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函数应用1+答案


1、如图所示,某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形).矩 形的四个顶点分别在菱形四条边上, 菱形 ABCD 的边长 AB=4 米, ∠ABC=60°. 设 2 AE=x 米(0<x<4),矩形 EFGH 的面积为 S 米 . (1)求 S 与 x 的函数关系式; (2)学校准备在矩形内种植红色花草,四个三角形内种植黄色花草.已知红色 花草的价格为 20 元/米 2,黄色花草的价格为 40 元/米 2.当 x 为何值时,购买花 草所需的总费用最低,并求出最低总费用(结果保留根号)?

考点:二次函数的应用;菱形的性质;矩形的性质.2331208 专题:应用题. 分析:(1)连接 AC、BD,根据轴对称的性质,可得 EH∥BD,EF∥AC,△BEF 为等边三 角形,从而求出 EF,在 Rt△AEM 中求出 EM,继而得出 EH,这样即可得出 S 与 x 的 函数关系式. (2)根据(1)的答案,可求出四个三角形的面积,设费用为 W,则可得出 W 关于 x 的二次函数关系式,利用配方法求最值即可. 解答:解:(1)连接 AC、BD,

∵花坛为轴对称图形, ∴EH∥BD,EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC, ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=AC, 又∵∠ABC=60°, ∴△ABC 是等边三角形. 同理,得到△BEF 是等边三角形, ∴EF=BE=AB﹣AE=4﹣x, 在 Rt△AEM 中,∠AEM=∠ABD=30°, 则 EM=AEcos∠AEM= ∴EH=2EM= x, x,

故可得 S=(4﹣x)×

x=﹣

x2+4

x.

(2)易求得菱形 ABCD 的面积为 8 m2, 由(1)得,矩形 ABCD 的面积 S=﹣ x2+4 x. 则可得四个三角形的面积为(8 + x2﹣4 x), 设总费用为 W, 则 W=20(﹣ x2+4 x)+40(8 + x2﹣4 x) =20 x2﹣80 x+320 =20 (x﹣2)2+240 , ∵0<x<4, ∴当 x=2 时,W 取得最小,W 最小=240 元. 即当 x 为 2 时,购买花草所需的总费用最低,最低费用为 240 2、在关于 x,y 的二元一次方程组 中.

元.

(1)若 a=3.求方程组的解; (2)若 S=a(3x+y),当 a 为何值时,S 有最值. 考点:二次函数的最值;解二元一次方程组.2331208 分析:(1)用加减消元法求解即可; (2)把方程组的两个方程相加得到 3x+y=a+1,然后代入整理,再利用二次函数的最 值问题解答. 解答: 解:(1)a=3 时,方程组为 , ②×2 得,4x﹣2y=2③, ①+③得,5x=5, 解得 x=1, 把 x=1 代入①得,1+2y=3, 解得 y=1, 所以,方程组的解是 ;

(2)方程组的两个方程相加得,3x+y=a+1, 所以,S=a(3x+y)=a(a+1)=a2+a, 所以,当 a=﹣
2

=﹣ 时,S 有最小值.

3、如图,抛物线 y=ax +c(a≠0)经过 C(2,0),D(0,﹣1)两点,并与直线

y=kx 交于 A、B 两点,直线 l 过点 E(0,﹣2)且平行于 x 轴,过 A、B 两点分 别作直线 l 的垂线,垂足分别为点 M、N. (1)求此抛物线的解析式; (2)求证:AO=AM; (3)探究:

①当 k=0 时,直线 y=kx 与 x 轴重合,求出此时 ②试说明无论 k 取何值,

的值;

的值都等于同一个常数.

考点:二次函数综合题.2331208 专题:代数几何综合题;压轴题. 分析:(1)把点 C、D 的坐标代入抛物线解析式求出 a、c,即可得解; (2)根据抛物线解析式设出点 A 的坐标,然后求出 AO、AM 的长,即可得证; (3)①k=0 时,求出 AM、BN 的长,然后代入 + 计算即可得解; + ,再联立抛物线与直

②设点 A(x1, x12﹣1),B(x2, x22﹣1),然后表示出

线解析式,消掉未知数 y 得到关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系表示出 x1+x2,x1?2,并求出 x12+x22,x12?x22,然后代入进行计算即可得解. 解答:(1)解:∵抛物线 y=ax2+c(a≠0)经过 C(2,0),D(0,﹣1), ∴ 解得 , ,

所以,抛物线的解析式为 y= x2﹣1;

