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2013高考数学基础知识


数学高考基础知识、常见结论详解
一、集合与简易逻辑: 一、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征: 确定性 , 互异性 , 无序性 。

集合元素的互异性:如:

A ? {x, xy, lg( xy)} , B{0, | x |, y} ,求 A ;
;正整数集 韦恩图 。 、 ;整数集 ;有理数集 、

(2)集合与元素的关系用符号 ? , ? 表示。 (3)常用数集的符号表示:自然数集 实数集 。 描述法 , (4)集合的表示法: 列举法 ,

注 意 : 区 分 集 合 中 元 素 的 形 式 : 如 : A ? {x | y ? x 2 ? 2 x ? 1 } ; B ? { y | y ? x 2 ? 2x ? 1} ;

C ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1}
E ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1, x ? Z , y ? Z} ;



D ? {x | x ? x 2 ? 2x ? 1}



y F ? {( x, y' ) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ; G ? {z | y ? x 2 ? 2 x ? 1, z ? } x
(5)空集是指不含任何元素的集合。 ( {0} 、 ? 和 {? } 的区别;0 与三者间的关系) 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 注意:条件为

A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况。

如:

A ? {x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0} ,如果 A ? R ? ? ? ,求 a 的取值。

二、集合间的关系及其运算 (1)符号“ ?, ? ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ; 符号“ ?, ? ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

(2)

A ? B ? {_________ __________ _} ; A ? B ? {_________ __________ ____};

CU A ? {_________ __________ _}
(3)对于任意集合 ①

A, B ,则:

A ? B ___ B ? A ; A ? B ___ B ? A ; A ? B ___ A ? B ;
A? B ? A ?
; A? B



? A?

; ;

CU A ? B ? U ?
③ CU A ? CU B

; CU A ? B ;

?? ?

?

? CU ( A ? B) ;
;若 n 为奇数,则 n

(4)①若 n 为偶数,则 n

? ?

? ?

; ;若 n

②若 n 被 3 除余 0,则 n

;若 n 被 3 除余 1,则 n

46

被 3 除余 2,则 n ( 1 )若集合

?



三、集合中元素的个数的计算:

A 中有 n 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 _________ ,所有真子集的个数是
。 ;

__________,所有非空真子集的个数是 (2)

A ? B 中元素的个数的计算公式为: Card ( A ? B) ?

(3)韦恩图的运用: 四、

A ? {x | x 满足条件 p} , B ? {x | x 满足条件 q} ,
若 若 若 若 ;则 ;则 ;则 ;则

p 是 q 的充分非必要条件 ? A _____B ; p 是 q 的必要非充分条件 ? A _____B ; p 是 q 的充要条件 ? A _____B ; p 是 q 的既非充分又非必要条件 ? __________ _ ;


五、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的 注意: “若 ?p 如: “ sin ?

? ?q ,则 p ? q ”在解题中的运用,
”是“ ?

? sin ?

? ? ”的

条件。

六、反证法:当证明“若

p ,则 q ”感到困难时,改证它的等价命题“若 ? q 则 ? p ”成立,

步骤:1、假设结论反面成立;2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾;3、由矛盾判断假设不成立, 从而肯定结论正确。 矛盾的来源:1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命题。 适用与待证命题的结论涉及“不可能” 、 “不是” 、 “至少” 、 “至多” 、 “唯一”等字眼时。 正面词语 否定 正面词语 否定 至少有一个 任意的 所有的 至多有 n 个 任意两个 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个

二、函数 一、映射与函数: (1)映射的概念: (2)一一映射: (3)函数的概念: 如: 若

A ? {1,2,3,4} ,B ? {a, b, c} ; 问:A 到 B 的映射有
个,若 A ? {1,2,3} ,则

个,B 到 个。

A 的映射有

个;

A 到 B 的函数有
函数

A 到 B 的一一映射有
个。 。

y ? ? ( x) 的图象与直线 x ? a 交点的个数为
, , ;②

二、函数的三要素: 相同函数的判断方法:① (1)函数解析式的求法:

(两点必须同时具备)

46

①定义法(拼凑) :②换元法:③待定系数法:④赋值法: (2)函数定义域的求法: ①

y?

f ( x) ,则 g ( x)

; ②

y ? 2n f ( x) (n ? N * ) 则
y ? log f ( x) g ( x) ,则





y ? [ f ( x)]0 ,则



④如:



⑤含参问题的定义域要分类讨论; 如:已知函数

y ? f ( x) 的定义域是 [0,1] ,求 ? ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? a) 的定义域。

⑥对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定。如: 已知扇形的周长为 20, 半径为 r , 扇形面积为 S , 则S (3)函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:

? f (r ) ?

; 定义域为



f ( x) ? ax2 ? bx ? c, x ? (m, n) 的形式;
②逆求法(反求法) :通过反解,用 常用来解,型如:

y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等式,得出 y 的取值范围;

y?

ax ? b , x ? (m, n) ; cx ? d

④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如:

y ? x?

k (k ? 0) ,利用平均值不等式公式来求值域; x

⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域。 求下列函数的值域:①

y?

a ? bx (a ? 0, b ? 0, a ? b, x ? [?1,1]) (2 种方法) ; a ? bx

x2 ? x ? 3 x2 ? x ? 3 , x ? (??,0) (2 种方法) , x ? (??,0) (2 种方法) ②y? ;③ y ? ; x x ?1
三、函数的性质: 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有:定义法(作差比较和作商比较) 导数法(适用于多项式函数) 复合函数法和图像法。 应用:比较大小,证明不等式,解不等式。 奇偶性: 定义: 注意区间是否关于原点对称, 比较 f(x) 与 f(-x)的关系。 f(x) -f(-x)=0 ? f(x) =f(-x)

? f(x)为偶函数; f(x)+f(-x)=0 ? f(x)
判别方法:定义法,

=-f(-x)

? f(x)为奇函数。

图像法

,复合函数法

应用:把函数值进行转化求解。 周期性:定义:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+T)=f(x),则 T 为函数 f(x)的周期。

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其他:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+a)=f(x-a),则 2a 为函数 f(x)的周期. 应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。 四、图形变换:函数图像变换: (重点)要求掌握常见基本函数的图像,掌握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律: (注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移联系起来思考) 平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b 注意: (ⅰ)有系数,要先提取系数。如:把函数y=f(2x)经过 +4)的图象。 (ⅱ)会结合向量的平移,理解按照向量 a (m,n)平移的意义。 对称变换 y=f(x)→y=f(-x),关于y轴对称 y=f(x)→y=-f(x) ,关于x轴对称 y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留,x轴下方的图象关于x轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留,然后将y轴右边部分关于y轴对称。 (注意:它是一个偶函数) 伸缩变换:y=f(x)→y=f(ω x), y=f(x)→y=Af(ω x+φ )具体参照三角函数的图象变换。 一个重要结论:若 f(a-x)=f(a+x),则函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称; 如: 平移得到函数y=f(2x

y ? f ( x) 的图象如图,作出下列函数图象: y ? f (? x) ; (2) y ? ? f ( x) ;
y y=f(x)

(1) (3) (5) (7) (9)

y ? f (| x |) ; (4) y ?| f ( x) | ; y ? f (2 x) ; (6) y ? f ( x ? 1) ;
O (2,0) (0,-1 ) x

y ? f ( x) ? 1 ; (8) y ? ? f (? x) ;

y ? f ?1 ( x) 。

五、反函数: (1)定义: (2)函数存在反函数的条件: (3)互为反函数的定义域与值域的关系: (4)求反函数的步骤:①将 选择;②将 x, y 互换,得 ; ;

y ? f ( x) 看成关于 x 的方程,解出 x ? f ?1 ( y) ,若有两解,要注意解的

。 y ? f ?1 ( x) ;③写出反函数的定义域(即 y ? f ( x) 的值域) ;

(5)互为反函数的图象间的关系: (6)原函数与反函数具有相同的单调性;

(7)原函数为奇函数,则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数,它一定不存在反函数。 如:求下列函数的反函数: 七、常用的初等函数: (1)一元一次函数:

f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3( x ? 0) ; f ( x) ?

2x ; f ( x) ? log 2 x ? 2( x ? 0) x ?1 2 ?1
x

y ? ax ? b(a ? 0) ,当 a ? 0 时,是增函数;当 a ? 0 时,是减函数;

46

(2)一元二次函数: 一般式: 两点式:

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ;对称轴方程是
y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) ;对称轴方程是

;顶点为 ;与 x 轴的交点为 ;顶点为 ;

; ;

顶点式:

y ? a( x ? k ) 2 ? h ;对称轴方程是
? 0 时:
为增函数;

①一元二次函数的单调性: 当a 为减函数;当 a

? 0 时:

为增函数;

为减函数;

②二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为 Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上,则

y ? a( x ? k ) 2 ? h 的形式,

a ? 0 时:在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得; a ? 0 时:在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;
Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上,则

a ? 0 时:最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得; a ? 0 时:最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得;
有三个类型题型: (1)顶点固定,区间也固定。如:

y ? x 2 ? x ? 1, x ? [?1,1]

(2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外。 (3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数.

y ? x 2 ? x ? 1, x ? [a, a ? 1] f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0 的两根为

③二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程

x1 , x 2 ;则:
根的情况

x1 ? x2 ? k
在区间 ( k ,??) 上有两 根

x1 ? x2 ? k
在区间 (??, k ) 上有 两根

x1 ? k ? x2
在区间 ( k ,??) 或

等价命题

(??, k ) 上有一根

充要条件

注意:若在闭区间 [m, n] 讨论方程

f ( x) ? 0 有实数解的情况,可先利用在开区间 (m, n) 上实根分

? n 和 x ? m 检查端点的情况。 a c (3)反比例函数: y ? ( x ? 0) ? y ? a ? x x?b
布的情况,得出结果,在令 x (4)指数函数:

y ? a x (a ? 0, a ? 1)
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指数运算法则: 指数函数:y= a
x







(a>o,a≠1),图象恒过点(0,1) ,单调性与 a 的值有关,在解题中,往往要对 a 分

a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。 (5)对数函数: 指数运算法则: 对数函数:y= loga

y ? loga x(a ? 0, a ? 1)
; ; ;

x

(a>o,a≠1) 图象恒过点(1,0) ,单调性与 a 的值有关,在解题中,往往要对 a

分 a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。 注意: (1)

y ? a x 与 y ? loga x 的图象关系是



(2)比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数,若底数不相同时转化为同底数 的指数或对数,还要注意与 1 比较或与 0 比较。 (3)已知函数

f ( x) ? log1 ( x 2 ? kx ? 2) 的定义域为 R ,求 k 的取值范围。
2

已知函数

f ( x) ? log1 ( x 2 ? kx ? 2) 的值域为 R ,求 k 的取值范围。
2

六、

y ? x?

k (k ? 0) 的图象: x
;值域: 是减函数。 ; 奇偶性: ; 单调性: 是增

定义域: 函数; 七、补充内容:

抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型: ① ②

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 正比例函数 f ( x) ? kx(k ? 0) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?




