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【步步高】届高三数学大一轮复习 正弦定理和余弦定理应用举例学案 理 新人教A版


学案 24

正弦定理和余弦定理应用举例

导学目标: 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有 关的实际问题.

自主梳理 1.仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, 目标视线在水平视线上方 时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角.(如图所示)

2.方位角 一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角,如方位角 45°,是指北偏东 45°,即 东北方向. 3.方向角:相对于某一正方向的水平角.(如图所示)

①北偏东 α °即由指北方向顺时针旋转 α °到达目标方向. ②北偏西 α °即由指北方向逆时针旋转 α °到达目标方向. ③南偏西等其他方向角类似. 4.坡角 坡面与水平面的夹角.(如图所示)

5.坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比,即 i= =tan α (i 为坡比,α 为坡角). 6.解题的基本思路 运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题,实质是数学知识在生活 中的应用,要解决好,就要把握如何把实际问题数学化,也就是如何把握一个抽象、概括的 问题,即建立数学模型.

h l

1

自我检测 1. 从 A 处望 B 处的仰角为 α , 从 B 处望 A 处的俯角为 β , 则α , β 之间的关系是 ( ) A.α >β B.α =β C.α +β =90° D.α +β =180° 2.(2011·承德模拟)如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯 塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( )

B
(

A.北偏东 10° B.北偏西 10° C.南偏东 10° D.南偏西 10° 3.如图所示,为了测量某障碍物两侧 A、B 间的距离,给定下列四组数据,不能确定 A、 间 距 离 的 是 )

A.α ,a,b B.α ,β ,a C.a,b,γ D.α ,β ,b 4.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是 30°、60°,则塔 高为________m. 5 3 5.(2010·全国Ⅱ)△ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD=33,sin B= ,cos∠ADC= , 13 5 求 AD.

探究点一 与距离有关的问题 例 1 (2010·陕西)如图, A, B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测 点,现位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点 南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救, 其航行速度为 30 海里/ 时,该救援船到达 D 点需要多长时间?

2

变式迁移 1 某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25°方向,从 A 出发有一条南偏东 35°走 向的公路,在 C 处测得与 C 相距 31 千米的公路上 B 处有一人正沿此公路向 A 走去,走 20 千米到达 D,此时测得 CD 为 21 千米,求此人在 D 处距 A 还有多少千米?

探究点二 测量高度问题 例 2 如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测 点 C 与 D,现测得∠BCD=α ,∠BDC=β ,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ ,求塔 高 AB.

变式迁移 2 某人在塔的正东沿着南偏西 60°的方向前进 40 米后, 望见塔在东北方向, 若沿途测得塔的最大仰角为 30°,求塔高.

探究点三 三角形中最值问题 例 3 (2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位: m), 示意图如图所示, 垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4 m,仰角∠ABE=α ,∠ADE=β .

(1)该小组已测得一组 α 、β 的值,算出了 tan α =1.24,tan β =1.20,请据此算 出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精度.若电视塔实际高度为 125 m,试问 d 为多少时,α -β 最大?

变式迁移 3 (2011·宜昌模拟)如图所示, 已知半圆的直径 AB=2, 点 C 在 AB 的延长线 上,BC=1,点 P 为半圆上的一个动点,以 DC 为边作等边△PCD,且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧,求四边形 OPDC 面积的最大值.
3

1.解三角形的一般步骤 (1)分析题意,准确理解题意. 分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位 角等. (2)根据题意画出示意图. (3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等 有关知识正确求解.演算过程中,要算法简练,计算正确,并作答. (4)检验解出的答案是否具有实际意义,对解进行取舍. 2.应用举例中常见几种题型 测量距离问题、 测量高度问题、 测量角度问题、 计算面积问题、 航海问题、 物理问题等.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为 ) 5 3 A. B. 18 4 C.

(

3 7 D. 2 8 2.(2011·揭阳模拟)如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在所在的 河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出 A 、 B 两 点 的 距 离 为 ( )

A.50 2 m

B.50 3 m 25 2 C.25 2 m D. m 2 1 3. △ABC 的两边长分别为 2,3, 其夹角的余弦值为 , 则其外接圆的半径为 3 A. C. 9 2 2 B. 9 2 4

(

)

9 2 D.9 2 8 4.(2011·沧州模拟)某人向正东方向走 x km 后,向右转 150°,然后朝新方向走 3 km, 结 果 他 离 出 发 点 恰 好 是 3 km , 那 么 x 的 值 为

4

(

) A. 3 B.2 3 C. 3或 2 3 D.3 5.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上, 继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西 60°方向, 另一灯塔在船的南偏西 75°方向, 则 这 只 船 的 速 度 是 每 小 时 ( ) A.5 海里 B.5 3海里 C.10 海里 D.10 3海里 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6. 一船以每小时 15 km 的速度向东航行, 船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60°方向, 行驶 4 h 后, 船到 B 处, 看到这个灯塔在北偏东 15°方向, 这时船与灯塔的距离为________. 7.(2011·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为 15°的 看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一排的距离为 10 6 米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面 上.若国歌长度约为 50 秒,升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗. 8.(2011·宜昌模拟)线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶,同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则运动开始________h 后,两车的距离最小.

