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江西省师大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


江西省师大附中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项符合题目要求) 1. (5 分)直线 A.30° 的倾斜角是() B.120° C.135° D.150°

2. (5 分)椭圆的长轴为 2,离心率为 ,则其短半轴为() A. B. C. D.

3. (5 分)直线 l1:ax+2y﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行,则() A.a=1 或 a=2 B.a=1 或 a=﹣2 C.a=1 D.a=﹣2 4. (5 分)经过抛物线 y =4x 的焦点且垂直于直线 3x﹣2y=0 的直线 l 的方程是() A.3x﹣2y﹣3=0 B.6x﹣4y﹣3=0 C.2x+3y﹣2=0 D.2x+3y﹣1=0 5. (5 分)已知圆 C:x +y +mx﹣4=0 上存在两点关于直线 x﹣y+3=0 对称,则实数 m 的值() A.8 B . ﹣4 C. 6 D.无法确定
2 2 2

6. (5 分)设正数 x,y 满足 A.3 B. 4

,则 4x+6y﹣1 的最大值为() C. 5 D.6 ,|PF2|=2|PF1|,则该双

7. (5 分)在焦点分别为 F1、F2 的双曲线上有一点 P,若∠F1PF2= 曲线的离心率等于() A. B.

C. 2

D.

8. (5 分)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()

A.3

B. 2
2

C.
2

D.
2

9. (5 分)如图,过抛物线 x =4y 焦点的直线依次交抛物线与圆 x +(y﹣1) =1 于点 A、B、 C、D,则|AB|×|CD|的值是()

A.8

B. 4

C. 2

D.1

10. (5 分)已知椭圆

+

=1(a>0,b>0) ,M,N 是椭圆上关于原点对称的两点,P 是椭 ,则椭

圆上的动点,且直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2,k1k2≠0,若|k1|+|k2|的最小值为 圆的离心率为() A. B. C. D.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 2 11. (5 分)抛物线 y=ax 的准线方程是 y=2,则 a 的值为. 12. (5 分)过点 A(1,2)且与圆 x +y =1 相切的直线方程是.
2 2

13. (5 分)若椭圆 则该椭圆的方程为.

过抛物线 y =8x 的焦点,且与双曲线 x ﹣y =1 有相同的焦点,

2

2

2

14. (5 分)若椭圆 .

的离心率等于

,则 m=.

15. (5 分)如图,平行光线与水平地面成 30°角,已知足球在地面上的影子是椭圆形,则该椭 圆的离心率为.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16. (12 分)定义直线 y=± x 为双曲线
2 2



=1(a>0,b>0)的渐近线.已知圆 C 与双曲

线 x ﹣y =1 的渐近线相切于点 P(2,﹣2) ,且圆心 C 在直线 y=﹣3x 上,求圆 C 的方程. 17. (12 分)点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x+6=0 的距离小 2. (1)求点 M 的轨迹方程; (2)若直线 y=x﹣5 与(1)中的轨迹交于 A、B 两点,求线段 AB 的长度.

18. (12 分)抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线



=1(a>0,b>0)的一个焦点,

并与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为( ,

) ,求抛物线与双曲线方程.

19. (12 分)中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线经过 P( 3,﹣4

) 、Q(

,5 )两

点. (1)求双曲线的方程; (2) 设 F1、 F2 是双曲线的两个焦点, M 是双曲线上位于第一象限的一点, 且满足∠F1MF2=60°, 求点 M 的坐标.

20. (13 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,其中左焦点 F(﹣2,0) .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 2 2 (Ⅱ)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于两个不同的两点 A,B,且线段的中点 M 总在圆 x +y =1 的内部,求实数 m 的取值范围. 21. (14 分)已知 B、C 是两个定点,|BC|=8,且△ ABC 的周长等于 18.设顶点 A 的轨迹为 曲线 M. (1)求曲线 M 的方程; (2)设 O 为 BC 的中点,直线 AB 与曲线 M 的另一个交点为 D,求△ OAD 面积的最大值.