f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; f (

x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x2






f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (

x1 ? x2 x ? x2 )? f ( 1 )? 2 2
三、导 数

1.求导法则: (c) =0 (x ) =nx k?f (x) 2.导数的几何物理意义: k=f (x0)表示过曲线 y=f(x)上的点 P(x0,f(x0))的切线的斜率。 V=s (t)
/ / / n / /

这里 c 是常数。即常数的导数值为0。
n-1

特别地: (x) =1

/

(x ) = (

-1 /

1 x

) =-x

/

-2

(f(x)±g(x)) = f (x)±g (x)

/

/

/

(k?f(x)) =

/

表示即时速度。a=v (t)

/

表示加速度。

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3.导数的应用: ①求切线的斜率。 ②导数与函数的单调性的关系 ㈠

f ?( x) ? 0 与 f ( x) 为增函数的关系。

f ?( x) ? 0 能推出 f ( x) 为增函数,但反之不一定。如函数 f ( x) ? x 3 在 (??,??) 上单调递增,


f ?( x) ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 是 f ( x) 为增函数的充分不必要条件。


f ?( x) ? 0 时, f ?( x) ? 0 与 f ( x) 为增函数的关系。 f ?( x) ? 0 的根作为分界点,因为规定 f ?( x) ? 0 ,即抠去了分界点,此时 f ( x) 为增函数, f ?( x) ? 0 。∴当 f ?( x) ? 0 时, f ?( x) ? 0 是 f ( x) 为增函数的充分必要条件。

若将 就一定有 ㈢

f ?( x) ? 0 与 f ( x) 为增函数的关系。

f ( x) 为增函数,一定可以推出 f ?( x) ? 0 ,但反之不一定,因为 f ?( x) ? 0 ,即为 f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 。当函数在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数,函数不具有单调性。∴ f ?( x) ? 0


f ( x) 为增函数的必要不充分条件。
函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要把握好以上三个关系,用

导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区间作为单调区间,避免 讨论以上问题,也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题,要谨慎处理。 ㈣单调区间的求解过程, 已知 (3)解不等式

y ? f ( x)

(1) 分析

y ? f ( x) 的定义域;(2)求导数 y ? ? f ?( x)

f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间(4)解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域

内的部分为减区间。 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系,才能准确无误地判断函数的单调性。以下 以增函数为例作简单的分析,前提条件都是函数 ③求极值、求最值。 注意:极值≠最值。函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和 f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极 小值和 f(a) 、f(b)中最小的一个。 f (x0)=0 不能得到当 x=x0 时,函数有极值。 但是,当 x=x0 时,函数有极值 ? f (x0)=0
/ /

y ? f ( x) 在某个区间内可导。

判断极值,还需结合函数的单调性说明。 4.导数的常规问题: (1)刻画函数(比初等方法精确细微) ; (2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线) ; (3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便)等关于 n 次多项式的导数问题 属于较难类型。 2.关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法快捷简便。 46

3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合能力的一个方向, 应引起注意。 四、不等式 一、不等式的基本性质: 注意:(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法,此法尤其适用于不成立的命题。 (2)注意课本上的几个性质,另外需要特别注意: ①若 ab>0,则

1 1 ? 。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变。 a b

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论。 ③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象) ,直接比较大小。 ④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比,然后再比较它们的大小 二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若 a, b 基本变形:① a

? 0 ,则

?b ?

a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时取等号) 2 a?b 2 ) ? ;( ; 2
2

②若 a, b ? R ,则 a 基本应用:①放缩,变形;

? b 2 ? 2ab ,

a2 ? b2 a?b 2 ?( ) 2 2

②求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小,和定积大。 当 ab ? 当a ?b

p (常数) ,当且仅当
? S (常数) ,当且仅当

时, 时,

; ;

常用的方法为:拆、凑、平方; 如:①函数

y ? 4x ?

9 1 ( x ? ) 的最小值 2 ? 4x 2



②若正数 x, y 满足 x ? 2 y 三、绝对值不等式: 四、常用的基本不等式: (1)设 a, b ? R ,则 a (2) | a |? (3) a
2

? 1 ,则

1 1 ? 的最小值 x y



?

?

?

注意:上述等号“=”成立的条件;

? 0, (a ? b) 2 ? 0 (当且仅当
时取等号) ; | a |?

时取等号) 时取等号)

a (当且仅当

?a (当且仅当


? b, ab ? 0 ?

1 1 1 1 ? ; ? ? a b a b
A? B ? 0 ? A ? B

五、证明不等式常用方法: (1)比较法:作差比较: 作差比较的步骤: ?作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 ?变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和。

46

?判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小。 (2)综合法:由因导果。 (3)分析法:执果索因。基本步骤:要证??只需证??,只需证?? (4)反证法:正难则反。 (5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。 放缩法的方法有: ?添加或舍去一些项,如:

a2 ?1 ? a



n(n ? 1) ? n

?将分子或分母放大(或缩小) ?利用基本不等式,如: log 3 ? lg 5 ?

lg 3 ? lg 5 2 ) ? lg 15 ? lg 16 ? lg 4 ; 2 n ? (n ? 1) n(n ? 1) ? 2 (

?利用常用结论: Ⅰ、

k ?1 ? k ?

1 k ?1 ? k

?

1 2 k



Ⅱ、

1 1 1 1 ? ? ? 2 k (k ? 1) k ? 1 k k



1 1 1 1 ? ? ? (程度大) 2 k (k ? 1) k k ? 1 k
; (程度小)

Ⅲ、

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) 2 k k ? 1 (k ? 1)(k ? 1) 2 k ? 1 k ? 1

(6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元 和代数换元。如: 已知 x 已知 x
2

? y 2 ? a 2 ,可设 x ? a cos? , y ? a sin ? ; ? y 2 ? 1 ,可设 x ? r cos? , y ? r sin ? ( 0 ? r ? 1 );


2

已知

x2 y2 ? ? 1 ,可设 x ? a cos? , y ? b sin ? a2 b2 x2 y2 ? ? 1 ,可设 x ? a sec? , y ? b tan? a2 b2

已知



(7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式; 六、不等式的解法: (1)一元一次不等式: Ⅰ、 ax ? b(a Ⅱ、 ax ? b(a

? 0) :?若 a ? 0 ,则

;?若 a ;?若 a

? 0 ,则




? 0) :?若 a ? 0 ,则

? 0 ,则

(2) 一元二次不等式: 一元二次不等式二次项系数小于零的, 同解变形为二次项系数大于零; 注: 要对 ? 46

进行讨论: (5)绝对值不等式:若 a

? 0 ,则 | x |? a ?

;| ;|

x |? a ?




注意:(1).几何意义: |

x |:

x?m|:

(2)解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,去绝对值的方法有: ?对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;①若 a

?0



| a |?

;②若 a

? 0 则 | a |?

;③若 a

? 0 则 | a |?



(3).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。 (4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。 (6)分式不等式的解法:通解变形为整式不等式; ?

f ( x) ?0? g ( x) f ( x) ?0? g ( x)

;?

f ( x) ?0? g ( x) f ( x) ?0? g ( x)



?

;?



(7)不等式组的解法:分别求出不等式组中,每个不等式的解集,然后求其交集,即是这个不等式组的解 集,在求交集中,通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上,取它们的公共部 分。 (8)解含有参数的不等式: 解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论: ①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性. ②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论. ③在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状 况(有时要分析△) ,比较两个根的大小,设根为 x1 , x 2 (或更多)但含参数,要分 x1

? x 2 、 x1 ? x 2 、

x1 ? x 2 讨论。
五、数列 本章是高考命题的主体内容之一,应切实进行全面、深入地复习,并在此基础上,突出解决下述几个 问题: (1)等差、等比数列的证明须用定义证明,值得注意的是,若给出一个数列的前 n 项和 S n ,则其

通项为

S1 (n ? 1), ? 若 a1 ? S1 满 足 a1 ? S 2 ? S1 , an ? ? ?S n ? S n ?1 (n ? 2, n ? N ).

则通项公式可写成

an ? S n ? S n?1 .(2)数列计算是本章的中心内容,利用等差数列和等比数列的通项公式、前 n 项和公
式及其性质熟练地进行计算,是高考命题重点考查的内容.(3)解答有关数列问题时,经常要运用各种数 学思想.善于使用各种数学思想解答数列题,是我们复习应达到的目标. ①函数思想:等差等比数列的 通项公式求和公式都可以看作是 n 的函数,所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.

46

②分类讨论思想:用等比数列求和公式应分为 S n

?

a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 及 S n ? na1 (q ? 1) ;已知 S n 1? q

求 an 时,也要进行分类; ③整体思想:在解数列问题时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势,运用整 体思想求解. (4)在解答有关的数列应用题时,要认真地进行分析,将实际问题抽象化,转化为数学问题,再利用有关 数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用, 决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别 注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错. 一、基本概念: 1、 数列的定义及表示方法: 2、 数列的项与项数: 3、 有穷数列与无穷数列: 4、 递增(减) 、摆动、循环数列: 5、 数列{an}的通项公式 an: 6、 数列的前 n 项和公式 Sn: 7、 等差数列、公差 d、等差数列的结构: 8、 等比数列、公比 q、等比数列的结构: 二、基本公式: 9、一般数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系:an= ? 10、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d

S1 ( n ? 1) ?S n ? S n ?1 ( n ? 2) ?
(其中 a1 为首项、ak 为已知的第 k 项) 当d

an=ak+(n-k)d

≠0 时,an 是关于 n 的一次式;当 d=0 时,an 是一个常数。 11、等差数列的前 n 项和公式:Sn= na1

?

n(n ? 1) d 2

Sn=

n( a1 ? a n ) 2

Sn= na n

?

n( n ? 1) d 2

当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的二次式且常数项为 0;当 d=0 时(a1≠0) ,Sn=na1 是关于 n 的正比例式。 12、等比数列的通项公式: an= a1 q
n-1

an= ak q

n-k

(其中 a1 为首项、ak 为已知的第 k 项,an≠0) 13、等比数列的前 n 项和公式:当 q=1 时,Sn=n a1 当 q≠1 时,Sn= (是关于 n 的正比例式);

a1 (1 ? q n ) 1? q

Sn=

a1 ? a n q 1? q

三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等差数列。 15、等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am 16、等比数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am

? an ? a p ? aq ? an ? a p ? aq

17、等比数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等比数列。 18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

46

19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an ? bn}、 ?

? an ? ? 1 ? ? 、 ? ? 仍为等比数列。 ? bn ? ? b n ?

20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法:a/q,a,aq; 四个数成等比的错误设法:a/q ,a/q,aq,aq 24、{an}为等差数列,则
an
3 3

(为什么?)

