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第二章 圆锥曲线与方程椭圆双曲线复习


椭园双曲线抛物线的复习课
y
Y
B2

y
B

X

x

F1 A1
B1

A2 F
2

o
A

x

o

色河中学

何英

y
x
2 2

2

? 2 px
x
2 2

( p ? 0)

?

y

2 2

?1

a b (a ? b ? 0)

?

y

2 2

?1

a b (a ? 0, b ? 0)

定义:
(1 ) 椭圆 : 平面内到两个定点 F1 , F 2 的距离的和等于常 .两个定点叫做 距 (| PF 1 | ? | PF 2 | ? 2 a ).
F1 , F 2 的距离的差的绝 .这

数 ( 大于 | F1 F 2 |) 的点的轨迹叫做椭圆 焦点 , 两个焦点的距离叫做焦
( 2 ) 双曲线 : 平面上到两个定点 对值等于常数

( 小于 | F1 F 2 |) 的点的轨迹叫做双曲线 , 两焦点间的距离叫做焦

两个定点叫做焦点 ? | PF 2 || ? 2 a ).
( 3 ) 抛物线

距 (|| PF 1 |

: 平面内到一个定点

F 和一条定直线

l 的距离

相等的点的轨迹叫做抛 准线 .

物线 , 点 F 叫做焦点

, 直线 l 叫做

定义: 平面内到一个定点和一条定直线的距离 的比等于定长e的点的集合, ①当0<e<1时,是椭圆.
K y P o F x

②当e>1时,是双曲线. ③当e=1时,是抛物线.

椭圆
几何条件

双曲线
与两个定点的 距离的差的绝 对值等于定值
x
2 2

抛物线
与一个定点和 一条定直线的 距离相等

与两个定点的距 离的和等于定值
x
2 2

标准方程

?

y

2 2

?1

?

y

2 2

?1

y

2

? 2 px

a b (a ? b ? 0)

a b (a ? 0, b ? 0)
y
M

( p ? 0)

y 图形
A1

y
M o F2

B1
O

x
A2

P
F

F 1

x

O

B2

x

顶点坐标

( ? a , 0 ), ( 0 , ? b )

( ? a ,0 )

( 0 ,0 )

y
B1
A1

y
M

y
M o F2

P
F

x
A2

O

F 1

x

O

x

B2

对称轴
焦点坐标 离心率 e ? c
a

x 轴 , 长轴长 2 a x 轴 , 实轴长 2 a y 轴 , 短轴长 2 b y 轴 , 虚轴长 2 b

x轴
( p 2 ,0 )

( ? c ,0 )
c ? a ?b
2 2

( ? c ,0 )
c ? a ?b
2 2

0 ? e ?1
x ? ? a
2

e ?1
x ? ? a
2

e ?1
x ? ? p 2

准线方程 渐近线方程

c

c

y ? ?

b a

x

椭圆 方程

? ? 准线方程 1 2 2 a b

x

2

y

2

y B2

x ? ? a c
x
B1

ay

2

2

2

?

x b

2

2

? 1

Y A 2
F2 o

图形
A1 A2

F1

B2 X

B1 范围
? a ? x ? a ,? b ? y ? b

A1

? b ? x ? b ,? a ? y ? a
关于x轴,y轴, 原点 ,对称。

对称性 顶点
离心率

关于x轴,y轴, 原点 ,对称。

A ( ? a , 0 ), B ( 0 , ? b )
e? c a ( 0 ? e ? 1)

A ( 0 , ? a ), B ( ? b , 0 )
e? c a ( 0 ? e ? 1)

椭圆的几何性质
由 即
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1

x a

2

2

? 1和

y b y

2

2

? 1

x ? a和 y ? b
说明:椭圆位于直线

X=±a和y=±b所围成 的矩形之中。

x o

焦点坐标
准线方程

( ? c , 0 ), c ?
:x ? ? a
2

a ?b
2

2

c

离心率 : 0 ? e ? 1

求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离 例1 心率、焦点和顶点坐标 2 2 x y 解: 把已知方程化成标准方程得 2 ? 2 ? 1 5 4 这里 a ? 5 , b ? 4 , c ? 25 ? 16 ? 3
因此,椭圆的长轴长和短轴长分别是 2 a ? 10 , 2 b ? 8 焦点坐标分别是 离心率 e ?
c a ? 3 5 ? 0 .6

F1 ( ? 3 , 0 ), F 2 ( 3 , 0 )

四个顶点坐标是
A1 ( ? 5 , 0 ), A 2 ( 5 , 0 ), B 1 ( 0 , ? 4 ), B 2 ( 0 , 4 )

练习: 求椭圆 25 x ? y ? 25 的长轴和
2 2

短轴的长

, 焦点和顶点的坐标
y
2

.

解:

椭圆的标准方程为

? x ? 1,
2

25

? a ? 5 , b ? 1, c ?