江西省师大附中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项符合题目要求) 1. (5 分)直线 的倾斜角是()

A.30°

B.120°

C.135°

D.150°

考点: 直线的倾斜角. 专题: 计算题. 分析: 把已知直线的方程变形后,找出直线的斜率,根据直线斜率与倾斜角的关系,即直 线的斜率等于倾斜角的正切值,得到倾斜角的正切值,由倾斜角的范围,利用特殊角的三角函 数值即可求出倾斜角的度数. 解答: 解:由直线 所以该直线的斜率 k=﹣ 变形得:y=﹣ x+ , ,

,设直线的倾斜角为 α,即 tanα=﹣

∵α∈(0,180°) , ∴α=150°. 故选 D. 点评: 此题考查了直线的倾斜角,以及特殊角的三角函数值.熟练掌握直线倾斜角与斜率 的关系是解本题的关键,同时注意直线倾斜角的范围.

2. (5 分)椭圆的长轴为 2,离心率为 ,则其短半轴为() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由已知可得:a=1, = ,再利用 b =a ﹣c 即可得出. 解答: 解:由已知可得:a=1, = , ∴c= . ∴b =a ﹣c = , ∴b= ,
2 2 2 2 2 2

故选:C. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质,属于基础题. 3. (5 分)直线 l1:ax+2y﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行,则() A.a=1 或 a=2 B.a=1 或 a=﹣2 C.a=1 D.a=﹣2 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 直线与圆. 由平行关系可得 a(a+1)=2×1,解方程验证可得. 解:∵直线 l1:ax+2y﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行,

∴a(a+1)=2×1,解得 a=1 或 a=﹣2. 经检验,a=1 或 a=﹣2 均符合题意. 故选 B. 点评: 本题考查直线的一般式方程和平行关系,属基础题. 4. (5 分)经过抛物线 y =4x 的焦点且垂直于直线 3x﹣2y=0 的直线 l 的方程是() A.3x﹣2y﹣3=0 B.6x﹣4y﹣3=0 C.2x+3y﹣2=0 D.2x+3y﹣1=0 考点: 专题: 分析: 解答: 抛物线的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 设出垂线方程,求出焦点坐标,然后求解即可. 解:设垂直于直线 3x﹣2y=0 的直线 l 的方程为 2x+3y+c=0,
2 2

由于直线 l 经过抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0) , 所以 c=﹣2. 故选 C. 点评: 本题考查抛物线的基本性质,直线方程的应用,考查计算能力. 5. (5 分)已知圆 C:x +y +mx﹣4=0 上存在两点关于直线 x﹣y+3=0 对称,则实数 m 的值() A.8 B . ﹣4 C. 6 D.无法确定 考点: 直线和圆的方程的应用;恒过定点的直线. 专题: 计算题. 分析: 因为圆上两点 A、 B 关于直线 x﹣y+3=0 对称, 所以直线 x﹣y+3=0 过圆心 (﹣ , 0) , 由此可求出 m 的值. 解答: 解:因为圆上两点 A、B 关于直线 x﹣y+3=0 对称, 所以直线 x﹣y+3=0 过圆心(﹣ ,0) , 从而﹣ +3=0,即 m=6. 故选 C. 点评: 本题考查圆的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.
2 2

6. (5 分)设正数 x,y 满足 A.3 B. 4

,则 4x+6y﹣1 的最大值为() C. 5 D.6

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 画出约束条件表示的可行域,求出最优解,然后求解最值.

解答: 解:如图,作出

的可行域,由

,解得

由图及目标函数得最优解为 P(1,0.5) ,将 x=1,y=0.5 代入 目标函数 z=4x+6y﹣1 得 6, 故选 D

点评: 本题考查线性规划的应用,正确画出可行域是解题的关键,考查基本知识的应用.

