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河北省衡水中学2014年4月高三第一次模拟理科数学试题


河北省衡水中学 2014 年 4 月高三第一次模拟理科数学试题 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.设全集为实数集 R, M ? x x 2 ? 4 , N ? x 1 ? x ? 3 ,则图中阴影部分表示的集合是 (

?

?

?

?

? ? C. ? x 1 ? x ? 2?
A. x ?2 ? x ? 1 A.充分不必要条件 C.充要条件

)

? D. ? x x ? 2?

B. x ?2 ? x ? 2

?


2.设 a ? R, i 是虚数单位,则“ a ? 1 ”是“

a?i 为纯虚数”的( a ?i

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

3.若 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 0, a2011 ? a2012 ? 0 , a2011 ? a2012 ? 0 ,则使前 n 项 和 S n ? 0 成立的最大正整数 n 是( ) A.2011 B.2012 C.4022 D.4023 4. 在某地区某高传染性病毒流行期间,为了建立指标显示疫情已受控制,以便向该地区居众 显示可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是 “连续 7 天每天新增感染人数不超过 5 人”,根据连续 7 天的新增病例数计算,下列各选项中,一定符合上述指标的是( ) ①平均数 x ? 3 ;②标准差 S ? 2 ;③平均数 x ? 3 且标准差 S ? 2 ; ④平均数 x ? 3 且极差小于或等于 2;⑤众数等于 1 且极差小于或等于 1。 A.①②B.③④C.③④⑤D.④⑤ 5. 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 对角线 B1D 与平面 A1BC1 相交于点 E, 则点 E 为△A1BC1 的( ) A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心

?3 x ? y ? 6 ? 0, ? 6.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? by (a, b ? 0) 的最大值是 12,则 ? x, y ? 0, ?
a 2 ? b 2 的最小值是( 6 36 A. B. 13 5
) C.

6 5

D.

36 13

7. 已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积为 ( ) A.16 ? B.4 ? C.8 ? D.2 ? 8 .已知函数 f ? x ? ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, ?? ? ? ? ?) 图像 的一部分(如图所示) ,则 ? 与 ? 的值分别为( )

11 5? 2? 7 ? 4 ? A. , ? B.1, ? C. , ? D. , ? 10 6 3 10 6 5 3 9. 双 曲 线 C 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 且 F2 恰 为 抛 物 线 y 2 ? 4 x 的焦点 ,设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A ,若 ?AF1 F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的离心率为( ) A. 2 B. 1 ? 2 C. 1 ? 3 D. 2 ? 3 10. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1 , x2 ,不等式

1

x1 f ( x1 ) ? x 2 f ( x 2 ) ? x1 f ( x 2 ) ? x 2 f ( x1 ) 恒成立,则不等式 f (1 ? x) ? 0 的解集为( ) A. (??,0) B. ?0,?? ? C. (??,1) D. ?1,?? ? 2 2 11.已知圆的方程 x ? y ? 4 ,若抛物线过点 A(0,-1),B(0,1)且以圆的切线为准线,则抛
物线的焦点轨迹方程是( )
1

x2 y2 x2 y2 A. + =1(y≠0) B. + =1(y≠0) 3 4 4 3 x2 y2 x2 y2 C. + =1(x≠0) D. + =1 (x≠0) 3 4 4 3 12. 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,若 f (0) ? 2008 ,且对任意 x ? R ,满足 ) f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2x , f ( x ? 6) ? f ( x ) ? 63 ? 2x ,则 f (2008) =( A. 2 2006 ? 2007 B. 2 2008 ? 2006 C. 2 2008 ? 2007 D. 2 2006 ? 2008

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
? ? 3? ? ? ? ? , ? 的概率为 ?4 4 ?


