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第30讲 数列的概念与通项公式


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第30讲 数列的概念与通项公式

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1.数列 2,6,14,26,x,62,?中的 x 等于( B A.38 C.43 B.42 D.57

)

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解析: 因为 6=2+4×1,14=6+4×2,26=14+4×3, 所以 x=26+4×4=42.

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1 1 * 2. 已知数列{an}的通项公式 an= ( n ∈N ) , 那么130 n?n+3? 是这个数列的第 项.

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1 1 1 1 解析:令 an= ,即 = = ,得 n=10. 130 n?n+3? 130 10×13

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3.数列{an}前 n 项和为 Sn,则“a2>0”是“数列{Sn}为递 增数列”的( B ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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解析:当数列{Sn}为递增数列时,S2-S1=a2>0 成立; 但当 a2>0 时,不能推出“数列{Sn}为递增数列”,如数列 3,1,-1,-3,所以“a2>0”是“数列{Sn}为递增数列”的必 要不充分条件,故选 B.

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4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=3+2n,则数 列{an}的通项公式为 .

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解析:当 n=1 时,S1=a1=3+21=5, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n 1.


又 a1=5 不适合上式,
?5 ?n=1? 故 an=? n-1 . ?n≥2? ?2

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a n- 3 5.已知数列 {an}满足 a1=0,an+1= (n∈N*), 3an+1 则 a4= .

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解析:a1=0, a1- 3 - 3 a2= = =- 3, 1 3a1+1 - 3- 3 -2 3 a3= = = 3, -2 3×?- 3?+1 3- 3 a4= =0. 3× 3+1

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用观察法写数列的通项公式

【例 1】 根据下列数列的前几项,写出它们的通项公式: (1)1,-1,1,-1,?; (2)2,5,10,17,?; 1 1 5 13 29 (3)2,4,-8,16,-32,?.

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解析:(1)an=(-1)n 1 或 an=cos(n+1)π.


(2)将数列各项分别减去 1,则得数列 1,4,9,16,?, 则 an=n2+1.
n 2 n -3 (3)an=(-1) . 2n

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【拓展演练 1】 2an 有一数列{an},a1=a,由递推公式 an+1= ,写出 1+an 这个数列的前 4 项,并根据前 4 项观察规律,写出该数列的 一个通项公式.

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分析:可根据递推公式写出数列的前 4 项,然后分析每 一项与该项的序号之间的关系,归纳概括出 an 与 n 之间的 一般规律,从而做出猜想,写出满足前 4 项的该数列的一个 通项公式.

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2an 解析:因为 a1=a,an+1= , 1+an 4a 1+a 2a 2a2 4a 所以 a2= ,a = = = , 2a 1+3a 1+a 3 1+a2 1+ 1+a 8a 1+3a 2a3 8a a4= = = . 4a 1+a3 1+7a 1+ 1+3a xa 观察规律:an= 形式,其中 x 与 n 的关系可由 n 1+ya - =1,2,3,4 得出 x=2n 1.而 y 比 x 小 1, n-1 2 a 所以 an= . n-1 1+?2 -1?a
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利用数列前n项和公式求通项
【例 2】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,分别求其通项公

式. (1)Sn=3n-2; 1 (2)Sn= (an+2)2(an>0). 8

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解析:(1)当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-2-(3n 1-2)


=2· 3n 1.


由于 a1=1 不适合上式,因此数列{an}的通项公式为
?1 an=? n-1 3 ?2·

?n=1? . * ?n∈N ,且n≥2?

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1 (2)当 n=1 时,a1=S1= (a1+2)2,解得 a1=2. 8 1 1 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= (an+2) - (an-1+2)2, 8 8 所以(an-2)2-(an-1+2)2=0, 所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0, 又 an>0,所以 an-an-1=4, 可知{an}为等差数列,公差为 4, 所以 an=a1+(n-1)d=2+(n-1)· 4=4n-2. 故 an=4n-2.
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【拓展演练 2】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n2-2n, 则数列{an}的通 项公式是 .

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解析:当 n=1 时,S1=a1=3×12-2×1=1, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)] =6n-5, 又 a1=1 适合上式,故 an=6n-5(n∈N*).

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根据递推关系求数列的通项公式
【例 3】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=3 且满足

an=2Sn-1+3,n≥2,n∈N*. (1)求 a2,a3,a4; (2)求数列{an}的通项公式.

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解析:(1)因为 an=2Sn-1+3,a1=3,则 a2=2S1+3=2a1+3=9, a3=2S2+3=2(a1+a2)+3=27, a4=2S3+3=2(a1+a2+a3)+3=81.

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(2)由题知 an=2Sn-1+3(n≥2,n∈N*),① an+1=2Sn+3(n∈N*),② ②-①,得 an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an, 即 an+1=3an(n≥2,n∈N*).③ 因为 a2=3a1 也满足③式,即 an+1=3an(n∈N*), 所以{an}是以 3 为首项,3 为公比的等比数列, 所以 an=3n(n∈N*).

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【拓展演练 3】已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2n(n∈N*). (1)求通项 an; (2)若 bn=2n· (an-12)(n∈N*),求数列{bn}的最小项.

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解析:(1)当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)] =2n+1. 又 n=1 时,2×1+1=3 成立,所以 an=2n+1(n∈N*). (2)bn=2n· (an-12)=2n· (2n-11), + ?bn≤bn+1 ?2n· ?2n-11?≤2n 1· ?2n-9? 由? ?? n n-1 ?2n-11?≤2 · ?2n-13? ?bn≤bn-1 ?2 ·
?n≥3.5 ?? , ?n≤4.5

所以 3.5≤n≤4.5,所以 n=4,所以最小项为 b4=-48.

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1.(2011· 江西卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm =Sn+m,且 a1=1,那么 a10=( A ) A.1 C.10 B.9 D.55

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解析:根据题意,在 Sn+Sm=Sn+m 中,令 n=1,m=9 可得:S1+S9=S10,即 S10-S9=S1=a1=1,又 a10=S10-S9, 即 a10=1,故选 A.

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1 nπ 2.(2012· 上海卷)设 an= sin ,Sn=a1+a2+?+an,在 n 25 S1,S2,?,S100 中,正数的个数是( D ) A.25 C.75 B.50 D.100

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解析:当 1≤n≤24 时,an>0,当 26≤n≤49 时,an<0, 但其绝对值要小于 1≤n≤24 时相应的值,当 51≤n≤74 时, an>0,当 76≤n≤99 时,an<0,但其绝对值要小于 51≤n≤74 时相应的值,所以当 1≤n≤100 时,均有 Sn>0,故选 D.

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nπ 3.(2012· 福建卷)数列{an}的通项公式 an=ncos +1,前 2 n 项和为 Sn,则 S2012= .

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π 3π 解析: a1=1cos2+1=1, a2=2cos π+1=-1, a3=3cos 2 5π +1=1,a4=4cos 2π+1=5,a5=5cos 2 +1=1,a6=6cos 3π 7π 8π +1=-5,a7=7cos 2 +1=1,a8=8cos 2 +1=9;该数列 每四项的和为 6,2012÷ 4=503,所以 S2012=6×503=3018.

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4.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 2 1 Sn= an+ ,则{an}的通项公式是 an= 3 3 .

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2 1 解析:当 n=1 时,a1=S1= a1+ ,所以 a1=1; 3 3 2 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= an- an-1, 3 3 an 所以 =-2, an-1 故数列{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列, 所以数列{an}的通项公式为 an=(-2)
n-1

.

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