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数学建模-新产品销量预测问题


销量预测问题
一、 摘要
本文通过建立微分方程模型,探讨了新产品进入市场后销售量变化的情况。 模型由简单到复杂、 由理想到现实,逐步利用广告对市场的限制探讨了产品销售 量变化的情况, 分析了广告费用对销售量产生的影响, 建立比较符合现实的模型。 问题一中,新产品的投入,没有市场竞争,有良好的市场环境,也有良好的 口碑,故属于较为简单的微分方程模型,可直接建立模型。 dx 问题二中,产品销售存在一定的市场容量 N, 统计表明 与该产品的潜在 dt 容量 N ? x(t ) 成正比,故建立阻滞增长模型求解。 问题三中, 则考虑了广告费用对产品销量的影响,分析了广告费用与销售速 率之间的关系,建立数学微分方程模型,并运用了 Matlab 软件编程求解。

二、 问题提出
一种新产品问世,经营者自然要关心产品的卖出情况。如何采取有效措施, 使得产品销量大,获取更大的利润,这是每个经营者最为关注的问题。
dx 1、设 t 时刻产品销量的增长率 dt 与 x(t ) 成正比, 预测 t 时的产品销量 x?t ? ;
dx 2、设考虑到产品销售存在一定的市场容量 N, 统计表明 dt 与该产品的潜在

容量 N ? x(t ) 成正比, 预测 t 时的产品销量 x?t ? ; 3、试考虑影响产品销量的广告因素,并建立模型,预测 t 时的产品销量 x?t ? .

三、 模型假设与符号系统

模型假设:
模型基本假设: ; 假设 1:在考虑影响商品销售的因素时,不考虑偶然因素,如经济、战争因 素、政治干预等; 假设 2:产品的销售量符合产品的生命周期; 假设 3:产品为日常用品,不是耐用品,每个人都需要。

符号系统:
x(t) 为 t 时刻新产品的销售量 a 为每件新产品的宣传效率 N 为市场的销售容量 b 为产品销售量的增长率与潜在容量的比例系数 s(t) 为商品 t 时刻的销售量(即新产品在此时刻一段时间的销售量,如七月份, 八月份的销售量,而不是总销售量) M(t) 为 t 时刻的广告费用 θ 为销售量本身的衰减系数 ? 为广告宣传对销售速率的影响 T 为商品销售速率最大的时刻

四、 模型的建立与求解

问题一模型的建立与求解:
模型的建立: t 时刻时,新产品的销售量为 x(t) ,把 x(t)当做连续、可微函数处理。 每件新产品都是宣传品,且单位时间内每件新产品能够使 a 件新产品被销售。 由假设可知: x(t+?t)-x(t)=ax(t) 即:
dx ? ax dt

开始时有 x0 件新产品被销售 x(0)= x0 整理得:
? dx ? ? ax ? dt ? ? x(0) ? x0

求解得:
x(t ) ? x0e at

问题二模型的建立与求解:
模型的建立: 事实上, x?t ? 往往是有上界的。针对模型上述欠缺,我们来修改 模型,统计表明

dx 与该产品的潜在销量成正比, 且设 b 为销售量的增长率与潜在 dt

销售量的比例系数 则:
dx ? b( N ? x(t )) dt

用 matlab 软件求解得:
x(t ) ? N (ebt ? 1) ? x0 ebt

问题三模型的建立与求解:
模型的建立:与实际情况比较,所得结果与真实销售量的增长情况比较相符。 然而事实上,厂家在产品销售之初,往往是通过广告、宣传等各种方式来推销其 产品的。因此我们需要做一下在广告干预下的模型。 另由图像分析可知 商品的销售速度与广告费用成正比,即 ds ? M (t ) dt 但是在市场趋于饱和,销售量趋于极限值 N 时,销售速度将会下降(广告作 用下降,当 s(t)趋近于 N,广告作用趋近于零) 。 产品生命周期一般分为四个阶段: 引入期:指新产品投入市场的初期阶段,也叫投入期。因这一阶段,用户对产品 不太了解,需要做大量的广告宣传工作,向用户推荐介绍产品,所以这一时期也 叫做介绍期。 成长期:市场销售量迅速增长的阶段。 成熟期: 销售量很大, 而且稳定, 增减幅度不大。 销售量最高点也是在这一时期。 衰退期:产品已经陈旧老化,销售量下降很快。 由产品的生命周期可知,自然衰退是商品销售速度的一种性质,即产品销售速 度随销售量的增加而下降。 ds s (t ) ? 1? dt N 由于商品本质属性中销售衰减期的存在,所以我们建立模型如下: ds(t ) s(t ) ? ?M (t )(1 ? ) ? ? s(t ) ? ? dt N 特别:M(t)=0,s(t)=N 时,得到

ds(t ) ? ?? s(t ) dt 若 M(t)复杂,则方程难以解出。考虑到销售速度与广告宣传的关系,当销 售进行到一定时刻, 无论如何做广告, 销售速度都将下降。 故设广告总费用为 m, 为讨论方便,设在 T 时间内做广告且取 M(t)=m/T,即取广告策略为:
?m ? (0 ? t ? T ) M (t ) ? ? T ? ?0(t ? T )

相当于在开始到 T 时间内,平均投入广告费用,时间 T 后不再作广告。 代入方程: 当 0<t<T 时,
ds(t ) m s (t ) ? ? (1 ? ) ? ? s(t ) ? ? dt T N

??

m m ? (? ? ? ) s(t ) T TM (0<t<T)


p ?? ?? m TM

q??

m T

则方程化为一阶非齐次线性方程 ds(t ) ? ps(t ) ? q dt 得:

s (t ) ? ce ? pt ?
若 s(0)=s0,则 c=s0-q/p, 从而

q p

q q s(t ) ? ( s0 ? )e? pt ? p p
?
当 t>T 时,由 得:, s'(t)=- ? s(t)

q (1 ? e? pt ) ? s0e? pt p

s(t)=

ce ? pt

当 t=T 时,由 s=s(T)= sN ,由(1)算出得

s(t ) ? sne? (T ?t )


?q ? pt ? pt (1 ? e ) ? s ce (0 ? t ? T ) 0 ?p s (t ) ? ? ? s e? (T ?t ) (t ? T ) ? N


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