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高二数学选修2-1试题


高二数学选修 2—1 综合测试题 一、选择题 1. “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B. p 、 q 均为假命题 D. p 、 q 至少有一个是真命题

2.若 p?q 是假命题,则( A. p 是真命题, q 是假命

题 C. p 、 q 至少有一个是假命题

3. F 1 , F2 是距离为 6 的两定点,动点 M 满足∣ MF 1 ∣+∣ MF2 ∣=6,则 M 点的轨迹是 ( ) A.椭圆 4. 双曲线 A. y ? ? B.直线 C.线段 ) C. y ? ? D.圆

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为( 16 9
B. y ? ?

16 x 9

9 x 16

3 x 4

D. y ? ?

4 x 3

5. 中心在原点的双曲线, 一个焦点为 F (0 , 3) , 一个焦点到最近顶点的距离是 3 ? 1 , 则双曲线的方程是( A. y ?
2

) B. x ?
2

x2 ?1 2

y2 ?1 2

C. x ?
2

y2 ?1 2

D. y ?
2

x2 ?1 2

6.已知正方形 ABCD 的顶点 A, B 为椭圆的焦点,顶点 C , D 在椭圆上,则此椭圆的离 心率为( A. 2 ? 1 ) B.

2 2

C. 2 ? 1

D. 2 ? 2

7.椭圆

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则 a 的值为( 4 a a 2
B. 2 C.2 D.3



A.1

y2 ? x 2 ? 1 有共同的渐近线, 8. 与双曲线 且过点 (2, 2) 的双曲线标准方程为 ( 4
(A)



y2 x2 ? ?1 3 12

(B)

x2 y2 ? ?1 3 12

(C)

y2 x2 ? ?1 2 8

(D)

x2 y2 ? ?1 2 8

9.已知 A(-1,-2,6) ,B(1,2,-6)O 为坐标原点,则向量 OA, 与OB 的夹角是 ( A.0 ) B.

? 2

C. ?

D.

3? 2

1

10.与向量 a ? (1, ?3, 2) 平行的一个向量的坐标是 A. (



) D. ( 2, -3, -2 2 )

1 1 3 ,1,1) B. (-1,-3,2) C. (- , ,-1) 3 2 2

11.已知圆 C 与直线 x ? y ? 0 及 x ? y ? 4 ? 0 都相切,圆心在直线 x ? y ? 0 上,则 圆 C 的方程为(
2 2

) B. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

A. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 C. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

12.若直线 x ? y ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? m 相切,则 m 的值为( A. 0 二、填空题 B. 1 C. 2 D. 0 或 2



13.直线 y ? x 被圆 x ? ( y ? 2) ? 4 截得的弦长为_______________.
2 2

14.已知椭圆 x 2 ? ky 2 ? 3k (k ? 0)的一个焦点与抛物线 y 2 ? 12x 的焦点重合,则该 椭圆的离心率是 15.已知方程 .

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为___________ 3? k 2?k

16 .在正方体 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1 中, E 为 A1 B1 的中点,则异面直线 D1 E 和 BC1 间的距 离 . 三、解答题 17.求过点(-1,6)与圆 x +y +6x-4y+9=0 相切的直线方程.
2 2

18.求渐近线方程为 y ? ?

3 x ,且过点 A(2 3,?3) 的双曲线的标准方程及离心率。 4

2

19.求与 x 轴相切,圆心 C 在直线 3x-y=0 上,且截直线 x-y=0 得的弦长为 2 7 的 圆的方程.

20.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距 离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值.

21.已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2 6 ,椭圆 C 上任意一点到椭圆两 a2 b2

个焦点的距离之和为 6. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C 交于 A, B 两点,点 P (0,1) ,且 PA = PB ,求 直线 l 的方程.

3

22.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 底面 ABCD ,底 面 ABCD 为正方形, PD ? DC , E , F 分别是 AB, PB 的中 点. (1)求证: EF ? CD ; (2)在平面 PAD 内求一点 G ,使 GF ? 平面 PCB ,并证明你 的结论; (3)求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值. A

P

F D C

E

B

4

参考答案 1. 试题分析: x2 ? 3x ? 2 ? 0 ? ( x ?1)( x ? 2) ? 0 , 则 x ? 1且 x ? 2 ; 反之,x ? 1 且 x ? 2 时, x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,故选 B.

