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第三章 空间向量与立体几何导学案


高中数学选修 2-1

§3.1.1 空间向量及其运算
学习目标
1. 理解空间向量的概念,掌握其表示方法; 2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.

学习过程
一、 (预习教材 P84~ P86,找出疑惑之处) 复习 1

:平面向量基本概念: 具有 和 的量叫向量, 叫向量的模(或长度) ;

叫零

向量,记着 ; 叫单位向量. 叫相反向量, a 的 相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法 有 , ,和 共三种方法. 复习 2:平面向量有加减以及数乘向量运算: 1. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则. 2. 实数与向量的积: 实数 λ 与向量 a 的积是一个 量,记作 ,其长度和方向规定如下: (1)|λa|= . (2)当 λ>0 时,λa 与 A. ;当 λ<0 时,λa 与 A. ;当 λ=0 时,λa= . 3. 向量加法和数乘向量,以下运算律成立吗? 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb 二、新课导学 探究任务一:空间向量的相关概念 问题 :什么叫空间向量?空间向量中有零向量,单位向量,相等向量吗?空间向量如何表 示? 新知:空间向量的加法和减法运算: 空间任意两个向量都可以平移到同一平面内,变为两个平面向量 的 加 法 和 减 法 运 算 , 例 如 右 图 中 , OB ?
AB ? 试试:





1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求 a ? b, a ? b. a . b AC 5 AB , AB . BC ? 2. 点 C 在线段 AB 上,且 ? , 则 AC ? CB 2 反思:空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗? ⑴ 法交换律:A. + B. = B. + a; ⑵加法结合律:(A. + b) + C. =A. + (B. + c); ⑶数乘分配律:λ(A. + b) =λA. +λb.

典型例题 例 1 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' (如图) , 化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量: ⑴AB ? BC;
⑵AB ? AD ? AA '; 1 ⑶ AB ? AD ? CC ' 2 1 ⑷ ( AB ? AD ? AA ' ). 2
' 变式:在上图中,用 AB, AD, AA' 表示 AC , BD' 和 DB ' .

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小结:空间向量加法的运算要注意:首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指 向末尾向量的终点的向量,求空间若干向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的 向量. 例2 化简下列各式: ⑴
AB ? BC ? CA ;

⑵ AB ? MB ? BO ? OM ; (3) AB ? AC ? BD ? CD; (4) ⑷ OA ? OD ? DC . 变式:化简下列各式: ⑸ OA ? OC ? BO ? CO ; ⑹ AB ? AD ? DC ; ⑺ NQ ? QP ? MN ? MP .

小结:化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则,遇到减法既可转化成加 法,也可按减法法则进行运算,加法和减法可以转化. 练 1. 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , M 为 A 1 C 1 与 B 1 D 1 的交点,化简下列表达式: ⑴ AA1 ? A1B1 ; 1 1 ⑵ A1 B1 ? A1 D1 ; 2 2 1 1 ⑶ AA1 ? A1 B1 ? A1D1 2 2 ⑷ AB ? BC ? CC1 ? C1 A1 ? A1 A .

三、学习小结 1. 空间向量基本概念; 2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律 当堂检测: 1. 下列说法中正确的是( ) A. 若∣ a ∣=∣ b ∣,则 a , b 的长度相同,方向相反或相同; B. 若 a 与 b 是相反向量,则∣ a ∣=∣ b ∣; C. 空间向量的减法满足结合律; D. 在四边形 ABCD 中,一定有 AB ? AD ? AC .
2. 长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,化简 AA ' ? A' B' ? A' D' = 3. 已知向量 a , b 是两个非零向量, a0 , b0 是与 a , b 同方向的单位向量,那么下列各式正 确的是( ) A. a0 ? b0 B. a0 ? b0 或 a0 ? ?b0 C. a0 ? 1 D. ∣ a 0 ∣=∣ b 0 ∣ 4. 在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则四边形是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 5. 下列说法正确的是( ) A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动
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C. 如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量

§3.1.2 空间向量的数乘运算(一)
学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简; 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 一、 (预习教材 P86~ P87,找出疑惑之处) 复习 1:化简: ⑴ 5( 3a ? 2b )+4( 2b ? 3a ) ; ⑵ 6 a ? 3b ? c ? ?a ? b ? c .

?

? ?

?

复习 2:在平面上,什么叫做两个向量平行? 在平面上有两个向量 a, b , 若 b 是非零向量,则 a 与 b 平行的充要条件是 二、新课导学 探究任务一:空间向量的共线 问题:空间任意两个向量有几种位置关系?如何判定它们的位置关系? 新知:空间向量的共线: 1. 如果表示空间向量的 共线向量,也叫平行向量. 2. 空间向量共线:

所在的直线互相



,则这些向量叫

定理:对空间任意两个向量 a, b ( b ? 0 ) , a // b 的充要条件是存 在唯一实数 ? ,使得 推论:如图,l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量的直线, 对空间的任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是 试试:已知 AB ? a ? 5b, BC ? ?2a ? 8b, CD ? 3 a ? b

?

?

,求证: A,B,C 三点共线.

反思:充分理解两个向量 a, b 共线向量的充要条件中的 b ? 0 ,注意零向量与任何向量共线.

典型例题
例 1 已知直线 AB,点 O 是直线 AB 外一点,若 OP ? xOA ? yOB ,且 x+y=1,试判断 A,B,P 三点是否共线?

