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第02章§2.7函数的图象


1.描点法作图
方法步骤:(1)确定函数的定义域; (2)化简函数的解析 式; (3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、 最值(甚至变化趋势); (4)描点连线,画出函数的图象. 2.图象变换 (1)平移变换

同.( × ) (2)函数 y=af(x)与 y=f(ax)(a>0 且 a≠1)的图象相同.( × ) (3)函数 y=f(x)与 y=-f(x)的图象关于原点对称.( × ) (4)若函数 y=f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则函数 f(x)的图象 关于直线 x=1 对称.( √ ) (5)将函数 y=f(-x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 y=f(-x-1)的图象.( × )

1.(教材改编)函数 f(x)=x+x的图象关于(

1

)

A.y 轴对称 B.x 轴对称 C.原点对称 D.直线 y=x 对称 【解答】C 解析函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)且 f(-x)=- f(x),即函数 f(x)为奇函数,故选 C. 2.(2016· 全国乙卷)函数 y=2x2-e|x|在[-2,2]上的图象 大致为( )

(2)对称变换

关于x轴对称 ①y=f(x) ―――――→ y=-f(x); 关于y轴对称 ②y=f(x)―――――→y=f(-x);
③y=f(x) ―――――→ y=-f(-x); 关于y=x对称 ④y=ax(a>0 且 a≠1) ―――――→ y=logax(a>0 且 a≠1). (3)伸缩变换
a ①y=f ? x ? ????????????? ? y=f(ax). 1 0? a ?1,横坐标伸长为原来的 倍,纵坐标不变 a 1 a ?1,横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变

关于原点对称

0<a<1 a>1 纵坐标伸长为原来的a倍 纵坐标缩短为原来的 ②y=f(x)―――――――――――――――――――→

横坐标不变
y=af(x). (4)翻折变换

保留x轴上方图象 ①y=f(x)将 ―――――――――→ x轴下方图象翻折上去y=|f(x)|. 保留y轴右边图象 ②y=f(x)――――――――――→ 关于y轴对称的图象 y=f(|x|). 并作其
【知识拓展】 1.函数对称的重要结论 (1)函数 y=f(x)与 y=f(2a-x)的图象关于直线 x=a 对称. (2)函数 y=f(x)与 y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中 心对称. (3)若函数 y=f(x)对定义域内任意自变量 x 满 足:f(a+x)=f(a-x),则函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称. 2.函数图象平移变换八字方针 (1) "左加右减" ,要注意加减指的是自变量. (2) "上加下减" ,要注意加减指的是函数值. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打 "√" 或 "× ") (1)当 x∈(0,+∞)时,函数 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象相

【解答】D 解析 f(2)=8-e2>8-2.82>0,排除 A; f(2)=8-e2<8- 2.72<1,排除 B; 在 x>0 时,f(x)=2x2-ex,f ' (x)=4x-ex, 1 ? 1? ? 1? 当 x∈?0,4?时,f ' (x)<4× 4-e0=0,因此 f(x)在?0,4?上 ? ? ? ? ↘,排除 C,故选 D. ?3x , x≤1, ? 3.(2016· 岳阳模拟)已知函数 f ( x) ? ?log x, x>1, 则 1 ? ? 3 y=f(2-x)的大致图象是( )

【解答】A
?3x , x≤1, ? 解析 ∵函数 f ( x) ? ?log x, x>1, 1 ? ? 3 ?32? x , x≥1, ? 则 y ? f (2 ? x) ? ?log (2 ? x), x<1, 1 ? ? 3

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故函数 f(2-x)是以 x=1 为界的分段函数,只有 A 符合, 故选 A. 4.函数 y=f(x)在 x∈[-2,2]上的图象如图所示,则当 x∈[-2,2]时,f(x)+f(-x)=______.
2 ?x -2x-1,x≥0, (4)∵y=? 2 且函数为偶函数,先用描 ?x +2x-1,x<0, 点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0) 【解答】0 上的图象,如图④. 解析由图象的对称性知 f(x)在[-2,2]上为奇函数,∴ 思维升华图象变换法作函数的图象 f(x)+f(-x)=0. (1)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、 反比例 ?log2x(x>0), 1 5.已知函数 f(x)=? x 且关于 x 的方程 f(x) 函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 y=x+x的 ?2 (x≤0), -a=0 有两个实根,则实数 a 的取值范围是______. 函数. 【解答】(0,1] (2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻 解析当 x≤0 时,0<2x≤1,要使方程 f(x)-a=0 有两个实根, 折、 对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变 即函数 y=f(x)与 y=a 的图象有两个交点,∴由图象可知 换顺序. 0<a≤1. 作出下列函数的图象. (1)y=|x-2|· (x+1); x+2 (2)y= . x+3 【解答】(1)当 x≥2,即 x-2≥0 时, 1 9 y=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x-2)2-4; 当 x<2,即 x-2<0 时, 1 9 y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-(x-2)2+4.