?c ? (c>0)是等比数列。

25、{bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn} (c>0 且 c ? 1) 是等差数列。 26. 在等差数列

?an ?中:
S偶 ? S奇 ? nd ? S偶 ? an?1
S偶 S奇 S奇 S偶 ? ? an?1 an

(1)若项数为 2 n ,则

(2)若数为 2n ? 1 则, S 奇

n ?1 , S 2 n?1 ? an?1 ? (2n ? 1) n

27. 在等比数列

?an ?中:
S偶 S奇 ?q

(1)

若项数为 2 n ,则

(2)若数为 2n ? 1 则,

S 奇 ? a1 S偶

?q

四、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。 28、分组法求数列的和:如 an=2n+3 29、错位相减法求和:如 an=(2n-1)2 30、裂项法求和:如 an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和:如 an= nC100 32、求数列{an}的最大、最小项的方法:
n
n n



an+1

?? 0 ? -a =?? ?? 0 ?? 0 ?
n

如 an= -2n +29n-3

2



?? 1 a n ?1 ? ? ? ?? 1 an ?? 1 ?

(an>0) 如 an=

9 n (n ? 1) 10n

46

③ an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 an= 33、在等差数列

?an ? 中,有关 S

n n ? 156
2

n

的最值问题——常用邻项变号法求解:

(1)当

>0,d<0 时,满足

的项数 m 使得

取最大值.

(2)当 <0,d>0 时,满足 的项数 m 使得 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 六、平面向量 1.基本概念:

取最小值。

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。 2. 加法与减法的代数运算: (1)

A1 A2 ? A2 A3 ? ? ? An?1 An ? A1 An

. . ? x2 , y1 ? y2 )

(2)若 a=( x1 , y1 ),b=( x2 , y 2 )则 a ? b=( x1

向量加法与减法的几何表示:平行四边形法则、三角形法则。 以向量

AB = a 、 AD = b 为邻边作平行四边形

ABCD ,则两条对角线的向量

AC = a + b , BD = b -

a , DB = a - b
且有︱ a ︱-︱ b ︱≤︱ a

? b ︱≤︱ a ︱+︱ b ︱.
a +( b +c)=( a + b )+c
(结合律);

向量加法有如下规律: a + b = b + a (交换律);

a +0= a

a +(- a )=0.

3.实数与向量的积:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量。 (1)︱ ?

a ︱=︱ ? ︱?︱ a ︱; a 与 a 的方向相同;当 ? <0 时, ? a 与 a 的方向相反;当 ? =0 时, ? a =0.

(2) 当 ? >0 时, ?

(3)若 a =( x1 , y1 ) ,则 ? ? a =( ?x1 , ?y1 ) . 两个向量共线的充要条件: (1) 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ? ,使得 b= ? (2) 若 a =( x1 , y1 ),b=( x2 , y 2 )则 a ∥b ? 平面向量基本定理: 若 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数 ?1 , ?2 ,

a.

x1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

46

使得 a = ?1 e1+

?2 e .
2

4.P 分有向线段 P 1P 2 所成的比: 设 P1、 P2 是直线 l 上两个点, 点 P 是 l 上不同于 P1、 P2 的任意一点, 则存在一个实数 ? 使 P 1P = ?

P P2



?

叫做点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比。

? >0;当点 P 在线段 P1 P2 或 P2 P ? <0; 当点 P 在线段 P 1P 2 上时, 1 的延长线上时,
分点坐标公式:若 P 1P = ?

P P2

;P 1 , P, P 2 的坐标分别为( x1 , y1 ) , ( x

,y

) , ( x2 , y 2 ) ;则

?x 2 ? x ? x11? ?? ? y ? y1 ? ?y 2 ? 1? ?
5. 向量的数量积: (1) .向量的夹角:

( ? ≠-1) , 中点坐标公式:

x2 ? x ? x1 ? ? y ? y1 2 ? y2 2 ?



已知两个非零向量 a 与 b, 作 OA = a , (2) .两个向量的数量积:

OB =b,则∠AOB= ?

(0

0

? ? ? 1800 ) 叫做向量 a 与 b 的夹角。

已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 ? ,则 a ?b=︱ a ︱?︱b︱cos ? . 其中︱b︱cos ? 称为向量 b 在 a 方向上的投影. (3) .向量的数量积的性质: 若 a =( x1 , y1 ),b=( x2 , y 2 )则 e? a = a ?e=︱ a ︱cos ? (e 为单位向量);
2 2

a ⊥b ? a ?b=0 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ( a ,b 为非零向量);︱ a ︱= a ? a ? x1 ? y1
cos ? =

;

a?b a?b

=

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2



(4) .向量的数量积的运算律:

a ?b=b? a ;( ? a )?b= ? ( a ?b)= a ?( ?
6.主要思想与方法:

b);( a +b)?c= a ?c+b?c.

本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处 理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的 夹角,判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结 合起来进行综合考查,是知识的交汇点。 七、立体几何 1.平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。 能够用斜二测法作图 。 .......

46

2.空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面的概念; 会求异面直线所成的角和异面直线间的距离;证明两条直线是异面直线一般用反证法。 3.直线与平面 ①位置关系:平行、直线在平面内、直线与平面相交。 ②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。 ③直线与平面垂直的证明方法有哪些? ④直线与平面所成的角:关键是找它在平面内的射影,范围是{0 .90 } ⑤三垂线定理及其逆定理:每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关 系与空间图形的度量.如:证明异面直线垂直,确定二面角的平面角,确定点到直线的垂线. 4.平面与平面 (1)位置关系:平行、相交, (垂直是相交的一种特殊情况) (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。 (3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直,一般是依据性质定理,可以证 明线面垂直。 (4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→ ? (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法: ①定义法,一般要利用图形的对称性;一般在计算时要解斜三角形; ②垂线、斜线、射影法,一般要求平面的垂线好找,一般在计算时要解一个直角三角形。 ③射影面积法,一般是二面交的两个面只有一个公共点,两个面的交线不容易找到时用此法。 5.棱柱 (1)掌握棱柱的定义、分类,理解直棱柱、正棱柱的性质。 (2)掌握长方体的对角线的性质。 (3)平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别,以及它 们的特有性质。 (4)S 侧=各侧面的面积和。思考:对于特殊的棱柱,又如何计算? (5)V=Sh 特殊的棱柱的体积如何计算? 6.棱锥 1. 棱锥的定义、正棱锥的定义(底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面的中心) 2. 相关计算:S 侧=各侧面的面积和 ,V= 7.球的相关概念:S 球=4π R
2 0 0

?直接法 ?体积法

1 Sh 3

V 球=

4 3

πR

3

球面距离的概念

8.正多面体:掌握定义和正多面体的种数(是哪几个?) 。 掌握欧拉公式:V+F-E=2 主要思想与方法: 1.计算问题: (1)空间角的计算步骤:一作、二证、三算 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角 范围:0°<θ ≤90° 方法:①平移法;②补形法. 范围:0°≤θ ≤90° 方法:关键是作垂线,找射影. 其中:V 顶点数 E 棱数 F 面数 9.会用反证法证明简单的命题。如两直线异面。

方法:①定义法;②三垂线定理及其逆定理;③垂面法. 注:二面角的计算也可利用射影面

46

积公式 S′=Scosθ 来计算 (2)空间距离(1)两点之间的距离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离. (4)两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离. (7)两个平行平面之间的距离. 七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系, 有些可以相互转化,如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离,平行线面间的距离或平行平面 间的距离都可转化成点到平面的距离. 在七种距离中,求点到平面的距离是重点,求两条异面直线间的距离是难点. 求点到平面的距离:(1)直接法,即直接由点作垂线,求垂线段的长.(2)转移法,转化成求另一点到该 平面的距离.(3)体积法. 求异面直线的距离:(1)定义法,即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法,依 据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的. 2.平面图形的翻折,要注意翻折 前后的长度、角度、位置的变化,翻折前后在同一个三角形中的角度、长 .. 度不变 3.在解答立体几何的有关问题时,应注意使用转化的思想: ①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决. ②将空间图形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法. ③补法把不规则的图形转化成规则图形,把复杂图形转化成简单图形. ④利用三棱锥体积的自等性,将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高. ⑤平行转化

⑥垂直转化

八、平面解析几何 (一)直线与圆知识要点 1.直线的倾斜角与斜率 k=tgα ,直线的倾斜角α 一定存在,范围是[0,π ],但斜率不一定存在。牢记下 列图像。 斜率的求法:依据直线方程 够根据方程,说出几何意义。 3.两条直线的位置关系,能够说出平行和垂直的条件。会判断两条 直线的位置关系。 (斜率相等还有可能重合) 4.两条直线的交角:区别到角和夹角两个不同概念。 5.点到直线的距离公式。 6.会用一元不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题。 7.曲线与方程的概念,会由几何条件列出曲线方程。 8.圆的标准方程:(x-a) +(y-b) =r
2 2 2 2 2

依据倾斜角

依据两点的坐标

K

2.直线方程的几种形式,能根据条件,合理的写出直线的方程;能

O


π α

圆的一般方程:x +y +Dx+Ey+F=0 圆的参数方程: ?

注意表示圆的条件。

? x ? a ? r cos? ? y ? b ? r sin ?

掌握圆的几何性质,会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。

46

圆锥曲线方程 (二) 、圆锥曲线 1. 椭圆及其标准方程

?第一定义、第二定义 ? 哪个轴上) ?标准方程(注意焦点在 ? (a、b、c、e的几何意义,准线方程 ,焦半径) ?椭圆的简单几何性质: ?椭圆的参数方程 x ? a cos? , y ? b sin ? ,当点P在椭圆上时, ? ? 点的坐标,把问题转化 为三角函数问题。 ?   可用参数方程设
2.双曲线及其标准方程:

注意与椭圆相类比) ?第一定义、第二定义( ? 哪个轴上) ?标准方程(注意焦点在 ?双曲线的简单几何性质 : (a、b、c、e的几何意义,准线方程 ,焦半径,渐近线 ) ?
3.抛物线及其标准方程:

中的灵活应用 ?定义,以及定义在解题 ? 焦点的距离问题经常转 化为到准线的距离。) ?  (抛物线上的点到 ? 标准方程(注意焦点在 哪个轴上,开口方向, p 的几何意义)四种形式 ? ?抛物线的简单几何性质 : (焦点坐标,准线方程, 与焦点有关的结论 ) ?
直线与圆锥曲线:

程的解的情况。 ?位置关系,经常抓为方 ? 决 ?弦长。运用韦达定理解 ?面积。注意合理分析 ?
注意点: (1)注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解 (2)要学会变形使用两点间距离公式 d

? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

,当已知直线 l 的斜率 k 时,公

式变形为 d

? 1 ? k 2 x 2 ? x1
或d

或d

? 1?

1 y 2 ? y1 k2

;当已知直线的倾斜角 ? 时,还可以得

到d

? x2 ? x1 ? sec?

? y2 ? y1 ? csc?