7. (5 分)在焦点分别为 F1、F2 的双曲线上有一点 P,若∠F1PF2= 曲线的离心率等于() A. B. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设|PF2|=2|PF1|=2m, 利用∠F1PF2=

,|PF2|=2|PF1|,则该双

C. 2

D.

, 推出 m、 c 的关系式. 通过双曲线的定义知|PF2|

﹣|PF1|=2a,推出 c 与 a 的方程.即可求解离心率. 解答: 解:不妨设|PF2|=2|PF1|=2m, 则由∠F1PF2= ∴5m =4c ,m=
2 2

得|PF2| +|PF1| =(2c) c.

2

2

2

又由双曲线的定义知|PF2|﹣|PF1|=2a,∴m=2a,∵m= ∴c= a. .

c

离心率 e= =

故选:D. 点评: 本题考查双曲线的基本性质以及双曲线的定义的应用,考查计算能力. 8. (5 分)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()

A.3

B. 2

C.

D.

考点: 圆锥曲线的共同特征. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据 M,N 是双曲线的两顶点,M,O,N 将椭圆长轴四等分,可得椭圆的长轴长是 双曲线实轴长的 2 倍, 利用双曲线与椭圆有公共焦点, 即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值. 解答: 解:∵M,N 是双曲线的两顶点,M,O,N 将椭圆长轴四等分 ∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的 2 倍 ∵双曲线与椭圆有公共焦点, ∴双曲线与椭圆的离心率的比值是 2 故选 B. 点评: 本题考查椭圆、双曲线的几何性质,解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴 长的 2 倍. 9. (5 分)如图,过抛物线 x =4y 焦点的直线依次交抛物线与圆 x +(y﹣1) =1 于点 A、B、 C、D,则|AB|×|CD|的值是()
2 2 2

A.8

B. 4

C. 2

D.1

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 方法一:特殊化,取过焦点的直线 y=1,求出直线依次交抛物线与圆的点,计算 |AB|×|CD|的值; 2 方法二:设过抛物线焦点 F 的直线 y=kx+1,与 x =4y 联立,求出|AB|、|CD|的乘积来. 2 解答: 解:方法一:特殊化,抛物线 x =4y 的焦点是 F(0,1) , 2 2 取过焦点的直线 y=1,依次交抛物线与圆 x +(y﹣1) =1 的点是 A(﹣2,1) 、B(﹣1,1) 、C(1,1) 、D(2,1) , ∴|AB|×|CD|=1×1=1; 法二:∵抛物线焦点为 F(0,1) , ∴设直线为 y=kx+1, 2 直线与 x =4y 联立得: 2 2 y ﹣(4k +2)y+1=0; ∵|AB|=|AF|﹣1=yA,

|CD|=|DF|﹣1=yB; ∴|AB|?|CD|=yAyB=1. 故选:D. 点评: 本题考查了直线与圆的应用问题,也考查了直线与抛物线的应用问题,是中档题目.

10. (5 分)已知椭圆

+

=1(a>0,b>0) ,M,N 是椭圆上关于原点对称的两点,P 是椭 ,则椭

圆上的动点,且直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2,k1k2≠0,若|k1|+|k2|的最小值为 圆的离心率为() A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 M(x0,y0) ,N(﹣x0,﹣y0) ,P(x,y) ,可得 k1= ,k2= .由于 M、

N、P 都在椭圆

+

=1 上,可得 =

=1,

+

=1,相减可得|k1|?|k2|= = ,即可得出.

.再利用基本

不等式的性质可得|k1|+|k2|≥2

.可得

解答: 解:设 M(x0,y0) ,N(﹣x0,﹣y0) ,P(x,y) , 则 k1= ,k2= .