题型一作函数的图象 例 1 作出下列函数的图象. 1 (1)y=(2)|x|; (2)y=|log2(x+1)|; 2x-1 (3)y= ; x-1 (4)y=x2-2|x|-1. 1 1 【解答】(1)作出 y=(2)x 的图象,保留 y=(2)x 的图象中 1 x≥0 的部分,加上 y=(2)x 的图象中 x>0 部分关于 y 轴的 1 对称部分,即得 y=(2)|x|的图象,如图①实线部分.

12 9 ? ?(x-2) -4,x≥2, ∴y=? 1 9 ?-(x-2)2+4,x<2. ? 这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函数图象 作出(如图).

x+2 1 1 (2)y= =1- ,该函数图象可由函数 y=-x向左 x+3 x+3 平移 3 个单位,再向上平移 1 个单位得到,如图所示.

(2)将函数 y=log2x 的图象向左平移 1 个单位,再将 x 轴 下方的部分沿 x 轴翻折上去,即可得到函数 y=|log2(x+1)|的图象,如图②. 2x-1 1 1 (3)∵y= =2+ ,故函数图象可由 y=x的图象向 x-1 x-1 右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位而得,如图③.

题型二识图与辨图 ππ 例 2(1)(2016· 邯郸模拟)函数 f(x)=2x-tanx 在(-2 , 2) 上的图象大致为( )

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(2)已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图象如图所 示,则 y=-f(2-x)的图象为( ) (2)(2015· 课标全国Ⅱ)如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x.将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示 为 x 的函数 f(x),则 y=f(x)的图象大致为( )

【解答】(1)D(2)B 解析(1)f(x)=2x-tanx 是奇函数,其图象关于原点成中 π π π π 心对称,又 f( 4)=2-tan4=2 -1>0,故选 D. (2)方法一由 y=f(x)的图象知, ?x(0≤x≤1), f(x)=? ?1(1<x≤2). 当 x∈[0,2]时,2-x∈[0,2], ?1(0≤x<1), ∴f(2-x)=? ?2-x(1≤x≤2), ?-1(0≤x<1), 故 y=-f(2-x)=? 图象应为 B. ?x-2(1≤x≤2). 方法二当 x=0 时,-f(2-x)=-f(2)=-1; 当 x=1 时,-f(2-x)=-f(1)=-1. 观察各选项,可知应选 B. 思维升华函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置; 从函数的 值域,判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复; (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象. ex+e-x (1)(2016· 武汉模拟)函数 y= x -x的图象大 e -e 致为( )

【解答】(1)A(2)B ex+e-x 2 解析(1)y= x -x=1+ 2x 为奇函数且 x=0 时函数无 e -e e -1 意义,可排除 C.D,又在(-∞,0),(0,+∞)上↘,故选 A. π (2)当点 P 沿着边 BC 运动,即 0≤x≤4 时, 在 Rt△ POB 中,PB=OBtan∠POB=tanx, 在 Rt△ PAB 中,PA= AB2+PB2= 4+tan2x, 则 f(x)=PA+PB= 4+tan2x+tanx,它不是关于 x 的一次 函数,图象不是线段,故排除 A 和 C; π 当点 P 与点 C 重合,即 x=4 时, π π ?π? 由上得 f?4 ?= 4+tan24+tan4= 5+1,又当点 P 与边 ? ? π CD 的中点重合,即 x=2时,△ PAO 与△ PBO 是全等的腰 ?π? 长为 1 的等腰直角△,故 f?2?=PA+PB= 2+ 2=2 2,知 ? ? π π ? ? ? ? f?2 ?<f?4 ?,∴排除 D.故选 B. ? ? ? ? 题型三函数图象的应用 命题点 1 研究函数的性质 例 3(1)已知函数 f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是 ( ) A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)