(3)灵活使用定比分点公式,可以简化运算. (4)会在任何条件下求出直线方程. (5)注重运用数形结合思想研究平面图形的性质 解析几何中的一些常用结论: 1. 直线的倾斜角α 的范围是[0,π ) 2. 直线的倾斜角与斜率的变化关系:当倾斜角是锐角是,斜率 k 随着倾斜角α 的增大而增大。当α 是钝 角时,k 与α 同增减。 3. 截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。 4. 两直线:L1 A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0 L1⊥L2 ? A1A2+B1B2=0

5. 两直线的到角公式:L1 到 L2 的角为θ ,tanθ =

k 2 ? k1 1 ? k1k 2

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夹角为θ ,tanθ =|

k 2 ? k1 1 ? k1k 2

|

注意夹角和到角的区别

6. 点到直线的距离公式,两平行直线间距离的求法。 7. 有关对称的一些结论 ① 点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线 y=x 的对称点分别是 (a,-b) , (-a,b) , (-a,-b) , (b,a) ② 如何求点(a,b)关于直线 Ax+By+C=0 的对称点 ③ 直线 Ax+By+C=0 关于x轴、y轴、原点、直线 y=x 的对称的直线方程分别是什么,关于点(a,b) 对称的直线方程有时什么? ④ 如何处理与光的入射与反射问题? 8.曲线 f(x,y)=0 关于下列点和线对称的曲线方程为: (1)点(a.b) (2)x轴 (3)y轴 (4)原点 (5)直线 y=x (6)直线 y=-x (7)直线 x=a 9.点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。 点 P(x0,y0),圆的方程:(x-a) +(y-b) =r . 如果(x0-a) +(y0-b) >r 如果 如果
2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2

? 点 P(x ,y )在圆外; (x -a) +(y -b) <r ? 点 P(x ,y )在圆内; (x -a) +(y -b) =r ? 点 P(x ,y )在圆上。
2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2

10.圆上一点的切线方程:点 P(x0,y0)在圆 x +y =r 上,那么过点 P 的切线方程为:x0x+y0y=r . 11.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x轴垂直的直线。 12.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长 问题。d>r ? 相离 的半径分别为 r,R d>r+R ? 两圆相离 |R-r|<d<r+R ? 两圆相交 d<|R-r| ? 两圆内含
2 2 2 2

d=r ? 相切

d<r ? 相交

13.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系。设两圆的圆心距为 d,两圆 d=r+R ? 两圆相外切 d=|R-r| ? 两圆相内切 d=0,两圆同心。

14.两圆相交弦所在直线方程的求法: 圆 C1 的方程为:x +y +D1x+E1y+C1=0. 圆 C2 的方程为:x +y +D2x+E2y+C2=0. 把两式相减得相交弦所在直线方程为:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0 15.圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。

x2 y2 16.焦半径公式: 在椭圆 2 ? 2 a b
|PF2|=a-ex0 (2)三角形 PF1F2的面积如何计算

=1中, F1、 F2分别左右焦点, P(x0,y0)是椭圆是一点, 则: (1)|PF1|=a+ex0

17.圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。

46

18.直线 y=kx+b 和圆锥曲线 f(x,y)=0 交于两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) 则弦长 P1P2=

1 ? k 2 | x1 ? x2 |

19.双曲线的渐近线的求法(注意焦点的位置)已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程。 20.抛物线中与焦点有关的一些结论: (要记忆) 解题思路与方法: 高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有 4 个题目外,就是在解答题中有一个压轴题.也就 是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于 圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题: (1)在解答有关圆锥曲线问题时,首先要考虑圆锥曲线焦点的位置,对于抛物线还应同时注意开口方向, 这是减少或避免错误的一个关键. (2) 在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时, 可以利用方程组消元后得到二次方程, 用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时,直线与双曲线的渐近线平行时,不能使用判别 式,为避免繁琐运算并准确判断特殊情况,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程 所表示的曲线,通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而 不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的 斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵 活转化,往往就能事半功倍. (3)求圆锥曲线方程通常使用待定系数法,若能据条件发现符合圆锥曲线定义时,则用定义求圆锥曲线方 程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题,也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上 时,可设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0). 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小. (4)在解与焦点三角形(椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形)有关的命题时, 一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义. (5)要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等 方面的应用. (6)求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一,它是各种知识的综合运用,具有较大的灵活性,求动点 轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程” ,将“形”化成“数” ,使我们通过对方程的研究来认识曲 线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有:直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法 等,解题时,注意求轨迹的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围. (7)参数方程,请大家熟练掌握公式,后用化归的思想转化到普通方程即可求解. 九、排列组合与二项式定理 1. 计数原理 ①加法原理:N=n1+n2+n3+?+nM 2. 排列(有序)与组合(无序) An =n(n-1)(n-2)(n-3)?(n-m+1)=
m

(分类)

②乘法原理:N=n1· n2· n3· ?nM

(分步)

n! (n ? m)!

An =n!

n

Cn =
m

m

n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) n! ? m! (n ? m)!m!
n-m

Cn = Cn

Cn +Cn

m

m+1

= Cn+1

m+1

k?k!=(k+1)!-k!

46

3. 排列组合混合题的解题原则:先选后排,先分再排 排列组合题的主要解题方法:优先法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素. 以 位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置. 捆绑法(集团元素法,把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑) 插空法(解决相间问题) 间接法和去杂法等等

在求解排列与组合应用问题时,应注意: (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; (3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏; (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是: ①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想. 4. 二项式定理: ①(a+b) =Cn a +Cn a
n n 0 x 1 n-1 1 1

b + Cn a b + Cn a b +?+ Cn a
2 2 r r n n

2

n-2 2

3 n-3 3

r n-r r

b +?+ Cn

n-1

ab

n-1

+ Cn b

n n

特别地:(1+x) =1+Cn x+Cn x +?+Cn x +?+Cn x ②通项为第 r+1 项: Tr+1= Cn a
r n-r r m

b 作用:处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
n-m

③主要性质和主要结论:对称性 Cn =Cn
0 1 2

最大二项式系数在中间。 (要注意 n 为奇数还是偶数,答案是中间一项还是中间两项) 所有二项式系数的和:Cn +Cn +Cn + Cn + Cn +?+Cn +?+Cn =2 奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和 Cn +Cn +Cn + Cn + Cn +?=Cn +Cn +Cn + Cn + Cn +?=2 项的系数的和时注意赋值法的应用。 6.二项式定理的应用:解决有关近似计算、整除问题,运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有 关的不等式。 十、概率统计 1.必然事件 P(A)=1,不可能事件 P(A)=0,随机事件的定义 0<P(A)<1。
0 2 4 6 8 1 3 5 7 9 n -1 3 4 r n n

5.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数,指定项的系数等,指运算结果的系数)的区别,在求某几

2.等可能事件的概率: (古典概率)P(A)=

m n

理解这里 m、n的意义。

互斥事件(A、B 互斥,即事件 A、B 不可能同时发生,这时 P(A?B)=0)P(A+B)=P(A)+ P(B) 对立事件(A、B 对立,即事件 A、B 不可能同时发生,但 A、B 中必然有一个发生。这时 P(A?B)=0)P (A)+ P(B)=1 独立事件: (事件 A、B 的发生相互独立,互不影响)P(A?B)=P(A) ? P(B) 独立重复事件(贝努里概型) (K) k k k Pn =Cn p (1-p) 表示事件 A 在 n 次独立重复试验中恰好发生了 次 的概率。 .....k . . 特殊:令 k=0 P 为在一次独立重复试验中事件 A 发生的概率。 (0) 0 0 n n 得:在 n 次独立重复试验中,事件 A 没有发生的概率 为 ....... .Pn =Cn p (1-p) =(1-p)
(n) n n 0 n

令 k=n 得:在 n 次独立重复试验中,事件 A 全部发生的概率为 ........Pn =Cn p (1-p) =p

题型讲解

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例 1(1)已知 f ( x ? ) ? x ?
3

1 x

1 ,求 f ( x ) ; x3

(2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x ) ;

2 x

46

(3)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x ) ;

1 x 1 1 1 3 1 3 解: (1)∵ f ( x ? ) ? x ? 3 ? ( x ? ) ? 3( x ? ) , x x x x
∴ f ( x) ? x3 ? 3x ( x ? 2 或 x ? ?2 ) (2)令
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(4)已知 f ( x ) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x )

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2 ?1 ? t ( t ? 1) , x 2 2 2 则x? ,∴ f (t ) ? lg ,∴ f ( x) ? lg t ?1 t ?1 x ?1
(3)设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ,

( x ? 1)

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则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 3ax ? 3a ? 3b ? 2ax ? 2a ? 2b

? ax ? b ? 5a ? 2 x ? 17 ,
∴ a ? 2 , b ? 7 ,∴ f ( x) ? 2 x ? 7 (4) 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x 把①中的 x 换成
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1 x

①,

1 1 3 ,得 2 f ( ) ? f ( x) ? ②, x x x 3 1 ① ?2 ? ②得 3 f ( x) ? 6 x ? ,∴ f ( x ) ? 2 x ? x x
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注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法; 第(4)题用方程组法
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定义域和值域——知识点归纳

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由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表, 实际上是求使给定式有意义的 x 的取值 范围 它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练
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1 求函数解析式的题型有:
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(1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x ) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x ) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x ) 满足某个等式,这个等式除 f ( x ) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程 组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等
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2 求函数定义域一般有三类问题:
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(1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意 义; (3)已知 f ( x ) 的定义域求 f [ g ( x)] 的定义域或已知 f [ g ( x)] 的定义域求 f ( x ) 的定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; ②若已知 f ( x ) 的定义域 ? a, b? ,其复合函数 f ? g ( x)? 的定义域应由 a ? g ( x) ? b 解出 3 求函数值域的各种方法
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函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的 其类型依解析式的特点分可分三类:
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(1)求常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运 算”而得函数的值域
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①直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }; 4a
2 当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) } 4a

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②配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:

f ( x) ? ax2 ? bx ? c, x ? (m, n) 的形式;
③分式转化法(或改为“分离常数法” ) ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法: 转化成型如:y ? x ?

k (k ? 0) , 利用平均值不等式公式来求值域; x
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⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域

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⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域

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⑨逆求法(反求法) :通过反解,用 y 来表示 x ,再由 x 的取值范围,通过解不等式,
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得出 y 的取值范围;常用来解,型如: y ? 单调性——知识点归纳 1 函数单调性的定义:
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ax ? b , x ? (m, n) cx ? d

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证明函数单调性的一般方法:

①定义法:设 x1 , x2 ? A且x1 ? x2 ;作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (一般结果要分解为若干个因式 的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出) ;判断正负号
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②用导数证明: 若 f ( x) 在某个区间 A 内有导数,则 f ’ (x ? A) ( x) ? 0,

( x) ? 0,(x ? A) ? f ( x) 在 A 内为减函数 ? f ( x) 在 A 内为增函数; f ’
3
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求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法

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4 复合函数 y ? f ?g ( x)? 在公共定义域上的单调性:
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①若 f 与 g 的单调性相同,则 f ?g ( x)? 为增函数; ②若 f 与 g 的单调性相反,则 f ?g ( x)? 为减函数 注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集 5 一些有用的结论:
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①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数; 增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数 ④ 函 数 y ? ax ?
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? ? b b? ? b (a ? 0, b ? 0) 在 ? ?? , ? 或 , ?? ? ? ? ? ? 上单调递增;在 x a a ? ? ? ?
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? b ? ? b? 或? 0, ? 上是单调递减 ?? , 0 ? ? ? a? ? a ? ?
奇偶性——知识点归纳
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1 函数的奇偶性的定义;
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2 奇偶函数的性质:
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(1)定义域关于原点对称; (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称; 3 f ( x ) 为偶函数 ? f ( x) ? f (| x |)
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4 若奇函数 f ( x ) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0
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5 判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注意
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使定义域不受影响; 6 牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性;
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7 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:
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f ( x) ? f ( ? x) ? 0 ,

f ( x) ? ?1 f (? x)