又∵M、N、P 都在椭圆

+

=1 上,



=1,

+

=1,



=0,







=﹣

k2,即|k1|?|k2|= =



又∵|k1|+|k2|≥2





=
2

,即 2b =a ,
2 2 2 2

2

2

∴2(a ﹣c )=a ,即 2c =a , ∴ = ,即 e = ,
2

∴e=



答案 D. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、基本不等式的性质,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11. (5 分)抛物线 y=ax 的准线方程是 y=2,则 a 的值为﹣ .
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 首先把抛物线方程转化为标准方程 x =my 的形式,再根据其准线方程为 y=﹣ ,即 可求之. 解答: 解:抛物线 y=ax 的标准方程是 x = y, 则其准线方程为 y=﹣ 所以 a=﹣ . 故答案为:﹣ . 点评: 此题考查了抛物线的简单性质,是一道基础题,也是高考常考的题型,找出抛物线 标准方程中的 p 值是解本题的关键,要求学生掌握抛物线的标准方程. 12. (5 分)过点 A(1,2)且与圆 x +y =1 相切的直线方程是 3x﹣4y+5=0 或 x=1. 考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径求出方程,当直线的斜率不存在时 验证即可. 解答: 解:设切线方程为 y﹣2=k(x﹣1) ,即 kx﹣y+2﹣k=0. 由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离等于半径,即 其方程为 3x﹣4y+5=0. 又,当斜率不存在时,切线方程为 x=1. 故答案为:3x﹣4y+5=0 或 x=1. =1,解得 k= ,
2 2 2 2 2

=2,

点评: 本题考查圆的切线方程的求法,注意斜率是否存在是解题的关键,也是易错点.

13. (5 分)若椭圆

过抛物线 y =8x 的焦点,且与双曲线 x ﹣y =1 有相同的焦点,

2

2

2

则该椭圆的方程为



考点: 椭圆的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求得抛物线、双曲线的焦点坐标,从而可得椭圆的几何量,由此可得结论. 解答: 解:抛物线 y =8x 的焦点坐标为(2,0) ,双曲线 x ﹣y =1 的焦点坐标为(
2 2 2 2 2

,0)

由题意,

,∴a =4,b =2

∴椭圆的方程为

故答案为: 点评: 本题考查抛物线、双曲线、椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.

14. (5 分)若椭圆 .

的离心率等于

,则 m=1 或 16.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 对 m 进行分类讨论,分别看 m>4 和 m<4 时,求得 a,b 和 c,进而表示出椭圆的离 心率求得 m 的值. 解答: 解:当 m>4 时,a= ,b=2 则 c=

∴e=

=

求得 m=16

当 m<4 时,a=2,b= e= = 求得 m=1

,则 c=

故答案为:1 或 16

点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.在解决圆锥曲线的问题时,注意对曲线的焦点在 x 轴和 y 轴两种情况进行分类讨论. 15. (5 分)如图,平行光线与水平地面成 30°角,已知足球在地面上的影子是椭圆形,则该椭 圆的离心率为 .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 首先要弄懂椭圆产生的原理,根据原理来解决三角形的边角关系,利用离心率公式 求的结果. 解答: 解:已知桌面上有一个球,半径为 R,一束平行光线与桌面成 θ( )角,

则球在桌面上的投影椭圆的离心率 e=cosθ. 如图,l1 和 l2 是两条与球相切的光线,分别切于点 A 和点 C,分别与桌面交于点 B 和点 D, 则 AC 就是球的直径,BD 的长就是椭圆的长轴长.过点 A 作 AE∥BD,交 l2 于点 E,则 BD=AE.在 Rt△ AEC 中,因为∠AEC=θ,所以 AE= ,即 ,

又因为 b=R,所以



所以 e=cosθ=cos30°= 故答案为:



点评: 本题考查的知识点:椭圆产生的原理,a、b、c 的关系式,求椭圆的离心率. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (12 分)定义直线 y=± x 为双曲线
2 2



=1(a>0,b>0)的渐近线.已知圆 C 与双曲

线 x ﹣y =1 的渐近线相切于点 P(2,﹣2) ,且圆心 C 在直线 y=﹣3x 上,求圆 C 的方程.