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B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0) (2)若函数 y=f(2x+1)是偶函数,则函数 y=f(x)图象的对 称轴方程是( ) A.x=1B.x=-1 C.x=2D.x=-2 【解答】(1)C(2)A 解析(1)将函数 f(x)=x|x|-2x 去掉绝对值得 2 ?x -2x,x≥0, f(x)=? 2 ?-x -2x,x<0, 画出函数 f(x)的图象,如图,

观察图象可知, 函数 f(x)的图象关于原点对称,故函数 f(x)为奇函数,且 在(-1,1)上↘. (2)∵f(2x+1)是偶函数, ∴f(2x+1)=f(-2x+1)? f(x)=f(2-x), ∴f(x)图象的对称轴为直线 x=1. 命题点 2 解不等式 例 4 函数 f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,在 (0,+∞)上↗,图象如图所示,若 x· [f(x)-f(-x)]<0,则 x 的 取值范围为______.

m>3. 思维升华(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已 知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性质(单调 性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图 象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系. (2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解 问题,方程 f(x)=g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象交点 的横坐标; 不等式 f(x)<g(x)的解集是函数 f(x)的图象 位于 g(x)图象下方的点的横坐标的集合,体现了数形 结合思想. (1)(2015· 课标全国Ⅰ)设函数 y=f(x)的图象与 x +a y=2 的图象关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1, 则 a=( ) A.-1B.1 C.2D.4 (2)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有 两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是( ) 1 1 A.(0,2)B.(2,1) C.(1,2)D.(2,+∞) 【解答】(1)C(2)B 解析(1)设 f(x)上任意一点为(x,y),关于 y=-x 的对称点 为(-y,-x),将(-y,-x)代入 y=2x+a,∴y=a-log2(-x), 由 f(-2)+f(-4)=1,得 a-1+a-2=1,解得 a=2. (2)先作出函数 f(x)=|x-2|+1 的图象,如图所示,当直线 g(x)=kx 与直线 AB 平行时斜率为 1,当直线 g(x)=kx 过 1 A 点时斜率为2,故 f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,k 1 的取值范围为(2,1).

【解答】(-3,0)∪(0,3) 解析 ∵f(x)为奇函数, ∴x· [f(x)-f(-x)]=2x· f(x)<0, 结合图象知 x 的范围为(-3,0)∪(0,3). 命题点 3 求解函数零点问题 例 5(2016· 山东)已知函数 ?|x|,x≤m, f(x)=? 2 其中 m>0,若存在实数 ?x -2mx+4m,x>m, b,使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取 值范围是______. 【解答】(3,+∞) 解析如图,

4.高考中的函数图象及应用问题
考点分析高考中考查函数图象问题主要有函数图象的 识别,函数图象的变换及函数图象的应用等,多以小题 形式考查,难度不大,常利用特殊点法、 排除法、 数形结 合法等解决.熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数 是解决前提. 一、已知函数解析式确定函数图象 ? 1? 典例 1(2015· 浙江)函数 f(x)=?x-x?cosx(-π≤x≤π 且 ? ? x≠0)的图象可能为( )

当 x≤m 时,f(x)=|x|; 当 x>m 时,f(x)=x2-2mx+4m,在 (m,+∞)上↗,若存在实数 b,使方程 f(x)=b 有三个不同的 根,则 m2-2m· m+4m<|m|.∵m>0,∴m2-3m>0,解得

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(3)(2016· 吉林三校联考)若函数 f(x)= 图所示,则 m 的取值范围为( )

(2-m)x 的图象如 x2+m

A.(-∞,-1)B.(-1,2) C.(0,2)D.(1,2) 解析(1)由 y=2[f(x)]2-3f(x)+1=0, 1 解析 ∵f(x)=(x-x)cosx(-π≤x≤π 且 x≠0), 1 得 f(x)=1 或 f(x)=2, ∴f(-x)=-f(x), ?x>0, ?x≤0, ∴f(x)为奇函数,排除 A,B; 当 x=π 时,f(x)<0,排除 C. ? ? |x| ①若 f(x) = 1 , 则 或 故选 D. ?|lg x|=1 ?2 =1, 【解答】D 1 解得 x=10 或 x= 或 x=0. 二、函数图象的变换问题 10 典例 2 若函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=-f(x+1) x≤0, ?x>0, ? ? 的图象大致为( ) 1 ? ②若 f(x)=2,则? 1 或? |x| 1 |lg x|=2 2 =2, ? ? ? ? 1 解得 x= 10或 x= , 10 综上,共有 5 个零点. (2)令 g(x)=y=log2(x+1),作出函数 g(x)的图象如图所示.

