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广东省高州市第三中学2012届高考模拟测试卷数学理


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广东省高州市第三中学 2012 届高考模拟测试卷理科数学(一)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟,考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生务必用 0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在 自己的答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不 能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。 不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式: 柱体的体积公式: v ? sh ,其中 s 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式: s ? cl ,其中 c 是圆柱的底面周长,是圆柱的母线长.
3 球的体积公式 V= ? R , 其中 R 是球的半径.

4 3

球的表面积公式:S=4π

R ,其中 R 是球的半径.
? x y ? nx ? y
i ?1 n i i n

2

?? 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 b

?x
i ?1

2

i

? nx

2

? . ? ? y ? bx , a

如果事件 A、B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 第 1 卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数 y ? (A) [0,2)

2 ? x 的定义域为 M ,集合 N ? {x | y ? lg( x ? 1)},则 M ? N ? (
(B) (0,2) (C) {1,2) ) (D) (1,2]

)

1 3 1 2.设复数 ω =- + i,则化简复数 2的结果是( 2 2 ω 1 3 A.- - i 2 2 1 3 B.- + i 2 2

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1

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1 3 C. + i 2 2 1 3 D. - i 2 2

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3.若 sinα cosα <0,则角α 的终边在( ) A.第二象限 B.第四象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 1 3 ? 4? 4.曲线 y= x +x 在点?1, ?处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( ) 3 ? 3? 1 2 1 2 A. B. C. D. 9 9 3 3 2 5. 命题“若 x=3,则 x -7x+12=0”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的有( ) 个 A.0 B.1 C.2 D.3 6.在(0,2π )内,使 sin x>cos x 成立的 x 的取值范围为 ( )

5? , ) ? (? , ) 4 2 4 ? 5? ) C. ( , 4 4
A. (

? ?

B. ( D. (

?
4

,? ) ,? ) ? ( 5? 3? , ) 4 2

?

4

1 1 7 已知 a>0,b>0,则 + +2 ab的最小值是 (

a b

)

A.2 B.2 2

C.4 D.5

8.如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 (

1 ,则该几何体的俯视图可以是 2


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第 II 卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 9.如图所示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为 2 2 10.点 P(4,-2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点轨迹方程是

?1? - 11. 设函数 y=x3 与 y= 2 x 2 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是 ? ?

12.设 F 为抛物线 y =4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若 FA + FB + FC =0,则| FA |+
2

? ??? ? ??? ? ???

??? ?

| FB |+| FC |的值为 13.某企业 3 个分厂同时生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为 1∶2∶1,用分层抽样方法 (每个分厂的产品为一层)从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件作使用寿命的测试,由所得的测试结 果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 980 h,1 020 h,1 032 h,则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值 为 h. 14.如图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输出的 y 值 相等,则这样的 x 值有____个.

??? ?

??? ?

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x2 y 2 15. 已知 F1 、 F2 是双曲线 =1 的焦点, PQ 是过焦点 F1 的弦,那么| PF2 | + | QF2 | - | PQ |的值 ? 16 9
是 . 16.设 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)+f(x)=0,且当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)= 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? [sin( x ? .

?

) ? 3 cos( x ? )] ? cos( x ? ) .若θ ∈[0,π ]且 f(x)为偶函数,求θ 的值. 2 2 2

?

?

18.(本小题满分 12 分) 如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响,所用时间落在各 时间段内的频率如下表: 时间/分钟 10~20 0.1 0 20~30 0.2 0.1 30~40 0.3 0.4 40~50 0.2 0.4 50~60 0.2 0.1

L1 的频率 L2 的频率

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,求 X 的分布列和数 学期望.

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19.(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 和?DBC 所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD, ?CBA ? ?DBC ? 120 ,求:
0

⑴.直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小; ⑵.直线 AD 与直线 BC 所成角的大小; ⑶.二面角 A-BD-C 的余弦值.

A

H D

R

B

C

20.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,点 ? n, bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N ),且 b3=11,前 9 项和为 153. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
*

? ?

1 11 Sn ? ? 在直线 y ? 2 x ? 2 上.数列{bn}满足 n ?

(2)设 cn=3(2an-11)(2bn-1),数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求使不等式 Tn> 数 k 的值.

k * 对一切 n∈N 都成立的最大正整 57

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21. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=x -6x+5,x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=a 有三个不同实根,求实数 a 的取值范围; (3)已知当 x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,求实数 k 的取值范围.

3

22.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆心在第二象限、 半径为 2 2的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O.椭圆

x2 a2

+ =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10. 9 (1)求圆 C 的方程. (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长.若存在,请求 出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

y2

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参考答案 1.D.解析:由题得 M ? (??,2]

N ? (1,??)

? M ? N ? (1,2] 所以选择 D.

3 1 3 3 ?2 1 3 ? 1 2 2.B 解析∵ω =?- + i? = - - i=- - i, 2 2 ? 2 2 ? 4 4 2 ∴ 1 1 1 3 =- + i. 2= ω 2 2 1 3 - - i 2 2

3.C 解析:因为 sin α cos α <0,则 sin α ,cos α 符号相反,即角α 的终边在二、四象限.

