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平面向量习题(基础和提升)


基础巩固训练 1
1. 判断下列命题是否正确,并说明理由: (1)共线向量一定在同一条直线上。 (2)所有的单位向量都相等。
? ? ? ? ? ?

( ( ( ( ( )
? ?

) ) ) ) )

(3)向量 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线。

? ?

(4)向量 a 与 b 共线,则 a // b
? ?

?

?

(5)向量 AB // CD ,则 AB // CD 。 (6)平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量。 ( 2.已知向量 l 1 ? 0 , A、 ? ? 0
? ? ? ? ? ? ?

? ? R , a ? l 1 ? ? l 2 , b ? 2 l 1 ,若向量 a 和 b 共线,则下列关系一定成立的是(



B、 l 2 ? 0

?

?

C、 l1 // l 2

?

?

D、 l 2 ? 0 或 ? ? 0

?

?

3. .D、E、F 分别是△ABC 的 BC、CA、AB 上的中点,且 BC ? a , CA ? b ,给出下列命题,其中正确命题的个 数是( )
1 2 a?b

① AD ? ? A、1

② BE ? a ? B、2
BC ? e 1 ? e 2 ,

1 2

b

③ CF ? ?

1 2

a?

1 2

b

④ AD ? BE ? CF ? 0

C、3

D、4 )

4.已知: AB ? 3 ( e 1 ? e 2 ), A、A,B,C 三点共线 C、C,A,D 三点共线
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

CD ? 2 e 1 ? e 2 ,则下列关系一定成立的是(

B、A,B,D 三点共线 D、B,C,D 三点共线
??? ? ??? ?

5.若 | O A ? O B |? | O A ? O B | 则向量 O A , O B 的关系是( A.平行 B.重合 C.垂直
??? ? ? ????



D.不确定
???? ? ?
???? ????

6.如图,已知 A B ? a , A C ? b , B D ? 3 D C ,用 a , b 表示 A D ,则 A D ? ( )
? 3 ? A. a ? b 4 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? B. a ? b C. a ? b 4 4 4 4 3 ? 1 ? D. a ? b 4 4

? ????

A

B D
2 7.已知 a ? t e1 ? ( k ? 1) e 2 , b ? ( 2 t ? 1) e1 ? 3 e 2 ,且 a // b ,试求 t 关于 k 的函数。

C

8. 设平面向量 a ? ? 3, 5 ? , b ? ? ? 2,1 ? ,则 a ? 2 b ? ( A. ? 6, 3 ?

?

?

?

?



B. ? 7 , 3 ? C. ? 2 ,1 ? D. ? 7 , 2 ? ??? ? ? ???? ? ???? ???? ???? 9.在 △ A B C 中, A B ? c , A C ? b .若点 D 满足 B D ? 2 D C ,则 A D ? ( ) ? 1 ? ? ? 1 ? ? 2 ? 2 5 ? 2 2 1 A. b ? c B. c ? b C. b ? c D. b ? c 3 3 3 3 3 3 3 3 10.已知 a=(1,2) b=(-3,2) , ,当 ka+b 与 a-3b 平行,k 为何值( A
1 4



B -

1 4

C -

1 3

D

1 3

11.如图,线段 A B 与 C D 互相平分,则 B D 可以表示为 A . AB ? CD C.
??? ? ????
? 1 ??? 1 ???? AB ? CD 2 2 ??? ???? ? D. ? ( A B ? C D )

????

(

)
A

D

B. ?

? 1 ??? ???? ( AB ? CD ) 2

B C

12. 如图,设 P、Q 为△ABC 内的两点,且
??? ? 2 ??? 1 ???? ? ? ???? 2 ??? 1 ???? AP ? AB ? AC , AQ = A C ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( AB + 5 5 3 4 1 4 1 1

)

C

A.

B.

C.

D.

Q P

5

5

4

3
A

B

13.如图,在△ A B C 中,已知 A B ? 2 , B C ? 3 , ? A B C ? 60 ? ,
???? ? ??? ? ??? ? A H ? B C 于 H , M 为 A H 的中点,若 A M ? ? A B ? ? B C ,

A

?
B H .

M C

则? ? ? ?
?

.
?

14.已知向量 a ? (1, ? ) , b ? (1, 3 co s ? ) ,则 a ? b 的最大值为 sin 15.已知向量 a ? ( ? 2, 2 ), b ? (5, k ) ,若 a ? b 不超过 5,则 k 的取值范围是
? ?

?

?

?

?



16.已知 a ? (1, 2 ), b ? ( ? 3 , 2 ) ,当实数 k 取何值时, k a +2 b 与 2 a —4 b 平行? → → → 17.已知点 O(0,0) ,A(1,2) ,B(4,5) ,且OP =OA +tAB . (1) 当 t 变化时,点 P 是否在一条定直线上运动? (2) 当 t 取何值时,点 P 在 y 轴上? (3) OABP 能否成为平行四边形?若能求出相应的 t 值;若不能,请说明理由. 基础巩固训练 3 1. 已知向量 a =(x,1) b =(3,6) a ? b ,则实数 x 的值为 , , A.
1 2

B. ? 2

C. 2

D. ? ( D. 3 3

1 2

2.已知 a ? b ? ? 12 2 , a ? 4 , a 和 b 的夹角为 135 ? ,则 b 为 A. 12 B. 3
??? ? ??? ?



C. 6
???? ? ??? ??? ? ?

3. △ A B C 内有一点 O ,满足 O A ? O B ? O C ? 0 ,且 O A ?O B ? O B ?O C .则 △ A B C 一定是( A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形

??? ???? ?



?? ? ?? ? m ? ( b ? c , c ? a ), n ? ( b , c ? a ) , m ? n , 4. 在△ABC 中, a,b,c 分别为三个内角 A,B,C 所对的边, 设向量 若
则角 A 的大小为( ) ? ? A. B.
6 3

C.

?
2

D.

2? 3

5.设 ? ABC 是边长为 1 的正三角形, 则 CA ? CB =

.

6.已知 a =(-1, 3), b =(2, -1),若(k a + b )⊥( a -2 b ),则 k=



7. 如 果 一 架 向 东 飞 行 200km , 再 向 南 飞 行 300km , 记 飞 机 飞 行 的 路 程 为 s , 位 移 为 a , 则 ( ) A. s>|a|
??? ?

B.
??? ?

s<|a|

C. s=|a|

D. s 与|a|不能比大小

8. 已知 O A ? 1 , O B ?
( m , n ? R ) ,则

??? ??? ? ? ???? ??? ? ??? ? o 3 , O A ? O B ? 0 ,点 C 在 ? A O B 内,且 ? A O C ? 3 0 ,设 O C ? m O A? n O B

m n

等于
3 3





A.

1 3

B.3

C.

D. 3

9.在△ABC 中,已知向量 AB 与 AC 满足 ( A.三边均不相等的三角形 C.等腰非等边三角形

AB | AB |

?

AC | AC |

) ? BC ? 0 且

AB

?

AC

?

1 2

,则△ABC 为(



| AB | | AC |

B.直角三角形 D.等边三角形
? ( OB ? OC ) 的最小值为
B M O

A

10. 在Δ ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 OA .

C

11.在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1)和点 B(—3,4) ,若点 C 在∠AOB 的一平分线上,且 | OC |? 2 ,则
OC ? ____________.


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