q 都是真命题 ? p?q 是真命题, 2. 试题分析: 当p、 其逆否命题为: p?q 是假命题 ? p 、 q 至少有一个是假命题,可得 C 正确.
3.解题分析:因为 F 1 , F2 是距离为 6,动点 M 满足∣ MF 1 ∣+∣ MF2 ∣=6,所以 M 点的轨 迹是线段 F1F2 。故选 C。 4.因为双曲线

x2 y 2 3 ? ? 1 ,a=4,b=3,c=5,则其渐近线方程为 y ? ? x 4 ,选 C. 16 9

5.A 试题分析:由焦点为 F (0 , 3) ,所以,双曲线的焦点在 y 轴上,且 c = 3 ,焦点到 最近顶点的距离是 3 ? 1 ,所以, a = 3 -( 3 ? 1 )=1,所以, b ?
2

c2 ? a2 = 2 ,

x2 ? 1.本题容易错选 B,没看清楚焦点的位置,注意区分. 所以,双曲线方程为: y ? 2
6.A 试题分析:设正方形 ABCD 的边长为 1,则根据题意知,2c ? 1,? c ?

1 , 2a ? 1 ? 2, 2

1 1 1? 2 ,所以椭圆的离心率为 2 ?a ? ? ? 2 ? 1. 2 2 ?1 2 ?1 2
x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,所以 a ? 0 , 7.A 试题分析:因为椭圆 4 a2 a 2
2 且椭圆的焦点应该在 x 轴上,所以 4 ? a ? a ? 2,? a ? ?2, 或a ? 1. 因为 a ? 0 ,所以 a ? 1.

8.B 试题分析:设所求的双曲线方程为

y2 ? x 2 ? ? ,因为过点(2,2) ,代入可得 ? ? ?3 , 4

所以所求双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1. 3 12
a ?b | a |?|b |
=-1.所以量 OA, 与OB 的夹角是 ? .

9.试题分析: 应用向量的夹角公式 cos ? ?

10.C 试题分析:向量的共线(平行)问题,可利用空间向量共线定理写成数乘的形式.即

5

b ? 0, a // b ? a ? ?b .也可直接运用坐标运算。
11.B 试题分析:因圆心在直线 x ? y ? 0 上,而点(1,1)和点(-1,-1)不在直线上,故 C、D 错;又直线 x ? y ? 0 及 x ? y ? 4 ? 0 平行,且都与圆相切,故圆心在第四象限,故 A 错,选 B.或用直接法求解亦可. 12.C 试题分析:根据题意,由于直线 x ? y ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? m 相切,则圆心(0,0)到 直线 x+y=m 的距离为

|m| = m ,则可知得到参数 m 的值为 2,故答案为 C. 2

13. 2 2 试题分析:由弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形,应用勾股定理得, 直线 y ? x 被圆 x ? ( y ? 2) ? 4 截得的弦长为 2 22 ? (
2 2

| ?2 | 2 ) ?2 2。 2

14 . e ?

x2 y 2 3 ? ?1 试 题 分 析 : 抛 物 线 的 焦 点 为 F (3, 0) , 椭 圆 的 方 程 为 : 3k 3 2

3k ? 3 ? 9 ? k ? 4 ,所以离心率 e ?

3 2 3

?

3 . 2

? 3? k ? 0 1 1 ? x2 y2 (?3, ? ) (? , 2) 试题分析: 15. 方程 需要满足 ? 2 ? k ? 0 , ? ? 1 表示椭圆, 2 2 3? k 2?k ?3 ? k ? 2 ? k ?
解得 k 的取值范围为 (?3, ? ) 16.

1 2

1 (? , 2) . 2

2 6 试题分析:设正方体棱长为 2 ,以 D1 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 3

?nD ? E1 ? 0 ? C1 B ? (2,0, 2) , 则 D1 E ? (2,1,0) , 设 D1 E 和 BC1 公垂线段上的向量为 n ? (1, ? , ? ) , 则? , ?B 1 ? 0 ? ? nC

即?

D1C1 ? n ? 2?? ? 0 ? ? ? ?2 4 2 6 ? ? ,? ? ,? n ? (1, ?2, ?1) ,又 D1C1 ? (0, 2,0) ,? ,所以 2 ? 2 ? ? 0 ? ? ? 1 3 6 n ? ?
2 6 . 3
2 2
2 2

异面直线 D1 E 和 BC1 间的距离为
2 2

17. 试题分析: 圆 x +y +6x-4y+9=0, 即 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 4 。 点(-1, 6)在圆 x +y +6x -4y+9=0 外,所以,过点(-1,6)与圆 x +y +6x-4y+9=0 相切的直线有两条。 当切线的斜率不存在时,x=-1 符合题意;
2 2

