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2015-2016学年高中数学 第二章 平面向量阶段性测试题 新人教B版必修4


2015-2016 学年高中数学 第二章 平面向量阶段性测试题 新人教 B 版必修 4
本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分 150 分,时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 其中有且仅有一个是正确的.) 1.(2014?山东烟台高一期末测试)已知向量

a=(-1,3),b=(1,k),若 a⊥b,则实 数 k 的值是( A.k=3 1 C.k= 3 [答案] C 1 [解析] ∵a⊥b,∴a?b=-1?1+3k=0,∴k= . 3 2.(2015?山东威海一中高一期末测试)下列向量与 a=(1,2)共线的是( A.(2,1) C.(-1,-2) [答案] C [解析] ∵1?(-2)-(-1)?2=0, ∴向量(-1,-2)与 a=(1,2)共线. 3.若平面向量 b 与向量 a=(-1,2)的夹角是 180°,且|b|=3 5,则 b 等于( A.(-3,6) C.(6,-3) [答案] B [解析] 由已知 a 与 b 方向相反,可设 b=(-λ ,2λ ),(λ <0). 又|b|=3 5= λ +4λ , 解得 λ =-3 或 λ =3(舍去), ∴b=(3,-6). → → → 4.正方形 ABCD 中,AB=a、BC=b、CD=c,则 a-b+c 表示的向量等于( → A.AD → C.DA [答案] C → B.DB → D.DC )
2 2

) B.k=-3 1 D.k=- 3

)

B.(1,2) D.(2,-1)

)

B.(3,-6) D.(-6,3)

1

[解析] ∵a 与 c 是一对相反向量, → ∴a-b+c=-b=DA. π → → 5.已知|a|=2 2,|b|=3,a、b 的夹角为 ,如图所示,若AB=5a+2b,AC=a-3b, 4 → 且 D 为 BC 中点,则AD的长度为( )

15 A. 2 C.7 [答案] A 1 → 1 → → [解析] AD= (AC+AB)=3a- b, 2 2 1 2 → 2 → → 2 |AD| =AD?AD=9a + b -3a?b 4 9 2 =72+ -3?2 2?3? 4 2 = 225 → 15 ,∴|AD|= . 4 2

B. D.8

15 2

6.(2015?广东中山纪念中学高一期末测试)a=(2,1)、b=(3,4),则向量 a 在向量 b 方向上的投影为( A.2 5 C.2 [答案] C ) B. 5 D.10

a?b a?b 10 [解析] 向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos 〈a, b〉 =|a|? = = = |a|?|b| |b| 5
2. → → → 7.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则( A.A、B、D 三点共线 C.B、C、D 三点共线 [答案] A → → → → → [解析] AD=AB+BC+CD=2a+10b=2AB, ∴A、B、D 三点共线. 8.设向量 a=(sin15°,cos15°)、b=(cos15°,sin15°),则向量 a+b 与 a-b 的
2

)

B.A、B、C 三点共线 D.A、C、D 三点共线

夹角为(

) B.60° D.30°

A.90° C.45° [答案] A [解析] ∵(a+b)?(a-b)=a -b =0, ∴a+b 与 a-b 的夹角为 90°.
2 2

9.已知 a=(1,2)、b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c=( 7 7 A.( , ) 9 3 7 7 C.( , ) 3 9 [答案] D [解析] 设 c=(x,y),∵c+a=(x+1,y+2), 又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0,① 又 c⊥(a+b),∴3x-y=0② 7 7 由①②得 x=- ,y=- ,故选 D. 9 3 10.给定两个向量 a=(3,4)、b=(2,-1),且(a+xb)⊥(a-b),则 x 等于( A.23 23 C. 3 [答案] C [解析] a+xb=(3+2x,4-x),a-b=(1,5), ∵(a+xb)⊥(a-b),∴3+2x+5(4-x)=0, 23 ∴x= . 3 11.若|a|=|b|=2,|a+b|= 7,则 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值为( 1 A.- 2 1 C. 3 [答案] D [解析] ∵|a+b|= 7,∴a +2a?b+b =7, 1 ∴4+2?2?2cosθ +4=7,∴cosθ =- . 8
2 2

)

7 7 B.(- ,- ) 3 9 7 7 D.(- ,- ) 9 3

)

23 B. 2 23 D. 4

)

