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第4章第3讲平面向量的数量积及应用


第3讲

平面向量的数量积及应用

→ (2)|a|=________;(3)|AB|=________;(4)cosθ =________;(5)a⊥b?a?b=0? 填一填: 1 1 2 (1)向量 a=(1,0),b=( , ),给出下列结论①|a|=|b|;②a?b= ;③a-b 与 b 垂直; 2 2 2 ④a∥b,其中正确的是________. (2)已知 a=(2,-3),b=(1,-2),且 c⊥a,b?c=1,则 c 的坐标________.

【重点难点】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

4.平面向量数量积的应用
(1)向量在平面几何中的应用 基于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如全等、相似、 平行、垂直等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来. (2)平面向量在物理中的应用 ①由于物理中的力、速度、位移都是向量,它们的分解与合成是向量的加法与减法的具体应用,可用 向量来解决. ②物理中的功 W 是一个标量,它是力 f 与位移 s 的数量积,即 W=f· s=________. 填一填: → → → → (1)在△ABC 中,|AB|=|AC|=4,且AB?AC=8,则这个三角形的形状________. (2)一质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1,F2 成 60°角, 且 F1,F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为________.

【课前自主导学】
1. 平面向量的数量积
(1)数量积的定义:已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为θ ,则数量________叫做 a 与 b 的数量积, 记作 a· b,即 a· b=________. (2)向量的投影 设θ 为 a 与 b 的夹角,则________(|b|cosθ )叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影. (3)数量积的几何意义:数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影________的乘积. (4)数量积的运算律: ①交换律:a· b=________;②结合律:(λ a)· b=________=a· (λ b);③分配律:(a+b)· c=________. → → → → 想一想:1.已知正三角形的边长为 1,则①AB?BC=________.②AB在BC方向上的投影为________. 2.已知非零向量 a,b,c,①若 a· c=b· c,a=b 吗?②(a· b)· c=a(b· c)恒成立吗?

考点一:平面向量数量积的运算
→ →

2.向量数量积的性质
(1)设 e 是单位向量,且 e 与 a 的夹角为 θ ,则 e?a=a?e=|a|cosθ ; (2)当 a 与 b 同向时, a?b=|a||b|; 当 a 与 b 反向时, a?b=-|a||b|, 特别地, a?a=a 或|a|= a ; (3)a⊥b?________; (4)cosθ =________(θ 为 a 与 b 的夹角); (5)a?b________|a||b|. 想一想: 1.若 a· b>0,是否说明 a 与 b 的夹角为锐角? 2.若|a|=1,|b|=2,且(a-b)⊥a,则 a 与 b 的夹角为________.
2 2

例1

(1)[2012?北京高考]已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE?CB的值为 → →

________,DE?DC的最大值为________. → → (2)[2012?浙江高考]在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB?AC=________.

3. 向量数量积的坐标运算
→ → → → 设OA=a=(x1,y1),OB=b=(x2,y2),它们的夹角为 θ ,则(1)a?b=________; 奇思妙想:本例(2)小题,改为在“菱形 ABCD 中,若 AC=2,则AB?AC=________.”该如何解题?

[变式探究]

在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=2,AD=1,

考点四:平面向量的综合应用
→ 例4 [2012?安徽高考]在平面直角坐标系中,点 O(0,0),P(6,8).将向量OP绕点 O 按逆时针方向旋 ) C. (-4 6,-2) D. (-4 6,2) → 3 转 π 后得向量OQ,则点 Q 的坐标是( 4 A. (-7 2,- 2)





∠BAD=60°,E 为 CD 的中点,则AE?BD=________.

B. (-7 2, 2)

考点二:两向量的模和夹角问题
例2 (1)[2012?课标全国]已知向量 a, b 夹角为 45°, 且|a|=1, |2a-b|= 10, 则|b|=________. (2)[2012?湖北高考]已知向量 a=(1,0),b=(1,1),则 ①与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为________; ②向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为________.

[变式探究]

[2013?杭州模拟]已知 A,B,C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cosα ,sinα ),α

→ → → → 2 π 3π 2sin α +sin2α ∈( , ).(1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值;(2)若AC?BC=-1,求 的值. 2 2 1+tanα

奇思妙想:本例(2)中的向量 a 改为(1,k),若向量 b-3a 与向量 a 的夹角为钝角,则如何求 k 的取值 范围? 【经典演练提能】 1. [2011· 重庆高考]已知向量 a=(1,k),b=(2,2),且 a+b 与 a 共线,那么 a· b 的值为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. [2012?陕西高考]设向量 a=(1,cosθ )与 b=(-1,2cosθ )垂直,则 cos2θ 等于( A. 2 2 B. 1 2 C. 0 D. -1 ) )

[变式探究] π A. 6

已知向量 a, b 满足(a+2b)?(a-b)=-6, 且|a|=1, |b|=2, 则 a 与 b 的夹角为( π B. 3 2π C. 3 5π D. 6

)

考点三:向量的垂直问题
例 3 (1)[2012· 辽宁高考]已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( ) A. a∥b B. a⊥b C. |a|=|b| D. a+b=a-b (2)[2012· 安徽高考]设向量 a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,则|a|=________.

3. [2012· 浙江高考]设 a,b 是两个非零向量( ) A. 若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B. 若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C. 若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ ,使得 b=λ a D. 若存在实数λ ,使得 b=λ a,则|a+b|=|a|-|b| 5 4. [2013?精选题]已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5,若(a+b)?c= ,则 a 与 c 的夹 2 角为( ) A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° )

[变式探究] 3 A. - 2

已知 a⊥b,|a|=2,|b|=3,且 3a+2b 与 λ a-b 垂直,则实数 λ 的值为( 3 B. 2 3 C. ± 2 D. 1

)

5. [2013?济南模拟]设向量 a,b 满足|a|=1,|a-b|= 3,a?(a-b)=0,则|2a+b|=( A. 2 B. 2 3 C. 4 D. 4 3


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