解析由 y=f(x)的图象得到 y=-f(x+1)的图象,需要先将 y=f(x)的图象关于 x 轴对称得到 y=-f(x)的图象,然后 再向左平移一个单位得到 y=-f(x+1)的图象,根据上述 步骤可知 C 正确. 【解答】C 三、函数图象的应用 ?|lg x|,x>0, 典例 3(1)已知 f(x)=? |x| 则函数 y=2[f(x)]2 ?2 ,x≤0, -3f(x)+1 的零点个数是______. (2)(2015· 北京)如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不 等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是( )

?x+y=2, ?x=1, 由? 得? ?y=log2(x+1), ?y=1. ∴结合图象知不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|- 1<x≤1}. (3)根据图象可知,函数图象过原点, 即 f(0)=0,∴m≠0. 当 x>0 时,f(x)>0,∴2-m>0, 即 m<2,函数 f(x)在[-1,1]上是↗的, ∴f ' (x)>0 在[-1,1]上恒成立, (2-m)(x2+m)-2x(2-m)x (m-2)(x2-m) f ' (x)= = >0, (x2+m)2 (x2+m)2 ∵m-2<0,∴只需要 x2-m<0 在[-1,1]上恒成立, ∴(x2-m)max<0,∴m>1, 综上,1<m<2,故选 D. 【解答】(1)5(2)C(3)D

1.(2016· 北京海淀区模拟)函数 f(x)=2x+sinx 的部分图
象可能是( A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1}D.{x|-1<x≤2}
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)

(

)

【解答】A 解析方法一 ∵f(-x)=-2x-sinx=-f(x), ∴f(x)为奇函数,排除 B.C; π 又 0<x< 2时,f(x)>0,排除 D, 故选 A. 方法二 ∵f ' (x)=2+cosx>0, ∴f(x)↗,故选 A. 2.函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与 曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)的解析式为( ) A.f(x)=ex+1B.f(x)=ex-1 C.f(x)=e-x+1D.f(x)=e-x-1 【解答】D 解析与 y=ex 的图象关于 y 轴对称的函数为 y=e-x.依题 意,f(x)的图象向右平移一个单位,得 y=e-x 的图象.∴f(x) 的图象由 y=e-x 的图象向左平移一个单位得 到.∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1. 2 ?x +2x-1,x≥0, 3.已知函数 f(x)=? 2 对任意 ?x -2x-1,x<0, x1,x2∈R,若 0<|x1|<|x2|,则下列不等式成立的是( ) A.f(x1)+f(x2)<0B.f(x1)+f(x2)>0 C.f(x1)-f(x2)>0D.f(x1)-f(x2)<0 【解答】D 解析函数 f(x)的图象如图所示,

【解答】D 解析当 x≥1 时,f(x)=elnx=x,其图象为一条直线; 当 1 0<x<1 时,f(x)=e-lnx=x.函数 y=f(x+1)的图象为函数 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位长度后得到的.故选 D. 6.对于函数 f(x)=lg(|x-2|+1),给出如下三个命题: ①f(x+2)是偶函数; ②f(x)在区间(-∞,2)上↘,在区间 (2,+∞)上↗; ③f(x)无最小值.其中正确的个数为( ) A.1B.2C.3D.0 【解答】B 解析∵函数 f(x)=lg(|x-2|+1), ∴函数 f(x+2)=lg(|x|+1)是偶函数; 图象向左平移1个单位长度 ∵y=lgx ――――――――――→ y=lg(x+1) 去掉y轴左侧的图象 以y轴为对称轴 ―――――――――――――――――――――――――→ 作y轴右侧的对称图象 图象向右平移2个单位长度 y=lg(|x|+1) ――――――――――→ y=lg(|x-2|+1), 如图,

且 f(-x)=f(x),从而函数 f(x)是偶函数且在[0,+∞)上↗. 又 0<|x1|<|x2|, ∴f(x2)>f(x1), 即 f(x1)-f(x2)<0. 1 4.函数 y= 的图象与函数 y=2sin πx(-2≤x≤4)的图 1-x 象所有交点的横坐标之和=( ) A.2B.4C.6D.8 【解答】D 解析如图,两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称,两 个图象在[-2,4]上共 8 个公共点,每两个对应交点横坐 标之和为 2,故所有交点的横坐标之和为 8.