13.在区间[-6,6],内任取一个元素 xO ,若抛物线 y=x2 在 x=xo 处的切线的倾角为 ? ,则

14.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是 15. 在 ?ABC 中, P 是 BC 边中点,角 A , B ,C 的对边分别是 a ,

b , c ,若 c AC ? aPA ? bPB ? 0 ,则 ?ABC 的形状为
16.在 x 轴的正方向上,从左向右依次取点列 在第一象限内的抛物线 y 2 ?
j

?A ?, j ? 1,2,? ,以及



3 x 上从左向右依次取点列 2 ?Bk ?, k ? 1,2,? ,使 ?Ak ?1Bk Ak ( k ? 1,2,? )都是等边三角形,其


中 A0 是坐标原点,则第 2005 个等边三角形的边长是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
17. (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中 , a, b, c 是 角 A, B, C 对 应 的 边 , 向 量 m ? ( a ? b, c) , n ? ?a ? b,?c ? , 且

m ? n ? ( 3 ? 2)ab . (1)求角 C ;
1 (2) 函数 f ( x) ? 2 sin( A ? B ) cos 2 (?x) ? cos( A ? B ) sin( 2?x) ? (? ? 0) 的相邻两个极值的横 2
坐标分别为 x0 ?

?

2

、 x0 ,求 f ( x) 的单调递减区间.

18.(本小题满分 12 分)

1 BC ? a ,E 是 BC 的中点,将△BAE 2 沿 AE 翻折成 ?B1 AE , 使面B1 AE ? 面AECD ,F 为 B1 D 的中点.
已知四边形 ABCD 满足 AD / / BC , BA ? AD ? DC ? (1)求四棱锥 B1 ? AECD 的体积; (2)证明: B1 E / / 面ACF ; (3)求面 ADB1与面ECB1 所成锐二面角的余弦值.

2

19.(本小题满分 12 分) 现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性, 约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人 去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ=|X-Y|,求随机变量 ξ 的 分布列与数学期望 Eξ.

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : x 2 y 2 ( a ? b ? 0 )过点 (2 , 0) ,且椭圆 C 的离心率为 1 . ? ? 1 a 2 b2 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若动点 P 在直线 x ? ?1 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M , N 两点,且 P 为线段 MN 中 点,再过 P 作直线 l ? MN .求直线 l 是否恒过定点,如果是则求出该定点的坐标,不是请说 明理由。

21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) 是定义在 ? ?e, 0 ? ? ? 0, e ? 上的奇函数,当 x ? ? 0, e ? 时, f ( x) ? ax ? ln x (其中 e 是自然界对数的底, a ? R ) (1)求 f ( x) 的解析式; (2)设 g ( x) ?

ln x

1 , ,求证:当 x ? ? ?e, 0 ? a ? ?1 时,且 x ? ?? e,0 ? , f ( x) ? g ( x) ? 恒成立; x 2

(3)是否存在实数 a,使得当 x ? ? ?e, 0 ? 时, f ( x) 的最小值是 3 ?如果存在,求出实数 a 的值;如果不存在,请说明理由。
3

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 已知 PQ 与圆 O 相切于点 A,直线 PBC 交圆于 B、C 两点,D 是圆上一点,且 AB∥CD,DC 的延长线交 PQ 于点 Q (1)求证: AC
2

? CQ ? AB

(2)若 AQ=2AP,AB= 3 ,BP=2,求 QD.

23.(本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cos ? ? y ? b sin ?
,? ?

(a>b>0,? 为参数),以 Ο

为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 是圆心在极轴上且经过极点的圆,已知 曲线 C1 上的点 M (2, 3 ) 对应的参数 ? = (1)求曲线 C1,C2 的方程; (2)A(ρ1,θ),Β(ρ2,θ+

?

?

3

4

与曲线 C2 交于点 D ( 2 ,

?

4

)

?
2

)是曲线 C1 上的两点,求

1

?

2 1

?

1
2 ?2

的值。

24.(本小题满分 l0 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | 2 x ? 1 | ? | x ? 1 |? log 2 a (其中 a ? 0 ) . (1)当 a ? 4 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围

2013~2014 学年度第二学期高三年级一模考试 数学(理科)答案 一、选择题 (A)卷 CACDD DBABC CC (B)CCADD BDACB CC 二、填空题 13、

11 12

14、 ?