25 ? 1 ? 2 6 .

长轴长 2 a ? 10 .短轴长 2 b ? 2 ,
焦点 F ( 0 , ? 2 6 ), 顶点 ( 0 , ? 5 ), ( ? 1, 0 ).

例2

已知椭圆的焦点在

x 轴上 , P 为椭圆上一点
y
P
O

,

F1 , F 2 为两焦点 , 且 PF 1 ? PF 2 , 若点 P 到两准线的距离
分别为 6 和 12 , 求椭圆的标准方程 . 2 2 x y ? 2 ? 1, 解: 如图 , 设椭圆方程 2 a b 焦距为 2 c ,

F1

F2

x

由椭圆定义得
?| PF 1 | ? | PF 2
2

| PF 1 | 6
2

c | PF 2 | c ? , ? , ? PF 1 ? PF 2 , a 12 a 2 2
2 2

| ? | F1 F 2 | ? ( 2 c ) , ? 36 ?
a
2

c

a

2

? 144 ?
2 2

c

a

2

? 4c
2

2

由此得 a

2

? 45 . 又 6 ? 12 ? 2 ?
所求椭圆的方程为

,? c ? 5 .b ? a ? c ? 20 .

c

x

2

?

y

2

? 1.

45

20

例 3 : 一动圆与圆
2 2

x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 外切 , 同时与圆
2 2

x ? y ? 6 x ? 91 ? 0 内切 , 求动圆圆心的轨迹方程 并说明它是什么样的曲 线.

,

解法一: 如图 , 设动圆的圆心
半径为 R , 两已知圆的圆心 分别为 O 1 , O 2 .

P ? x , y ?,

y N R M P

x o
o
2

分别将两已知圆的方程
得 ?x ? 3? ? y
2 2

配方

o

1

? 4,
2

?x

? 3 ? ? y ? 100 .
2

当圆 P 与圆 O 1 外切时 , 有

O P ? R ? 2,
1



当圆 P 与圆 O 2内切时 , 有

O P ? 10 ? R . ②
2

① ②两边分别相加
1 2

,得

O P ? O P ? 12 ,
即:

?x
2

? 3? ? y ?
2 2

?x

? 3 ? ? y ? 12 . ③
2 2

?x ? 3?
2 2

2

? y ? 12 ? x .
2
2


2

, 得 : 3 x ? 4 y ? 108 ? 0 将 ④两边分别平方 x y ? ? 1 . ? 动圆圆心的轨迹是椭圆 , 36 27
它的长轴和短轴长分别 为 12 , 6 3 , 如图中虚线所示

解法二 : 同解法一得方程

O P ? O P ? 12 ,
1 2

由方程可知 和O
2

, 动圆圆心

P ? x , y ?到点 O ? ? 3 , 0 ?
1

? 3 , 0 ?的距离和为常数
2

12 , 且 12 ? 6

? 点 P 的轨迹为椭圆

即 : 2 c ? 6 , 2 a ? 12

? c ? 3 , a ? 6 ? b ? 36 ? 9 ? 27 .
? x
2

?

y

2

? 1.

? 动圆圆心的轨迹是椭圆 长轴和短轴长分别为 12 , 6

, 3.

36

27

例题: 设 P 是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ) 上一点 , F1 , F 2 是焦点 ,
b .
2

若 PF 1 ? PF 2 , 求证 : ? F1 PF 2 的面积是

证明: 如图,由椭圆的定义得|PF1|+|PF2| = 2a
由此得|PF1| 2 + |PF2| 2 + 2 |PF1| |PF2| = 4a2 又|F1 F2| = 2c ,PF1 ⊥PF2, 故|PF1| 2 + |PF2| 2 = | F1 F2| 2 = 4C2
2 2

P F1
2

y

o

F2

x

| PF 1 || PF 2 | ? 2 ( a ? c ) ? 2 b .
? S ? F1 PF 2 ? 1 2 | PF 1 || PF 2 | ? b
2

练习:
(1) 若方程 若方程 x
2

x

2

1? k ?

? y

y
2

2

1? k

? 1表示椭圆 , 则 k 的取值范围是 , 则 k 的取值范围是
2 2

k __ 1 ?
___

?1 ? k ? 1
, 焦点在坐标轴上
x ? _____ 9 y ?1 3

1? k 1? k ( 2 )已知椭圆的中心在原点

? 1表示双曲线

, P1 ( 6 ,1 ),

P2 ( ?

3 ,?

2 ), 则椭圆的方程是
2

( 3 ) 椭圆

x

?

y

2

? 1的焦点为

9
x
2

4
y
2

F1 , F 2 , P 为其上的动点

,

当 ? F1 PF 2 为钝角时
( 4 ) P 是椭圆 ? 64 36

, 点 P 横坐标的取值范围是

__ 看过程
?
3 ,

? 1 上一点 , F1 , F 2 焦点 , 且 ? F1 PF 2 ?