? 4? 2 2 4.A 解析:y′=x +1,曲线在点?1, ?处的切线斜率 k=1 +1=2, ? 3?
4 ? 4? 故曲线在点?1, ?处的切线方程为 y- =2(x-1). 3 ? 3? 2? ?1 ? ? 该切线与两坐标轴的交点分别是? ,0?,?0,- ?. 3? ?3 ? ? 1 1 2 1 故所求三角形的面积是: × × = .故应选 A. 2 3 3 9 5.C 解析:原命题和逆否命题,其他的是错误的,所以选 C. 6.C 解析:在单位圆中画三角函数线,如图所示,要使在 (0, 2? ) 内,sin x>cos x,则 x∈ ( 1 1 7.C 解析:因为 + +2 ab≥2 1 +2 ab≥4,当且仅当 a=b,

? 5?
4 , 4

).

a b

ab

ab =1 时,等号成立,即 a=b=1 时,不

等式取最小值 4. 8.C 解析:方法一:由题意可知当俯视图是 A 时,即每个视图都是边长为 1 的正方形,那么此时几何体是 立方体,体积是 1,注意到题目体积是

1 ,知其是立方体的一半,可知选 C. 2
2

?1? ? 方法二: 当俯视图是 A 时, 正方体的体积是 1; 当俯视图是 B 时, 该几何体是圆柱, 底面积 S=π × ? ? = , ?2? 4

? 1 1 ;当俯视图是 C 时,该几何体是直三棱柱,故体积是 V= ×1×1×1= ;当俯视图 2 2 4 ? ? 2 是 D 时,该几何体是圆柱切割而成,其体积是 V= ×1 ×1= .故选 C. 4 4
高为 1,则体积是 9. y-3x-3<0 解析:由图知直线斜率为正值,再用(0,0)代入验证. 2 2 10. (x-2) +(y+1) =1 解析:设圆上任意一点为(x1,y1) ,中点为(x,y) ,

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x1 ? 4 ? x ? , ? ? x1 ? 2 x ? 4, ? 2 2 2 即? 则? 代入 x +y =4 得 y ? 2 y ? 2 y ? 2, ?y ? 1 , ? 1 ? ? 2
(2x-4) +(2y+2) =4,化简得(x-2) +(y+1) =1.
2 2 2 2

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?1?x-2 ?1?x-2 3 3 3 11.(1,2) 解析:如图所示,当 x=1 时,x =1,? ? =2,所以? ? >x ;当 x=2 时,x =8, ?2? ?2? ?1?x-2=1,所以 x3>?1?x-2,所以 y=x3 与 y=?1?x-2 的交点横坐标 x 满足 1<x <2.故应选 B. ?2? ?2? ?2? 0 0 ? ? ? ? ? ? 12.6 解析:设 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),
由于 F(1,0),则 FA =(x1-1,y1), FB =(x2-1,y2), FC =(x3-1,y3), 由 FA + FB + FC =0 得 x1-1+x2-1+x3-1=0,x1+x2+x3=3. | FA |+| FC |+| FC |=x1+x2+x3+3×

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ? ??? ? ???
??? ?

??? ?

??? ?

p =3+3=6. 2

13.答案:1 013 解析:根据分层抽样原理,第一、二、三分厂抽取的产品数量分别为 25,50,25,所以所求 100 件产品的 平均寿命为 14.答案:3 1 2 解析: 当 x≤2 时, x =x, 有 x=0 或 x=1; 当 2<x≤5 时, 2x-3=x, 有 x=3; 当 x>5 时, x= , x 无解. 故 x 可知这样的 x 值有 3 个. 15.答案:16 解析:因为双曲线方程为

980 ? 20 ? 1020 ? 50 ? 1032 ? 25 =1 013 h. 100

x2 y 2 ? =1, 16 9

所以 2a=8.由双曲线的定义得 |PF2|-|PF1|=2a=8, ① |QF2|-|QF1|=2a=8. ② ①+②,得 |PF2|+|QF2|-(|PF1|+|QF1|)=16. 所以|PF2|+|QF2|-|PQ|=16. 16.答案:0.5 解析:因为 f(x+2)+f(x)=0,所以 f(x+4)+f(x+2)=0, 两式相减得 f(x+4)=f(x),即 f(x)是周期为 T=4 的周期函数. 又 f(x)是偶函数,所以 f(7.5)=f(-0.5)=f(0.5)=0.5. 17.

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解:f ( x) ? [sin( x ? ) ? 3 cos( x ? )] ? cos( x ? ) 2 2 2 ? sin( x ? ) ? cos( x ? ) ? 3 cos 2 ( x ? ) 2 2 2 1 3 ? sin(2 x ? ? ) ? [1 ? cos(2 x ? ? )] 2 2 ? 3 ? sin(2 x ? ? ? ) ? . 3 2
因为 f(x)为偶函数,所以 f(-x)=f(x), 即 sin(?2 x ? ? ? 所以 cos(? ? 18.解

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?

