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高中新课标数学选修(2-2)综合测试题(3)


高中新课标数学选修(2-2)综合测试题
一、选择题(每题小题 5 分) 1.设 y= x 2 - x ,则 x ∈[0,1]上的最大值是( A 0 B -
1 4


1 4

C

1 2
2

D

2.若质点 P 的运动方程为 S(t)=2t +t(S 的单位为米,t 的单位为秒) ,则当 t=1 时的瞬时速度 为( ) A 2 米/秒 B 3 米/秒 C 4 米/秒 D 5 米/秒 3.曲线y=- A 30?
1 3

x -2 在点(-1, ?
3

5 3

)处切线的倾斜角为( D )
6 3 6 3





45?



135?

150?

4.函数 y=-2 x + x 3 的单调递减区间是(
6 3
3

A (-∞,-

) B (-

6 3

,

6 3

) C(-∞,-

)∪(

,+∞) D (

6 3

,+∞)

5.过曲线y= x +1上一点(-1,0) ,且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是( A y=3x+3 B y= 6.曲线y= A 30?
1 3
x 在点(1,
3



x 3

+3 C y=-

x 3

-

1 3



y=-3x-3

1 3

)处的切线与直线x+y-3=0的夹角为 C 60? D 90?



45?
3 2

7.已知函数 f ( x ) = x +a x +b 的图象在点 P (1,0)处的切线与直线 3x+y=0 平行.则 a、b 的值 分别为( ). A -3, 2 B

-3, 0
/

C

3, 2

D

3, -4 )

8.已知 f ( x ) =a x 3 +3 x 2 +2,若 f ( ? 1 ) =4,则 a 的值等于( A
19 3

B

10 3

C

16 3

D

13 3

9.函数 y = x 3 -12 x +16 在 [-3,3]上的最大值、最小值分别是( A 6,0 B 32, 0
3



C

2 5, 6

D

32, 16 )

10.已知 a>0,函数y= x -ax在[1,+∞ ) 上是单调增函数,则 a 的最大值为( A 0 B 1
3 2

C

2

D

3

11.已知 f ( x ) =2 x -6 x +m(m 为常数) ,在[-2,2]上有最大值 3,则此函数在[-2,2]上的 最小值为( A -37 B ) -29

C -5

D -11

12.已知 f ( x ) = x + x 3 , 且 x1+x2<0, x2+x3<0, x3+x1<0 则(



A f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 B f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 C f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 D f(x1)+f(x2)+f(x3)符号不 能确定. 二、填空题(每小题 4 分) 13.过抛物线 y= f ( x ) 上一点 A(1,0)的切线的倾斜角为 45°则 f (1 ) =__________.
/

14.函数 f ( x ) = x 3 -3 x 的递减区间是__________ 15.过 点 P(- 1,2)且与 曲线y =3 x 2 - 4 x +2 在 点 M(1,1)处的切线平 行的直线方程 是 __________. 16.函数 f ( x ) = x (1- x 2 )在[0,1]上的最大值为__________. 三、解答题 17.已知函数 f ( x ) =a x 4 +b x 2 +c 的图像经过点(0,1),且在 x =1 处的切线方程是 y= x -2. 求 f ( x ) 的解析式;12 分 18.证明: 过抛物线 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0, x1< x2)上两点 A(x1,0),B(x2,0)的切线与 x 轴所成的 锐角相等。12 分 19.已知 f ( x ) =a x +b x +cx(a ? 0)在 x=±1 时取得极值且 f(1)= -1
3 2

试求常数 a、b、c 的值并求极值。12 分 20.已知函数 f ( x ) =
a 3 x
3

? ax

2

? x ? 1.

(1)若 f ( x ) 在(-∞,+∞)上是增函数,求 a 的取值范围.
x1 x2

(2) 若 f ( x ) 在 x=x1 及 x=x2 (x1, x2>0)处有极值,且 1<

≤5,求 a 的取值范围。12 分

21.已知函数 f ( x ) =ax3+cx+d(a≠0)在 R 上满足 f ( ? x ) =- f ( x ) , 当 x=1 时 f ( x ) 取得极值-2. (1)求 f ( x ) 的单调区间和极大值; (2)证明:对任意 x1,x2∈(-1,1),不等式│ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) │<4 恒成立. 14 分 22.如图在边长为 4 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,在把它的边沿虚线折起,做成 一个无盖的方底盒子.

