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广东省揭阳一中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)(Word


广东省揭阳一中 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知全集 U=R,集合 A={x|3≤x<7},B={x|x ﹣7x+10<0},则?R(A∩B)=() A.(﹣∞,3)∪(5,+∞) B.(﹣∞,3)∪∪∪(5,+∞) 2. (5 分)若 A.a <b
2 2 2

,则下列结论不正确的是() B.|a|﹣|b|=|a﹣b| C. D.ab<b
2

3. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为

,则 h=()

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5= () A. B. C. D.

5. (5 分)已知如程序框图,则输出的 i 是()

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A.9

B.11

C.13
2

D.15
2

6. (5 分)已知 θ 是三角形的一个内角,且 sinθ+cosθ= ,则 x sinθ﹣y cosθ=1 表示() A.焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的椭圆 B. 焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

7. (5 分)方程|x|(x﹣1)﹣k=0 有三个不相等的实根,则 k 的取值范围是() A. B. C. D.

8. (5 分)对于任意实数 x,符号表示 x 的整数部分,即是不超过 x 的最大整数,例如=2; =2; =﹣3, 这个函数叫做“取整函数”, 它在数学本身和生产实践中有广泛的应用. 那么+++…+ 的值为() A.21 B.76 C.264 D.642

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分)在△ ABC 中∠A=60°,b=1,S△ ABC= ,则 =.

10. (5 分)为了调查某班学生做数学题的基本能力,随机抽查了部分学生某次做一份满分 为 100 分的数学试题,他们所得分数的分组区间为 11. (5 分)已知 f(x)= 则不等式 x+(x+2)?f(x+2)≤5 的解集是.

12. (5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4≥10,S5≤15,则 a4 的最大值为.

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13. (5 分)设点 O 为坐标原点,A(2,1) ,且点 F(x,y)坐标满足

,则

|

|?cos∠AOP 的最大值为.

14. (5 分)已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,F 为焦点,A,B,C 为抛 物线上的三点,且满足 , ,则抛物线的方程为.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 2 15. (12 分)设命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足 . (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 16. (12 分)已知 = . ,函数 f(x)

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)已知 ,且 α∈(0,π) ,求 α 的值.

17. (14 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上 移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1﹣EC﹣D 的大小为 .

18. (14 分)如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC,其中 OAE 是一个游泳池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相切的直路 l(宽度不计) ,切点为
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M,并把该地块分为两部分.现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x 轴,建立平面 直角坐标系,若池边 AE 满足函数 y=﹣x +2(0≤x≤ . (1)当 t= 时,求直路 l 所在的直线方程; (2)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?
2

)的图象,且点 M 到边 OA 距离为

19. (14 分)已知如图,椭圆方程为

(4>b>0) .P 为椭圆上的动点,

F1、F2 为椭圆的两焦点,当点 P 不在 x 轴上时,过 F1 作∠F1PF2 的外角 平分线的垂线 F1M,垂足为 M,当点 P 在 x 轴上时,定义 M 与 P 重合. (1)求 M 点的轨迹 T 的方程; (2)已知 O(0,0) 、E(2,1) ,试探究是否存在这样的点 Q:Q 是轨迹 T 内部的整点(平 面内横、纵坐标均为整数的点称为整点) ,且△ OEQ 的面积 S△ OEQ=2?若存在,求出点 Q 的坐标,若不存在,说明理由.

20. (14 分)对于函数 f(x) ,若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动 点.如果函数 f(x)= (b,c∈N)有且只有两个不动点 0,2,且 f(﹣2) ,

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知各项不为零的数列{an}满足 4Sn?f( )=1,求数列通项 an;

(3)如果数列{an}满足 a1=4,an+1=f(an) ,求证:当 n≥2 时,恒有 an<3 成立.

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广东省揭阳一中 2014-2015 学年高二上学期期末数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 2 1. (5 分)已知全集 U=R,集合 A={x|3≤x<7},B={x|x ﹣7x+10<0},则?R(A∩B)=() A.(﹣∞,3)∪(5,+∞) B.(﹣∞,3)∪∪∪(5,+∞) 考点: 交、并、补集的混合运算. 分析: 先计算集合 B,再计算 A∩B,最后计算 CR(A∩B) . 解答: 解:∵B={x|2<x<5}, ∴A∩B={x|3≤x<5}, ∴CR(A∩B)=(﹣∞,3)∪ 所以四棱锥的体积为: ,所以 h= .

