 2? ? ? 1? ? ? 1? ?? ? 2? ? ②

n

...10 分 ..
1 ≤ 2m ≤ 3 3 ? 1? 1? ? ? ? ? 2 ? ,..11 分 ..
n

? 1? ? 1? 1? ?? ? ? 0 1? ? ? ? 因为 ? 2 ? ,所以由 Sn ?[1, 3] 得 ? 2 ? ? 1 ? ? 3? 1 ? ? ? ? ? ?1, ? 注意到,当 n 为奇数时, ? 2 ? ? 2 ? ; ? 1 ? ?3 1? ?? ? ? ? , 当 n 为偶数时, ? 2 ? ? 4
n
n n

n

n

? 1? ?,

? 1? 3 3 1? ?? ? 2 ? 最大值为 2 ,最小值为 4 ...13 分 所以 ? ..

1 ? 1? 1? ? ? ? 对于任意的正整数 n 都有 ? 2 ?
n



2m ≤ 3

3 ? 1? 1? ? ? ? ? 2? ,
9
n

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4 2m ≤ ≤2 3 所以 3 ,解得 2 ≤ m ≤ 3 ..14 分 .

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