1 变式:已知 A,B,P 三点共线,点 O 是直线 AB 外一点,若 OP ? OA ? tOB ,那么 t= 2 ' ABCD ? A ' B ' C ' D ' 例 2 已知平行六面体 ,点 M 是棱 AA 的中点,点 G 在对角线 A ' C 上,
且 CG:GA ' =2:1,设 CD = a , CB ? b, CC ' ? c ,试用向量 a, b, c 表示向量 CA, CA' , CM , CG .

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变式 1:已知长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' ,M 是对角线 AC ' 中点,化简下列表达式: 1 1 1 ⑴ AA' ? CB ; ⑵ AB' ? B'C ' ? C ' D' ⑶ AD ? AB ? A' A 2 2 2

变式 2:P89 第 3 题

小结:空间向量的化简与平面向量的化简一样,加法注意向量的首尾相接,减法注意向量 要共起点,并且要注意向量的方向. 练 1. 下列说法正确的是( ) A. 向量 a 与非零向量 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线; B. 任意两个共线向量不一定是共线向量; C. 任意两个共线向量相等; D. 若向量 a 与 b 共线,则 a ? ? b . 2. 已知 a ? 3m ? 2n, b ? ( x ? 1)m ? 8n , a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x.

三、学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律;2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 当堂检测: 1. 下列说法正确的是( ) A. a 与非零向量 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等 D. 若向量 a 与 b 共线,则 a ? ? b 2. 正 方 体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中 , 点 E 是 上 底 面 A ' B ' C ' D ' 的 中 心 , 若
BB' ? xAD ? yAB ? z AA' ,
则 x=

,y=

,z=

.
OA +
OB .

3. 若点 P 是线段 AB 的中点,点 O 在直线 AB 外,则 OP ?

1 4. 平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , O 为 A 1 C 与 B 1 D 的交点,则 ( AB ? AD ? AA' ) ? 3

AO

5. 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' ,M 是 AC 与 BD 交点,若 AB ? a, AD ? b, AA' ? c , 则与 B' M 相等的向量是( ) 1 1 1 1 A. ? a ? b ? c ; B. a ? b ? c; 2 2 2 2

C.

1 1 a ? b ? c; 2 2

D.

1 1 ? a ? b ? c. 2 2

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§3.1.2 空间向量的数乘运算(二)
学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律,能进行简单的代数式化简; 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 一、 (预习教材 P86~ P87,找出疑惑之处) 复习 1:什么叫空间向量共线?空间两个向量 a, b , 若 b 是非零向量,则 a 与 b 平行的充要 条件是 1 2 复习 2:已知直线 AB,点 O 是直线 AB 外一点,若 OP ? OA ? OB ,试判断 A,B,P 三点是 3 3 否共线?

二、 学习探究 探究任务一:空间向量的共面 问题: 空间任意两个向量不共线的两个向量 a,b 有怎样的位置关系?空间三个向量又有怎样 的位置关系? 1、新知:共面向量: 同一平面的向量. 2、 空间向量共面: 定 理 : 对 空 间 两 个 不 共 线 向 量 a, b , 向 量 p 与 向 量 a, b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 , 使得 . 推论:空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C 共面的充要条件是: ⑵ 存在 ,使 ⑶ 对空间任意一点 O,有 1 1 1 试试:若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满足关系式 OP ? OA ? OB ? OC ,则点 2 3 6 P 与 A,B,C 共面吗?

反思:若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满足关系式 OP ? xOA ? yOB ? zOC ,且点 P 与 A,B,C 共面,则 x ? y ? z ? .

典型例题 例 1 下列等式中,使 M,A,B,C 四点共面的个数是( ) 1 1 1 ③ OM ? OA ? OB ? OC; ② OM ? OA ? OB ? OC; 5 3 2 ③ MA ? MB ? MC ? 0; ④ OM ? OA ? OB ? OC ? 0 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变 式 : 已 知 A,B,C 三 点 不 共 线 , O 为 平 面 ABC 外 一 点 , 若 向 量 1 7 OP ? OA ? OB ? ?OC ? ? ? R ? , 则 P,A,B,C 四点共面的条件是 5 3 ?? E H 例 2 课本 P88 例 1
变式 :已知空间四边形 ABCD 的四个顶点 A,B,C,D 不共面,
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B

D

F
C

G

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E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 的中点,求证:E,F,G,H 四点共面.

小结:空间向量的化简与平面向量的化简一样,加法注意向量的首尾相接,减法注意向量 要共起点,并且要注意向量的方向. 1 2 2 练 1. 已知 A, B, C 三点不共线,对平面外任一点,满足条件 OP ? OA ? OB ? OC ,试判 5 5 5 A , B , C 断:点 P 与 是否一定共面?

练 2. 已知 a ? 3m ? 2n, b ? ( x ? 1)m ? 8n , a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x.

三、学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律; 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 当堂检测:
1. 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A 、 D1C 、 AC 是( ) 1 1 A. 有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量. 2. 正 方 体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中 , 点 E 是 上 底 面 A ' B ' C ' D ' 的 中 心 , 若

BB' ? xAD ? yAB ? z AA' ,则 x=

,y=

,z=

.
OA +
OB .

3. 若点 P 是线段 AB 的中点,点 O 在直线 AB 外,则 OP ?