故选 B. 点评: 本题是基础题,考查三视图与直观图的关系,考查几何体的体积的计算,考查计算 能力. 4. (5 分)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5= () A. B. C. D.

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 a3=1,再由 S3= + +1=7 可得 q= ,进而可得 a1 的值,由求和公式

可得. 解答: 解:设由正数组成的等比数列{an}的公比为 q,则 q>0, 2 由题意可得 a3 =a2a4=1,解得 a3=1, ∴S3=a1+a2+a3= + +1=7,解得 q= ,或 q= (舍去) ,

∴a1=

=4,

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∴S5=

=

故选:C 点评: 本题考查等比数列的求和公式,求出数列的公比是解决问题的关键,属基础题. 5. (5 分)已知如程序框图,则输出的 i 是()

A.9

B.11

C.13

D.15

考点: 循环结构. 专题: 计算题. 分析: 写出前 5 次循环的结果,直到第五次满足判断框中的条件,执行输出. 解答: 解:经过第一次循环得到 S=1×3=3,i=5 经过第二次循环得到 S=3×5=15,i=7 经过第三次循环得到 S=15×7=105,i=9 经过第四次循环得到 S=105×9=945,i=11 经过第五次循环得到 S=945×11=10395,i=13 此时,满足判断框中的条件输出 i 故选 C 点评: 解决程序框图中的循环结构的问题,一般先按照框图的流程写出前几次循环的结 果,找规律.
2 2

6. (5 分)已知 θ 是三角形的一个内角,且 sinθ+cosθ= ,则 x sinθ﹣y cosθ=1 表示() A.焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的椭圆 B. 焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 计算题;三角函数的求值;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 运用平方法,可得 sinθcosθ<0,再将方程化为标准方程,运用作差法,即可判断 分母的大小,进而确定焦点的位置.

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解答: 解:θ 是三角形的一个内角,且 sinθ+cosθ= , 则平方可得,1+2sinθcosθ= , 则 sinθcosθ=﹣ <0,即 sinθ>0,cosθ<0, x sinθ﹣y cosθ=1 即为
2 2

=1,

由于 则

﹣ < ,

=

<0,

则方程表示焦点在 y 轴上的椭圆. 故选 C. 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,注意转化为标准方程,考查三角函数的化简和求值, 属于中档题和易错题. 7. (5 分)方程|x|(x﹣1)﹣k=0 有三个不相等的实根,则 k 的取值范围是() A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的零点与方程根的关系. 数形结合法. 将方程转化为函数 y=k 与 y=|x| (x﹣1) , 将方程要的问题转化为函数图象交点问题. 解:如图,作出函数 y=|x|?(x﹣1)的图象, 时,函数 y=k 与 y=|x|(x﹣1)有 3 个不同的交点,

由图象知当 k∈ 即方程有 3 个实根. 故选 A.

点评: 本题研究方程根的个数问题, 此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图 象解题,其次是直接求出所有的根.

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8. (5 分)对于任意实数 x,符号表示 x 的整数部分,即是不超过 x 的最大整数,例如=2; =2; =﹣3, 这个函数叫做“取整函数”, 它在数学本身和生产实践中有广泛的应用. 那么+++…+ 的值为() A.21 B.76 C.264 D.642 考点: 对数的运算性质. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 利用“取整函数”和对数的性质,先把对数都取整后可知 ++++…+=1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6,再进行相加运算. 解答: 解:∵=0,到两个数都是 1,到四个数都是 2,到八个数都是 3,到十六个数都是 4,到三十二个数都是 5,=6, ∴++++…+=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6=264 故选 C. 点评: 正确理解“取整函数”的概念,把对数正确取整是解题的关键. 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分)在△ ABC 中∠A=60°,b=1,S△ ABC= ,则 =2 .

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由题意和三角形的面积公式求出 c, 再由余弦定理求出 a, 代入式子 解答: 解:由题意得,∠A=60°,b=1,S△ ABC= 所以
2

求值即可.



