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椭圆双曲线综合复习教案[1]


椭圆、双曲线复习

一、给出椭圆定义、引出方程和性质 1、定义 椭圆的定义: 平面内与两定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于 F1 F 2 )的点 的轨迹(或集合)叫做椭圆.F1, F2 叫做椭圆的焦点; F1 F 2 叫 做椭圆的焦距. 双曲线的定义: 平面内与两定点 F1,2 的距离的差的绝对值等于常数 F (小于 F1 F 2 ) 的点的轨迹(或集合)叫做双曲线.F1, F2 叫做双曲线的焦点;
F1 F 2

叫做双曲线的焦距.

2、性质一览表 椭圆与双曲线焦点在 x 轴上
2 2 2 2 2 2 2 2

方程 顶点 对称轴

x a

?

y b

?1

(a ? b ? 0 )

x a

?

y b

? 1 ( a ? 0, b ? 0 )

(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b) (0,-a)(0,a) x 轴 y 轴,长轴长 2a, x 轴 y 轴,实轴长 2a,

短轴长 2b 焦点 焦距 (-c,0)( c,0) | F1 F 2 |=2c,c 2 =a 2 -b 2

虚轴长 2b (0,-c)(0,c) | F1 F 2 |=2c,c 2 =a 2 +b 2 e=c/a
y ? ? b a x

离心率 e=c/a 渐近线 椭圆与双曲线焦点在 y 轴上
2 2 2 2

方程 顶点 对称 轴 焦点 焦距 离心

y a

?

x b

? 1(a ? b ? 0 )

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0 )

(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0) x 轴 y 轴,长轴长 2a, 短轴长 2b (0,-c)(0,c) | F1 F 2 |=2c,c 2 =a 2 -b 2 e=c/a

(0,-a)(0,a) x 轴 y 轴,实轴长 2a, 虚轴长 2b (0,-c)(0,c) | F1 F 2 |=2c,c 2 =a 2 +b 2 e=c/a

率 渐近
y ? ? a b

x

线 二、本节我们要解决的问题: 1.根据已知条件求标准方程: 1)利用定义求标准方程:

2)通过 a,b,c 的值,求标准方程: 2.已知标准方程,求顶点,焦点,离心率等 3.椭圆与双曲线综合 4.利用基础知识,解决实际问题。 例 1:(根据定义求曲线的标准方程) 1. 已知椭圆的焦点在 x 轴上,焦距为 8,椭圆上的点到两 个焦点的距离之和为 10.求椭圆的标准方程. 2.已知双曲线的焦点在 y 轴上,且焦距为 14,双曲线上一点到两个 焦点距离之差的绝对值等于 8,求双曲线的标准方程. 1 解:.由于 2c = 8,2a = 10,即 c = 4,a = 5, 所以
2

b

? a

2

?c

2

=9

由于椭圆的焦点在 x 轴上,因此椭圆的标准方程为
2 2 2 2 2 2

x 5

?

y 3

?1



x

?

y

?1

25

9

2 解.

由已知得 2c = 14,2a = 8,即 c = 7,a = 4, 所以 b 2
? c ?a
2 2

=33

由于双曲线的焦点在 y 轴上,因此双曲线的标准方程为
2 2

y

?

x

?1

16

33

练习: 1.已知椭圆的焦点 F1 ( 0 , ? 2 ) 、 F 2 ( 0 , 2 ) 椭圆上的点到两个焦点的 距离之和为 8.求椭圆的标准方程. 2.设动点 M 到两个定点
F1 ( ? 13 , 0 )

、 F2 (

13 , 0 )

的距离之差

等于 4,求动点 M 轨迹的方程.
2 2

答案;1、

x

?

y

?1

12

16

2、

x

2

?

y

2

?1

4

9

例 2(根据已知条件 a,b,c 求标准方程) 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)a = 4,b = 1,焦点在 x 轴上; (2)a = 4, c ? 焦点在 y 轴上.

15

(3)求 e = 0.8,c = 4 的椭圆的标准方程.

答案:(1)

x

2

? y

2

?1

16

(2)

y

2

? x

2

?1

16

(3)

x

2

?

y

2

? 1或

y

2

?

x

2

?1

25

9

25

9

2.已知:双曲线的一个焦点为(5,0),渐近线方程为 y 求:双曲线的标准方程 解 由已知条件知双曲线的焦点在 x 轴.所以有
2

? ?

4 3

x



a

?b

2

? 25

b a

?

4 3

解得,a=3,b=4
2 2

故所求的双曲线方程为

x

?

y

?1

9

16

练习 :(1)求长轴长为 18,离心率为 的椭圆的标准方程
3

1

(2)双曲线的两个顶点坐标为(0,-4),(0,4) 离心率为 ,求双曲线的标准方程及渐近线方程
2 3

答案(1)

x

2

?

y

2

?1



y

2

?

x

2

?1

81

72

81

72

(2)

y

2

?

x

2

?1

16

20

例 3(已知方程求其焦点、顶点、离心率等,方法化标找 a、b、c) 求双曲线
9 x ? 16 y
2 2

? 144

的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心

率与渐近线方程。
2 2

解:

将所给的方程化为标准方程,得

x

?

y

?1

16

9

因此双曲线的焦点在 x 轴上 a 2 故c2
? a
2

? 16 , b

2

? 9

?b

2

=25

a=4, b=3,c=5 所以双曲线的实轴长为 2a=8,虚轴长为 2b=6 焦点坐标为 离心率为 e= 练习:求椭圆
F1 (-5,0)

F2

(5,0)
? ? 3 4

c a

?

5 4

,渐近线方程为 y

x

9 x ? 25 y
2

2

=225 的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐

标、顶点坐标。
2 2

提示:化标

x

?

y

? 1找

a、b、c

25

9

答案:长轴长 2a = 10,短轴长 2b = 6 离心率 e =

c a

?

4 5

焦点坐标 F1 (-4,0) 顶点坐标 A1 (-5,0)

F2

(4,0)
B 1 (0,-3)
B 2 (0,3)

A 2 (5,0)

例 4(椭圆与双曲线综合) 求以椭圆
x?

4x ? y
2

2

? 64

的焦点为顶点,一条渐近线方程为

3 y ? 0 的双曲线的标准方程方程.

解:椭圆化为标准方程

x

2

?

y

2

?1

16

64

求得椭圆焦点为(0,± 4 即双曲线的半实轴长:a= 4
?1 3

3

) , 且焦点在 y 轴上
1 3

3

渐近线方程为 y=

x



a b

?

故双曲线的半虚轴轴长:a=4
2

3

,b=12
2

所以,所求双曲线方程为:

y

?

x

?1

48

144

练习:
2 2

(1)求以椭圆

x

?

y

?1

的焦点为顶点

,而以此椭圆的顶

9

5

点为焦点的双曲线方程.

答案:

x

2

?

y

2

?1

4

5

(2)椭圆与双曲线 x 2 求椭圆的标准方程。
2 2

? 4y

2

? 4 有共同的焦点,其长轴长为

12,

答案:

x

?

y

?1

36

31

选讲题 例 5(实际应用题 )

已知一个椭圆形的油桶盖, 其长轴的两端到一个焦点的距分别 为 40cm 和 10cm.求椭圆的标准方程与两个焦点的坐标. 解 a+c=40 a-c=10 a=25,c=15,b=20
2 2

故椭圆的标准方程为

x

?

y

?1

625

400

焦点坐标为

F1 ( ? 15 , 0 )

、 F 2 (15 , 0 )


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