(2)证明:设点 A 的坐标为(m, m2﹣1), 则 AO= = m2+1,

∵直线 l 过点 E(0,﹣2)且平行于 x 轴, ∴点 M 的纵坐标为﹣2, ∴AM= m2﹣1﹣(﹣2)= m2+1,

∴AO=AM; (3)解:①k=0 时,直线 y=kx 与 x 轴重合,点 A、B 在 x 轴上, ∴AM=BN=0﹣(﹣2)=2, ∴ + = + =1;

②k 取任何值时,设点 A(x1, x12﹣1),B(x2, x22﹣1),



+

=

+

=

=



联立



消掉 y 得,x2﹣4kx﹣4=0, 由根与系数的关系得,x1+x2=4k,x1?x2=﹣4, 所以,x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1?x2=16k2+8, x12?x22=16, ∴ + = + = =1,

∴无论 k 取何值,

的值都等于同一个常数 1.

4、如图,抛物线与 x 轴交于 A、 B 两点,与 y 轴交 C 点,点 A 的坐标为(2,0),

点 C 的坐标为(0,3)它的对称轴是直线 x= (1)求抛物线的解析式; (2)M 是线段 AB 上的任意一点,当△MBC 为等腰三角形时,求 M 点的坐标.

考点:二次函数综合题.2331208 专题:综合题. 分析:(1)根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式,然后代入已知的两点理由待定系数法 求解即可; (2) 首先求得点 B 的坐标, 然后分 CM=BM 时和 BC=BM 时两种情况根据等腰三角形 的性质求得点 M 的坐标即可.

解答:解:(1)设抛物线的解析式

把 A(2,0)C(0,3)代入得:

解得:

∴ 即

(2)由 y=0 得 ∴x1=2,x2=﹣3 ∴B(﹣3,0) ①CM=BM 时 ∵BO=CO=3 即△BOC 是等腰直角三角形 ∴当 M 点在原点 O 时,△MBC 是等腰三角形 ∴M 点坐标(0,0) ②BC=BM 时 在 Rt△BOC 中,BO=CO=3, 由勾股定理得 BC= ∴BC= ∴BM= ,

∴M 点坐标(
5、如图,在直角坐标系中,抛物线 y=x ﹣3x 与经过点 B(0,6)的直线相交于
2

x 轴上点 A(3,0),P 为线段 AB 上一动点(P 点横坐标为 t,且与点 A、B 不 重合),过 P 作 x 轴垂线,交抛物线于 Q 点,连接 OP,OQ,QA. (1)写出直线 AB 表达式; (2)求 t 为何值时,△POQ 为等腰直角三角形; (3)设四边形 APOQ 面积为 S.求 S 与 t 的函数关系式,并求 S 的整数值的个 数. 参考公式:抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是(﹣ 直线 x=﹣ . , ),对称轴是

考点:二次函数综合题.2331208 专题:综合题. 分析:(1)设直线 AB 解析式为 y=kx+b,将 A 与 B 代入计算求出 k 与 b 的值,即可确定出 直线 AB 解析式; (2)若三角形 POQ 为等腰直角三角形,根据题意得到|PQ|=2t,将 x=t 代入直线 AB 解 析式求出 P 纵坐标,将 x=t 代入抛物线解析式求出 Q 纵坐标,两纵坐标相减的绝对值 即为|PQ|,列出关于 t 的方程,求出方程的解即可得到 t 的值; (3)四边形 APOQ 的对角线互相垂直,由 OA 与 PQ 乘积的一半表示出 S 与 t 的关系 式,求出 S 的整数值个数即可. 解答:解:(1)设直线 AB 解析式为 y=kx+b, 将 A(3,0),B(0,6)代入得: 解得: , ,

则直线 AB 解析式为 y=﹣2x+6; (2)将 x=t 代入直线 AB 解析式得:y=﹣2t+6; 将 x=t 代入抛物线 y=x2﹣3x 解析式得:y=t2﹣3t, ∴|PQ|=﹣2t+6﹣t2+3t=﹣t2+t+6, 若△POQ 为等腰直角三角形,则有 2t=﹣t2+t+6,即 t2+t﹣6=0, 解得:t=2 或 t=﹣3(舍去), 则 t=2 时,△POQ 为等腰直角三角形; (3)∵OA⊥PQ, ∴S= |OA|?|PQ|= ×3×(﹣t2+t+6)=﹣ t2+ t+9, ∵0<S<9 ,∴S 的整数值可能为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 当 S=1,2,3,4,5,6,7,8,9 时,求出的 t 值在范围 0<t<3 中,

∴S 的整数值有 9 个.
6、如图,已知抛物线 y= (x﹣2)(x+a)(a>0)与 x 轴交于点 B、C,与 y

轴交于点 E,且点 B 在点 C 的左侧. (1)若抛物线过点 M(﹣2,﹣2),求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,解答下列问题; ①求出△BCE 的面积; ②在抛物线的对称轴上找一点 H,使 CH+EH 的值最小,直接写出点 H 的坐标.