三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(2009·辽宁)如图,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75°、30°, 于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°,AC=0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外 哪两点间距离相等, 然后求 B、 D 的距离(计算结果精确到 0.01 km, 2≈1.414, 6≈2.449).

10.(12 分)如图所示,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方 向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的南偏西 75°方向的 B1 处,此时两船 相距 20 海里. 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的南偏西 60°方向的 B2 处,

5

此时两船相距 10 2海里.问乙船每小时航行多少海里?

11.(14 分)(2009·福建)如图,

某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道, 赛道的前一部分为曲线段 OSM, 该曲线段为函数 y=Asin ω x(A>0,ω >0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为 S(3,2 3); 赛道的后一部分为折线段 MNP,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°. (1)求 A,ω 的值和 M,P 两点间的距离; (2)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长?

答案 自我检测 1.B 2.B 3.A 400 4. 3 3 π 5.解 由 cos∠ADC= >0 知 B< , 5 2 12 4 由已知得 cos B= ,sin∠ADC= , 13 5 从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B) =sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B 4 12 3 5 33 = × - × = . 5 13 5 13 65 = , sin B sin∠BAD 5 33× 13 BD·sin B 所以 AD= = =25. sin∠BAD 33 65 课堂活动区 例 1 解题导引 这类实际应用题,实质就是解三角形问题,一般都离不开正弦定理 和余弦定理,在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问 题去求解.注意:①基线的选取要恰当准确;②选取的三角形及正、余弦定理要恰当. 解 由题意知 AB=5(3+ 3)海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=
6

由正弦定理得,

AD

BD

45°, ∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°. 在△DAB 中,由正弦定理,得 ∴DB= = = , sin∠DAB sin∠ADB

DB

AB

AB·sin∠DAB 5? 3+ 3? ·sin 45° = sin∠ADB sin 105°

5? 3+ 3? ·sin 45° =10 3(海里). sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60°

又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20 3(海里), 2 2 2 在△DBC 中,由余弦定理,得 CD = BD + BC - 2BD·BC·cos∠DBC = 300 + 1 200 - 1 2×10 3×20 3× 2 =900,∴CD=30(海里), 30 ∴需要的时间 t= =1(小时). 30 故救援船到达 D 点需要 1 小时. 变式迁移 1 解

如图所示,易知∠CAD=25°+35°=60°,在△BCD 中, 2 2 2 31 +20 -21 23 cos B= = , 2×31×20 31 12 3 所以 sin B= . 31

BC·sin B =24, sin A 2 2 2 由 BC =AC +AB -2AC·ABcos A, 2 得 AB -24AB-385=0, 解得 AB=35,AB=-11(舍), 所以 AD=AB-BD=15. 故此人在 D 处距 A 还有 15 千米.
在△ABC 中,AC= 例 2 解题导引 在测量高度时,要正确理解仰角、俯角的概念,画出准确的示意图, 恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解.注意综合应用方程和平面几何、立 体几何等知识. 解 在△BCD 中,∠CBD=π -α -β . 由正弦定理得 = , sin∠BDC sin∠CBD CD·sin∠BDC s·sin β 所以 BC= = , sin∠CBD sin? α +β ? 在 Rt△ABC 中, s·tan θ sin β AB=BCtan∠ACB= . sin? α +β ? 变式迁移 2 解
7

BC

CD

由题意可知,在△BCD 中,CD=40, ∠BCD=30°,∠DBC=135°, 由正弦定理得, =

CD
sin∠DBC

, sin∠BCD 40sin 30° ∴BD= =20 2. sin 135° 过 B 作 BE⊥CD 于 E,显然当人在 E 处时, 测得塔的仰角最大,有∠BEA=30°. 在 Rt△BED 中, 又∵∠BDE=180°-135°-30°=15°. 6- 2 ∴BE=DB·sin 15°=20 2× =10( 3-1). 4 在 Rt△ABE 中, 10 AB=BE·tan 30°= (3- 3)(米). 3 10 故所求的塔高为 (3- 3)米. 3 例 3 解题导引 平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计 等问题.而这些几何问题通常是转化到三角形中,利用正、余弦定理通过运算的方法加以解 决.在解决某些具体问题时,常先引入变量,如边长、角度等,然后把要解三角形的边或角 用所设变量表示出来,再利用正、余弦定理列出方程,解之.若研究最值, 常使用函数思想. 解

BD

(1)由 AB= 得

H
tan α

,BD=

h
tan β

,AD= 及 AB+BD=AD, tan β

H

= , tan β tan β htan α 4×1.24 解得 H= = =124(m). tan α -tan β 1.24-1.20 因此,算出的电视塔的高度 H 是 124 m. tan α (2)由题设知 d=AB,得 tan α = .