?

?

?

?

?

?

?
3

) ? sin(2 x ? ? ? ), 得 sin 2 x ? cos(? ? ) ? 0, 3 3 3

?

?

) ? 0. 又θ ∈[0,π ],所以 ? ?

?

6

.

(1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”,Bi 表示事件“乙选择路径 Li 时,50

分钟内赶到火车站”,i=1,2. 用频率估计相应的概率可得 P(A1)=0.1+0.2+0. 3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1;

P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择 L2. (2)A,B 分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(1)知 P(A)=0.6,P(B) =0.9,又由题意知,A,B 独立, ∴P(X=0)=P( A

B )=P( A )P( B )=0.4×0.1=0.04,

P(X=1)=P( A B+A B )=P( A )P(B)+P(A)P( B )=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42, P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.9=0.54.
∴X 的分布列为

∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5(人). 19.⑴如图,在平面 ABC 内,过 A 作 AH⊥BC,垂足为 H, 则 AH⊥平面 DBC,∴∠ADH 即为直线 AD 与平面 BCD 所成的角 由题设知△AHB≌△AHD,则 DH⊥BH,AH=DH,∴∠ADH=45° ⑵∵BC⊥DH,且 DH 为 AD 在平面 BCD 上的射影, ∴BC⊥AD,故 AD 与 BC 所成的角为 90° ⑶过 H 作 HR⊥BD,垂足为 R,连结 AR,则由三垂线定理知,AR⊥BD,故∠ARH 为二面角 A—BD—C 的平面

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角的补角 设 BC=a,则由题设知,AH=DH=

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AH 3 a 3 a, BH ? ,在△HDB 中,HR= a,∴tanARH= =2 2 2 4 HR

故二面角 A—BD—C 的余弦值的大小为 ? 20.解(1)由已知得: 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=

5 5

Sn 1 11 1 11 ? n ? ,所以 Sn= n 2 ? n . 2 2 2 2 n

1 2 11 1 11 n ? n ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) =n+5, 2 2 2 2

当 n=1 时,a1=S1=6 也符合上式. * 所以 an=n+5(n∈N ). * 由 bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N )知{bn}是等差数列. 由{bn}的前 9 项和为 153,可得: 求得 b5=17,又 b3=11, 所以{bn}的公差 d ? (2) cn ?

9(b1 ? b9 ) ? 153 , 2

b5 ? b3 ? 3 ,首项 b1=5,所以 bn=3n+2. 2

3 1? 1 1 ? ? ? ? ?, (2n ? 1)(6n ? 3) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ??? ? ? ? ?1 ? ?. 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 2 n ? 1 ?
1 . 3

所以 Tn ?

因为 n 增大,Tn 增大,所以{Tn}是递增数列, 所以 Tn≥T1= Tn>

k 1 k * 对一切 n∈N 都成立,只要 T1= > , 3 57 57 k * 对一切 n∈N 都成立的最大正整数为 18. 57
2

所以 k<19,则 kmax=18. 即使不等式 Tn>

21.解 (1)f′(x)=3x -6,令 f′(x)=0,解得 x1=- 2,x2= 2. 因为当 x> 2或 x<- 2时,f′(x)>0;当- 2<x< 2时,f′(x)<0. 所以 f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2)和( 2,+∞);单调减区间为(- 2, 2). 当 x=- 2时,f(x)有极大值 5+4 2; 当 x= 2时,f(x)有极小值 5-4 2. (2)由(1)的分析知 y=f(x)的图象的大致形状及走向如图所示,当 5-4 2<a<5+4 2时,直线 y=a 与 y=f(x)的图象有三个不同交点,即方程 f(x)=a 有三个不同的解.

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(3)f(x)≥k (x-1),即(x-1)(x +x-5)≥k(x-1). 因为 x>1,所以 k≤x +x-5 在(1,+∞)上恒成立. 令 g(x)=x +x-5,此函数在(1,+∞)上是增函数. 所以 g(x)>g(1)=-3. 所以 k 的取值范围是 k≤-3. 22.解: (1)设圆心坐标为(m,n),则 m<0,n>0,
2 2

2

所以圆 C 的方程为(x+2) +(y-2) =8. 因为圆与椭圆的交点在椭圆上,则 2a=10,a=5. 所以椭圆的方程为

2

2

x2 y 2 ? =1. 25 9

(2)由椭圆

x2 y 2 ? =1,所以 F(4,0) , 25 9

若存在,则 F 在 OQ 的中垂线上, 又 O、Q 在圆 C 上,所以 O、Q 关于直线 CF 对称. 直线 CF 的方程为 y-2=-

1 (x+2),即 x+3y-4=0, 3

所以存在,Q 的坐标为 ?

? 4 12 ? , ?. ?5 5 ?

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