,则
2 2

,解得 c=4,

由余弦定理得,a =b +c ﹣2bccosA =1+16﹣2× 所以 = =13,则 a= =2 , ,

故答案为:2 . 点评: 本题考查正弦定理,余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握公式和定理是解 题的关键. 10. (5 分)为了调查某班学生做数学题的基本能力,随机抽查了部分学生某次做一份满分 为 100 分的数学试题,他们所得分数的分组区间为. 考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论. 分析: 先根据分段函数的定义域,选择解析式,代入“不等式 x+(x+2)?f(x+2)≤5”求 解即可. 解答: 解:①当 x+2≥0,即 x≥﹣2 时.x+(x+2)f(x+2)≤5 转化为:2x+2≤5
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解得:x≤ . ∴﹣2≤x≤ .

②当 x+2<0 即 x<﹣2 时,x+(x+2)f(x+2)≤5 转化为:x+(x+2)?(﹣1)≤5 ∴﹣2≤5, ∴x<﹣2. 综上 x≤ . 故答案为: (﹣∞, ] 点评: 本题主要考查不等式的解法,用函数来构造不等式,进而再解不等式,这是很常见 的形式,不仅考查了不等式的解法,还考查了函数的相关性质和图象,综合性较强,转化要 灵活,要求较高. 12. (5 分)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4≥10,S5≤15,则 a4 的最大值为 4. 考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列. 专题: 压轴题. 分析: 利用等差数列的前 n 项和公式变形为不等式, 再利用消元思想确定 d 或 a1 的范围, a4 用 d 或 a1 表示,再用不等式的性质求得其范围. 解答: 解:∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4≥10,S5≤15,











,5+3d≤6+2d,d≤1

∴a4≤3+d≤3+1=4 故 a4 的最大值为 4, 故答案为:4. 点评: 此题重点考查等差数列的通项公式,前 n 项和公式,以及不等式的变形求范围;

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13. (5 分)设点 O 为坐标原点,A(2,1) ,且点 F(x,y)坐标满足

,则

|

|?cos∠AOP 的最大值为



考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 先画出满足

的可行域,再根据平面向量的运算性质,对

|

|?cos∠AOP 进行化简,结合可行域,即可得到最终的结果.

解答: 解:满足

的可行域如图所示,

又∵|

|?cos∠AOP=



∵ ∴|

=(2,1) , |?cos∠AOP=

=(x,y) , .

由图可知,平面区域内 x 值最大的点为(5,2) | |?cos∠AOP 的最大值为: .

故答案为:

点评: 用图解法解决线性规划问题时, 分析题目的已知条件, 找出约束条件和目标函数是 关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约 束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可 得到目标函数的最优解.

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14. (5 分)已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,F 为焦点,A,B,C 为抛 物线上的三点, 且满足 , , 则抛物线的方程为 y =4x.
2

考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 设向量 的坐标分别为 (x1, y1) (x2, y2) (x3, y3) 则可知 x1+x2+x3=0,

进而表示出 A,B,C 三点的横坐标,根据抛物线定义可分别表示出|FA|,|FB|和|FC|,进而 根据 解答: 解: 设向量 得 x1+x2+x3=0 ∵XA=x1+ ,同理 XB=x2+ ,XC=x3+ ∴|FA|=x1+ + =x1+p,同理有|FB|=x2+ + =x2+p,|FC|=x3+ + =x3+p, 又 ∴x1+x2+x3+3p=6, ∴p=2, ∴抛物线方程为 y =4x. 2 故答案为:y =4x. 点评: 本题主要考查了抛物线的标准方程和抛物线定义的运用. 涉及了向量的运算, 考查 了学生综合运用所学知识解决问题的能力. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 2 15. (12 分)设命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足 . (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)现将 a=1 代入命题 p,然后解出 p 和 q,又 p∧q 为真,所以 p 真且 q 真,求 解实数 a 的取值范围; (2) 先由¬p 是¬q 的充分不必要条件得到 q 是 p 的充分不必要条件, 然后化简命题,求解实数 a 的范围. 解答: 解: (1)当 a=1 时,p:{x|1<x<3},q:{x|2<x≤3},又 p∧q 为真,所以 p 真且 q 真, 由 得 2<x<3,所以实数 x 的取值范围为(2,3)
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2

,求得 p,则抛物线方程可得. 的坐标分别为 (x1, y1) (x2, y2) (x3, y3) 由



(2)因为¬p 是¬q 的充分不必要条件,所以 q 是 p 的充分不必要条件,

又 p:{x|a<x<3a}(a>0) ,q:{x|2<x≤3},所以

解得 1<a≤2,

所以实数 a 的取值范围是(1,2] 点评: 充要条件要抓住“大能推小,小不能推大”规律去推导. 16. (12 分)已知 = . ,函数 f(x)