1 B. 2 D.以上都不对

3

→ → → → 12.(2015?广州高一期末测试)已知|OA|=1,|OB|= 3,OA?OB=0,点 C 在 AB 上,

m → → → 且∠AOC=30°,设OC=mOA+nOB(m、n∈R),则 等于( n
1 A. 3 C. 3 3 B.3 D. 3

)

[答案] B [解析] 如图,

→ → → → ∵OA?OB=0,∴OA⊥OB. → → ∴∠AOB=90°,又∵|OA|=1,|OB|= 3, ∴AB=2,∴∠OAC=60°, 1 又∵∠AOC=30°,∴∠OCA=90°.∴AC= . 2 → → → → 1→ ∴OC=OA+AC=OA+ AB 4 3→ 1→ → 1 → → =OA+ (OB-OA)= OA+ OB. 4 4 4 3 1 m ∴m= ,n= ,∴ =3. 4 4 n 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每空 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知向量 a=(1,- 3),则与 a 反向的单位向量是________. 1 3 [答案] (- , ) 2 2 1 ? ?x=2 ,解得? 3 y=- ? ? 2

[解析]

设 所 求 单 位 向 量 为 (x , y) , 由 ?

2 2 ?x +y =1

?y=- 3x



4

1 x=- ? ? 2 ? 3 ? ?y= 2

.

又∵所求单位向量与向量 a 反向, 1 3 ∴所求单位向量为(- , ). 2 2 14.(2015?商洛市高一期末测试)已知|a|=1,|b|=6,a?(b-a)=2,则向量 a 与 b 的夹角是________. [答案] π 3
2

[解析] 设向量 a 与 b 的夹角为 θ ,∵a?(b-a)=a?b-a =2, ∴1?6?cosθ -1=2, 1 ∴cosθ = . 2 π ∵0≤θ ≤π ,∴θ = . 3 → 1→ 2→ → → 15. 若等边△ABC 的边长为 2 3, 平面内一点 M 满足CM= CB+ CA, 则MA?MB=________. 6 3 [答案] -2 [解析] 如图所示,



MA?MB=(CA-CM)?(CB-CM)
→ 1→ 2→ → 1→ 2→ =(CA- CB- CA)?(CB- CB- CA) 6 3 6 3



→ →

→ →

?1→ 1→? ?5→ 2→? =? CA- CB??? CB- CA? 6 ? ?6 3 ? ?3
= = = 5 → → 2→2 5 →2 1→ → CA?CB- CA - CB + CB?CA 18 9 36 9 7 → → 2→2 5 →2 CA?CB- CA - CB 18 9 36 7 1 2 5 2 2 2 ?(2 3) ? - ?(2 3) - ?(2 3) 18 2 9 36

=-2.

5

16.已知平面向量 α 、β ,|α |=1,|β |=2,α ⊥(α -2β ),则|2α +β |的值是 ________. [答案] 10
2

[解析] α ⊥(α -2β )得 α ?(α -2β )=0,∴α -2α ?β =0. 又∵|α |=1,∴α ?β = . 又∵|β |=2,∴|2α +β |= ?2α +β ? = 4α +4α ?β +β =
2 2 2

1 2

1 4+4? +4= 10. 2

三、 解答题(本大题共 6 个大题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)(2015?广州高一期末测试)已知向量 a=(4,3)、b=(-1,2). (1)求 a 与 b 的夹角的余弦值; (2)若向量 a-λ b 与 2a+b 平行,求 λ 的值. [解析] (1)∵a=(4,3)、b=(-1,2), ∴a?b=4?(-1)+3?2=2, |a|= 4 +3 =5,|b|= ?-1? +2 = 5.
2 2 2 2

a?b 2 2 5 ∴cos〈a,b〉= = = . |a||b| 5? 5 25
(2)a-λ b=(4+λ ,3-2λ ), 2a+b=(7,8). ∵a-λ b 与 2a+b 平行, ∴8(4+λ )-7(3-2λ )=0, 1 ∴λ =- . 2 → → →2 18.(本小题满分 12 分)已知 A(-1,0)、B(0,2)、C(-3,1),且AB?AD=5,AD =10. (1)求点 D 的坐标; → → → (2)用AB、AD表示AC. → → [解析] (1)设 D(x,y), ,则AB=(1,2),AD=(x+1,y), → → ∴AB?AD=x+1+2y=5,① →2

AD =(x+1)2+y2=10.②
联立①②,解得?
?x=-2 ? ? ?y=3

,或?