1 AO . 4. 平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , O 为 A 1 C 与 B 1 D 的交点,则 ( AB ? AD ? AA' ) ? 3 5. 在下列命题中:①若 a、b 共线,则 a、b 所在的直线平行;②若 a、b 所在的直线是异面 直线,则 a、b 一定不共面;③若 a、b、c 三向量两两共面,则 a、b、c 三向量一定也共 面;④已知三向量 a、b、c,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=xa+yb+zc.其 中正确命题的个数为 ( ). A.0 B.1 C. 2 D. 3 6. 若 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp , a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x, y .

7. 已 知 两 个 非 零 向 量 e1 , e2 不 共 线 , AB ? e1 ? e2 ,
A, B, C , D 共面.

AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2 . 求 证 :

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§3.1.3.空间向量的数量积运算
学习目标
1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; 2. 掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些 简单问题. 一、 (预习教材 P90~ P92,找出疑惑之处) 复习 1:什么是平面向量 a 与 b 的数量积? 复习 2:在边长为 1 的正三角形⊿ ABC 中,求 AB ? BC .

二、学习探究 探究任务一:空间向量的数量积定义和性质 问题:在几何中,夹角与长度是两个最基本的几何量,能否用向量的知识解决空间两条直 线的夹角和空间线段的长度问题? 新知: 1) 两个向量的夹角的定义:已知两非零向量 a , b ,在空间 一点 O ,作 OA ? a, OB ? b , 则 ?AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 . 试试: ?? a, b ?? ? a, b? =0 时, a 与 b ⑴ 范围: ; ? a, b? =π 时, a 与 b
⑵ ? a, b ??? b , a ? 成立吗? ⑶ ? a, b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作 . 2) 向量的数量积: 已知向量 a , b ,则 叫做 a , b 的数量积,记作 a ? b ,即 a ? b ? 规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 反思: ⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量? ⑵ 0?a ? (选 0 还是 0 ) a ? b ⑶ 你能说出 的几何意义吗? 3) 空间向量数量积的性质: (1)设单位向量 e ,则 a ? e ?| a | cos ? a, e ? . (2) a ? b ? a ? b ? . (3) a ? a ? = . 4) 空间向量数量积运算律: (1) (? a) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) . (2) a ? b ? b ? a (交换律) . (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) 反思: ⑴ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 吗?举例说明.

.

⑵ 若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 吗?举例说明.

⑶ 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 吗?为什么? 典型例题 例 1 用向量方法证明:课本 P91 例 2

变式 1: :课本 P91 例 3
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例 2 如图, 在空间四边形 ABCD 中,AB ? 2 ,BC ? 3 ,BD ? 2 3 ,CD ? 3 ,?ABD ? 30 , ?ABC ? 60 ,求 AB 与 CD 的夹角的余弦值 D
王新敞
奎屯 新疆

A B

C

变式:在正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中,若 AB= 2 BB 1 ,则 AB 1 与 C 1 B 所成的角为( ) A. 60° B. 90° C. 105° D. 75° 例 3 课本 P92 练习 2

练 1. 已知向量

a,b 满足 a

? 1 , b ? 2 , a ? b ? 3 ,则 a ? b ? ____.

练 2. 已知 a ? 2 2 , b ?

2 , a ? b ? ? 2 , 则 a 与b 的夹角大小为_____. 2

三、学习小结 1..向量的数量积的定义和几何意义. 2. 向量的数量积的性质和运算律的运用. 当堂检测: 1. 下列命题中: ①若 a ? b ? 0 ,则 a , b 中至少一个为 0
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个

②若 a ? 0 且 a ? b ? a ? c ,则 b ? c
2 2

③ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ④ (3a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 9 a ? 4 b 正确有个数为( D. 3 个



2. 已知 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角为 A. e1 ? e2 B. e1 ? e2 C. e1

? ,则下面向量中与 2e2 ? e1 垂直的是( 3 D. e2



3.已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边为 a , b, c ,且 a ? 3, b ? 1 , ?C ? 30? ,则 BC ? CA = 4. 已知 a ? 4 , b ? 2 ,且 a 和 b 不共线,当 a ? ? b 与 a ? ? b 的夹角是锐角时, ? 的取值范 围是 . 5. 已知向量

a,b 满足 a

? 4 , b ? 2 , a ? b ? 3 ,则 a ? b ? ___

6. 已知空间四边形 ABCD 中, AB ? CD , AC ? BD ,求证: AD ? BC .

D

A
7. 课本 P92 练习 3

C

B

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§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
学习目标
1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示; 2. 掌握空间向量的坐标运算的规律;

学习过程
一、 (预习教材 P92-96 找出疑惑之处) 复习 1:平面向量基本定理:
a,b 是平面上两个 对平面上的任意一个向量 P ,

向量, 总是存在 ,其中 a,b 叫做

实数对 ? x, y ? , . 若

使得向量 P 可以用 a,b 来表示,表达式为
a ? b ,则称向量 P 正交分解. 复习 2:平面向量的坐标表示:

平面直角坐标系中,分别取 x 轴和 y 轴上的 向量 i, j 作为基底,对平面上任意向量 a ,有 且只有一对实数 x,y,使得 a ? xi ? y j , ,则称有序对 ? x, y ? 为向量 a 的 ,即 a = .