那么 ? F1 PF 2 的面积为

12 3 看过程 ___

焦点在x轴上的双曲线的几何性质
1.标准方程:
x a
2 2

?

y b

2 2

Y
? 1
A1 B1 B2

2.几何性质: F1 (1)范围: x≥a或x≤-a (2)对称轴:关于x轴,y轴,原点对称。 (3)顶点: A1(-a,0),A2(a,0) (4)轴:实轴 A1A2 虚轴 B1B2 (5)渐近线方程: (6)离心率: e
? c a
y ? ? b a x

X
A2 F
2

焦点在y轴上的双曲线的几何性质
1.标准方程:
y a
2 2

?

x b

2 2

?1

Y F 2
A2 B2 o A1 F2 X

2.几何性质: B1 (1)范围: Y ≥a或y≤-a (2)对称轴: 关于x轴,y轴,原点对称。 (3)顶点: A1(0,-a),A2(0,a) (4)轴:实轴 A1A2 虚轴 B1B2 (5)渐近线方程: (6)离心率: e
? c a
y ? ? a b x

例1:求双曲线 9 x ? 16 y ? 144 的实半轴长,虚半轴长, 焦点坐标,离心率.渐近线方程。
2 2

解: 把方程化为标准方程:
可得:实半轴长a=4 虚半轴长b=3
2 2

x 4

2 2

?

y 3

2 2

? 1

半焦距 c ? 4 ? 3 ? 5 焦点坐标是(-5,0),(5,0)

离心率:
渐近线方程:

e ?

c a

?

5 4

y ? ?

3 4

x

方程
2a 2b 范围 顶点 焦点 离心率 渐近线

x ? 8 y ? 32 9 x ? y ? 81
2 2 2 2

x ? y ? -4
2 2

x

2

?

y

2

? ?1

49

25

8

2

6 18
2

4 4

4
| x |? 4

10 14
|y|≥5

|x|≥3

|y|≥2

?? 4
e ?

? (±3,0) (0,±2) (0,±5) ? ? 6 , 0 ? ?? 3 10 ,0 ? ?0 , ? 2 2 ? ?0 , ? 74 ?
2 ,0
3 4 2

e ?
x

10

e ?

2

e ?

74 5

y ? ?

2 4

y=±3x

x ? ?y

x ? ?

7 5

y

例:已知双曲线的两个焦点的距离为26,双曲线上 一点到两个焦点的距离之差的绝对值为24,求双 曲线的方程。
设焦点 解: F1 , F 2 在 x 轴上 , 由题意知
2 2 2

2 c ? 26 , 2 a ? 24 .
2 2

? a ? 12 , c ? 13 , b ? c ? a ? 13 ? 12
x
2

? 25 .
y
2

故当焦点在

x 轴上时 , 双曲线的方程为

?

? 1.

144
当焦点在 y 轴上时 , 双曲线的方程为 y
2

25
x
2

?

? 1.

144

25

例 : 若一个动点
之差的绝对值为定值

P ( x , y ) 到两个定点

F1 ( ? 1, 0 ), F 2 (1, 0 )的距离
, 并说明轨迹的形状 .

a , 求点 P 的轨迹方程

解: | F1 F 2

|? 2 ,

(1)当 a ? 2 时 , 轨迹方程是 轨迹是两条射线 ;

y ? 0 ( x ? 1或 x ? ? 1 ),

( 2 )当 a ? 0 时 , 轨迹是线段
( 3 )当 0 ? a ? 2 时 , 轨迹方程是

F1 F 2 的垂直平分线
x a
2 2

x ? 0;
;

?

y 1?

2 2

? 1, 轨迹是双曲线

a

4

4

( 4 )当 a ? 2 时 , 无轨迹 .

例 : 在双曲线

x

2

16 9 故点 P 的坐标为

?

y

2

? 1 上求一点 48

它到右焦点的距离的两

3 P , 使它到左焦点的距离是 ,( ,? 119 ). 5 倍 .5
,

设 解一 P 点的坐标为

( x , y ), F1 , F 2 为双曲线的左右焦点

? a ? 4 , b ? 3 ,? c ? 5 , 又 | PF 1 |? 2 | PF 2 | .
? P 在双曲线的右支上
? | PF 1 | |x? 16 5
代入双曲线方程得

, 准线方程为
, ?

x ? ?

16 5

,
|? 5 4

? |

| PF |x?

2

| |

16 5

?

5 4

5 4

?| x ?

16 5

|? 2 ? | x ?