1 2

15、等边三角形

16. 2005

三、解答题 17、解:(1)因为 m ? (a ? b , c ), n ? (a ? b ,?c ), m ? n ? ( 3 ? 2)ab ,所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3ab , 故 cos C ?

? 3 ,? 0 ? C ? ? ,?C ? . ---------5 分 6 2
1 2

(2) f (x ) ? 2 sin( A ? B ) cos 2 (?x ) ? cos(A ? B ) sin( 2?x ) ? = 2 sin C cos 2 (?x ) ? cos C sin( 2?x ) ?

1 2
4

= cos 2 (?x ) ? = sin( 2?x ?

?
6

3 1 sin( 2?x ) ? 2 2

)

----------8 分

因为相邻两个极值的横坐标分别为 x0 ? 所以 f (x ) ? sin( 2x ? 由 2k ? ?

?
2

、 x0 ,所以 f (x ) 的最小正周期为T ? ? , ? ? 1

?
6

)

---------10 分

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k ? ?

3? ,k ?Z 2

所以 f ( x) 的单调递减区间为 [k ? ?

?

2 , k ? ? ? ], k ? Z . 6 3

---------12 分

18、解:(1)取 AE 的中点 M,连结 B1M,因为 BA=AD=DC= 形,则 B1M=

1 BC=a,△ABE 为等边三角 2

3 a ,又因为面 B1AE⊥面 AECD,所以 B1M⊥面 AECD, 2 1 3 ? a3 所以 V ? ? ---------4 分 a ? a ? a ? sin ? 3 2 3 4 (2)连结 ED 交 AC 于 O,连结 OF,因为 AECD 为菱形,OE=OD 所以 FO∥B1E, 所以 B1 E / / 面ACF 。---------7 分
(3)连结 MD,则∠AMD= 90 0 ,分别以 ME,MD,MB1 为 x,y,z 轴建系,则 E ( ,0,0) , C (a ,

3 a ,0) 2 a 3 3 A (? ,0,0) , D (0, a ,0) , B 1 (0,0, a) , 所 以 1 , 2 2 2 a 3a , EB 1 ? (? ,0, ) 2 2 a 3a a 3a AD ? ( , ,0) , AB 1 ? ( ,0, ) , 设 面 ECB1 的 法 向 量 为 u ? (x , y , z ) , 2 2 2 2

a 2

?a 3 ay ? 0 ? x ? ?2 2 , ? 3 ? a ? x ? az ? 0 ? 2 ? 2
3 3 , ) ,同理面 ADB1 的法向量为 3 3 1 1 1? ? 3 3 3 3 3 ? , v ? (1,? ,? ) , 所以 cos ? u ,v ?? 3 3 1 1 1 1 5 1? ? ? 1? ? 3 3 3 3 3 故面 ADB1与面ECB1 所成锐二面角的余弦值为 .--------12 分 5
令 x=1, u ? (1,?
5

1 2 19.解:依题意,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的概率为 .设“这 3 3

1 2 3 3 1 2 8 2 (1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P ( A2 ) ? C 4 3分 ( )2 ( )2 ? 3 3 27
i 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai (i=0,1,2,3,4),则 P ( Ai ) ? C 4 ( ) i ( ) 4 ?i

(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B,则 B ? A3 ? A4 , 由于 A3 与 A4 互斥,故

1 3 1 3 2 4 1 4 P( B) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? C 4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ? 3 3 3 9
1 所以,这 4 个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 . 9 (3)ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 由于 A1 与 A3 互斥, A0 与 A4 互斥,故 7分

P(? ? 0) ? P( A2 ) ?

8 , 27
17 。 81
0 8 27

P(? ? 2) ? P( A1 ) ? P( A3 ) ?