二、学习探究 探究任务一:空间向量的正交分解 问题:对空间的任意向量 a ,能否用空间的几个向量唯一表示?如果能,那需要几个向量? 这几个向量有何位置关系?
新知: ⑴ 空间向量的正交分解:空间的任意向量 a ,均可分解为不共面的三个向量 ?1 a1 、 ?2 a2 、 . 如果 a1 , a2 , a3 两两 ?3 a3 ,使 a ? ?1a1 ? ?2 a2 ? ? 3 a 3 解. (2) 空间向量基本定理:如果三个向量 a, b, c
{x, y, z} ,使得 p ? xa ? yb ? zc . 把

,这种分解就是空间向量的正交分

,对空间任一向量 p ,存在有序实数组

的一个基底, a, b, c 都叫做基向量.

反思:空间任意一个向量的基底有 个. ⑶单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互相 ,长度都为 ,则这个基底叫 做单位正交基底,通常用{i,j,k}表示. ⑷空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a,且设 i、j、k 为 x 轴、 y 轴、z 轴正方向的单位向量,则存在有序实数组 {x, y, z} ,使得 a ? xi ? y j ? zk ,则称有序 实数组 {x, y, z} 为向量 a 的坐标,记着 p ? . ⑸设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB = . ⑹向量的直角坐标运算: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 (1)a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑵a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑶λa= (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (? ? R) ; ⑷a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 . 试试: 1. 设 a ? 2i ? j ? 3k , 则向量 a 的坐标为 .2. 若 A (1,0,2) , B (3,1, ?1) , 则 AB = 3. 已知 a= (2, ?3,5) ,b= (?3,1, ?4) ,求 a+b,a-b,8a,a·b .

典型例题
例 1 已知向量 a, b, c 是空间的一个基底,从向量 a, b, c 中选哪一个向量,一定可以与向量
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p ? a ? b, q ? a ? b 构成空间的另一个基底?
变式: 已知 O,A,B,C 为空间四点, 且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个基底, 那么点 O,A,B,C 是否共面?

小结:判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是:这三个向量一定不共面. 例 2 课本 P94 例 4 变式:课本 P94 练习 3

练 1. 已知 a ? ? 2, ?3,1?, b ? ?2,0,3 ?, c ? ?0,0,2 ? ,求: ⑴a? b?c ;

?

?

⑵ a ? 6b ? 8c .

练 2. 正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱长为 2,以 A 为坐标原点,以 AB,AD,AA' 为 x 轴、y 轴 、 z 轴 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则 点 D1 , AC, AC ' 的 坐 标 分 别 是 , , .

三、学习小结 1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理; 2. 空间向量坐标表示及其运算 当堂检测:
1. 若 a,b,c 为空间向量的一组基底,则下列各项中,能构成基底的是( ) A. a, a ? b, a ? b B. b, a ? b, a ? b C. c, a ? b, a ? b D. a ? 2b, a ? b, a ? b 2. 设 i、 j、 k 为空间直角坐标系 O-xyz 中 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向的单位向量, 且 AB ? ?i ? j ? k , 则点 B 的坐标是 3. 在三棱锥 OABC 中,G 是 ?ABC 的重心(三条中线的交点) ,选取 OA, OB, OC 为基底, 试用基底表示 OG = 4. 正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱长为 2,以 A 为坐标原点,以 AB,AD,AA' 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系,E 为 BB1 中点,则 E 的坐标是 . 2 2 5. 已 知 关 于 x 的 方 程 x ? ? t ? 2? x ? t ? 3t ? 5 ? 0 有 两 个 实 根 , c ? a ? tb , 且

? ?

a ? ? ?1 , 1 ? ,3 b ?,?

t= ? 1 ,? ,当 0, 2

时, c 的模取得最大值.

6. 已知 A ? ? 3,5, ?7 ?, B ? ? ?2,4,3 ? ,求 AB, BA, 线段 AB 的中点坐标及线段 AB 的长度.

7. 已知 a, b, c 是空间的一个正交基底,向量 a ? b, a ? b, c 是另一组基底,若 p 在 a, b, c 的坐 标是 ?1, 2,3? ,求 p 在 a ? b, a ? b, c 的坐标.

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§3.1.5 空间向量运算的坐标表示
学习目标
1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式; 2. 会用这些公式解决有关问题.

学习过程
一、 (预习教材 P95~ P97,找出疑惑之处) 复习 1:设在平面直角坐标系中,A (1,3) ,B ( ?1, 2) ,则线段︱AB︱= 复习 2:已知 a ? ? ?3,2,5 ?, b ? ?1,5, ?1 ? ,求:⑴a+B. ⑵3a-b; ⑶6A. ; . ⑷a·b.

二、学习探究 探究任务一:空间向量坐标表示夹角和距离公式 问题:在空间直角坐标系中,如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角? 新知: 1. 向量的模:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,则|a|= 2. 两个向量的夹角公式: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) , 由向量数量积定义: a· b=|a||b|cos<a,b>, 由向量数量积坐标运算公式: a· b= 由此可以得出:cos<a,b>= 试试: ① 当 cos<a、b>=1 时,a 与 b 所成角是 ; ② 当 cos<a、b>=-1 时,a 与 b 所成角是 ; ③ 当 cos<a、b>=0 时,a 与 b 所成角是 , 即 a 与 b 的位置关系是 ,用符合表示为 . 反思: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴ a//B. ? a 与 b 所成角是 ; ? a 与 b 的坐标关系为 ⑵ a⊥b ? a 与 b 的坐标关系为 ; 3. 两点间的距离公式: 在空间直角坐标系中,已知点 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则线段 AB 的长度为:
AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2 .