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)已知 ,且 α∈(0,π) ,求 α 的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (1)首先根据已知条件,利用向量的坐标运算,分别求出向量的数量积和向量的 模,进一步把函数的关系式通过三角恒等变换,把函数关系式变形成正弦型函数,进一步求 出函数的最小正周期. (2)利用(1)的函数关系式,根据定义域的取值范围.进一步求出角的大小. 解答: 解: (1)已知: 则:f(x)= = = = 所以:函数的最小正周期为: (2)由于 f(x)= 所以 解得: 所以: 因为:α∈(0,π) , 所以: …(6 分) …(2 分)…(4 分)

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则: 解得: 点评: 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,向量的坐标运算,正弦型函数 的性质的应用,利用三角函数的定义域求角的大小.属于基础题型. 17. (14 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上 移动. (1)证明:D1E⊥A1D; (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1﹣EC﹣D 的大小为 .

考点: 点、线、面间的距离计算;与二面角有关的立体几何综合题. 分析: 解法(一) : (1)通过观察,根据三垂线定理易得:不管点 E 在 AB 的任何位置,D1E⊥A1D 总是成立 的. (2)在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、平 行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离.本题可采用“等积法”:即利 用三棱锥的换底法,通过体积计算得到点到平面的距离.本法具有设高不作高的特殊功效, 减少了推理,但计算相对较为复杂.根据 = 既可以求得点 E

到面 ACD1 的距离. (3)二面角的度量关键在于找出它的平面角,构造平面角常用的方法就是三垂线法.过 D 作 DH⊥CE 于 H,连 D1H、DE,则 D1H⊥CE, 则∠DHD1 为二面角 D1﹣EC﹣D 的平面角. 解法(二) : 以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE=x, 则 A1(1,0,1) ,D1(0,0,1) ,E(1,x,0) ,A(1,0,0)C(0,2,0) .这种解法的 好处就是: (1) 解题过程中较少用到空间几何中判定线线、 面面、 线面相对位置的有关定理, 因为这些可以用向量方法来解决. (2)即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出,因为只 需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可. (1)因为 =(1,0,1)?(1,x,﹣1)=0,所以 .

(2)因为 E 为 AB 的中点,则 E(1,1,0) ,从而 , ,设平面 ACD1
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的法向量为

,从而

,所以点 E 到平面 AD1C 的距离为



(3)设平面 D1EC 的法向量 D1﹣EC﹣D 的大小为 小为 .

,可求得

. ,因为二面角 时,二面角 D1﹣EC﹣D 的大

,所以根据余弦定理可得 AE=

解答: 解法(一) : (1)证明:∵AE⊥平面 AA1DD1,A1D⊥AD1,∴A1D⊥D1E (2)设点 E 到面 ACD1 的距离为 h,在△ ACD1 中,AC=CD1= 故 .∴ ∴ ,∴ . ,而 , ,AD1= ,

(3)过 D 作 DH⊥CE 于 H,连 D1H、DE,则 D1H⊥CE,∴∠DHD1 为二面角 D1﹣EC﹣D 的平面角. 设 AE=x,则 BE=2﹣x 在 Rt△ D1DH 中,∵ ∵在 Rt△ ADE 中,DE= , ,在 Rt△ CBE 中 CE= . ,∴DH=1.

∴在 Rt△ DHE 中,EH=x,在 Rt△ DHC 中 CH= ∴ ∴ . 时,二面角 D1﹣EC﹣D 的大小为



解法(二) : 以 D 为坐标原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,设 AE=x, 则 A1(1,0,1) ,D1(0,0,1) ,E(1,x,0) ,A(1,0,0)C(0,2,0) (1)因为 =(1,0,1)?(1,x,﹣1)=0,所以 .

(2)因为 E 为 AB 的中点,则 E(1,1,0) ,从而 , 的法向量为 , ,设平面 ACD1

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也即

, 得

, 从而

, 所以点 E 到平面 AD1C

的距离为



(3)设平面 D1EC 的法向量 ∴

, ,



令 b=1,∴c=2,a=2﹣x,





依题意



∴ ∴AE=

(不合,舍去) ,

. .