6

当切线的斜率存在时,设切线方程为 y ? 6 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 6 ? 0 。 由圆心(-3,2)到切线距离等于半径 2,得,

| ?3k ? 2 ? k ? 6 | k ?1
2

3 ? 2 ,解得,k= , 4

所以,切线方程为 3x-4y+27=0。 综上知,答案为 3x-4y+27=0 或 x=-1. 18.解:设圆心为(a,b),半径为 r,因为圆 x 轴相切,圆心 C 在直线 3x-y=0 上, 所以 b=3a,r=|b|=|3a|, 圆心(a,3a)到直线 x-y=0 的距离 d=
2 2

| a ? 3a | 1?1
2 2

由 r -d =( 7 )

2

2

2

得:a=1 或-1

所以圆的方程为(x-1) +(y-3) =9 或(x+1) +(y+3) =9 19.试题分析:设所求双曲线方程为 带入 A(2 3,?3) ,?

x2 y2 ? ? ? (? ? 0) , 16 9

??4 分

12 9 1 ? ???? ?? , 16 9 4

??8 分

? 所求双曲线方程为

y2 x2 ? ?1, 9 4 4

??10 分

2 又a ?

9 2 25 c 5 ,b ? 4 ? c2 ? ,? 离心率 e ? ? . 4 4 a 3
2

??12 分

20.试题分析:设抛物线方程为 x ? ?2 py( p ? 0) ,则焦点 F( ?
?m 2 ? 6 p ?m ? 2 6 ?m ? ?2 6 ? ,解之得 ? 或? , ? 2 p 2 ?p ? 4 ?p ? 4 ? m ? (3 ? ) ? 5 2 ?

p ,0 ) ,由题意可得 2

故所求的抛物线方程为 x 2 ? ?8 y , m的值为? 2 6 21.试题分析: (Ⅰ)由已知 2a ? 6 , 2c ? 2 6 ,解得 a ? 3 , c ?
2 2 2 所以 b ? a ? c ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为

6,
??4 分

x2 y2 ? ? 1。 9 3

? x2 y2 ? 1, ? ? (Ⅱ)由 ? 9 3 ? y ? kx ? 2, ?

得 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 3 ? 0 ,
2 2

2 2 2 直线与椭圆有两个不同的交点,所以 ? ? 144k ? 12(1 ? 3k ) ? 0 解得 k ?

1 。 9

7

12 k 3 , x1 x 2 ? , 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 12 k 4 ?? 计算 y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 4 ? k ? , 2 1 ? 3k ? 4 1 ? 3k 2 6k 2 所以,A,B 中点坐标 E( ,? ), 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y 2 )则 x1 ? x 2 ? 因为 PA = PB ,所以 PE⊥AB, k PE ? k AB ? ?1 ,

??7 分

2 ?1 2 所以 1 ? 3k ? k ? ?1 , 解得 k ? ?1 , 6k 1 ? 3k 2 ?
经检验,符合题意,所以直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 。 ??12 分

22.试题解析:以 DA, DC , DP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系(如图), 设 DA ? a , 则 D(0,0,0) ,A(a,0,0) ,B(a, a,0) ,C (0, a,0) ,E ( a,

a a a a , 0) ,F ( , , ) , 2 2 2 2

P(0,0, a) .

a a , 0, ) ? (0, a, 0) ? 0 ,所以 EF ? CD . 4分 2 2 a a a (2)设 G( x,0, z) ,则 G ?平面 PAD , FG ? ( x ? , ? , z ? ) , 2 2 2 a a a a a FG ? CB ? ( x ? , ? , z ? ) ? (a, 0, 0) ? a( x ? ) ? 0 ,所以 x ? , 2 2 2 2 2 a a a FG ? CP ? ( x ? , ? , z ? ) ? (0, ?a, a) ? az ? 0 ,所以 z ? 0 2 2 2 a ∴ G 点坐标为 ( , 0, 0) ,即 G 点为 AD 的中点. 8分 2
(1) 因为 EF ? DC ? (? (3)设平面 DEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .

a a a ? ?a ( x, y , z ) ? ( , , ) ? 0 ? ( x ? y ? z ) ? 0 ? ? ? ?2 ?n ? DF ? 0 2 2 2 由? 得, ? 即? , ? ?( x, y, z ) ? ( a, a , 0) ? 0 ? ax ? a y ? 0 ?n ? DE ? 0 ? ? ? 2 ? 2
取 x ? 1 ,则 y ? ?2 , z ? 1 ,得 n ? (1, ?2,1) .

cos? BD, n? ?

BD ? n a 3 , ? ? 6 | BD || n | 2a ? 6
3 6
13 分

所以, DB 与平面 DEF 所成角的正弦值的大小为
8


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