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8 设 f ( x ) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:
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奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇
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1 判断函数的奇偶性,必须按照函数的奇偶性定义进行,为了便于判断,常应用定义的等价
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形式:f(?x)= ?f(x)?f(?x) ? f(x)=0; 2 讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称,要重视这一点;
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3 若奇函数的定义域包含 0,则 f(0)=0,因此, “f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件;
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4 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,因此根据图象的对称性可以判
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断函数的奇偶性
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5 若存在常数 T,使得 f(x+T)=f(x)对 f(x)定义域内任意 x 恒成立,则称 T 为函数 f(x)的周期,
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(5)函数的周期性 定义:若 T 为非零常数,对于定义域内的任一 x,使 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立 则 f(x)叫做周期函数,T 叫做这个函数的一个周期 反函数——知识点归纳
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1 反函数存在的条件:从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数;
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2 定义域、值域:反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域,若 y ? f ( x)
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与 y? f

?1

( x) 互 为 反 函 数 , 函 数 y ? f ( x ) 的 定 义 域 为 A 、 值 域 为 B , 则

46

f [ f ?1 ( x)] ? x( x ? B) , f ?1[ f ( x)] ? x( x ? A) ;
3 单调性、图象:互为反函数的两个函数具有相同的单调性,它们的图象关于 y ? x 对
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4 求反函数的一般方法:
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( 1 ) 由 y ? f ( x) 解 出 x ? f ?1 ( y) , ( 2 ) 将 x ? f ?1 ( y) 中 的 x, y 互 换 位 置 , 得 (3)求 y ? f ( x) 的值域得 y ? f ?1 ( x) 的定义域 y ? f ?1 ( x) , 二次函数——知识点归纳
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二次函数是高中最重要的函数,它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系
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2 1 二次函数的图象及性质:二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象的对称轴方程是 x ? ?
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b , 2a

顶点坐标是 ? ??
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?

b 4ac ? b 2 ? ? , ? 2 a 4 a ? ?

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2 二次函数的解析式的三种形式:用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法
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) 有三种形式,即 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(一般式) , f ( x) ? a( x ? x1 ) ? ( x ? x2(零点式) 和
f ( x) ? a( x ? m) 2 ? n (顶点式)
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3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题, 用图
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象求解,有如下结论:令 f(x)=ax2+bx+c (a>0)

?? ? 0 ? (1)x1<α,x2<α ,则 ?? b /( 2 a ) ? ? ; ?af (? ) ? 0 ?

?? ? 0 ? (2)x1>α,x2>α,则 ?? b /( 2 a ) ? ? ?af (? ) ? 0 ?

?? ? 0 ?? ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? (3)α<x1<?,α<x2<?,则 ? (4)x1<α,x2>? (α<?),则 ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? ?? ? ?b /(2a) ? ?
(5)若 f(x)=0 在区间(α,?)内只有一个实根,则有 f (? ) f ? ? ) ? 0 4 最值问题:二次函数 f(x)=ax2+bx+c 在区间*α,?]上的最值一般分为三种情况讨论,即:
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(1)对称轴?b/(2a)在区间左边, 函数在此区间上具有单调性; ;(2)对称轴?b/(2a)在区间之内;(3) 对称轴在区间右边 要注意系数 a 的符号对抛物线开口的影响
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1 讨论二次函数的区间最值问题:①注意对称轴与区间的相对位置;②
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2 讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间端点的函数值
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的符号;③对称轴与区间的相对位置
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5 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系:
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① ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴无交点 ? ax2+bx+c=0 无实根 ? ax2+bx+c>0(<0)的解 集为 ? 或者是 R; ② ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的 图 像 与 x 轴 相 切 ? ax2+bx+c=0 有 两 个 相 等 的 实 根

? ax2+bx+c>0(<0)的解集为 ? 或者是 R;
③ ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 ? ax2+bx+c=0 有两个不等的实根

? ax2+bx+c>0(<0)的解集为 (? , ? ) (? ? ? ) 或者是 (??, ? ) ( ? , ??)
指数对数函数——知识点归纳 1 根式的运算性质:
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①当 n 为任意正整数时,( n a ) =a

n

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②当 n 为奇数时, n a n =a;当 n 为偶数时, n a n =|a|= ?
np

?a(a ? 0) ?? a(a ? 0)

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?根式的基本性质:
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(a ? 0) a mp ? n a m ,

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2 分数指数幂的运算性质:
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a m ? a n ? a m ? n (m, n ? Q) (a m ) n ? a mn (m, n ? Q) (ab) n ? a n ? b n (n ? Q )
3 y ? a (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
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x

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a>1

0<a<1

y
图 象

y 1

1 o x

o

x

性 质

(1)定义域:R (2)值域:(0,+∞)

46

(3)过点(0,1),即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数
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(4)在 R 上是减函数
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4 指数式与对数式的互化: ab ? N ? loga N ? b
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5 重要公式: loga 1 ? 0 , loga a ? 1
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对数恒等式 a

loga N

?N

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6 对数的运算法则
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如果 a ? 0, a ? 1, N ? 0, M ? 0 有

loga (MN ) ? loga M ? loga N
M ? log a M ? log a N N m log an M m ? log a M n log a
7 对数换底公式:
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loga N ?
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logm N logm a

( a > 0 ,a ? 1 ,m > 0 ,m ? 1,N>0)

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8 两个常用的推论:
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① loga b ? logb a ? 1 , ② log a m b ?
n
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loga b ? logb c ? logc a ? 1
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n log a b ( a, b > 0 且均不为 1) m

9 对数函数的性质:
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a>1

0<a<1

y
图 象

y
x

o

1

o

1

x

定义域:(0,+∞) 性 质 过点(1,0),即当 x ? 1 时, y ? 0 值域:R

46

x ? (0,1) 时 y ? 0

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x ? (0,1) 时
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y?0
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x ? (1,??) 时 y ? 0

x ? (1,??) 时 y ? 0

在(0,+∞)上是增函数
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在(0,+∞)上是减函数
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10 同底的指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? log a x 互为反函数
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11 指数方程和对数方程主要有以下几种类型:
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(1) af(x)=b?f(x)=logab, logaf(x)=b?f(x)=ab; (定义法) (2) af(x)=ag(x)?f(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)?f(x)=g(x)>0 (转化法)
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(3) af(x)=bg(x)?f(x)logma=g(x)logmb (取对数法)
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(4) logaf(x)=logbg(x)?logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)

函数图象变换——知识点归纳

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1 作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图;作函数图象的步骤:①确定函数的定义
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域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化 趋势) ;④描点连线,画出函数的图象
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2 三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等;
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3 识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面
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4 平移变换: (1)水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方
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向向左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到; ( 2 )竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向上

(a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到
① y=f(x) ? y=f(x+h); ② y=f(x) ? y=f(x?h); ③y=f(x) ? y=f(x)+h; ④y=f(x) ? y=f(x)?h
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左移 h

右移 h

上移 h

下移 h

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5 对称变换: (1)函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得
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到; (2)函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到;

46

(3)函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到; (4)函数 y ? f ?1 ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到
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①y=f(x)

?
?

x轴

y= ?f(x);

②y=f(x)

? y=f(?x);
直线 y ? x

y轴

直线 x ? a
③y=f(x) y=f(2a?x); ④y=f(x)

?

y=f?1(x);

原点
⑤y=f(x)
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?

y= ?f(?x)

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6 翻折变换: (1)函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴
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翻折到 x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到; (2)函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代 原 y 轴左边部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到
y
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y=f(x)

y

y=|f(x)|

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

7 伸缩变换: (1)函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横
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坐标不变纵坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到;

(2)函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不变横 坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的
y ??

1 倍得到 a

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①y=f(x) ? y=f(

x??

x

?

);② y=f(x)

?

y=ω f(x)

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第三章数列

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数列

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数列定义——知识点归纳

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(1)一般形式: a1 , a2 ,?, an (2)通项公式: an ? f (n) (3)前 n 项和: Sn ? a1 ? a2 ??an 及数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系:

(n ? 1) ?S Sn ? a1 ? a2 ??an ? an ? ? 1 ? Sn ? Sn?1 (n ? 2)
等差数列——知识点归纳 1 等差数列的定义:
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①如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列 就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示 2 等差数列的判定方法:
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②定义法:对于数列 ?an ? ,若 an?1 ? an ? d (常数),则数列 ?an ? 是等差数列

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③等差中项:对于数列 ?an ? ,若 2an?1 ? an ? an?2 ,则数列 ?an ? 是等差数列 3 等差数列的通项公式:
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④如果等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则等差数列的通项为 an ? a1 ? (n ? 1)d 该公式整理后是关于 n 的一次函数 4 等差数列的前 n 项和:
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⑤ Sn ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) d ⑥ S n ? na1 ? 2 2
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对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 5 等差中项:
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⑥如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 即: A ?
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a?b 或 2

2A ? a ? b
在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项 与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 5 等差数列的性质:
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⑦等差数列任意两项间的关系: 如果 an 是等差数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项, 且 m ? n ,公差为 d ,则有 an ? am ? (n ? m)d ⑧ 对于等差数列 ?an ? ,若 n ? m ? p ? q ,则 an ? am ? a p ? aq 也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2 ? ??
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k?N , ⑨若数列 ?an ? 是等差数列, 那么 S k , S n 是其前 n 项的和, S 2k ? S k , S 3k ? S 2 k
*

成等差数列 如下图所示:
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S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

6 奇数项和与偶数项和的关系:
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⑩设数列 ?an ? 是等差数列, 项的和,则有如下性质: 前 n 项的和

S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n

S n ? S奇 ? S偶
n d 2 ,其中 d 为公差;
2
2

当 n 为偶数时, S 偶 ? S 奇 ?

当 n 为奇 数时, 则

S 奇 ? S偶 ? a中 , S奇 ? n ? 1 a中 , S偶 ? n ?1 a中 ,
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S奇 S偶
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?