x

x

(1)问切去的小正方形边长为多少时,盒子容积最大?最大容积 V 1 是多少? (2)上述做法,材料有所浪费,如果可以对材料进行切割、焊接,请你重新设计一个方案, 使材料浪费最少,且所得无盖的盒子的容积 V 2 > V 1 14 分

答案:1.A2.D3.C4.B5.C6.D7.A8.B9.B10.D11.A12B13. 1 14.[-1,1] 15.2x-y+4=0 16. 提示:1.A f(1)=f(0)=0 最大 2. D∵ S ? =4t+1∴当 t=1 时的瞬时速度为 5 米/秒
/ 3. 选C∵ f ( x ) =- x 2 ∴ f ( ? 1 ) =-1 即 tanα =-1∴α =135? /

2 9

3

4. 选 B∵ y ? =-2+3 x 2 <0,∴-
2

6 3

<x <

6 3

5. C∵ y ? ? 3 x ∴该点处的切线斜率为 3,∴所求直线方程为 y=-

1 3

(x+1)即C答案

6. 选D∵ y ? = x 2 , y ? │x=1=1,∴切线斜率为 1,又直线斜率为-1∴两直线垂直∴夹角为 90? 7. A∵ f ( x ) =3 x 2 +2ax,切线的斜率 k=3+2a,3+2a= -3 ∴a=-3 又∵f(1)=a+b+1=0 ∴
/

b=2,故选 A
/ 8. 选 B∵ f ( x ) =3a x 2 +6 x ∴ f ( ? 1 ) =3a-6∴a= /

10 3

9. 选 B ∵ y ? =3 x 2 -12, 由 y ? =0 得 x =±2 当 x =±2, x =±3 时求得最大值 32,最小值 0
/ / 2 2 2 10. D∵ f ( x ) =3 x -a,∴若 f ( x ) 为增函数,则 f ( x ) >0 即 a<3 x 要使 a<3 x , x ∈[1,+

∞ ) ,上恒成立,∴a≤3 故选 D 11. A 令 f ( x ) =0 得 x =0 或 x =2,而 f(0)=m,f(2)=-8+m,f(-2)=-40+m 显然 f(0)>f(2)>f(-
/

2)∴m=3 最小值为 f(-2)=-37 故选 A 12. B∵ f ( x ) =3 x 2 +1,∴ f ( x ) >0∴ f ( x ) 在上是增函数,且 f ( x ) 是奇函数,
/ /

∴ f(x1)<f( - x2), f(x2)<f( - x3), f(x3)<f( - x1) ∴ f(x1)+f(x2)+f(x3)< - [f(x1)+f(x2)+f(x3)] 即 f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 故选 B 13.由题意可知切线斜率为 1,由导数定义知 f (1 ) =1
/

14. ∵ f ( x ) =3 x 2 -3∴令 3 x 2 -3≤0 解得-1≤ x ≤1
/

15. ∵ y ? =6 x -4∴k= y ? │x=1=2∴直线方程为 y-2=2( x +1)即 2 x -y+4=0
3 3 3 3

16. ∵ f ( x ) = x - x 3 ∴ f ( x ) =1-3 x 2 =0 得 x =
/

可知当 x =

时函数值为最大值,最

大值是

2 9

3

17. 解:由题意可知 f(0)=1,f(1)=-1, f ? (1 ) =1,.…………..6 分
? ?c ? 1 ?c ? 1 ? 5 ? ? ∴ ? 4 a ? 2 b ? 1 解之得 ? a ? .………….11 分 2 ?a ? b ? c ? ?1 ? ? 9 ? ?b ? ? 2 ?

∴ f (x) =

5 2

x

4

?

9 2

x

2

? 1 .…………..12 分

18. 证明:∵y= a(x-x1)(x-x2)=ax2-a(x1+ x2)x+a x1 x2.…………..3 分 ∴ y ? =2ax-a(x1+x2) .………….6 分 ∴k1= y ? │x=x1=a(x1-x2) k2= y ? │x=x2=a(x2-x1) .…………..9 分 设两切线与 x 轴所成锐角为θ 1 和θ 2 则 tanθ 1=│a(x1-x2)│=│a│(x2-x1)>0, tanθ 2=│a(x2-x1)│=│a│(x2-x1)>0………11 分 ∴tanθ 1= tanθ 2.…………..12 分 19. 解: f ( x ) =3a x 2 +2bx+c,.…………3 分
/
2 ∵ f ( x ) 在 x=±1 时取得极值∴x=±1 是 f ( x ) =0 即 3a x +2bx+c=0 的两根………6 分

/

∴?