16 5

,

由此得 x ?
,y ? ? 3 5 119

48 5

,

例 : 在双曲线 ? 代入双曲线方程得 16 9 它到右焦点的距离的两

x

2

y

2

? 1 上求一点 ,y ? 倍.
1

?P , 使它到左焦点的距离是 119 5
2

3

3 设 P 点的坐标为 y ), , , 解二 P 的坐标为 (,x(, 48 F? F 为双曲线的左右焦点 故点 119 ).
? a ? 4 , b ? 3 ,? c5 ? 5 , 5 | PF 1 |? 2 | PF 2 | . 又
? P 在双曲线的右支上 , 准线方程为 x ? ? 16 5 ,

,

又 | PF 1 | ? | PF 2 |? 8 ,
? | PF 2 | |x? 16 5 | ? 8 |x? 16 5 | ? 5 4 ,

| PF 2 |? 8 , | PF 1 |? 16.
由此得 x ? 48 5 ,

例 : 在双曲线

x

2

故点 P 的坐标为 16 9

?

y

2

48 ? 1 上求一点 ,(
倍.

,?

3 P , 使它到左焦点的距离是 119 ). 5
,

它到右焦点的距离的两

5

设 解三 P 点的坐标为

( x , y ), F1 , F 2 为双曲线的左右焦点

? a ? 4 , b ? 3 ,? c ? 5 , 又 | PF 1 |? 2 | PF 2 | .
? P 在双曲线的右支上 , F1 ( ? 5 , 0 ), F 2 ( 5 , 0 ).
2 2

?

( x ? 5) ? y
2
2 2

2

? 2 ( x ? 5) ? y ,
x ? 48 5 ,

? x y ? ? ?1 由? 16 9 ?( x ? 5) 2 ? y 2 ? 4( x ? 5) 2 ? 4 y 2 ?

y ? ?

3 5

119

例 : 过点 P ( 8 ,1) 的直线与双曲线

x ? 4y
2

2

? 4 相交于 A , B

两点 , 且 P 是线段 AB 的中点 , 求直线 AB 的方程 .

解一 设直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 8 )
解方程组
2 2

? x ? 4 y ? 4, 得 ? ? y ? 1 ? k ( x ? 8)
2 2

(1 ? 4k ) x ? 8 k (1 ? 8k ) x ? 4 (1 ? 8 k ) ? 4 ? 0 ,
2

点 A , B 的坐标为

A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 y 2 ),

再由 x1 ? x 2 ? 16 , y 1 ? y 2 ? 2 解得 k ? 2 ,

直线 AB 的方程为

2 x ? y ? 15 ? 0 .

例 : 过点 P ( 8 ,1 ) 的直线与双曲线

x ? 4y
2

2

? 4 相交于 A , B

两点 , 且 P 是线段 AB 的中点 , 求直线 AB 的方程 .

设 解二: A ( x

1

, y 1 ), B ( x 2 y 2 ), 则 x1 ? 4 y 1 ? 4 , x 2 ? 4 y 2 ? 4 ,
2 2 2 2

由方程组

? x 12 ? 4 y 12 ? 4 得 ? 2 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4,

( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 2 ) ? 4 ( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) ? 0
? P ( 8 ,1) 是段 AB 的中点 ,? x 1 ? x 2 ? 16 , y 1 ? y 2 ? 2 .
? y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? x1 ? x 2 4 ( y1 ? y 2 ) ? 2,

故直线AB的斜率为2,
其方程为 : 2 x ? ? ? ( x ??8 0 . 即 y ? 1 y 2 15 )

例 : 过点 P ( 8 ,1) 的直线与双曲线

x ? 4y
2

2

? 4 相交于 A , B

两点 , 且 P 是线段 AB 的中点 , 求直线 AB 的方程 .

解三 设点
2

A 的坐标为

( x , y ), 则点 B 的坐标为

(16 ? x , 2 ? y )

? A , B 是双曲线上的点
2 2

,
2

? x ? 4 y ? 4 , (16 ? x ) ? 4 ( 2 ? y ) ? 4 ,
由方程组 ? x ? 4y ? 4 得 ? 2 2 ? (16 ? x ) ? 4 ( 2 ? y ) ? 4
2 2

直线 AB 的方程为

2 x ? y ? 15 ? 0 .

练习
) 设双曲线
F1 , F 2 , 点 P 在这双曲线上

1 .( 97 年广东省会考

x

2

?

y

2

? 1的两个焦点分别为

4
2 .( 01 年高考题 ) 双曲线 x
2

5

, 如果 PF 1 ? PF 2 , 那么 ? F1 PF 2 的面积为

5 _

?

y

2

? 1的两个焦点为

9
x
2 2

16

F1 , F 2 , 若 PF 1 ?

PF 2 , 则点 P 到 x 轴的距离为
3 .双曲线
4 .双曲线

_____
5

16

m ? 12
x
2

?

y

2 2

4?m

? 1的焦距是
_____, 2 5

8 _____
虚轴长为

?

y

2

? 1的实轴长为

4 ______,
5.

准线

5 4 5 ? ? 方程为 x ______ 渐近线方程为 32 2
5 .双曲线 x ? y 16 9

? 1 上一点 P , F1 F 2 是双曲线的两个焦点

2 _____ 离心率为 y ? ? 5 x. 5

3 e ? ______ 5

, 且 ? F1 PF 2 ?