S ? S偶 n ?1 Sn ? 奇 ? n (其中 a 是等差数列的中间一项) , 中 n ? 1 S奇 ? S偶 S奇 ? S偶

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7 前 n 项和与通项的关系:
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⑾若等差数列 ?an ? 的前 2n ? 1 项的和为 S 2 n?1 ,等差数列 ?bn ? 的前 2n ? 1 项的和为

S

' 2 n ?1 ,则

a n S 2 n ?1 ? ' bn S 2 n ?1
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等比数列——知识点归纳
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1 等比数列的概念:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,
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那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示 (q ? 0)
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2 等比中项:如果在 a 与 b 之间插入一个数 G ,使 a ,G ,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与
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b 的等比中项

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也就是,如果是的等比中项,那么 3 等比数列的判定方法:
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G b 2 ? ,即 G ? ab a G

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①定义法:对于数列 ?an ? ,若

a n ?1 ? q ( q ? 0) ,则数列 an
2

?an ?是等比数列

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②等比中项:对于数列 ?an ? ,若 an an?2 ? an?1 ,则数列 ?an ? 是等比数列

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4 等比数列的通项公式:如果等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则等比数列的通项为
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an ? a1q n?1 或着 an ? amqn?m
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5 等比数列的前 n 项和:
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1 Sn ? ○

a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 1? q
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2 Sn ? ○

a1 ? a n q (q ? 1) 1? q

3 当 q ? 1 时, S n ? na1 ○

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当 q ? 1 时,前 n 项和必须具备形式 Sn 6 等比数列的性质:
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? A(qn ?1),( A ? 0)

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①等比数列任意两项间的关系:如果 an 是等比数列的第 n 项,a m 是等差数列的第 m 项,且

m ? n ,公比为 q ,则有 an ? am q n?m
② 对于等比数列 ?an ? ,若 n ? m ? u ? v ,则 an ? am ? au ? av

也就是:

a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2 ? ??
a2 ?an ?1

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a1?an ????? ?????? a1 , a 2 , a3 ,?, a n?2 , a n?1 , a n ??? ? ???? ? 如图所示:
③若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 成 等比数列 如下图所示:
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S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2 k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

数列的求和——知识点归纳
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1 等差数列的前 n 项和公式:
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Sn= na1 ?

n(n ? 1) d 2

Sn=

n( a1 ? a n ) 2

Sn= na n ?

n( n ? 1) d 2

当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的二次式且常数项为 0; 当 d=0 时(a1≠0) ,Sn=na1 是关于 n 的正比例式 2 等比数列的前 n 项和公式:
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当 q=1 时,Sn=n a1

(是关于 n 的正比例式);

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当 q≠1 时,Sn=

a1 (1 ? q n ) 1? q

Sn=

a1 ? a n q 1? q

3 拆项法求数列的和,如 an=2n+3n
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4 错位相减法求和,如 an=(2n-1)2n
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(非常数列的等差数列与等比数列的积的形式) 5 分裂项法求和,如 an=1/n(n+1) ?
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1 1 ? n n ?1

(分子为非零常数,分母为非常数列的等差数列的两项积的形式)
n 6 反序相加法求和,如 an= nC100
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7 求数列{an}的最大、最小项的方法:
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?? 0 ? ①an+1-an=?? ?? 0 ?? 0 ? ?? 1 a n ?1 ? ? ? ?? 1 ② an ?? 1 ?

如 an= -2n2+29n-3

(an>0) 如 an=

9 n (n ? 1) 10n
n n ? 156
2

③ an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 an= 数列的综合应用——知识点归纳
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1 通项与前 n 项和的关系: S n ? a n ? ?
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?

a1 , (n ? 1)

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?S n ? S n?1 , (n ? 2)

2 迭加累加法:
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若an ? an?1 ? f (n),(n ? 2) ,
则a2 ? a1 ? f (2) ,

a3 ? a2 ? f (3) ,???,

an ? an?1 ? f (n)

? an ? a1 ? f (2) ? f (3) ?? f (n)
3 迭乘累乘法:
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an a a a ? g (n) , 则 2 ? g (2) , 3 ? g (3) ,???, n ? g (n) an?1 a1 a2 a n?1
an ? g (2) ? g (n) a1

?

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4 裂项相消法: a n ?
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1 1 1 1 ? ( ? ) ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C

5 错位相减法:
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an ? bn ? cn ,

?bn ? 是公差 d≠0 等差数列, ?cn ? 是公比 q≠1 等比数列

S n ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn?1cn?1 ? bn cn 则qSn ? b1c2 ? ?? ? bn?1cn ? bn cn?1
所以有 (1 ? q)S n ? b1c1 ? (c2 ? c3 ? ??cn )d ? bn cn?1 6 通项分解法: an ? bn ? cn
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7 等差与等比的互变关系:
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?an ? 成等差数列 ? ?ba ?(b>0,b ? 1)成等比数列
n

?an?成等差数列 ? ?can ? d?(c ? 0)成等差数列
?an ? 成等比数列??logb an ? 成等差数列
?an ? 成等比数列 ? ?ank ? 成等比数列
8 等比、等差数列和的形式:
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an ?0

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?an ?成等差数列? an ? An ? B ? Sn ? An2 ? Bn
?an?(q ? 1)成等比数列 ? Sn ? A(qn ?1)( A ? 0)
9 无穷递缩等比数列的所有项和:
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Sn ? ?an ?(|q|<1)成等比数列 ? S ? lim n ??

a1 1? q

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第四章三角函数 角的概念的推广和弧度制——知识点归纳 1 角 ? 和 ? 终边相同: ? ? ? ? k ? 360?
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k ?Z

2 几种终边在特殊位置时对应角的集合为:
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角的终边所在位置

角的集合

46

X 轴正半轴 Y 轴正半轴 X 轴负半轴 Y 轴负半轴 X轴 Y轴 坐标轴

?? | ? ? k ? 360?,

k ? Z?
k ? Z?

?? | ? ? k ? 360? ? 90?,

?? | ? ? k ? 360? ? 180?, ?? | ? ? k ? 360? ? 270?, ?? | ? ? k ?180?,
k ? Z?

k ? Z? k ? Z?

?? | ? ? k ?180? ? 90?,

k ? Z?

?? | ? ? k ? 90?,

k ? Z?

3 弧度制定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 1 弧度角
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角度制与弧度制的互化: 180 ? ? ?

1? ?
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?
180

1 弧度 ?

180 ?

?

? 57.3?

4 弧长公式: l ?| ? | r
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( ? 是圆心角的弧度数)

5 扇形面积公式: S ?
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1 1 l r ? |? | r2 2 2
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任意角的三角函数、诱导公式——知识点归纳
3.统计

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总体、个体、样本、 ,样本个体、样本容量的定义; 抽样方法:1 简单随机抽样:包括随机数表法,标签法;2 系统抽样 样本平均数: x ? 3 分层抽样。

1 1 n ( x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ) ? ? xi n n i ?1

样本方差:S =

2

1 n

[(x1-

x )2+(x2- x )2+ (x3- x )2+?+(xn- x )2]
作用:估计总体的稳定程度

样本标准差:s=

S2

理解频率直方图的意义,会用样本估计总体的期望值和方差,用样本频率估计总体分布。 题型示例 一、选择题 1.设 a、b ? R
?

, 2a ? b ? 1, 则 2 ab ? 4a2 ? b2 有





46

A.最大值

1 4

B.最小值

1 4

C.最大值 2 ? 1 2

D.最小值 ?

5 4

2. 某校有 6 间不同的电脑室,每天晚上至少开放 2 间,欲求不同安排方案的种数,现有四位同学分别给出 下列四个结果:① C6 ;② C6 A.仅有① B.仅有②
2 3
6 4 5 6 2 ;③ 2 ? 7 ;④ A6 .其中正确的结论是( ? 2C6 ? C6 ? C6



C.②和③

D.仅有③

? 3. 将函数 y=2x 的图像按向量 ? a 平移后得到函数 y=2x+6 的图像,给出以下四个命题:① a 的坐标可以
是(-3.0) ;② ? ;③ ? ;④ ? a 的坐标可以是(0,6) a 的坐标可以是(-3,0)或(0,6) a 的坐标可以有无 数种情况,其中真命题的个数是( A.1 4. B.2 ) C.3 D.4 ) D. (-∞,-3) ? (1,+∞)

?x ?1 ? a 2 不等式组 ? ,有解,则实数 a 的取值范围是( ? x ? 4 ? 2a
A. (-1,3) B. (-3,1)

C. (-∞,1) ? (3,+∞)

5. 设 a>0, 为[0,

)处切线的倾斜角的取值范围 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,曲线 y=f(x)在点 P( x0 ,f( x0 )

π ],则 P 到曲线 y=f(x)对称轴距离的取值范围为( ) 4 1 1 b b ?1 ] C. [0 , | |] D. [0 , | |] A. [0 , ] B. [0 , a 2a 2a 2a

6. 已知

f ( x) 奇函数且对任意正实数 x1 ,x2( x1 ≠ x2 )恒有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 则一定正确的是( x1 ? x2
D. f (?3) ? f (?5)



A. f (3) ? f (?5) B. f (?3) ? f (?5)

C. f (?5) ? f (3)

7. 将半径为 R 的球加热,若球的半径增加 ? R ,则球的体积增加 ?V A.

?(



4 3 πR ? R 3

B. 4πR

2

?R

C. 4 πR

2

D. 4πR?R

8. 等边△ABC 的边长为 a,将它沿平行于 BC 的线段 PQ 折起,使平面 APQ⊥平面 BPQC,若折叠后 AB 的长 为 d,则 d 的最小值为( )

A.

3 a 4

B.

5 a 4

C.

3a 4

D.

10 a 4


9. 锐角 ? 、 ? 满足

sin 4 ? cos4 ? ? cos2 ? sin 2 ?
B. ?

=1,则下列结论中正确的是(

A. ?

?? ?

π 2

?? ?

π 2

C. ?

?? ?

π 2

D. ?

?? ?

π 2


10. 若将向量 a=(2,1)转绕原点按逆时针方向旋转

π 得到向量 b,则向量 b 的坐标为( 4
C. ( ?

A. ( ?

2 2

,?

3 2 ) 2

B. (

2 2



3 2 ) 2

3 2 2



2 ) 2

D. (

3 2 2

,?

2 ) 2
46

11. 若直线 mx+ny=4 和⊙O∶ x 个数( ) A.至多一个
2 2

2

?y

2

? 4 没有交点,则过(m,n)的直线与椭圆

x2 y2 ? ? 1 的交点 9 4

B.2 个

C.1 个

D.0 个

12. 在椭圆 x ? y ? 1 上有一点 P,F1、F2 是椭圆的左右焦点,△F1PF2 为直角三角形,则这样的点 P 有 2 2

a

b

A.4个或6个或8个

B.4 个

C.6 个

D.8 个

13. 对于任意正整数 n,定义“n 的双阶乘 n!!”如下: 当 n 是偶数时,n!!=n?(n-2)?(n-4)??6?4?2; 当 n 是奇数时,n!!=n?(n-2)?(n-4)??5?3?1 现在有如下四个命题:①(2003!!)?(2002!!)=2003!;②2002!!=2 ③2002!!的个位数是 0; 其中正确的命题有( A.1 个 B .2 个 ) C.3 个 D.4 个 ④2003!!的个位数是 5.
1001

?1001!;

14. 甲、乙两工厂元月份的产值相等,甲工厂每月增加的产值相同,乙工厂的产值的月增长率相同,而7 月份甲乙两工厂的产值又相等,则4月份时,甲乙两工厂的产值高的工厂是 A.甲工厂 15. 若 log2
a





B.乙工厂

C.一样

D.无法确定 )

x1 ? loga x2 ? log( a?1) x3 ? 0(0 ? a ? 1) ,则 x1 , x2 , x3 的大小关系是(
B. x2

A. x3

? x2 ? x1

? x1 ? x3

C. x2

? x3 ? x1

D. x1

? x3 ? x2

16. 现用铁丝做一个面积为 1 平方米、形状为直角三角形的框架,有下列四种长度的铁丝各一根供选择, 其中最合理(即够用,浪费最少)的一根是( A.4.6 米 17. 定 义 B.4.8 米 C.5.米
n

) . D.5.2 米 , 其 中

?a
k ?i

k

? ai ? ai ?1 ? ai ? 2 ?
2

? an
0

i, ? n

?