可知 f(x)在(-∞,2)上↘, 在(2,+∞)上↗; 由图象可知函数存在最小值 0.∴①② 正确. 7.设函数 y=f(x+1)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函 数,在区间(-∞,0)上↘,且图象过点(1,0),则不等式(x- 1)f(x)≤0 的解集为______. 【解答】{x|x≤0 或 1<x≤2} 解析 y=f(x+1)向右平移 1 个单位得到 y=f(x)的图象,由 已知可得 f(x)的图象的对称轴为 x=1,过定点(2,0),且函 数在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增,则 f(x)的大致图象 如图所示.

5.已知函数 f(x)=e|lnx|,则函数 y=f(x+1)的大致图象为

?x>1, ?x<1, 不等式(x-1)f(x)≤0 可化为? 或? ?f(x)≤0 ?f(x)≥0.

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由图可知符合条件的解集为{x|x≤0 或 1<x≤2}. 8.设 f(x)=|lg(x-1)|,若 0<a<b 且 f(a)=f(b),则 ab 的取值 范围是______. 【解答】(4,+∞) 解析画出函数 f(x)=|lg(x-1)|的图象如图所示.

1 函数 f(x)max=4; ∵g(x)=|x-k|+|x-1|≥|x-k-(x-1)|=|k-1|, ∴g(x)min=|k-1|, 1 3 5 ∴|k-1|≥4,解得 k≤4或 k≥4. 3 5 故实数 k 的取值范围是(-∞,4]∪[4,+∞). 11.已知函数 f(x)=2x,x∈R. (1)当 m 取何值时,方程|f(x)-2|=m 有一个解? 两个解? (2)若不等式[f(x)]2+f(x)-m>0 在 R 上恒成立,求 m 的 取值范围. 【解答】(1)令 F(x)=|f(x)-2|=|2x-2|,G(x)=m, 画出 F(x)的图象如图所示,

由 f(a)=f(b)可得-lg(a-1)=lg(b-1),解得 ab=a+b>2 ab(由于 a<b),∴ab>4. 9.如图,定义在[-1,+∞)上的函数 f(x)的图象由一条线 段及抛物线的一部分组成,则 f(x)的解析式为______.

x+1,-1≤x≤0, ? ? 【解答】f(x)=?1 (x-2)2-1,x>0 ? ?4 解析当-1≤x≤0 时,设函数 f(x)的解析式为 y=kx+b, ?-k+b=0, ?k=1, 则? 得? ?b=1, ?b=1. ∴y=x+1. 当 x>0 时,设函数 f(x)的解析式为 y=a(x-2)2-1, 1 ∵图象过点(4,0),∴0=a(4-2)2-1,解得 a=4. 1 ∴y=4(x-2)2-1. x+1,-1≤x≤0, ? ? 综上,f(x)=?1 (x-2)2-1,x>0. ? ?4 ?? x 2 ? x, x≤1, ? *10.已知函数 f ( x) ? ?log x, x>1, g(x)=|x-k|+|x-1|, 1 ? ? 3 若对任意的 x1,x2∈R,都有 f(x1)≤g(x2)成立,则实数 k 的 取值范围为______. 3 5 【解答】(-∞,4]∪[4,+∞) 解析对任意的 x1,x2∈R, 都有 f(x1)≤g(x2)成立, 即 f(x)max≤g(x)min, ?? x 2 ? x, x≤1, ? 观察 f ( x) ? ? log x, x>1 的图象可知, 1 ? ? 3

由图象看出,当 m=0 或 m≥2 时,函数 F(x)与 G(x)的图象 只有一个交点,原方程有一个解; 当 0<m<2 时,函数 F(x)与 G(x)的图象有两个交点,原方 程有两个解. (2)令 f(x)=t(t>0),H(t)=t2+t, 1 1 ∵H(t)=(t+2)2-4在区间(0,+∞)上↗, ∴H(t)>H(0)=0. 因此要使 t2+t>m 在区间(0,+∞)上恒成立, 应有 m≤0, 即所求 m 的取值范围为(-∞,0].

1 当 x=2时,
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