?
3

则 ? F1 PF 2 的面积是

__________

9 3 . 看过程

图 形
y
F


F( p 2 p


,0 )

准 线
x ? ? p 2

标准方程
y
2

? 2 px

o y
F

x

( p ? 0) y
2

,0 ) o x F (? 2
F

x ?

p 2

? ? 2 px

( p ? 0)

y x

F (0,

p 2

)

y ? ?

p 2

x

2

? 2 py

o y o
F

( p ? 0)

x

F (0 ,?

p 2

)

y ?

p 2

x

2

? ? 2 py

( p ? 0)

练习:已知抛物线的焦点为F(-2,0)

准线方程x=2,则抛物线方程为(
A. y
2


1 4 y
2

? 4x

B. y

2

? ?8 x

C.

x ?

1 8

y

2

D.

x ? ?

解: 依题意得

,

p 2

? 2,2 p ? 8,

y

o

抛物线的方程为

y

2

? ?8 x

x

故选B.(如图)

例 : 已知抛物线关于

y 轴对称 , 顶点在坐标原点

, 并且

经过点 M ( 3 , ? 2 3 ), 求它的标准方程

解:

因抛物线关于 M ( 3 , ? 2 3 ).

y 轴对称 , 顶点在原点且过点

故可设抛物线方程为

x ? ? 2 Py ( P ? 0 ).
2

? 点 M 在抛物线上
2

,
3 4 .

? ( 3 ) ? ? 2 P ( ? 2 3 ), P ?

故所求抛物线方程为

,x

2

? ?

3 2

y.

例 : 抛物线的焦点

F 在 x 轴上 , 并且经过点 .
y
2

A ( m , ? 3 ),

| AF | ? 5 , 求抛物线方程

解一 设抛物线方程为
2

? 2 Px 或 y

2

? ? 2 Px ( P ? 0 ).

? 点 A ( m , ? 3 ) 在抛物线上
2

,
?m ? ? 9 2P ,

? ( ? 3 ) ? 2 Pm 或 ( ? 3 ) ? ? 2 Pm ,
由抛物线的定义得
? P 2 ? 9 2P ? 5, 即 P
2

| AF | ?

P 2

? | m |? 5
P ? 1或 P ? 9 .

? 10 P ? 9 ? 0 , 解这个方程得

故所求抛物线方程为

, y ? ? 2 x 或 y ? ? 18 x .
2 2

例 : 抛物线的焦点

F 在 x 轴上 , 并且经过点 .
2 2

A ( m , ? 3 ),

| AF | ? 5 , 求抛物线方程

解二 设抛物线方程为
? 点 A ( m , ? 3 ) 在抛物线上

y ? 2 Px 或 y ? ? 2 px ( P ? 0 ).
y

( 如图 ),
F o x A

? ( ? 3 ) ? 2 Pm
2

由焦点 F (

p 2

, 0 ) 得 | AF | ?

(m ?

p 2

) ?9 ? 5
2

解方程组

9 ? 2 pm ? ? p 2 得 p ? 1或 9 . ? ( m ? ) ? 9 ? 25 ? 2 ?
, y ? ? 2 x 或 y ? ? 18 x .
2 2

故所求抛物线方程为

例 : 抛物线的焦点

F 在 x 轴上 , 并且经过点 .
y
2

A ( m , ? 3 ),

| AF | ? 5 , 求抛物线方程

解三 设抛物线方程为
?| m | ? p 2
由抛物线的定义得

? 2 Px 或 y

2

? ? 2 Px ( P ? 0 ).
y

如图 , 作 AH ? x 轴 , 则 | AH |? 3 , | AF |? 5 , | FH |? 4

? 4 , 或 | m |?
| AF | ?

p
P 2

? 4.
F
H

2
? | m |? 5
o

x A

解方程组

p ? |m |? ? ?4 ? 9 2 得 | m | ? , P ? 1或 p ? 9 . ? p 2 ? |m |? ?5 2 ?

故所求抛物线方程为

, y ? ? 2 x 或 y ? ? 18 x .
2 2

例 : 过抛物线 交抛物线于

y

2

? 2 Px ( P ? 0 ) 的焦点 F 任作一条直线

l,

P1 , P2 两点 , 求证 : 以 P1 P2 为直径的圆和抛 .

物线的准线相切

P , 分别过 P1 , P , P2 作准线 l 的 垂线段 P1 Q 1 , PQ , P2 Q 2 , 根据抛物线的定义得 ,
| P1 F | ? | P1 Q 1 |, | P2 F |? | P2 Q 2 |,
Q1

证明: 设 P1 P2 的中点为

y P 1
Q

?| P1 P2 |? | P1 F | ? | P2 F |? | P1 Q 1 | ? | P2 Q 2 |,
1 2 1 2

? P1 Q 1 // PQ // P2 Q 2 , | P1 P |? | PP 2 |,
(| P1 Q 1 | ? | P2 Q 2 |) ? | P1 P2 |,

P
O
F

?| PQ | ?