考点: 椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 设圆的标准方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r ,则

2

2

2



由此能求出圆的方程. 2 2 解答: 解:双曲线 x ﹣y =1 的渐近线为 y=±x 2 2 2 设圆的标准方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r ,





解得 a=1,b=﹣3,r= . 2 2 ∴圆的方程为(x﹣1) +(y+3) =2. 点评: 本题考查圆的方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意圆的性质的合理运 用. 17. (12 分)点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x+6=0 的距离小 2. (1)求点 M 的轨迹方程; (2)若直线 y=x﹣5 与(1)中的轨迹交于 A、B 两点,求线段 AB 的长度. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;轨迹方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意得,点 M 到直线 x=﹣4 的距离和它到点(4,0)的距离相等,故点 M 的轨迹是以点(4,0)为焦点,以直线 x=﹣4 为准线的抛物线. (2 设交点 A,B 的坐标分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由 得:x ﹣26x+25=0,
2

利用弦长公式或两点间的距离公式,求出线段 AB 的长. 解答: 解: (1)由题意可知:点 M 到点 F(4,0)的距离与它到直线 l:x+4=0 的距离相等, 故点 M 的轨迹是以 F 为焦点的抛物线. 由 =4 得 p=8,所以其方程为 y =16x. (2)法一 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则|AB|=|x1﹣x2| 由 得:x ﹣26x+25=0,∴x1+x2=26,x1x2=25, = =24,
2 2

=

|x1﹣x2|

所以|x1﹣x2|= 于是|AB|= |x1﹣x2|=24 . 法二 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)



得:x ﹣26x+25=0,解得 x1=1,x2=25.所以 A(1,﹣4) ,B(25,20) ,

2

从而|AB|=

=24



点评: 本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,直线与圆锥曲线的 综合应用能力,综合性强,是高考的重点,易错点是知识体系不牢固.本题具体涉及到轨迹方 程的求法及直线与双曲线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.

18. (12 分)抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线



=1(a>0,b>0)的一个焦点,

并与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为( ,

) ,求抛物线与双曲线方程.

考点: 抛物线的标准方程;双曲线的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点,可得 p=2c,再利用抛物线与双曲线同过交 点( , ) ,求出 c、p 的值,进而结合双曲线的性质 a +b =c ,求解即可.
2 2 2

解答: 解: 由题设知, 抛物线以双曲线的右焦点为焦点, 准线过双曲线的左焦点, ∴p=2c. 设 2 抛物线方程为 y =4c?x, ∵抛物线过点( , ) ,∴6=4c? .
2

∴c=1,故抛物线方程为 y =4x. 又双曲线 ﹣ =1 过点( , ) ,





=1.又 a +b =c =1,∴
2

2

2

2



=1.

∴a = 或 a =9(舍) . ∴b = ,
2

2

故双曲线方程为:4x ﹣

2

=1.

点评: 本题考查了抛物线和双曲线方程的求法:待定系数法,熟练掌握圆锥曲线的性质是 解题的关键,同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧.

19. (12 分)中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线经过 P( 3,﹣4 点.

) 、Q(

,5 )两

(1)求双曲线的方程; (2) 设 F1、 F2 是双曲线的两个焦点, M 是双曲线上位于第一象限的一点, 且满足∠F1MF2=60°, 求点 M 的坐标. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)待定系数法,即可求得所求方程; (2)设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线的定义及余弦定理可得: 进而可求得点 M 的坐标. 解答: 解: (1)设双曲线的方程为 Ax ﹣By =1,则 解得:A=﹣ ,B=﹣
2 2

,解得 m、n,



所以所求方程为



=1.

(2)如图,设|MF1|=m,|MF2|=n,则由双曲线的定义及余弦定理可得:

,解得:m=

﹣4,n=

+4

设 M(x,y) ,则由

,解得:x=±

,y=



由于点 M 在第一象限,故 M(



) .