4. 线段中点的坐标公式: 在空间直角坐标系中, 已知点 A( x1 , y1 , z1 ) ,B( x2 , y2 , z2 ) , 则线段 AB 的中点坐标为: 典型例题 例 1. 课本 P96 例 5
变式:如右图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, B1E1 ? D1F1 ?
BE1 与 DF1 所成角的余弦值.

.

A1B1 ,求 3

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例 2. 课本 P96 例 6

变式:课本 P97 练习 3

小结:求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐 标,然后再用公式计算. 练 1. 已知 A(3,3,1)、B(1,0,5),求:⑴线段 AB 的中点坐标和长度; ⑵到 A、B 两点距离相等的点 P( x, y, z ) 的坐标 x、y、z 满足的条件.

练 2. 课本 P97 练习 2

三、学习小结 1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式; 2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系,写出向量的坐 标,然后再代入公式进行计算. 当堂检测:
1. 若 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则
a1 a2 a3 ? ? 是 a // b 的( b1 b2 b3



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 2. 已知 a ? ? 2, ?1,3?, b ? ??4,2, x ? ,且 a ? b ,则 x=

D.既不充分又不不要条件 .

3. 已知 A ?1,0,0 ?, B ?0, ?1,1 ? , OA ? ? OB 与 OB 的夹角为 120°,则 ? 的值为( )

6 6 6 B. C. ? D. ? 6 6 6 6 4. 若 a ? ? x,2,0? , b ? ?3,2 ? x, x2 ? ,且 a, b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是( )
A. ? A. x ? ?4 B. ?4 ? x ? 0 C. 0 ? x ? 4 D. x ? 4 5. 已知 a ? ?1,2, ? y ? , b ? ? x,1,2? , 且 (a ? 2b) //(2a ? b) ,则( )

1 x ? , y ?1 3 6。课本 P98 习题5 .
A.

B.

1 x ? , y ? ?4 2

C.

x ? 2, y ? ?

1 4

D.

x ? 1, y ? ?1

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高中数学选修 2-1

7. 课本 P98 习题 10

§3.1 空间向量及其运算(练习)
学习目标
1. 熟练掌握空间向量的加法,减法,向量的数乘运算,向量的数量积运算及其坐标表示; 2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式,并能熟练 用这些公式解决有关问题.

学习过程
一、 (阅读课本 p115) 复习: 1. 具有 和 的量叫向量, 叫向量的模; 叫零向量,记 着 ; 具有 叫单位向量. 2. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则. 3.实数 λ 与向量 a 的积是一个 量,记作 ,其长度和方向规定如下: (1)|λa|= . (2)当 λ>0 时,λa 与 A. ;当 λ<0 时,λa 与 A. ;当 λ=0 时,λa= . 4. 向量加法和数乘向量运算律: 交换律:a+b= 结合律:(a+b)+c= 数乘分配律:λ(a+b)= 5.① 表示空间向量的 所在的直线互相 或 ,则这些向量叫共 线向量,也叫平行向量. ②空间向量共线定理:对空间任意两个向量 a, b ( b ? 0 ) , a // b 的充要条件是存在唯一 实数 ? , 使得 ; ③ 推论: l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,对空间的任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是 6. 空间向量共面: ①共面向量: 同一平面的向量. ② 定 理 : 对 空 间 两 个 不 共 线 向 量 a, b , 向 量 p 与 向 量 a, b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 , 使得 . ③推论:空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C 共面的充要条件是: ⑴ 存在 ,使 ⑵ 对空间任意一点 O,有 7. 向量的数量积: a ? b ? . 8. 单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互相 ,长度都为 ,则这个基底叫 做单位正交基底,通常用{i,j,k}表示. 9.空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a,且设 i、j、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量,则存在有序实数组 {x, y, z} ,使得 a ? xi ? y j ? zk ,则称有序实 数组 {x, y, z} 为向量 a 的坐标,记着 p ? . 10. 设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB = . 11. 向量的直角坐标运算: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a+b= ⑶λa= ; ⑷a·b=



⑵a-b=



动手试试 1.在下列命题中:①若 a、b 共线,则 a、b 所在的直线平行;②若 a、b 所在的直线是异面 直线,则 a、b 一定不共面;③若 a、b、c 三向量两两共面,则 a、b、c 三向量一定也共
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高中数学选修 2-1

面;④已知三向量 a、b、c,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p=xa+yb+zc.其 中正确命题的个数为( ) A.0 B. 1 C. 2 D. 3 2.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A 、 D1C 、 AC 是( ) 1 1 A.有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量 3.已知 a=(2,-1,3) ,b=(-1,4,-2) ,c=(7,5,λ ) ,若 a、b、c 三向量共面, 则实数 λ=( ) 62 63 64 65 A. B. C. D. 7 7 7 7 4.若 a、b 均为非零向量,则 a ? b ?| a || b | 是 a 与 b 共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 5.已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,-3,7) ,C(0,5,1) ,则 BC 边上 的中线长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6. a ? 3i ? 2 j ? k , b ? i ? j ? 2k , 则 5a ? 3b ? ( ) A.-15 B.-5 C.-3 D.-1

典型例题
例 1 空间四边形 OABC 中,OA ? a,OB ? b ,OC ? c ,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,点 N 为

BC 的中点,则 MN ?