40 81

P(? ? 4) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ?
所以 ξ 的分布列是 ξ P

2 40 81

4 17 81

8 40 17 148 12 分 ? 2? ? 4? ? 27 81 81 81 4 0 20.解: (Ⅰ)因为点 (2 , 0) 在椭圆 C 上,所以 2 ? 2 ? 1 , 所以 a 2 ? 4 , ------- 1 分 a b 2 a ? b2 1 c 1 1 因为椭圆 C 的离心率为 ,所以 ? ,即 ? , ------- 2 分 2 a2 4 a 2 2 2 x y 解得 b 2 ? 3 , 所以椭圆 C 的方程为 ------- 4 分 ? ? 1. 4 3 3 3 (Ⅱ)设 P (?1 , y0 ) , y0 ? (? , ) , 2 2 ① 当 直 线 MN 的 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 MN 的 方 程 为 y ? y0 ? k ( x ? 1) , M ( x1 , y1 ) ,
随机变量 ξ 的数学期望 E? ? 0 ?

N ( x2 , y2 ) ,

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 , 2 由? 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? (8ky0 ? 8k 2 ) x ? (4 y0 ? 8ky0 ? 4k 2 ? 12) ? 0 , y ? y ? k ( x ? 1) , 0 ? 8ky0 ? 8k 2 8ky0 ? 8k 2 x1 ? x2 MN ? = ?2. 所以 x1 +x2 ? ? , 因为 为 中点, 所以 , 即 P = ? 1 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 2 3 所以 k MN ? ------- 8 分 ( y0 ? 0) , 4 y0 4y 4y 因为直线 l ? MN ,所以 kl ? ? 0 ,所以直线 l 的方程为 y ? y0 ? ? 0 ( x ? 1) , 3 3 4 y0 1 1 即y?? ( x ? ) ,显然直线 l 恒过定点 (? , 0) . ------- 10 分 3 4 4 ②当直线 MN 的斜率不存在时,直线 MN 的方程为 x ? ?1 ,此时直线 l 为 x 轴,也过点
6

1 (? , 0) . 4 1 , 0) .------- 12 分 4 21.解: (1)设 x ? [?e, 0) ,则 ? x ? (0, e] ,所以 f (? x) ? ? ax ? ln(? x) 又因为 f ( x) 是定义在 [?e, 0) (0, e] 上的奇函数,所以 f ( x) ? ? f (? x) ? ax ? ln(? x) ?ax ? ln(? x), x ? [?e, 0) 故函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ? … 2分 ?ax ? ln x, x ? (0, e] (2)证明:当 x ? [?e, 0) 且 a ? ?1 时, ln(? x) ln(? x) 1 ,设 h( x) ? f ( x) ? ? x ? ln(? x), g ( x) ? ? ?x ?x 2 1 x ?1 因为 f ?( x) ? ?1 ? ? ? ,所以当 ?e ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减;当 x x ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增,所以 f ( x) min ? f (?1) ? 1 ? 0 ln(? x ) ? 1 又因为 h?( x) ? ,所以当 ?e ? x ? 0 时, h?( x ) ? 0 ,此时 h( x) 单调递减,所以 x2 1 1 1 1 h( x)max ? h(?e) ? ? ? ? ? 1 ? f ( x)min e 2 2 2 1 所以当 x ? [?e, 0) 时, f ( x) ? h( x), 即 f ( x) ? g ( x) ? …………………………6 分 2 (3)解:假设存在实数 a ,使得当 x ? [?e, 0) 时, f ( x) ? ax ? ln(? x) 有最小值是 3, 1 ax ? 1 则 f ?( x) ? a ? ? x x 1 (ⅰ)当 a ? 0 , x ? [?e, 0) 时, f ?( x) ? ? ? 0 . f ( x) 在区间 [?e, 0) 上单调递增, x f ( x) min ? f (?e) ? ?1 ,不满足最小值是3 (ⅱ)当 a ? 0 , x ? [?e, 0) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在区间 [?e, 0) 上单调递增, f ( x) min ? f (?e) ? ?ae ? 1 ? 0 ,也不满足最小值是3 1 1 (ⅲ)当 ? ? a ? 0 ,由于 x ? [?e, 0) ,则 f ?( x) ? a ? ? 0 ,故函数 f ( x) ? ax ? ln(? x) 是 e x 4 1 [?e, 0) 上的增函数.所以 f ( x) min ? f (?e) ? ?ae ? 1 ? 3 ,解得 a ? ? ? ? (舍去) e e 1 1 1 (ⅳ) 当 a ? ? 时, 则当 ?e ? x ? 时, f ?( x) ? a ? ? 0 , 此时函数 f ( x) ? ax ? ln(? x) 是 e a x 1 1 减函数;当 ? x ? 0 时, f ?( x) ? a ? ? 0 ,此时函数 f ( x) ? ax ? ln(? x) 是增函数. a x 1 1 所以 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln( ? ) ? 3 ,解得 a ? ?e 2 a a 2 综上可知,存在实数 a ? ?e ,使得当 x ? [?e, 0) 时, f ( x) 有最小值3 …………12 分
综上所述直线 l 恒过定点 (? 22. (Ⅰ) 因为 AB∥CD, 所以∠PAB=∠AQC, 又 PQ 与圆 O 相切于点 A, 所以∠PAB=∠ACB, AC AB 因为 AQ 为切线,所以∠QAC=∠CBA,所以△ACB∽△CQA,所以 , ? CQ AC 所以 AC
2