考点:二次函数综合题.2331208 专题:综合题. 分析:(1)将 M 坐标代入抛物线解析式求出 a 的值即可; (2)①求出的 a 代入确定出抛物线解析式,令 y=0 求出 x 的值,确定出 B 与 C 坐标, 令 x=0 求出 y 的值,确定出 E 坐标,进而得出 BC 与 OE 的长,即可求出三角形 BCE 的面积;②根据抛物线解析式求出对称轴方程为直线 x=﹣1,根据 C 与 B 关于对称轴 对称,连接 BE,与对称轴交于点 H,即为所求,设直线 BE 解析式为 y=kx+b,将 B 与 E 坐标代入求出 k 与 b 的值,确定出直线 BE 解析式,将 x=﹣1 代入直线 BE 解析式 求出 y 的值,即可确定出 H 的坐标. 解答:解:(1)将 M(﹣2,﹣2)代入抛物线解析式得:﹣2= (﹣2﹣2)(﹣2+a), 解得:a=4; (2)①由(1)抛物线解析式 y= (x﹣2)(x+4), 当 y=0 时,得:0= (x﹣2)(x+4), 解得:x1=2,x2=﹣4, ∵点 B 在点 C 的左侧, ∴B(﹣4,0),C(2,0), 当 x=0 时,得:y=﹣2,即 E(0,﹣2), ∴S△BCE= ×6×2=6;

②由抛物线解析式 y= (x﹣2)(x+4),得对称轴为直线 x=﹣1, 根据 C 与 B 关于抛物线对称轴直线 x=﹣1 对称,连接 BE,与对称轴交于点 H,即为 所求, 设直线 BE 解析式为 y=kx+b, 将 B(﹣4,0)与 E(0,﹣2)代入得: ,

解得:



∴直线 BE 解析式为 y=﹣ x﹣2, 将 x=﹣1 代入得:y= ﹣2=﹣ , 则 H(﹣1,﹣ ).

7、已知:关于 x 的二次函数 y=﹣x +ax(a>0),点 A(n,y1)、B(n+1,y2)、

2

C(n+2,y3)都在这个二次函数的图象上,其中 n 为正整数. (1)y1=y2,请说明 a 必为奇数; (2)设 a=11,求使 y1≤y2≤y3 成立的所有 n 的值; 考点:二次函数综合题.2331208 专题:综合题;压轴题. 分析:(1) 将点 A 和点 B 的坐标代入二次函数的解析式, 利用 y1=y2 得到用 n 表示 a 的式子, 即可得到答案; (2)将 a=11 代入解析式后,由题意列出不等式组,求得此不等式组的正整数解; (3)本问为存在型问题.如解答图所示,可以由三角形全等及等腰三角形的性质,判 定点 B 为抛物线的顶点,点 A、C 关于对称轴对称.于是得到 n+1= ,从而可以求出 n= ﹣1. 解答:解:(1)∵点 A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在二次函数 y=﹣x2+ax(a >0)的图象上,

∴y1=﹣n2+an,y2=﹣(n+1)2+a(n+1) ∵y1=y2, ∴﹣n2+an=﹣(n+1)2+a(n+1) 整理得:a=2n+1 ∴a 必为奇数; (2)当 a=11 时,∵y1≤y2≤y3 ∴﹣n2+11n≤﹣(n+1)2+11(n+1)≤﹣(n+2)2+11(n+2) 化简得:0≤10﹣2n≤18﹣4n, 解得:n≤4, ∵n 为正整数, ∴n=1、2、3、4.