.

变式: 如图, 平行六面体 ABCD ? A' B'C ' D' 中, AB ? a, AD ? b , AA' ? c , CQ 4 ? ,用 点 P , M , N 分别是 CA' , CD' , C ' D' 的中点,点 Q 在 CA' 上,且 QA' 1 基底 a, b, c 表示下列向量: ⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ . 例 2 如图, 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, ?ABC ? 90?, CB ? 1, CA ? 2, AA1 ? 6 ,点 M 是 CC1 的中点,求证: AM ? BA1 .

变式: 正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱长为 2, 底面边长为 1, 点 M 是 BC 的中点, 在直线 CC1 上求一点 N,使得 MN ? AB1

当堂检测:
1.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 CA ? a , CB ? b , CC1 ? c , 则 A1 B ? ( A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. ? a ? b ? c D. ? a ? b ? c 2. m ? a, m ? b, 向量n ? ? a ? ?b(?, ? ? R且? 、 ? ? 0)则 ( A. m // n B. m 与 n 不平行也不垂直 ) D.以上情况都可能. ) C. m ? n , )

3. 已知 a + b + c = 0 , | a |=2, | b |=3, | c |= 19 , 则向量 a 与 b 之间的夹角 ? a, b ? 为 ( A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 4.已知 a ? ?1,1,0? , b ? ? ?1,0,2? , 且 ka ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 的值是( )

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1 3 7 C. D. 5 5 5 5. 若 A(m+1,n-1,3), B. (2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线, 则 m+n= 6.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E , F , G 分别
A. .1 B. 是 DD1 , BD, BB1 的中点.⑴ 求证: EF ? CF ;⑵ 求 EF 与 CG 所成角 的余弦;⑶ 求 CE 的长.

§3.2 立体几何中的向量方法(1)
学习目标
1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念; 2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题.

学习过程
一、 (预习教材 P102~ P104,找出疑惑之处) 复习 1: 可以确定一条直线;确定一个平面的方法有哪些? 复习 2:如何判定空间 A,B,C 三点在一条直线上? 复习 3:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,a·b=

二、学习探究 探究任务一: 向量表示空间的点、直线、平面 问题:怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置? 新知: ⑴ 点:在空间中,我们取一定点 O 作为基点,那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量 OP 来表示,我们把向量 OP 称为点 P 的位置向量. ⑵ 直线: ① 直线的方向向量:和这条直线平行或共线的非零向量. ② 对于直线 l 上的任一点 P ,存在实数 t ,使得 AP ? t AB ,此方程称为直线的向量参数方 程. ⑶ 平面: ① 空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两个不共线向量确定 .对于平面 ? 上的任一点 P , a, b
是平面 ? 内两个不共线向量,则存在有序实数对 ( x, y ) ,使得 OP ? xa ? yb . ② 空间中平面 ? 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置. ⑷ 平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量 n 垂 直于平面 ? ,记作 n ⊥ ? ,那 么向量 n 叫做平面 ? 的法向量. 试试: . 1.如果 a, b 都是平面 ? 的法向量,则 a, b 的关系 . . 2.向量 n 是平面 ? 的法向量,向量 a 是与平面 ? 平行或在平面内,则 n 与 a 的关系是 反思: 1. 一个平面的法向量是唯一的吗? 2. 平面的法向量可以是零向量吗? ⑸ 向量表示平行、垂直关系: 设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ,平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则 ① l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ③ ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv. ② l ∥? ? a ? u ? a ?u ? 0

典型例题 例 1 已知两点 A ?1, ?2,3? , B ? 2,1, ?3? ,求直线 AB 与坐标平面 YOZ 的交点.

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变式: 已知三点 A ?1, 2,3? , B ? 2,1, 2? , P ?1,1,2? ,点 Q 在 OP 上运动 (O 为坐标原点) ,求当 QA ? QB 取得最小值时,点 Q 的坐标.

小结:解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可. 例 2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面 平行,则这两个平面平行.(课本 P104 定理) 变式: 在空间直角坐标系中,已知 A ? 3,0,0 ?, B ?0,4,0 ?, C ?0,0,2 ? ,试求平面 ABC 的一个法向量.

小结:平面的法向量与平面内的任意向量都垂直. 练 1. 设 a, b 分别是直线 l1 , l2 的方向向量,判断直线 l1 , l2 的位置关系: ⑴

a ? ?1,2, ?2? , b ? ? ?2,3,2? ;

⑵ a ? ? 0,0,1? , b ? ? 0,0,3? .

练 2. 设 u , v 分别是平面 ? , ? 的法向量,判断平面 ? , ? 的位置关系: ⑴

u ? ?1,2, ?2? , v ? ? ?2, ?4,4? ; ⑵ u ? ? 2, ?3,5? , v ? ? ?3,1, ?4? .