Q2

x

P2

故 P1 , Q , P2 三点共圆 , 又 PQ ? l ,
所以 , 以 P1 P2 为直径的圆和抛物线的 准线相切 .

例: 如图 , 直线 y ? x ? 2 与抛物线
点 A , B , 求证 : OA ? OB .
2

y

2

? 2 x 相交于

y
B

证法 1 : 将 y ? x ? 2 代入 y ? 2 x 中 , 得 :

?x

? 2? ? 2x
2

x ? 6x ? 4 ? 0
2

o
A

x

x1 ? 3 ?

5 , x2 ? 3 ?

5.

y1 ? 1 ?

5 , y2 ? 1 ?

5.

?k
5 5

OB

?k

OA

? ?1

?k

OB

?

1? 3?

5 5

,k

OA

?

1? 3?

? OA ? OB .

证法2: 由证法 1得方程 :

x ? 6x ? 4 ? 0
2

由根与系数关系得
1 1 2

: x ? x ? 6, x x ? 4
1 2 1 2

? y ? x ? 2, y ? x ? 2
2

? y ? y ? ? x ? 2 ?? x ? 2 ?
1 2 1 2

? x x ? 2?x ? x
1 2 1

2

??

4

? 4 ? 12 ? 4 ? ? 4
?k
OB

?k

OA

?

y x

1

?

y x

2

?

? 4 4

? ? 1 ? OA ? OB .

1

2

练习 : 过抛物线

y

2

? 2 px 的焦点的一条直线和此

抛物
2

线相交 , 两个交点的纵坐标为

y 1 , y 2 , 求证 : y 1 y 2 ? ? p .

证明一

若 k 不存在则过焦点的直线 ? 设 k 存在则过焦点的直线为 y ? k? ?

即x ?
将上式代入

由此得 y ? p , k 2
.
2

1

2 y ?

p

p p? 方程为 x ? x ? ? , ? k ? 02?, 2 ?

y ? ? p,

p? ?y y ? 2 px , 得 y ? 2 p ? ? ? . 2? ?k
2
2

去分母后整理得
设这个方程的两根为 1 2

, ky

2

? 2 py ? kp

2

? 0.

? y y ? ?p

2 2 kp 2 y 1 , y 2 , 则有 y 1 y 2 ? ? ? ?p k

证明二: 设点 A ? x1 , y 1 ?, B ? x 2 , y 2 ?得 ,
y1 ? y2
y1 y2
2 2

?

AF BF

?

A A? BB?
2

?

x1 ? x2 ?

p 2 p 2
B?

y
A?

A

?

?x ?x
?

1

? ?

p 2 p 2

2

? ?

2

? y 1 ? 2 px 1 , y 2 ? 2 px 2
1
2

o

F

B

x

2

?

y1 y2

2 2

x1 x2

?x ? ?x
2

? ?
2

p 2 p 2

2

? ?

2

2

?

x1 x2

? x1 x 2 ?

p

2

4
2

?y y
2 1

2 2

? 4p x x ? p ? y y ? ?p
4 1 1 2

证明三:

连结 FA ' , FB ' ( 如图 )
A?

y
A

FA ' ? FB '
点 A' (?
k FA ' ? ? k FB ' ? ?

p 2
p

, y 1 ), 点 B ' ( ?
? y1 ? p y2 ? p ,

p 2

o

F

, y2 )

B?

B

x

y1 ? 0 ? p 2 2 y2 ? 0 p 2 ? p 2

?

,

由 k FA ' ? k FB ' ? ? 1得 ,

y1 y 2 ? ? p

2

抛物线焦点弦的几何性质:
过焦点的弦 AB 交抛物线于点
P 2

A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ).
y
A?

1.当AB垂直于对称轴时,称弦AB为通径,
|AB|=2P, 交点坐标
A( , P ), B ( P 2 , ? P );
2

A

H
B?

P
o
F

2 .两交点纵坐标有
3 .两交点横坐标有

y1 y 2 ? ? p ;
x1 x 2 ? p
2

x

l

B

;
1 2

4 4 .如图 , AA ' ? l , BB ' ? l , 则 FA ' ? FB ' ;
5 .如图 , P 为 AB 中点 , PH ? l 于 H , 则 PH ? | AB |;

6 .弦长 | AB |?

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 ) .
2 2

练习
1 .抛物线 y ? 6 x 的焦点坐标是
2

(

3

____ 准线方程是 2

,0 )

_____ 2.

x ? ?

3

2 .抛物线 y 的坐标是

2

? 4 x 上一点 P 到焦点 F 的距离是 10 , , 则 P 点

B _____
x 轴上 , 其上点 P ( ? 3 , m ) 到 __ ? ? 8 x y
2

( A )( ? 6 , 9 ); ( B )( 9 , ? 6 ); ( C )( 9 , 6 ); ( D )( 6 , 9 ).