8、某公司投资 700 万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后,进行这两种产

品加工.已知生产甲种产品每件还需成本费 30 元,生产乙种产品每件还需成本 费 20 元.经市场调研发现:甲种产品的销售单价为 x(元),年销售量为 y(万 件),当 35≤x<50 时,y 与 x 之间的函数关系式为 y=20﹣0.2x;当 50≤x≤70 时, y 与 x 的函数关系式如图所示, 乙种产品的销售单价, 在 25 元 (含) 到 45 元 (含) 之间,且年销售量稳定在 10 万件.物价部门规定这两种产品的销售单价之和为 90 元. (1)当 50≤x≤70 时,求出甲种产品的年销售量 y(万元)与 x(元)之间的函数 关系式. (2)若公司第一年的年销售量利润(年销售利润=年销售收入﹣生产成本)为 W(万元),那么怎样定价,可使第一年的年销售利润最大?最大年销售利润是 多少? (3)第二年公司可重新对产品进行定价,在(2)的条件下,并要求甲种产品的 销售单价 x(元)在 50≤x≤70 范围内,该公司希望到第二年年底,两年的总盈利 (总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本) 不低于 85 万元. 请直接写出第二 年乙种产品的销售单价 m(元)的范围.

考点:二次函数的应用.2331208 专题:压轴题. 分析:(1)设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b(k≠0),然后把点(50,10),(70,8)代 入求出 k、b 的值即可得解;

(2)先根据两种产品的销售单价之和为 90 元,根据乙种产品的定价范围列出不等式 组求出 x 的取值范围是 45≤x≤65,然后分 45≤<50,50≤x≤65 两种情况,根据销售利润 等于两种产品的利润之和列出 W 与 x 的函数关系式,再利用二次函数的增减性确定出 最大值,从而得解; (3)用第一年的最大利润加上第二年的利润,然后根据总盈利不低于 85 万元列出不 等式,整理后求解即可. 解答:解:(1)设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b(k≠0), ∵函数图象经过点(50,10),(70,8), ∴ 解得 , ,

所以,y=﹣0.1x+15; (2)∵乙种产品的销售单价在 25 元(含)到 45 元(含)之间, ∴ ,

解之得 45≤x≤65, ①45≤x<50 时,W=(x﹣30)(20﹣0.2x)+10(90﹣x﹣20), =﹣0.2x2+16x+100, =﹣0.2(x2﹣80x+1600)+320+100, =﹣0.2(x﹣40)2+420, ∵﹣0.2<0, ∴x>40 时,W 随 x 的增大而减小, ∴当 x=45 时,W 有最大值,W 最大=﹣0.2(45﹣40)2+420=415 万元; ②50≤x≤65 时,W=(x﹣30)(﹣0.1x+15)+10(90﹣x﹣20), =﹣0.1x2+8x+250, =﹣0.1(x2﹣80x+1600)+160+250, =﹣0.1(x﹣40)2+410, ∵﹣0.1<0, ∴x>40 时,W 随 x 的增大而减小, ∴当 x=50 时,W 有最大值,W 最大=﹣0.1(50﹣40)2+410=400 万元. 综上所述,当 x=45,即甲、乙两种产品定价均为 45 元时,第一年的年销售利润最大, 最大年销售利润是 415 万元; (3)根据题意得,W=﹣0.1x2+8x+250+415﹣700=﹣0.1x2+8x﹣35, 令 W=85,则﹣0.1x2+8x﹣35=85,解得 x1=20,x2=60. 又由题意知,50≤x≤65,根据函数性质分析,50≤x≤60, 即 50≤90﹣m≤60, ∴30≤m≤40.
9、如图是一隧道的截面,截面是由一抛物线和一矩形构成,其行车道 CD 总宽度为 8 米,隧 道为单行线 2 车道(车辆不能压中心线行驶). (1)建立恰当的平面直角坐标系,并求出隧道拱抛物线的解析式; (2)为了保证行车安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道拱在竖直方向上高度之差

至少有 0.5 米.现有一辆汽车,装载货物后、其宽度为 4 米、车载货物的顶部与路面的距离 为 2.5 米,该车能否通过这个隧道?请说明理由.

10、“黄海”生化食品研究所欲将甲、乙、丙三种食物混合研制成 100 千克食品,并规定研制成的混合食
品中至少需要 44 000 单位的维生素 A 和 48 000 单位的维生素 B.三种食物的维生素 A、B 的含量及成本如 下表所示: 类 别 甲种食物 400 800 9 乙种食物 600 200 12 丙种食物 400 400 8

维生素 A(单位/千克) 维生素 B(单位/千克) 成本(元/千克)

设取甲、乙、丙三种食物的质量分别为 x 千克、y 千克、z 千克. (1)根据题意列出等式或不等式,并证明:y≥20 且 2x-y≥40; (2)若限定混合食品中要求含有甲种食物的质量为 40 千克,试求此时制成的混合食品的总成本 w 的取值范 围,并确定当 w 取最小值时,可取乙、丙两种食物的质量.


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