? 3 a ? 2 b ? c ? 0 (1 ) ?3a ? 2b ? c ? 0(2)
1 2

∵f(1)= -1 ∴ a+b+c=-1(3)
3 2
/

由(1)(2)(3)得 a= , , ∴ f (x) =
1 2
x
3

, b=0,c= ?
3 2

………9 分

?

3 2

x,∴ f ( x ) =

(x –1) (x+1)

当 x<-1 或 x>1 时, f ( x ) >0,当-1<x<1 时, f ( x ) <0
/ /

∴ f ( x ) 在(-∞,-1)及(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)是减函数………11 分 ∴当 x= -1 时函数取得极大值 f(-1)=1 当 x=1 时函数取得极小值 f(1)= -1………12 分 20. 解:(1)∵ f ? ( x ) =ax2-2ax+1……………………………...….1 分 ∴当 a=0 时, f ? ( x ) =1>0,故结论成立………………………………2 分 , 当 a>0 时,[ f ? ( x ) ]min= f ? (1 ) =1-a≥0,∴a≤1 即 0<a≤1.…………..4 分 当 a<0 时, f ? ( x ) 在(0,+∞)上不恒大于或等于 0,故舍去.…………..5 分 综上得 a 的取值范围是 0≤a≤1. (2) 令 f ? ( x ) =ax2-2ax+1=0,由题知其二根为 x1,x2 且 x1+x2=2,x1x2= ∵1<
x1 x2
1 a

…………..7 分

≤5 ∴x1≤2-x2≤5x1 ∴
1 a 1 a 9 5

1 3

≤x1<1 …………..9 分

∴x1(2-x2)= ∴
5 9



=-(x1-1)2+1…………..11 分 …………..12 分



1 a

<1 ∴1<a≤

21. 解: (1)由 f ( ? x ) =- f ( x ) (x∈R)得.d=0∴ f ( x ) = ax3+cx , f ? ( x ) =ax2+c. …………2 分
?a ? c ? 0 ?3a ? c ? 0

由题设 f(1)=-2 为 f ( x ) 的极值,必有 f ? (1 ) =0∴ ?

解得 a=1,c=-3

∴ f ? ( x ) =3x2-3=3(x-1)(x+1) 从而 f ? (1 ) = f ? ( ? 1 ) =0. …………4 分 当 x∈(-∞,-1)时, f ? ( x ) >0 则 f ( x ) 在(-∞,-1)上是增函数; …………5 分 在 x∈(-1,1)时, f ? ( x ) <0 则 f ( x ) 在(-1,1)上是减函数…………6 分 当 x∈(1,+∞)时, f ? ( x ) >0 则 f ( x ) 在(1,+∞)上是增函数…………7 分 ∴ f ( ? 1 ) =2 为极大值. …………9 分 (2)由(1)知, f ( x ) = x ? 3 x 在[-1,1]上是减函数,且 f ( x ) 在[-1,1]上的最大值 M= f ( ? 1 ) =2,
3

在 [-1,1]上的最小值 m= f(2)=-2. …………12 分 对任意的 x1,x2∈(-1,1),恒有│ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) │<M-m=2-(-2)=4…………14 分.

22. 解: (1)设切去的正方形边长为 x ,则焊接成的盒子的底面边长为 4-2 x ,高为 x .所以
V 1 =(4-2 x ) ? x =4( x -4 x +4 x ),(0< x <2) ………5 分
3 2

2

∴ V 1? =4(3 x 2 -8 x +4). ………6 分 令 V 1? =0 得 x1= 当
2 3 2 3

,x2=2(舍去)而 V 1? =12( x -
2 3

2 3

)( x -2)又当 x <

2 3

时, V 1? >0, ………9 分

< x <2 时, V 1? <0∴当 x =

时盒子容积最大,最大容积 V 1 是

128 27

方案:如下图 a,在正方形的两个角处各切下一个边长为 1 的小正方形;如图 b,将切下的 小正方形焊接成长方形再焊在原正方形一边;如图 c 再焊成盒子
3 1 1

1

1

4

2
2

2

1 2 3

图a

图b

图c

新焊成的盒子的容积 V 2 为:3?2?1=6,显然 V 2 > V 1 故此方案符合要求。………14 分


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