N,
(



i



n

. 若

k f ( x) ? ? (?1)k C2003 (3 ? x)k ? ? ai x 2003?i 则 ? ak 的值为 k ?0 i ?0

2

0

0

3

0 2003 3

)

k ?1

A.2

B.0
2

C.-1

D.-2

18. 设实数 m、n、x、y 满足 m 值是( ) A. a ? b 2 ( ) A. 20. B.

? n 2 ? a , x 2 ? y 2 ? b ,其中 a、b 为正的常数,则 my ? ny 的最大
2 2 D. a ? b

a ?b

C. 2 ab a?b

2

19. 给出平面区域如图所示,若使目标函数 z=ax+y(a>0)取最大值的最优解有无穷多个,则 a 的值为

3 5

B.

1 4

C.4

D.

5 3


已 知 等 比 数 列

{an }

满 足 :

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 3


2 2 2 2 a12 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的值是(

46

A.9

B.4

C .2

D.

1 4


21. 已知正二十面体的各面都是正三角形,那么它的顶点数为( A.30 B.12 C.32 ) D.10 22. 如果 A、B 是互斥事件,那么(

A.A+B 是必然事件 B. A ? B 是必然事件 斥

C. A 与 B 一定不互斥

D.A 与 B 可能互斥,也可能不互

23. 某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调查结果如下表: 表 1 市场供给量 单价 (元/kg) 供给量 (1000kg) 表 2 市场需求量 单价 (元/kg) 需求量 (1000kg) A.(2.3,2.6)内 二、填空题 1.设直线 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4

50

60

70

75

80

90

50

60

65

70

75

80 )

根据以上提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( B. (2.4,2.6)内 C. (2.6,2.8)内

D. (2.8,2.9)内

2x ? y ? 4 3? 0与 抛 物 线


y 2 ? 2 3x 交 于 P 、 Q 两 点 , O 为 坐 标 原 点 , 则

?P O Q?
2.函数

f ? x ? 对于任何 x ? R ? ,恒有 f ? x1x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 若 f ?8? ? 3, 则 f
种不同的分组方法.

? 2? =



3.把 11 个学生分成两组,每组至少 1 人,有

4. 设 {an } 是公比为 q 的等比数列, Sn 是它的前 n 项和,若 {S n } 是等差数列,则 q=_______.

5. 点 B1 、 B2 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的短轴端点,过右焦点 F 作 x 轴的垂线交于椭圆于点 P, a 2 b2

若 | FB2 | 是 | OF | 、 | B1 B2 | 的等比中项(O 为坐标原点) ,则

| PF | ? ________. | OB2 |

6. 某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心 F 为焦点的椭圆,测得近地点 A 距离地面 m( km) ,远地点 B 距离 地面 n(km) ,地球半径为 R ( km) ,关于这个椭圆有以下四种说法: ①焦距长为 n ? m ;②短轴长为

(m ? R)(n ? R) ;③离心率 e ?

n?m m ? n ? 2R

;④若以 AB

46

方向为 x 轴正方向,F 为坐标原点,则与 F 对应的准线方程为 x 为________.

??

?(m ? R)(n ? R) ,其中正确的序号 (n ? m)

7. 如果一个四面体的三个面是直角三角形,那么其第四个面可能是: ①等边三角形;②等腰直角三角形;③锐角三角形;④锐角三角形;⑤直角三角形.那么结论正确的 是________. (填上你认为正确的序号) 8. 某工程的工序流程图如图所示, (工时单位:天) ,现已知工程总时数为 10 天,则工序 c 所需工时为__ 天. 三、解答题
2 2 1.设 F1、F2 分别为椭圆 C : x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的左、右两 2 2

a

b

个焦点. (1) 若椭圆 C 上的点

3 A(1, ) 到 F1、F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; 2

(2) 设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程; 已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM、 PN 的斜率都存在,并记为 kPM 、kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值.试对双曲线

x2 y 2 ? ? 1 写出具有类似特性的性质,并加以证明. a 2 b2
1

2.已知函数

x3 ? x f ( x) ? 5

?

1 3

1

x3 ? x , g ( x) ? 5

?

1 3

(1)证明

f ( x) 是奇函数,并求 f ( x) 的单调区间.

(2)分别计算

f (4) ? 5 f (2) g (2)和f (9) ? 5 f (3) g (3) 的值,由此概括出涉及函数 f ( x)

和 g ( x ) 的对所有不等于零的实数 x 都成立的一个等式,并加以证明. 3.非负实数 x1、x2、x3、x4 满足:x1+x2+x3+x4=a(a 为定值,a>0) (1)若 x1+x2≤1,证明: (2)求 4.已知

1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1
的最小值,并说明何时取到最小值.

1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? x3 ? 1 ? x4

f ( x) ? ( x ? 1)2 , g ( x) ? 4( x ? 1) ,数列 ?an ? 满足 a1 ? 2,(an?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0 .

(1)用 an 表示 (2)求证: (3)若 bn

an ?1 ;

?an ? 1? 是等比数列;

? 3 f (an ) ? g (an?1 ) ,求 ?bn ? 的最大项和最小项.

46

5.如图,MN 是椭圆 C1:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一条弦,A(-2,1) a2 b2

是 MN 的中点,以 A 为焦点,以椭圆 C1 的左准线 l 为相应准线的双曲线 C2 与直

线 MN 交于点 B(-4,-1) 。设曲线 C1、C2 的离心率分别为 e1、e2。 (1)试求 e1 的值,并用 a 表示双曲线 C2 的离心率 e2; (2)当 e1e2=1 时,求|MB|的值。 6.已知函数

f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x) .
π π , ] 上的图像. 2 2

(1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值; (2)在给出的直角坐标系中,画出函数 y=f(x)在区间[ ?

7.已知双曲线

x2 y2 x2 y2 P ? ? 1 ? ? 1的 ( a ? b ? 0 ) 右支上一点 在 轴上方, A 、 B 分别是椭圆 x a2 b2 a2 b2
y P
C A 0 D ,且侧面 B

左、右顶点,连结 AP 交椭圆于点 C,连结 PB 并延长交椭圆于 D,若 △ACD 与△PCD 的面积恰好相等. (1)求直线 PD 的斜率及直线 CD 的倾角; (2)当双曲线的离心率为何值时,CD 恰好过椭圆的右焦点? 8. 如图.已知斜三棱柱 ABC- A1 B1C1 的各棱长均为 2,侧棱 BB 1与

x

π 底面 ABC 所成角为 3

ABB 1A 1 垂直于底面 ABC.

(1)求证:点 B1 在平面 ABC 上的射影为 AB 的中点; (2)求二面角 C-

AB1 -B 的大小;

(3)判断 B1C 与 C1 A 是否垂直,并证明你的结论. 9. 如图所示, 以原点和 A (5, 2) 为两个顶点作等腰直角△OAB, ∠B=90°, 求 AB 和点 B 的坐标. 10. 在平面直角坐标系中,已知平行四边形 ABCD,O 为原点,且 OA =a, OB =b, OC =c, OD =d,E 在 BA 上,且 BE∶EA=1∶3,F 在 BD 上,且 BF∶FD=1∶4,用 a,b,c,d 分别表示 OE 、 OF 、 EF 、 EC ,并判断 E、F、C 三点是否共线. 11. △ABC 中,| BC |?
2 a ,| AC |? b , a, b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根, 且 2cos (A+B) =1. 求:

(1)角 C 的度数; (2)AB 的长; (3) S ?ABC 46

12. 已知二次函数 与

2 对任意实数 x 都有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 问当 f (1 ? 2 x ) f ( x) 的二次项系数为负,

f (1 ? 2 x ? x 2 ) 满足什么条件时才有-2<x<0?

题型示例答案 一、 选择题 1. C2. C3. D4. A5. B6. D7. B8. D9. D10. B11. B12.A13.D14.A15.C16. C17. D18. B19. A20. B21. B22. B23. C 二、 填空题 1. 90 2.
0

1 2

3. 1023 4. 1 5.

2 6. ①③④7. ①②③④⑤8. 4 2

三、解答题
2 2 1. (1)椭圆 C 的方程为 x ? y ? 1 ,焦点 F1(-1,0)、F2(1,0);

4

3

(2) ( x ?

1 2 4y b2 (3)定值为 k PM k PN ? ) ? ?1 ; 2 3 a2
1 ? 1 3 1

2

( ? x) 3 ? ( ? x) 2. (1)证明 函数定义域为 {x | x ? 0且x ? R},? f (? x) ? 5


x3 ? x ?? 5

?

1 3

? ? f ( x)

f ( x) 为奇函数.
? ? 1 3 1 3 1 3 ( x1 ? x1 3 ) ? ( x 2 ? x 2 3 ) ? ( x13 ? x 2 ) 5 5 5 1 1 1 1 1 1

设 o ? x1 ? x 2 , 则f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

(1 ?

1 x x
1 3 1 1 3 2

) ? 0,? f ( x)在(0,??) 上是增函数,又

f ( x) 是奇函数.

∴ f ( x) 在(-∞,0)上也是增函数. (2)解

f (4) ? 5 f (2) g (2) ? 0, f (9) ? 5 f (3) g (3) ? 0, 猜想: f ( x2 ) ? 5 f ( x) g ( x) ? 0
2 ? 2 2 3 1

x3 ? x ? f ( x ) ? 5 f ( x) g ( x) ? 5
3. 证: (1)? x1

x3 ? x ? 5? 5

?

1 3

1

x3 ? x ? 5

?

1 3

? ? 1 1 ? (x 3 ? x 3 ) ? (x 3 ? x 3 ) ? 0 5 5

2

2

2

2

? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1,?1 ? x1 ? 0,1 ? x2 ? 0,1 ? x1 ? x2 ? 0

要证 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1, 只要让 ( 1 ? x1 ? 1 ? x2 ) 2 ? ( 1 ? x1 ? x2 ? 1) 2 即证: 2 ? x1

? x2 ? 2 1 ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2 ? 2 1 ? x1 ? x2

只要证: x1 x2

?0

? x1 x2 ? 0 成立,故原不等式也成立。

解(2)从(1)的证明过程可知当 x1 ? 0, x2 ? 0, 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 1成立 ,等号当 x1

? 0或x2 ? 0 时取到.