?x=2 ? ? ?y=1

.

6

∴点 D 的坐标为(-2,3)或(2,1). → (2)当点 D 的坐标为(-2,3)时,AB=(1,2), →

AD=(-1,3),AC=(-2,1).
→ → → 设AC=mAB+nAD,则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3).
? ?-2=m-n ∴? ?1=2m+3n ?



,∴?

? ?m=-1 ?n=1 ?

→ → → .∴AC=-AB+AD;

→ → 当点 D 的坐标为(2,1)时,设 AC=pAB+qAD, 则(-2,1)=p(1,2)+q(3,1),
?-2=p+3q ? ∴? ? ?1=2p+q

,∴?

?p=1 ? ? ?q=-1

.

→ → → ∴AC=AB-AD. → → → 所以,当点 D 的坐标为(-2,3)时,AC=-AB+AD, → → → 当点 D 的坐标为(2,1)时 ,AC=AB-AD. → → 19.(本小题满分 12 分)已知点 A(1,0)、B(0,1)、C(2sinθ ,cosθ ),且|AC|=|BC|, 求 tanθ 的值. [解析] ∵A(1,0)、B(0,1)、C(2sinθ ,cosθ ), → → ∴AC=(2sinθ -1,cosθ ),BC=(2sinθ ,cosθ -1), → → 又∵|AC|=|BC|, → 2 → 2 2 2 2 2 ∴|AC| =|BC| ,∴(2sinθ -1) +cos θ =(2sinθ ) +(cosθ -1) , 化简,得 2sinθ =cosθ . 若 cosθ =0,则 sinθ =±1,则上式不成立. 1 ∴cosθ ≠0,即 tanθ = . 2 20.(本小题满分 12 分)(2015?河南南阳高一期末测试)已知向量 a、b 满足|a|=|b| =2,a 与 b 的夹角为 120°,求: (1)|a+b|及|a-b|; (2)向量 a+b 与 a-b 的夹角. [解析] (1)|a+b| =a +2a?b+b =4+2?2?2?cos120°+4 1 =4+2?2?2?(- )+4 2
2 2 2

7

=4, ∴|a+b|=2. |a-b| =a -2a?b+b
2 2 2

=4-2?2?2?cos120°+4 1 =4-2?2?2?(- )+4 2 =12, ∴|a-b|=2 3. (2)(a+b)?(a-b)=a -b =4-4=0, ∴(a+b)⊥(a-b), ∴a+b 与 a-b 的夹角为 90°. → → → 21. (本小题满分 12 分)已知向量OA=(3,-4)、OB=(6,-3)、OC=(5-m,-3-m). (1)若 A、B、C 三点共线,求实数 m 的值; (2)若∠ABC 为锐角,求实数 m 的取值范围. → → → [解析] (1)∵向量OA=(3,-4)、OB=(6,-3)、OC=(5-m,-3-m), 1 → → ∴AB=(3,1),AC=(2-m,1-m),由三点共线知 3(1-m)=2-m,解得 m= . 2 → → (2)由题设知BA=(-3,-1),BC=(-1-m,-m), 3 → → ∵∠ABC 为锐角,∴BA?BC=3+3m+m>0,解得 m>- . 4 1 3 1 1 又由(1)可知,当 m= 时,A、B、C 三点共线,故 m∈(- , )∪( ,+∞). 2 4 2 2 22.(本小题满分 14 分)已知平面上三个向量 a、b、c,其中 a=(1,2). (1)若|c|=2 5,且 c∥a,求 c 的坐标; (2)若|b|= 5 ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ . 2
2 2

[解析] (1)不妨设 c=λ a=(λ ,2λ ), 所以|c| =5λ . ∵|c|=2 5.∴λ =±2, ∴c=(2,4)或 c=(-2,-4). (2)∵a=(1,2),∴|a|= 5. ∵(a+2b)⊥(2a-b),
2 2

∴(a+2b)?(2a-b)=0, ∴2a2+3a?b-2b2=0,
8

5 ∴2?5+3a?b-2? =0, 4 5 a?b ∴a?b=- ,∴cosθ = = 2 |a||b|
又∵θ ∈[0,π ],∴θ =π . - 5 2

5 5? 2

=-1,

9


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