3 .已知抛物线的焦点在 焦点的距离为
4 .已知抛物线 y
2

5 , 则标准方程是

? 6 x , 过点 P ( 4 ,1)引一条弦

, 使它恰在点

P

被平分 , 则这条弦所在的直线方

程是 _____ 3x

? y ? 11 ? 0

看答案

4 .已知抛物线

y

2

? 6 x , 过点 P ( 4 ,1)引一条弦

, 使它恰在点

P

被平分 , 则这条弦所在的直线方

3x 程是 _____?

y ? 11 ? 0
y A

解一: 如图,设所求直线方程为y-1=k(x-4)
? y ? 1 ? k ( x ? 4) 2 由? ? ky ? 6 y ? 6 ? 24 k ? 0 , 2 y ? 6x ?



y1 ? y 2 2

? 1, ? y 1 ? y 2 ?

6

? 2, k ? 3.

o

P(4,1) x
B

故所求直线方程为y - 1 = 3(x-4) 即 3x - y - 11 = 0. 解二: 如图,设所求直线方程为y-1=k(x-4)
点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 k ? y 2 ? y1 x 2 ? x1 ? y 2 ? y1
2

k

l

y2 6

又 y 1 ? y 2 ? 2 ,? k ?

6

?

y1 6

2

y 1 ? y 2 即得所求直线方程为

? 3.

4 .已知抛物线

y

2

? 6 x , 过点 P ( 4 ,1)引一条弦

, 使它恰在点

P

被平分 , 则这条弦所在的直线方
2

3x 程是 _____?

y ? 11 ? 0
y A

解三: 如图,设所求直线方程为y-1=k(x-4)
? y 1 ? 6 x1 点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 由 ? , 2 ? y2 ? 6 x2
o

( y 2 ? y 1 )( y 2 ? y 1 ) ? 6 ( x 2 ? x1 ) B l y 2 ? y1 又 y 1 ? y 2 ? 2 ,? k ? ? 3 . 即得所求直线方程为 x 2 ? x1

P(4,1) x

解四: 由(三)
y 2 ? y1 x 2 ? x1

y 1 ? y 2 ? 6 ( x 1 ? x 2 ) ? 48 ,
2 2

y 1 ? y 2 ? ? 22 , x 1 ? x 2 ?

121
2 2

,

k

2

? (

) ?
2

( y 2 ? y1 ) ? 4 y 2 ? y1 ( x 2 ? x1 ) ? 4 x 2 ? x1

9

K=3或-3 舍去-3得k=3
?9

4 .已知抛物线

y

2

? 6 x , 过点 P ( 4 ,1)引一条弦

, 使它恰在点

P

被平分 , 则这条弦所在的直线方

程是 _____
H K G

解五: 设点 A ( x , y ) 因P(4,1)是AB的中点, 则点B的坐标为 ( 8 ? x , 2 ? y )
? y ? 6x 由? 2 ( 2 ? y ) ? 6 (8 ? x ) ?
2

y

A
P(4,1) x

Y= 3x - 11
3 2

o

解六:

l

B

设点 A ( x , y ), 得点 B ( 8 ? x , 2 ? y ),
x ? ? , 故 P 到准线的距离为 | PK | ? 11 2

抛物线准线方程为

,

由 | AF | ? | BF |? | AH | ? | BG |? 2 | PK |
(x ? 3 2 ) ? y
2 2

?

(8 ? x ?

3 2

) ? (2 ? y )
2

2

? 11
THE END

3 x ? y ? 11 ? 0

?1 5 当 ? F1 PF 2 为钝角时 ? , 点 P 横坐标的取值范围是 ? 4 ? 9 解法一 设点 P 的坐标为
( x1 , y 1 ),
F1

yx 2 ? y 2 ? 5 ? ( 3 ) 椭圆 ? ? ? 1的焦点为 F1 , F 2 , P 3 为其上的动点 , 2 9 解方程组 ? 4x 2 得x ? ? 即得结果 . y x __
y

2

2

P o

S ? F1 PF 2 ? 4 ?
| y 1 |? 4 5

1 2

| F1 F 2 | ? | y 1 |
x1 9
2

F2

x

?

4 5

?1

?

3 5

? x ?

3 5

解法二 设点 P 的坐标为 ( x , y ), 又 PF 1 ? PF 2
y x? 5 ? y x? 5 ? ?1

x ? y ?5
2 2

( 3 ) 椭圆

x

2

?

y

2

? 1的焦点为

9

4

F1 , F 2 , P 为其上的动点 3

?