46

? 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? x3 ? 1 ? x4 ?
1 ? x1 ? x2 ? 1 ? 1 ? x3 ? 1 ? x4 ? 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? 2 ? 1 ? x4 ? 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? x 4 ? 3 ? 1 ? a ? 3
等号当 x1

? x2 ? x3 ? 0, x4 ? a 取到。
所以 (an

4. 解: (1)因为 (an?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0, g (an ) ? 4(an ? 1)

f (an ) ? (an ? 1)2

? 1)(3an ? 4an?1 ? 1) ? 0 ,又 a1 ? 2 ,所以 an?1 ? 3 an ? 1
4

4

3 1 3 an ? ? 1 (an ? 1) 3 4 (2)因为 an?1 ? 1 ? 4 ?4 ? an ? 1 an ? 1 an ? 1 4
所以,

?an ? 1? 是以 a1 ? 1 ? 1 为首项,公比为

3 的等比数列. 4
4

(3)由(2)可知, a ? 1 ? ( 3 )n?1 , n 4 从而 bn ? 因

所以 an ? ( 3 )n?1 ? 1 ,

3

2 n ?1

?3 ?4 42 n ? 2
n

n ?1

3 3 ? 3 ? ( ) n ?1[( ) n ?1 ? 1] . 4 4

3 3 1 3 3 y ? ( ) x 为减函数,所以 bn 中最大项为 b1=0. 又 bn= 3[( )n?1 ? ]2 ? ? ? , 4 4 2 4 4 3 n?1 1 3 n ?1 1 而此时 n 不为整数才能有 ( ) ? ,所以只须考虑 ( ) 接近于 . 4 2 4 2 3 n ?1 9 1 1 3 n ?1 27 1 5 当 n=3 时, ( ) = 与 相差 ;当 n=4 时, ( ) = 与 相差 , 4 16 2 16 4 64 2 64 1 5 189 而 > ,所以 bn 中项 b3 ? ? . 64 16 256
5.解(1) [法一]由 A(-2,1) ,B(-4,-1)得直线 AB 即直线 MN 方程为 y=x+3,代入椭圆 C1 的方 程并整理,得(a +b )x +6a x+9a -a b =0
2 2 2 2 2 2 2

(*)

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2),则

x1+x2=-

6a 2 a2 ? b2 6a 2 ? ?4 得 a2=2b2, a2 ? b2

∵A(-2,1)是弦 MN 的中点,∴x1+x2=-4,故由 ?

又 b =a -c ,∴a=

c 2 ? . a 2 a2 ∵A 为 C2 的焦点,且相应准线 l 方程为 x ? ? ,即 x ? ? 2a ,过 B 作 BB0⊥l 于 B0,则由双曲 c
2 2 2

2c ,从而椭圆离心率 e1=

2 2 2 线定义知,e2= | BA | ? (?2 ? 4) ? (1 ? 1) ? 2 2 ? . | BB0 | | ?4 ? (? 2a) | | 2a ? 4 | | a ? 2 2 |

46

? x12 y12 ? ?1 ? 法二:设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2,且 ? a 2 b 2 ? 2 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ? ?a2 b2
(i)-(ii)得

(i )


(ii)

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) a
2

?

( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) b2

?0,

∴ k MN

?

y1 ? y 2 2b 2 1?1 ? ? 2 ? k AB ? ? ?1 ,以下同法一。 x1 ? x 2 2?4 a
2 2 ? 2 ,∴ a ? 3 2 或 2 。 , e1 e 2 ? 1 得 e2 ? 2 ,即 2 |a?2 2|

(2)由 e1

?

当a ?3 当a ?

2 时,b2=9,椭圆方程为

x2 y2 ? ?1; 18 9

2 时,b2=1,代入(*)知Δ <0,不合题意,舍去;

(另法:此时 A(-2,1)在椭圆外,不可能为弦 MN 中点,舍去) ∴椭圆 C1 方程只能为
2

x2 y2 ? ?1。 18 9
2 2

以下法一:将 a =18,b =9,代入(*)得 x +4x=0,∴x1+x2=-4,x1x2=0,
2 ∴|MN|= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? (1 ? k AB )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? 1)[( ?4) 2 ? 0] ? 4 2 ,

又|AB|= (?2 ? 4) 2 ? (1 ? 1) 2 ? 2 2 ∴|MB|=|MA|+|AB|=

1 |MN|+|AB|=2 2 ? 2 2 ? 4 2 . 2
x2 y2 ? ? 1 上,即 B 与 N 重合,从而|MB|=|MN|,故转化为 18 9

以下法二:具体求出 M、N 点的坐标。 以下法三:先验证点 B(-4,-1)在椭圆 求弦长|MN|即可。 6. 解: (1) f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 1 ? cos2x ? sin 2x

? 1 ? 2 (sin 2 x cos
所以函数

π π π ? cos 2 x sin ) ? 1 ? 2 sin( 2 x ? ) 4 4 4

f ( x) 的最小正周期为 π ,最大值为 1 ? 2 .
3π 8
1

(2)由(1)知

x
y
故函数

?

?

π 8

π 8
1

3π 8

5π 8
1

1? 2
π π , ] 上的图像是 2 2

1? 2

y ? f ( x) 在区间 [ ?

46

7. 解: (1)设 P( x0 , y0 ) , C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) ,又

A(?a,0) , B(a,0) ,

? S ?ACD ? S ?PCD ,? C 为 AP 的中点,即 x1 ?
2

x0 ? a 2
2



y1 ?

y0 2



代入椭圆方程得:

x y ( x0 ? a) 2 y 0 ? 2 ? 4 ①; 又 02 ? 02 ? 1 ② 2 a b a b
2

2

2 ①+②得 ( x0 ? a) ? x0 ? 5 ,即 x0 2

a

,代入(2) ,并注意 y 0 ? 0 ,得 y0 ? 3b . ? 2a ( x0 ? ?a 舍去)

? P(2a, 3b) ,从而 k PD ? k PB ?

y0 3b . ? x0 ? a a

? 直线 PD 方程为 y ?
? x1 ?

3b , ( x ? a) ,代入椭圆方程得: 2 x 2 ? 3ax ? a 2 ? 0 ,? x 2 ? a(x ? a舍去) a 2

x0 ? a a ,? x ? 1 2 2

? x2 ,即 CD ⊥ x 轴,? 直线CD 倾角为 90°.
2

(2)当 CD 过椭圆右焦点时,有 a ? c , b ? 在双曲线中,半焦距 c? ?

a 2 ? c 2 ? 3c ,
? a,
2


a2 ? b2
a

,半实轴 a ?

2 2 2 2 ? 双曲线离心率 e ? c? ? a ? b ? 4c ? 3c ? 7

a?

2c

此时,CD 恰好过椭圆右焦点. 8. (1)如图,在平面 BA 1 内,过 B1 作 B1 D ⊥AB 于 D, ∴ ∵ ∴ ∵ 侧面 BA 1 ⊥平面 ABC,

B1D ⊥平面 ABC, ?B1 BA是 BB1 与平面 ABC 所成的角,∴ ?B1 BA=60°.
四边形

ABB 1A 1 是菱形,





ABB1 为正三角形,

D 是 AB 的中点,即 B1 在平面 ABC 上的射影为 AB 的中点. △ABC 为正三角形,

(2)连结 CD,∵ 又∵ ∴ 平面

A1B ⊥平面 ABC,平面 A1B ? 平面 ABC=AB, A1B ,在平面 A1B 内,过 D 作 DE⊥ AB1 于 E,连结 CE,则 CE⊥ AB1 ,
?

CD⊥平面

∴ 则 BO ? ∴

∠CED 为二面角 C- AB 1 -B 的平面角.在 Rt△CED 中, CD ? 2 sin 60

? 3 ,连结 BA1 于 O,

3 , DE ? 1 BO ? 3 ,
2 2

tan ?CED ?

CD ? 2 . ∴ 所求二面角 C- AB 1 -B 的大小为 arctan2. DE

46

(3)答: B1C ∴ ∴ CD⊥平面

? C1 A ,连结 BC1 ,




BB1CC1 是菱形



BC1 ? B1C

A1B , B1D ? AB ,


B1C ⊥AB,

B1C ⊥平面 ABC1 ,

B1C ⊥ C1 A .
y ) , AB ? ( x ? 5 , y ? 2)


9. 设点 B 的坐标为(x,y) ,则 OB ? ( x , ∴

OB ? AB


x( x ? 5) ? y ? ( y ? 2) ? 0 ? x 2 ? y 2 ? 5x ? 2 y ? 0

又∵

| OB |?| AB |



x 2 ? y 2 ? ( x ? 5)2 ? ( y ? 2)2 ? 10x ? 4 y ? 29



7 ? x1 ? ? ? 2 解①②得 ? ?y ? ? 3 1 ? 2 ?
∴ 点 B 的坐标为(

3 ? x2 ? ? ? 2 或 ? ?y ? 7 2 ? 2 ?

10.

3 3 7 ? 7 7 3 )或( , ) AB ? ( ? , ? ) 或 AB ? ( ? , ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ? b? a b? d 解:由 BE ? EA , BF ? FD ,可直接求得 3 ? 3b ? a , OF ? 4 ? 4b ? d . OE ? 3 4 1 1 4 5 7 2
,?

1?

3

1?

4



EF ? OF ? OE ?

4 1 3 1 1 1 1 b? d ? b? a ? b? d ? a 5 5 4 4 20 5 4

EC ? OC ? OE ? c ?

3 1 1 b ? a ? (4c ? 3b ? a ) . 4 4 4

由平行四边形性质,知 d

?a ? c ?b.
4 20

即d

? a ?c ?b

所以 EF ? 1 b ? 1 (a ? c ? b) ? 1 a ? 1 (4c ? 3b ? a )

20

5



EC ? 5EF ,从而 E、F、C 三点共线.
1 , C ? 120° 2

11. 解: (1) cos C ? cos[ π ? ( A ? B )] ? ?cos( A ? B) ? ? (2)∵ ∴ ∴ a,b 是 x 2 ? 2 2 x ? 2 ? 0 的两个根,

a ? b ? 2 3 , ab ? 2
1 | AB |2 ?| AC |2 ? | BC |2 ?2 | AC | ? | BC | cos C ? b 2 ? a 2 ? 2ab (? ) 2

? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? ab ? (2 3)2 ? 2 ? 10
(3) S ?ABC ? 1 absin C ? 1 ? 2 ? 3 ?



| AB |? 10

2

2

2

3 2

12. 解:由已知 y ? ?a( x ? 2) 2 ? h , ( a 调.

? 0) .



f ( x) 在(-∞, 2] 上单增,在(2,+∞)上单

46

又∵ ∴

1 ? 2 x 2 ? 1 , 1 ? 2x ? x2 ? ?( x ?1)2 ? 2 ? 2 .
需讨论 1 ? 2 x 2 与 1 ? 2 x ? x 2 的大小.

由 1 ? 2 x ? x 2 ? (1 ? 2 x 2 ) ? x( x ? 2) 知 当 x( x ? 2) ? 0 ,即 ? 2 ? 故

x ? 0 时, 1 ? 2 x ? x 2 ? 1 ? 2 x 2 .

f (1 ? 2 x ? x 2 ) ? f (1 ? 2 x 2 ) 时,应有 ? 2 ? x ? 0

46


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