三、学习小结 1. 空间点,直线和平面的向量表示方法 2. 平面的法向量求法和性质. 当堂检测:
1. 设 a ? ? 2, ?1, ?2? , b ? ? 6, ?3, ?6? 分别是直线 l1 , l2 的方向向量,则直线 l1 , l2 的位置关系是 . 2. 设 u ? ? ?2,2,5? , v ? ? 6, ?4,4? 分别是平面 ? , ? 的法向量,则平面 ? , ? 的位置关系是 . 3. 已知 n ? ? ,下列说法错误的是( ) A. 若 a ? ? , 则 n ? a B.若 a // ? , 则 n ? a C.若 m ? ? , , 则 n // m D.若 m ? ? , , 则n ? m 4.下列说法正确的是( ) A.平面的法向量是唯一确定的 B.一条直线的方向向量是唯一确定的 C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量 D.若 m 是直线 l 的方向向量, l // ? ,则 m // ? 5. 已知 AB ? ?1,0, ?1?, AC ? ?0,3, ?1 ? ,能做平面 ABC 的法向量的是( ) A. ?1,2,1?
? 1 ? B. ? 1, ,1? ? 3 ?

C. ?1,0,0?

D.

? 2,1,3?

6. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 求证:DB1 是平面 ACD1 的一个 法向量.

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7.已知 AB ? ? 2,2,1? , AC ? ? 4,5,3? ,求平面 ABC 的一个法向量.

§3.2 立体几何中的向量方法(2)
学习目标
1. 掌握利用向量运算解几何题的方法,并能解简单的立体几何问题; 2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.

学习过程
一、 (预习教材 P105~ P107,找出疑惑之处. 复习 1:已知 a ? b ? 1 , a ? 1, b ? 2 ,且 m ? 2a ? b ,求 m . 复习 2:什么叫二面角?二面角的大小如何度量?二面角的范围是什么?

二、学习探究 探究任务一:用向量求空间线段的长度 问题:如何用向量方法求空间线段的长度?
新知:用空间向量表示空间线段,然后利用公式 a ? a 求出线段 长度. 试试:在长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,已知 AB ? 1, BC ? 2, CC ' ? 1 , 求 AC ' 的长. 反思:用向量方法求线段的长度,关键在于把未知量用已知条件中 的向量表示.
2

典型例题 例 1 课本 P105 例 1
变式 1:上题中平行六面体的对角线 BD1 的长与棱长有什么关系?

变式 2: 如果一个平行六面体的各条棱长都相等, 并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都 等于 ? , 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?

探究任务二:用向量求空间图形中的角度 例 2 课本 P106 例 2

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变式:课本 P107 练习 2

练 1. :课本 P113 习题 10

练 2. 如图,M、N 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱 BB ' 、 B ' C ' 的中点.求 异面直线 MN 与 CD ' 所成的角.

三、学习小结
1. 求出空间线段的长度:用空间向量表示空间线段,然后利用公式 a ? a ; 2. 空间的二面角或异面直线的夹角,都可以转化为利用公式 cos a, b ? a ? b 求解.
a?b
2

当堂检测: 1. 已知 A ?1,02? , B ? ?1,1,3? ,则 AB ? 1 2. 已知 cos a, b ? ? ,则 a, b 的夹角为 . 2 3. 若 M、N 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱 A' B ', BB' 的中点,那么直线 AM , CN 所成的角的余弦为( ) 3 2 3 10 A. B. C. D. 5 5 2 10 4. 将锐角为 60? 边长为 a 的菱形 ABCD 沿较短的对角线折成 60? 的二面角,则 AC , BD 间的 距离是( )
A. 3 a
2

B. 3 a
2

C. 3 a
4

D. 3 a
4
? 1 AC ' 3

5.正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中棱长为 a , AM

, N 是 BB ' 的中点,则 MN 为( )

21 6 B. a a 6 6 6。课本 P111 习题 1
A.

C.

15 a 6

D.

15 a 3

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§3.2 立体几何中的向量方法(3)
学习目标
1. 进一步熟练求平面法向量的方法; 2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法; 3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.

学习过程

一、复习 1:已知 A ?1, 2,0? , B ? 0,1,1? , C ?1,1,2? ,试求平面 ABC 的一个法向量.

复习 2:什么是点到平面的距离?什么是两个平面间距离?

二、学习探究 探究任务一:点到平面的距离的求法 问题: 如图 A ?? , 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d ,已知平面 ? 的一个法向量为 n ,且 AP 与 n
不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ? 分析:过 P 作 PO ⊥ ? 于 O,连结 OA,则 d=| PO |= | PA | ?cos ?APO. ∵ PO ⊥ ? , n ? ? , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos ? PA, n? |

?P
n
?
?O

A?

∴D. =| PA ||cos ? PA, n? | = | PA |? | n | ? | cos? PA, n? | = | PA ? n |
|n|
|n|

新知:用向量求点到平面的距离的方法: 设 A ?? , 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d ,平面 ? 的一个法向量为 n ,则 D. 试试:在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, A' BCD ' 的距离. 求点 C ' 到平面

=

| PA ? n | |n|

反思:当点到平面的距离不能直接求出的情况下,可以利用法向量的方法求解.

典型例题 例 1 已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且
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GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离.