时,二面角 D1﹣EC﹣D 的大小为

点评: 本小题主要考查棱柱,二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识,同时考查 空间想象能力和推理、运算能力. 18. (14 分)如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC,其中 OAE 是一个游泳池,计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相切的直路 l(宽度不计) ,切点为 M,并把该地块分为两部分.现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x 轴,建立平面

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直角坐标系,若池边 AE 满足函数 y=﹣x +2(0≤x≤ . (1)当 t= 时,求直路 l 所在的直线方程;

2

)的图象,且点 M 到边 OA 距离为

(2)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?

考点: 基本不等式;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 不等式的解法及应用;直线与圆. 分析: (Ⅰ)求当 t= 时,直路 l 所在的直线方程,即求抛物线 y=﹣x +2(0≤x≤ x= 时的切线方程,利用求函数的导函数得到切线的斜率,运用点斜式写切线方程; (Ⅱ)求出 x=t 时的抛物线 y=﹣x +2(0≤x≤ )的切线方程,进一步求出切线截正方形在 直线右上方的长度,利用三角形面积公式写出面积,得到的面积是关于 t 的函数,利用导数 分析面积函数在(0<t< )上的极大值,也就是最大值. 2 解答: 解: (I)∵y=﹣x +2,∴y′=﹣2x, 2 ∴过点 M(t,﹣t +2)的切线的斜率为﹣2t, 2 所以,过点 M 的切线方程为 y﹣(﹣t +2)=﹣2t(x﹣t) , 2 即 y=﹣2tx+t +2, 当 t= 时,切线 l 的方程为 y=﹣ x+ ,
2 2

)在

即当 t= 时,直路 l 所在的直线方程为 12x+9y﹣22=0; (Ⅱ)由(I)知,切线 l 的方程为 y=﹣2tx+t +2, 令 y=2,得 x= ,故切线 l 与线段 AB 交点为 F( 令 y=0,得 x= ,故切线 l 与线段 OC 交点为( ) , ) .
2

地块 OABC 在切线 l 右上部分为三角形 FBG,如图,

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则地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积为 S= (2﹣

) ×2=4﹣t﹣ =4﹣ (t+ )

≤2.当且仅当 t=1 时,取等号. ∴当 t=100 米时, 地块 OABC 在直路 l 不含游泳池那侧的面积最大, 最大值为 20000 平方米. 点评: 本题考查了函数模型的选择与应用, 考查了利用导数研究函数的单调性, 考查了利 用导数求函数的最值,在实际问题中,函数在定义域内仅含一个极值,该极值往往就是最 值.属中档题型.

19. (14 分)已知如图,椭圆方程为

(4>b>0) .P 为椭圆上的动点,

F1、F2 为椭圆的两焦点,当点 P 不在 x 轴上时,过 F1 作∠F1PF2 的外角 平分线的垂线 F1M,垂足为 M,当点 P 在 x 轴上时,定义 M 与 P 重合. (1)求 M 点的轨迹 T 的方程; (2)已知 O(0,0) 、E(2,1) ,试探究是否存在这样的点 Q:Q 是轨迹 T 内部的整点(平 面内横、纵坐标均为整数的点称为整点) ,且△ OEQ 的面积 S△ OEQ=2?若存在,求出点 Q 的坐标,若不存在,说明理由.

考点: 圆与圆锥曲线的综合. 专题: 计算题;数形结合. 分析: (1)延长 F1M 与 F2P 的延长线相交于点 N,连接 OM,利用条件求出 M 是线段 NF1 的中点,转化出|OM|=4 即可求出 M 点的轨迹 T 的方程; (2)可以先观察出轨迹 T 上有两个点 A(﹣4,0) ,B(4,0)满足 S△ OEA=S△ OEB=2,再 利用同底等高的两个三角形的面积相等, , ,知道符合条件的点均在过 A、B 作直线 OE 的两 条平行线 l1、l2 上,再利用点 Q 是轨迹 T 内部的整点即可求出点 Q 的坐标. 解答: 解: (1)当点 P 不在 x 轴上时,延长 F1M 与 F2P 的延长线相交于点 N,连接 OM, ∵∠NPM=∠MPF1,∠NMP=∠PMF1 ∴△PNM≌△PF1M ∴M 是线段 NF1 的中点,|PN|=|PF1||(2 分) ∴|OM|= |F2N|= (|F2P|+|PN|)= (|F2P|+|PF1|) ∵点 P 在椭圆上 ∴|PF2|+|PF1|=8∴|OM|=4, (4 分) 当点 P 在 x 轴上时,M 与 P 重合 2 2 2 ∴M 点的轨迹 T 的方程为:x +y =4 . (6 分)
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(2)连接 OE,易知轨迹 T 上有两个点 A(﹣4,0) ,B(4,0)满足 S△ OEA=S△ OEB=2, 分别过 A、B 作直线 OE 的两条平行线 l1、l2. ∵同底等高的两个三角形的面积相等 ∴符合条件的点均在直线 l1、l2 上. (7 分) ∵ ∴直线 l1、l2 的方程分别为:
2 2



