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高中数学必修二 4.1.2圆的一般方程


高中数学必修二
数学组

4.1.2 圆的一般方程
杨礼勇

一、教学目标 知识与技能目标: 1、掌握圆的一般方程和圆的一般方程的特点; 2、能熟练掌握圆的一般方程与圆的标准方程的互化; 3、灵活应用待定系数法求圆的方程; 过程与方法目标: 1、通过对方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的条件的 探究, 培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力 以及体会分类讨论的思想; 2、通过待定系数法求圆的方程,体会方程的思想; 3、通过轨迹方程的求解,体会数形结合的思想 情感态度与价值观目标:1、通过对圆的一般方程的求解,让学生体验成功解 出题目的乐趣, 提高学生的自信心, 激发学生的求知 欲,从而提高学生的学习兴趣; 2、 注意对比思想的应用, 体验用联系的观点分析问题, 认识事物间的相互转化; 二、教学重点、难点 重点:1、用配方法,把圆的一般方程转化成标准方程,求出圆心和半径. 2、用待定系数法求圆的方程. 难点:圆的一般方程特点的研究. 三、教学资源与工具设计 学生: 教师: 1、圆规; 1、多媒体课件(几何画板课件) ; 2、圆规直尺; 四、教学方法:启发式教学法、讨论法,从而使学生自己发现规律. 五、教学流程: 复习引入?学生猜测?小组合作, 动手探索?定义的推导与证明?巩固练习?几

何画板演示?探索过程的回顾与提高?课堂小结 六、教学过程: (一) 、问题引入 上一节学习了圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径 r. 提问:已知圆心为(1,-2)、半径为 2 的圆的方程是什么? (生答)(x-1)2+(y+2)2=4
2 2 将它展开得 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 ,这是一个二元二次方程。

任何圆的方程都是这样的二元二次方程吗? 把圆的标准方程展开,并整理: x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 可见任何一个圆的方程都可以写成下面的形式

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
反过来,形如 x
2



这说明圆的方程就是一个二元二次方程。

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的方程一定表示圆吗?

这就是今天所要探讨的内容:圆的一般方程.(书写课题) (二)、新知探究 我们先来判断两个具体的方程是否表示圆?(师生互动)

(1) x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 5 ? 0 (2) x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 6 ? 0
结论:不一定表示圆(通过此例分析引导学生使用配方法) 追问: x
2

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 满足什么条件时表示圆?
2

(让学生相互讨论后,由学生总结) 将 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 配方得
2

(x ?

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4

(1)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,此方程表示以(半径的圆;

E 1 D ,- )为圆心, D 2 ? E 2 ? 4 F 为 2 2 2

(2)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,此方程只有实数解 x ? ? 一个点(E D ,- ); 2 2

D E , y ? ? ,即只表示 2 2

(3)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,此方程没有实数解,因而它不表示任何图形

新疆

王新敞
学案

综上所述,方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定是圆 , 只有当
D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,它表示的曲线才是圆,

我们把方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 )称为圆的一般方程
2 2 与一般的二元二次方程 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 比较

新疆

王新敞
学案

我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) ①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. (举例: 4x 2 ? 4 y 2 ? 4x ? 12y ? 9 ? 0 ) ②没有 xy 这样的二次项 请学生思考并回答: 二元二次方程

Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

表示圆 ?

A ? C ? 0且B ? 0且D 2 ? E 2 ? 4 AF ? 0
(三) 、 定义解析 问题:圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点? 圆的标准方程 方程 圆的一般方程
x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0)

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
( r ? o)

圆心 半径 优点

( a, b)

(?

D E ,? ) 2 2

r 几何特征明显

1 D2 ? E 2 ? 4F 2

突出方程形式上的特点

(四)、定义巩固 例 1:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆 的半径长和圆心坐标。 分析:已知曲线类型,应采用待定系数法 使用待定系数法的圆的方程的一般步骤: 1.根据题意,选择标准方程或一般方程; 2.根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组; 3.解出 a、b、r 或 D、E、F,代入标准方程或一般方程。 (解题过程由学生完成) 想一想:可否先求圆心和半径,再得出圆的方程? (提示学生结合图形,圆的弦的中垂线的交点为圆心 ,圆心到圆上一点的距离 为半径) 例 2、 已知一曲线是与两个定点 O(0,0),A(3,0)距离的比为 此曲线的方程,并画出曲线。 分析:按照求曲线的方程的步骤来求解,求出方程,通过方程可判断为圆的 一般方程,利用配方法将圆的一般方程化为标准方程,从而求出圆心和半径,以 便画图;然后指出配方法的重要性,要求学生熟练掌握。 (五)、课堂练习: 1.判断下列方程是否表示圆? 如果是 ,请求出圆的圆心及半径.
1 的点的轨迹,求 2

(1) x 2 ? y 2 ? 0 (2) x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 6 ? 0 (3)4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 11 ? 0 (4) x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2 3ay ? 3a 2 ? 0
2.求圆心在直线 3x ? y ? 5 ? 0 上,并且经过原点和点(3,-1)的圆的方程

(六)、课堂小结

知识上:(1)任何一个圆的方程都可以写成 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的形式, 但是方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的曲线不一定是圆; 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时, 方 程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 称为圆的一般方程; (2) 圆的一般方程与圆的标准方程可以互相转化;熟练应用配方法求出圆心 坐标和半径. 思想方法上:(1)用待定系数法求圆的方程; (2)方程的思想; (3)数形结合的思想; (七)、布置作业: 1 导学案; (必做) 2 课本 P123 页习题第 3 题。 (选做) 3 思考题: 通过今天的学习,你能自己能总结出求圆的方程有哪些方法的 吗? (八)、板书设计

圆的一般方程 (一)圆的标准方程 (二)圆的一般方程 课件

(九)、课后反思评价: (从学生方面及教师方面进行反思及评价)


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