? x ?
y

3, 5

当 ? F1 PF 2 为钝角时

5 , 点 P 横坐标的取值范围是
( x , y ),
H

__
P

解法三
由 PF 1 PH

如图 , 设点 P 的坐标为

?

c a

? PF 1 ?

c a

?(

a

2

? x)

F1

o

F2

x

c

PF 1 ? 3 ?

5 3

x , PF 2 ? 6 ? ( 3 ?
5
2

5 3 5

x) ? 3 ?
2

5 3
2

x,

(3 ? x ) ? (3 ? x) ? (2 5 ) 由余弦 3 3 ?0 定理得: cos ? F1 PF 2 ? 2 (3 ? 5 x )( 3 ? 5 x) 3 3
返回

( 4 ) S 是椭圆? 或P
? F1 PF 2

x 1

2

那么 ? F1 PF 2 的面积为

64 2

? ? PF 1?| 1上一点 | ,sin , 60焦点 12 ? F1 PF 2 ? | ? | PF 2 F1 F 2 ? , 且 3 .
0

y

2

?
3

,

36

y

___

P

解一: a
3 2

? 8, b ? 6 , c ?

64 ? 36 ? 2 7
F1
M

作 F 2 M ? PF 1 于 M , 则 | F 2 M |? (16 ? m ) sin 60
? (16 ? m ), | PM | ? (16 ? m ) cos 60
2
0

如图 , 设 | PF 1 |? m 则 | PF 2 |? 16 ? m .

o
0

F2

x

?

1 2

(16 ? m ).
2 2

在直角三角形
2

F1 MF 2 中 , | F1 F 2 | ? | F1 M | ? | F 2 M | ,

? (4 7 ) ? [
1

1 2

(16 ? m ) ? m ] ? [
2

3 2

(16 ? m )] ,
2

m ? 4 或 12 ,
S ? F1 PF 2 ? 2

F2 M ? 2 3 或 6 3 ,

? | PF 1 | ? | F 2 M | ? 12

3.

( 4 ) P 是椭圆

x

2

?

y

2

64

36

? 1 上一点 , F1 , F 2 焦点 , 且 ? F1 PF 2 ?
y

?
3

,

那么 ? F1 PF 2 的面积为

___

P

解二: a

? 8, b ? 6 , c ?

64 ? 36 ? 2 7

如图 , 设 | PF 1 |? m , | PF 2 |? n , 则

F1

F2

x

由余弦定理得, m ? n ? 2 mn cos
2 2

?
3

? 112 , ①

又 m + n = 16 m2 +n2 +2mn = 256 ② 由①② mn=48 1 ?
S ? F1 PF 2 ? mnsin
2

? 12

3

2

3
? F1 PF 2 2

返回

可以证明

S ? F1 PF 2 ? b tan

1 .( 97 年广东省会考

) 设双曲线

x

2

?

y

2

? 1的两个焦点分别为
_

4
F1 , F 2 , 点 P 在这双曲线上

5
y

, 如果 PF 1 ? PF 2 , 那么 ? F1 PF 2 的面积为

解法一: 如图,由已知得
2

PF

1

? PF
2

2 2

? ? 2 c ? ? 36
2

P
F1
o F

x
2

PF ? PF ? 2 a ? 4
1
2

PF

1

? PF

2 2

? ? PF ? PF
1

2

?

2

? 2 PF PF
1

2

? 36 ? 16 ? 2 PF PF
1

2

PF PF ? 10
1 2

?S

? ABC

?

1 2

PF PF ? 5
1 2

1 .( 97 年广东省会考

) 设双曲线

x

2

?

y

2

? 1的两个焦点分别为
_

4
F1 , F 2 , 点 P 在这双曲线上

5

, 如果 PF 1 ? PF 2 , 那么 ? F1 PF 2 的面积为
y

解法二: 设点
2

? x 1 , y 1 ?, 又 F1 ? ? 3 , 0 ?, F 2 ?3 , 0 ?得 ,
P 的坐标为
2

P
F1
o F2

?x y ? ?1 ? 5 ? 4 ? y y ? ? ? ?1 ?x ? 3 x ? 3 ?
1 1 1 1 1 1

x

y ? ?
1

5 3

?S

? ABC

?

1 2

FF y ? 5
1 2 1

返回

5 .双曲线

x

2

? ? 3

y 9

2

? 1上一点 P , F F 是双曲线的两个焦点
1 2

,

16 且 ? F PF ?
1 2

, 则 ? F PF 的面积是
1 2

__________

y

解: a ? 4 , b ? 3 , c ? 16 ? 9 ? 5 .
在 ? F1 PF 2 中设 PF 1 ? m , PF 2 ? n .
F1
o F2

P

x

由余弦定理得:
m ? n ? 2 mn cos
2 2

?
2

3 2 又 | m ? n | ? 8 ? m ? n ? 2 mn ? 64 . ②

? F1 F 2

2

? 100 ①

mn ? 36
返回

? S ? F1 PF 2 ?

1 2

mn sin

?
3

?9 3

再见


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