(8 分)

设点 Q(x,y) (x,y∈Z)∵Q 在轨迹 T 内, ∴x +y <16(9 分)

分别解



得 ∵x,y∈Z ∴x 为偶数,在 在



(11 分)

上 x=﹣2, ,0,2 对应的 y=1,2,3 上 x=﹣2,0,2,对应的 y=﹣3,﹣2,﹣1(13 分)

∴满足条件的点 Q 存在,共有 6 个, 它们的坐标分别为: (﹣2,1) , (0,2) , (2,3) , (﹣2,﹣3) , (0,﹣2) , (2,﹣1) . (14 分)

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点评: 本题涉及到轨迹方程的求法. 在求动点的轨迹方程时, 一般多是利用题中条件得出 关于动点坐标的等式,整理可得动点的轨迹方程. 20. (14 分)对于函数 f(x) ,若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动 点.如果函数 f(x)= (b,c∈N)有且只有两个不动点 0,2,且 f(﹣2) ,

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知各项不为零的数列{an}满足 4Sn?f( )=1,求数列通项 an;

(3)如果数列{an}满足 a1=4,an+1=f(an) ,求证:当 n≥2 时,恒有 an<3 成立. 考点: 反证法与放缩法;数列的函数特性;数列递推式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 =x,化简为(1﹣b)x +cx+a=0,利用韦达定理可求得
2

,代

入 f(x)=

(b,c∈N) ,依题意可求得 c=2,b=2,从而可得函数 f(x)的解析式;

(2) 由 4Sn﹣

=1, 整理得 2Sn=an﹣

(*) , 于是有 2Sn﹣1=an﹣1﹣

(**) ,

二式相减得(an+an﹣1) (an﹣an﹣1+1)=0,讨论后即可求得数列通项 an; (3)由 an+1=f(an)得,an+1= 或 an+1≥2,分别讨论即可. 解答: 解: (1)依题意有 =x,化简为(1﹣b)x +cx+a=0,由韦达定理得:
2

,取倒数得

=﹣2

+ ≤ ?an+1<0

,解得

,代入表达式 f(x)=



由 f(﹣2)=

<﹣ ,得 c<3,又 c∈N,b∈N,

若 c=0,b=1,则 f(x)=x 不止有两个不动点, ∴c=2,b=2,故 f(x)= , (x≠1) .

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(2)由题设得 4Sn?

=1,整理得:2Sn=an﹣

, (*)

且 an≠1,以 n﹣1 代 n 得 2Sn﹣1=an﹣1﹣ 由(*)与(**)两式相减得: 2an=(an﹣an﹣1)﹣( ﹣

, (**)

) ,即(an+an﹣1) (an﹣an﹣1+1)=0, ,

∴an=﹣an﹣1 或 an﹣an﹣1=﹣1,以 n=1 代入(*)得:2a1=a1﹣

解得 a1=0(舍去)或 a1=﹣1,由 a1=﹣1,若 an=﹣an﹣1 得 a2=1,这与 an≠1 矛盾, ∴an﹣an﹣1=﹣1,即{an}是以﹣1 为首项,﹣1 为公差的等差数列. (3)由 an+1=f(an)得,an+1= ∴an+1<0 或 an+1≥2. 若 an+1<0,则 an+1<0<3 成立; 若 an+1≥2,此时 n≥2,从而 an+1﹣an= 由 a2=2 知,an≤a2=2 <3,在 n≥2 上成立. 综上所述,当 n≥2 时,恒有 an<3 成立. 点评: 本题考查数列的函数特性,着重考查等差数列的判定,考查推理证明能力,考查转 化思想与分类讨论思想的综合应用,属于难题. ≤0,即数列{an}在 n≥2 时单调递减, , = ﹣2 + ≤ ,

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