点评: 本题主要考查双曲线的定义及标准方程等知识,考查学生余弦定理的应用能力及分 析问题、解决问题的努力,属于中档题.

20. (13 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,其中左焦点 F(﹣2,0) .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 2 2 (Ⅱ)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于两个不同的两点 A,B,且线段的中点 M 总在圆 x +y =1 的内部,求实数 m 的取值范围. 考点: 椭圆的简单性质. 分析: (Ⅰ)由椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,其中左焦点 F(﹣2,0) ,

建立方程组,求出 a,b,由此能够得到椭圆 C 的方程. (Ⅱ)设点 A、B 的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,线段 AB 的中点为 M(x0,y0) ,由直 2 2 线代入椭圆方程消 y 得,3x +4mx+2m ﹣8=0,再由根的判断式结合题设条件能够得到 m 的取 值范围. 解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆的离心率为 ,其中左焦点 F(﹣2,0) .





∴a=2

,b=2, ;

∴椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)设点 A、B 的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,线段 AB 的中点为 M(x0,y0) , 2 2 由直线代入椭圆方程消 y 得,3x +4mx+2m ﹣8=0, 2 △ =96﹣8m >0,∴﹣2 <m<2 . ∴x0= =﹣ ,y0=x0+m= .
2 2

∵点 M(x0,y0)在圆 x +y =1 上的内部, ∴(﹣ ∴﹣ ) +( ) <1, <m< .
2 2

点评: 本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用,解题时要认真审题, 注意挖掘题设中的隐含条件. 21. (14 分)已知 B、C 是两个定点,|BC|=8,且△ ABC 的周长等于 18.设顶点 A 的轨迹为 曲线 M. (1)求曲线 M 的方程; (2)设 O 为 BC 的中点,直线 AB 与曲线 M 的另一个交点为 D,求△ OAD 面积的最大值.

考点: 轨迹方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1) 由已知利用椭圆的定义可知点 A 的轨迹是以 B、 C 为焦点的椭圆, 且 2c=8, 2a=10, 即 c=4,a=5,由此能求出点 A 的轨迹方程. (2)当直线 AD 的斜率不存在时,S△ AOD= ;当直线 AD 的斜率存在时,设 A(x1,y1) ,

D(x2,y2) ,直线 AD 的方程为 y=k(x+4) , 由

,得: (25k +9)x +200k x+400k

2

2

2

2

﹣225=0,由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式能求出△ OAD 面积的最大值. 解答: 解: (1)由已知得|AB|+|AC|=10, 由椭圆的定义可知点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆,且 2c=8,2a=10,即 c=4,a=5, 2 2 2 所以 b =a ﹣c =9. 如图建立直角坐标系,以 BC 所在直线为 x 轴,BC 中点为坐标原点. 当点 A 在直线 BC 上,即 y=0 时,A、B、C 不能构成三角形. 因此,点 A 的轨迹方程是 + =1(y≠0) . ,点 O 到直线 AD 的距离 d=4,所以

(2)①当直线 AD 的斜率不存在时,由已知得|AD|= S△ AOD= ;

②当直线 AD 的斜率存在时,设 A(x1,y1) ,D(x2,y2) ,直线 AD 的方程为 y=k(x+4) , 则由 ,得: (25k +9)x +200k x+400k ﹣225=0
2 2 2 2

所以 x1+x2=﹣ 于是|AD|=|x1﹣x2| =

,x1x2=



=

×

=

=



又点 O 到直线 AD 的距离 d=



所以 S△ AOD= |AD|d=180? 令 =t,则



S△ AOD=180?

=180?

=20?

=



=

当 由 >

=

,即

时取等号.此时, .



知,S△ AOD 的最大值为

点评: 本题考查曲线方程的求法,考查三角形面积的最大值的求法,解题时要认真审题, 注意韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用.


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