H



h

H

H d

H h H-h 由 AB=AD-BD= - ,得 tan β = . tan β tan β d

8

tan α -tan β 所以 tan(α -β )= 1+tan α tan β

h h ≤ , H? H-h? 2 H? H-h? d+ d H? H-h? 当且仅当 d= , d 即 d= H? H-h? = 125×? 125-4? =55 5时, 上式取等号,所以当 d=55 5时,tan(α -β )最大.
= π π 因为 0<β <α < ,则 0<α -β < , 2 2 所以当 d=55 5时,α -β 最大. 变式迁移 3 解 设∠POB=θ ,四边形面积为 y, 则在△POC 中,由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OP·OCcos θ =5-4cos θ . 1 3 ∴y=S△OPC+S△PCD= ×1×2sin θ + (5-4cos θ ) 2 4 π 5 3 =2sin(θ - )+ . 3 4 π π 5π 5 3 ∴当 θ - = ,即 θ = 时,ymax=2+ . 3 2 6 4 5 3 所以四边形 OPDC 面积的最大值为 2+ . 4 课后练习区 1.D 2.A 3.C 4.C 5.C 6.30 2 km 7.0.6 70 8. 43 解析

如图所示:设 t h 后,汽车由 A 行驶到 D,摩托车由 B 行驶到 E,则 AD=80t,BE= 50t. 因为 AB=200,所以 BD=200-80t, 问题就是求 DE 最小时 t 的值. 2 2 2 由余弦定理得,DE =BD +BE -2BD·BEcos 60° 2 2 =(200-80t) +2500t -(200-80t)·50t 2 =12900t -42000t+40000. 70 ∴当 t= 时,DE 最小. 43 9.解 在△ACD 中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30°, 所以 CD =AC= 0.1.……………………………………………………………………… (2 分) 又∠BCD=180°-60°-60°=60°,
9

所以△ABC≌△CBD, 所以 BA=BD.……………………………………………………………………………(6 分) 在△ABC 中, = , sin∠BCA sin∠ABC 即 AB= (10 分) 3 2+ 6 所以 BD= ≈0.33(km). 20 故 B、D 的距离约为 0.33 km.……………………………………………………………(12 分) 10.解

AB

AC

AC·sin 60° 3 2+ 6
sin 15° = 20

,…………………………………………………………

如图,连接 A1B2,由题意知, A1B1=20,A2B2=10 2, 20 A1A2= ×30 2=10 2(海里).…………………………………………………………(2 60 分) 又∵∠B2A2A1=180°-120°=60°, ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∠B1A1B2=105°-60°=45°.……………………………………………………………(6 分) 在△A1B2B1 中,由余弦定理得 2 2 B1B2 2=A1B1+A1B2-2A1B1·A1B2cos 45° 2 2 2 =20 +(10 2) -2×20×10 2× =200, 2 ∴B1B2=10 2(海里). …………………………………………………………………(10 分) 因此乙船的速度大小为 10 2 ×60=30 2(海里/小时).…………………………………………………………(12 20 分) 11.解

方法一 (1)依题意,有 A=2 3, =3, 4 2π π π 又 T= ,∴ω = .∴y=2 3sin x.(3 分) ω 6 6 2π 当 x=4 时,y=2 3sin =3,∴M(4,3). 3 又 P(8,0),∴MP= 4 +3 =5.………………………………………………………… (5
10
2 2

T

分) (2)如图,连接 MP,在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5. 设∠PMN=θ , 则 0°<θ <60°. 由正弦定理得 = = sin 120° sin θ sin? ∴NP= (8 分) 10 3 10 3 ∴NP+MN= sin θ + sin(60°-θ ) 3 3 10 3 10 3 3 ?1 ? = sin(θ + ? sin θ + cos θ ? 3 3 2 2 ? ? 60°).…………………………………………(12 分) ∵0°<θ <60°,∴当 θ =30°时,折线段赛道 MNP 最长. 即将∠PMN 设计为 30°时, 折线段赛道 MNP 最长. …………………………………………………………………(14 分) 方法二 (1)同方法一. (2)连结 MP.在△MNP 中,∠MNP=120°.MP=5, 2 2 2 由余弦定理得,MN +NP -2MN·NP·cos∠MNP=MP .………………………………(8 分) 2 2 即 MN +NP +MN·NP=25. ?MN+NP?2, 2 故(MN+NP) -25=MN·NP≤? ? ? 2 ? …………………………………………………………………………………………… (10 分) 3 10 3 2 从而 (MN+NP) ≤25,即 MN+NP≤ . 4 3 当且仅当 MN=NP 时等号成立. 即设计为 MN=NP 时, 折线段赛道 MNP 最长. …………………………………………………………………(14 分) =

MP

NP

MN
60°-θ ?



10 3 10 3 sin θ ,MN= sin(60°-θ ),………………………………………… 3 3

11


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