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三垂线定理及其逆定理


三垂线定理及其逆定理
【学习内容分析】
“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。它是线面 垂直性质的延伸。利用三垂线定理及其逆定理,可将空间两直线垂直与平面两直线垂直 进行互相转化,具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。所以在立体几何中有核 心定理的作用。

【课程目标】
一. 知识与技能目标 理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。 二. 过程与方法目标 1 通过对定理的学习,培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。

三.情感、态度和价值观目标
3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。

【教学重点和难点】
一. 教学重点

定理的理解和运用

二.教学难点
如何在具体图形中找出适合三垂线定理(或逆定理)的直线和平面。

【教学方法】
以教师为主导,以学生为主体,以能力发展为目标,从学生的认识规律出发进行启发式 教学,运用小组学习合作探究。

【教学过程】 一 复习引入:
1. 复习提问
1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念; 设计意图(因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础,直线与平面垂直 的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法,因此我用提问的形式让学生温故知新, 作好新课的铺垫。 )

2.有意设疑,引入新课。
平面的垂线垂直于平面内的每一条直线;平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线,但 也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的 呢? 学生思考后,我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型(如图) ,使直尺与三角

板的斜边垂直,引导学生猜想发现规律。经过实验,发现直尺与三角板在平面内的直角边 垂直时便与斜边垂直。 启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来,表达成数学命题: 平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直,那么就和平面的这条斜线垂直(板书) 设计意图(为了唤起学生学习的兴趣,把学生的注意力集中起来,调动学生的思维积极性, 我通过提出问题,创设情景,引导学生观察、猜想,发现新的知识,培养学生的探索能力)

二、新课讲授:
由以上的分析,我们可以抽象出如下的一个图。 PO⊥α ,PA 与α 斜交于点 A,AO⊥a,问 PA 与 a 所成的角; 显然 PO⊥α P

a ??

?PO ? a OA ? a
PO ? OA=O

? a ? 平面 POA PA ? 平面 POA

? PA ? a
O A

即:PA 与 a 所成的角为 900

三垂线定理来源于“线面垂直” ,抓住平面α 的垂线 PO, 才是抓住了定理的实质与关键, 并启发学生猜想逆命题的真假, 学生把握住了线面垂直这个 本质很容易得出三垂线定理的逆定理。 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它 和这条斜线在平面内的射线垂直。 (板书) 设计意图(1 证明命题。通过对猜想得到的命题的论证,加深学生对命题内容的认识,使 学生的思维提高到演绎推理的水平上来。我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结, 帮助学生理清证明的基本思路,培养学生相互转化的数学思想。2.利用命题变换,培养学生思 维的灵活性,进一步深化对定理的学习和理解。3 利用列表对比教学法,强化对三垂线定理及 其逆定理内容的理解和记忆。 ) 剖析命题 (1).三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系,平面内的直线与平面 的斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价,本质就是线面垂直的定义。 (2).通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结: 一找垂面:即先确定平面及平面的垂线: 二找斜线:接着确定平面的斜线: 三定射影:由上面的垂足和斜足确定斜线的射影; 四证直线:即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。 (板书) 设计意图(为了加深对定理的理解,为灵活应用定理奠定基础,帮助学生化解难点,揭示定 理的应用方法。 )

三 讲解例题

例 1.已知:点 O 是 ?ABC 的垂心, PO ? 平面ABC ,垂足为 O ,求证: PA ? BC . 证明:∵点 O 是 ?ABC 的垂心, ∴ AD ? BC 又∵ PO ? 平面ABC ,垂足为 O ,
A O B D P

C

PA 平面ABC ? A
所以,由三垂线定理知, PA ? BC . 例 2.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等, 那么这点在平面内的射影在这 个角的平分线上 已知:∠BAC 在α 内,P??,PE?AB 于 E,PF?AC 于 F 且 PE=PF,PO?? 求证:O 在∠BAC 的平分线上(即∠BAO=∠CAO ) P 证明:连接 OE,OF ∵PO?? ∴EO,FO 分别为 PE,PF 在?上的射影 E B ∵PE=PF ∴OE=OF ∵PE?AB,PF?AC O A F C ∴OE?AB,OF?AC(三垂线定理的逆定理 ) ? ∴O 到∠BAC 两边距离相等 ∴O 在∠BAC 的平分线上 变式:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆







?BAC
, ? A B







?






P

P ?? ,

P ? E

P ? , ?F A C E,P F , OO , PE ? PF , ,垂足分别为

求证: ?BAO ? ?CAO .
A

E O F C

B

证明:∵ PE ? AB, PF ? AC, PO ? ? , ∴ AB ? OE, AC ? OF (三垂线定理逆定理) ∵ PE ? PF , PA ? PA ,∴ Rt ?PAE ? Rt ?AOF , ∴ AE ? AF ,又∵ AO ? AO ,∴ Rt ?AOE ? Rt ?AOF ∴ ?BAO ? ?CAO .

?

推广:经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果斜线的这个角两边夹角相等,那么 斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线 例 3.在三棱锥 P-ABC 中,三条侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,H 是△ABC 的垂心 求证:(1)PH?底面 ABC (2)△ABC 是锐角三角形. P 证明: (1)略
王新敞
奎屯 新疆

A H B E

C

(2)设 AH 与直线 BC 的交点为 E,连接 PE 由(1)知 PH?底面 ABC ∴AE 为 PE 在平面 ABC 的射影, 由三垂线定理:PE?BC ∵PB?PC 即△BPC 是直角三角形,BC 为斜边 ∴E 在 BC 边上 由于 AE?BC,故 B∠C 都是锐角 同理可证:∠A 也是锐角 ∴△ABC 为锐角三角形 设计意图(为了培养学生灵活应用定理的能力,帮助学生掌握重点,化解难点,我精选 了三条有层次的、由易到难的例题,通过引导学生观察,分析后,我用设问的方法,深入浅 出地引导学生寻找证题的基本思路,确定适应定理的“四线一面” ,然后,由学生板书解答后, 我再较正学生的证明过程,进一步培养学生的书面语言表达能力和逻辑推理能力。 )

四 小结:
知识:三垂线定理以及逆定理 问题:平面中斜线和射影的垂直问题 方法:空间垂直与平面垂直互相转化 思想:转化思想

五 作业:
1.边长为 a 的正六边形 ABCDEF 在平面?内,PA⊥?,PA=a,则 P 到 CD 的距离为 到 BC 的距离为 . ,P

2.AC 是平面?的斜线,且 AO=a,AO 与?成 60?角,OC??,AA'⊥?于 A' ,∠ A? OC=45?, 则 A 到直线 OC 的距离是 ,∠AOC 的余弦值是 .

2a,
答案:1.

7 14 2 a a, 2 ; 2. 4 4

3.如图,已知 ABCD 是矩形,AB=a,AD= b,PA?平面 ABCD,PA=2c,Q 是 PA 的中点. 求(1)Q 到 BD 的距离; (2)P 到平面 BQD 的距离. P
A

Q
H
?

O

A C ′

A B E C

D

六 板书设计: 七 教学后记
本节课采用教师为主导学生为主体的启发式教学方式,学生反映较好,定理记得牢,理 解深刻,应用灵活,不仅让学生学习了新的知识,而且培养了能力。从学生的课后作业 看,书写规范,推理正确,取得较好的教学效果,圆满完成本节课的教学任务。


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