变 式 : 如 图 , ABCD 是 矩 形 , PD ? 平 面 A B C D , PD ? DC ? a , AD ? 2a , M 、N 分 别 是 A D 、 P B的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P N D M A B C

小结:求点到平面的距离的步骤: ⑴ 建立空间直角坐标系,写出平面内两个不共线向量的坐标;⑵ 求平面的一个法向量的坐 标; ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标;⑷ 代入公式求出距离. 探究任务二:两条异面直线间的距离的求法 例 2 如图,两条异面直线 a , b 所成的角为 ? ,在直线 a , b 上分别取点 A' , E 和 A, F , 使得 AA' ? a ,且 AA' ? b .已知 A' E ? m, AF ? n, EF ? l ,求公垂线 AA ' 的长.

△ ABC 中 , AC ? BC ? 2 , 且 变 式 : 已 知 直 三 棱 柱 A B C─ A 1 ? 4 ,底面 1 B 1 C 1 的 侧 棱 AA

?BCA ? 90 , E 是 AB 的中点,求异面直线 CE 与 AB1 的距离.

小结:用向量方法求两条异面直线间的距离,可以先找到它们的公垂线方向的一个向量 n , 再在两条直线上分别取一点 A, B ,则两条异面直线间距离 d ? n ? AB 求解
n

三、 学习小结 1.空间点到直线的距离公式 2.两条异面直线间的距离公式 当堂检测:
1. 2. 3. 4. 5. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,平面 ABB ' A' 的一个法向量为 ; ' ' ABCD ? A ' B ' C ' D ' A B CB 在棱长为 1 的正方体 中,异面直线 和 所成角是 ; 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,两个平行平面间的距离是 ; ' ' 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,异面直线 A B 和 CB 间的距离是 ; 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,点 O 是底面 A' B'C ' D' 中心,则点 O 到平面
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A'CDB ' 的距离是 6. 课本 P113 习题 9

7. 课本 P112 习题 5

§第三章
学习目标

空间向量(复习)

1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算; 2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具.

学习过程
一、 (预习教材 P115-116,找出惑之处) 复习 1:如图,空间四边形 OABC 中, OA ? a, OB ? b, OC ? c .点 M 在 OA 上,且 OM=2MA, N 为 BC 中点,则 MN ? 复 习 2 : 平 行 六 面 体 ABCD ? A ' B ' C ' D' 中 ,
A B ? a D P,M,N 分别是 CA' , CD' , C ' D' 的中 A ? , b'? A ,点 A c

点,点 Q 在 CA' 上,且 CQ : QA' ? 4 :1 ,用基底 a, b, c 表示下列 向量: ⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .

?

?

主要知识点: 1. 空间向量的运算及其坐标运算: 空间向量是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成 “三维的”了. 2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具 ①平行与垂直的判断 ②角与距离的计算 典型例题
例 1 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 500 kg , 在它的顶点处分别受力 F1 、F2 、

F3 ,每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是 60 ,且

F1 ? F2 ? F3 ? 200kg . 这块钢板在这些力的作用下将会怎样运
动?这三个力最小为多大时,才能提起这块钢板?(课本 P84 引 言)

变式:上题中,若不建立坐标系,如何解决这个问题?

小结:在现实生活中的问题,我们可以转化我数学中向量的问题来解决,具体方法有坐标 法和直接向量运算法,对能建立坐标系的题,尽量使用坐标计算会给计算带来方便. 例 2 如 图 , 在 直 三 棱 柱
ABC ? A1 B1C1 中 ,

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?ABC ? 90?, CB ? 1, CA ? 2, AA1 ? 6 ,点 M 是 CC1 的中点,求证: AM ? BA1 .

变式:正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 1,棱长为 2,点 M 是 BC 的中点,在直线 CC1 上求一点 N,使 MN ? AB .

例3 如图, 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 E,F 分别在 BB1 , DD1 上, 且 AE ? A1 B , AF ? A1 D . ⑴ 求证: A1C ? 平面 AEF ;

⑵ 当 AB ? 4, AD ? 3, AA1 ? 5 时,求平面 AEF 与平面 D1 B1 BD 所成的角的余弦值.

练 1. 如图, 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 a , 侧棱长为 2a . ⑴试建立适当的坐标系,写出点 A, B, A1 , C 1 的坐标 ⑵求 AC1 的侧面 ABB1 A1 所成的角.

练 2. 已知点 A(1,-2,0),向量 a ? ? ?3,4,12 ? ,求点 B 的坐标,使得 AB // a ,且 AB ? 2a .

三、学习小结 1. 空间向量的运算与平面向量的方法相同; 2. 向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体几何问题常用的方法. 当堂检测:
1.已知 a ? ?1,1,0? , b ? ? ?1,0,2? ,且 (ka ? b) ? (2a ? b) ,则 k= 2. 已知 a ? ?1 ? t,2t ? 1,0 ?, b ? ?2, t, t ? ,则 b ? a 的最小值是( A.
5

; )

B.

6

C.

2

D.

3

3. 空 间 两 个 单 位 向 量 OA ? ? m, n,0? , OB ? ? 0, n, p ? 与 OC ? ?1,1,1? 的 夹 角 都 等 于

cos ?A O B? 4.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角后,异面直线 AB, CD 所成角的余弦值为

? ,则 4
.

1 5. 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 a, AM ? AC1 ,N 是 BB1 的中点, 3
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则 MN =( A.



21 6 15 15 C. D. a B. a a a 6 6 6 3 6.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E , F , G 分别 为 DD1 , BD, BB1 的中点.⑴ 求证: EF ? CF ;⑵ 求 EF 与 CG 所成角的余弦值;⑶ 求 CE 的 长.

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