? CQ ? AB

………5 分

( Ⅱ ) 因 为 AB∥CD , AQ=2AP , 所 以
7

BP AP AB 1 ? ? ? , 由 AB= PC PQ QC 3

3 ,BP=2 得

QC ? 3 3 ,PC=6

AP 为圆 O 的切线 ? AP 2 ? PB ? PC ? 12 ? QA ? 4 3 16 又因为 AQ 为圆 O 的切线 ? AQ 2 ? QC ? QD ? QD ? 3 3

………10 分

? ? 2 ? a cos ? x ? a cos ? ? ? ? ? 3 23.解: (1) 将 M (2, 3 ) 及对应的参数 φ= ,? ? ; 代入 ? 得? , 3 4 ? y ? b sin ? ? 3 ? b sin ? ? 3 ? 2 2 ?a ? 4 x y 所以 ? , 所 以 C1 的方程为 ? ? 1, 16 4 ?b ? 2 ? 设圆 C2 的半径 R,则圆 C2 的方程为:ρ=2Rcosθ(或(x-R)2+y2=R2),将点 D ( 2 , ) 代 4
入得: ∴R=1 ∴圆 C2 的方程为:ρ=2cosθ(或(x-1)2+y2=1)--------5 分

(2)曲线 C1 的极坐标方程为:

? 2 cos 2 ?
16

?

? 2 sin 2 ?
4

? 1 ,将 A(ρ1,θ),Β(ρ2,θ+

?
2



2 ? 2 ?1 ? 1, 16 4 4 1 1 cos 2 ? sin 2 ? sin 2 ? cos 2 ? 1 1 5 所以 2 ? 2 ? ( ? )?( ? )? ? ? ?1 ? 2 16 4 16 4 16 4 16 5 1 1 即 2 ? 2 的值为 。 --------10 分 16 ?1 ? 2 1 24.解:(Ⅰ)当 a=4 时,不等式即|2x+1|-|x-1|≤2,当 x < ? 时,不等式为-x-2≤2, 解 得 2 1 1 1 2 ?4≤ x < ? ; 当? ≤ x ≤1 时, 不等式为 3x≤2, 解得? ≤ x ≤ ; 当 x>1 时, 不等式为 x+2≤2, 2 2 2 3
代入得:

?12 cos 2 ?
16

?

?12 sin 2 ?

? ? 2 2 cos 2 (? ? )

? ? 2 2 sin 2 (? ? )

此时 x 不存在. 综上,不等式的解集为{ x |?4≤ x ≤

2 } 3

--------5 分

?? x ? 2 ? ?3x (Ⅱ)设 f(x)=|2x+1|-|x-1|= ?x ? 2 ?
故 f(x)的最小值为? 即 a 的取值范围是 [

x?? ?

1 2

1 ? x ?1 2 x ?1

2 3 3 , 所以,当 f(x)≤log2a 有解,则有 log 2 a ? ? , 解得 a ≥ , 4 2 2
--------10 分

2 ,??) 。 4

8


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