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甘肃省兰州一中2015届高考数学模拟试卷(文科)


甘肃省兰州一中 2015 届高考数学模拟试卷(文科)
一、选择题 2 2 2 1. (5 分)设集合 M={x|2x ﹣y =1},N={y|y=x },则 M∩N=() A.{(1,1)} B.{(﹣1,1) , (1,1)} C. D.

2. (5 分)设 i 是虚数单位,那么使得 A.2 B. 3
2 2

的最小正整数 n 的值为() C. 4 D.5

3. (5 分)如果直线 ax+by=4 与圆 C:x +y =4 有两个不同的交点,那么点(a,b)和圆 C 的 位置关系是() A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.不能确定 4. (5 分)要得到函数 y=sin2x 的图象,只需将函数 A.向右平移 C. 向右平移 个单位长度 个单位长度 B. 向左平移 D.向左平移 的图象() 个单位长度 个单位长度

5. (5 分)过椭圆 点,则 A.

的右焦点 F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于 A,B,C,D 四 的值为() B. C. 1 D.

6. (5 分) 已知△ ABC 的外接圆半径为 R, 且 中 a,b 分别是∠A,∠B 的对边) ,那么角 C 的大小为() A.30° B.45° C.60°

(其

D.90°

7. (5 分)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是某多面件的 三视图,该多面体的体积为()

A.40cm

3

B.50cm

3

C.60cm

3

D.80cm

3

8. (5 分)从集合 A={1,3,5,7,9}和集合 B={2,4,6,8}中各取一个数,那么这两个数 之和除 3 余 1 的概率是() A. B. C. D.

9. (5 分)已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,△ ABC 是边长为 1 的正三角 形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此三棱锥的体积为() A. B. C. D.

10. (5 分)执行如图程序框图,如果输入的正实数 x 与输出的实数 y 满足 y=x,则 x=()

A.

B.

C.

D.

11. (5 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2n=4(a1+a3+…+a2n﹣1) ,a1a2a3=27,则 a6=() A.27 B.81 C.243 D.729

12. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣mx,x∈R,若方程 f(x)=2 在 x∈[﹣4,4]恰有 3 个不同的 实数解,则实数 m 的取值范围是() A. B. D. C.

3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)采用系统抽样方法从 600 人中抽取 50 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 001, 002,…,600,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为 003,抽到的 50 人中, 编号落入区间[001,300]的人做问卷 A,编号落入区间[301,495]的人做问卷 B,编号落入区 间[496,600]的人做问卷 C,则抽到的人中,做问卷 C 的人数为. 14. (5 分) 在△ ABC 中, ∠A=90°, AB=1, BC= λ∈R,若 ,则 λ=.

, 点 M, N 满足





15. (5 分)平面上满足约束条件

的点(x,y)形成的区域为 D,区域 D 关于

直线 y=2x,对称的区域为 E,则区域 D 和 E 中距离最近两点的距离为. 16. (5 分)函数 f(x)=2 log2e﹣2lnx﹣ax+3 的一个极值点在区间(1,2)内,则实数 a 的取 值范围是.
x

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知点 A(sinθ,1) ,B(cosθ,0) ,C(﹣sinθ,2) ,且 (Ⅰ)记函数 , 的值. .

,讨论函数的单调性,并求其值域;

(Ⅱ)若 O,P,C 三点共线,求

18. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°, AB=AD=2CD=2,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且△ PAD 是以 AD 为底的等腰三角形. (Ⅰ)证明:AD⊥PB;

(Ⅱ)若四棱锥 P﹣ABCD 的体积等于 ,问:是否存在过点 C 的平面 CMN,分别交 PB,AB 于点 M,N,使得平面 CMN∥平面 PAD?若存在,求出△ CMN 的面积;若不存在,请说明理由.

19. (12 分)“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20 ﹣80 mg/100ml(不含 80) 之间,属于酒后驾车,血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上时,属醉酒驾车.”2009 年 8 月 15 日晚 8 时开始某市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查,经过两个 小时共查出酒后驾车者 60 名,图甲是用酒精测试仪对这 60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进 行检测后依所得结果画出的频率分布直方图.

(1)求这 60 名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数; (图甲中每组包括左端点,不包括右端点) (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,图乙的程序框图是对这 60 名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计,求出图乙输出的 S 值,并说明 S 的统计意义; (图乙中数据 mi 与 fi 分别表示图甲中各组的组中值及频率)

(3)本次行动中,吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在 70mg/100ml(含 70)以 上,但他俩坚称没喝那么多,是测试仪不准,交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精 浓度在 70mg/100ml(含 70)以上的酒后驾车者中随机抽出 2 人抽血检验,求吴、李两位先生 至少有 1 人被抽中的概率.

20. (12 分)已知椭圆 C:

的左右焦点 F1,F2 与椭圆短轴的一个端点

构成边长为 4 的正三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过椭圆 C 上任意一点 P 做椭圆 C 的切线与直线 F1P 的垂线 F1M 相交于点 M,求点 M 的轨迹方程; (Ⅲ)若切线 MP 与直线 x=﹣2 交于点 N,求证: 为定值.

21. (12 分)设函数 (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)如果对于任意的 值范围.

,g(x)=x ﹣x ﹣3.

3

2

,都有 x1?f(x1)≥g(x2)成立,试求实数 a 的取

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,按所做的第一题计分,作答时请写清 题号.选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,在四边形 ABCD 中,已知∠BAD=60°,∠ABC=90°,∠BCD=120°,对角 线 AC,BD 交于点 S,且 DS=2SB,P 为 AC 的中点. 求证: (Ⅰ)∠PBD=30°; (Ⅱ)AD=DC.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标 系,直线 L 的参数方程为 (t 为参数)

(1)写出直线 L 的普通方程与 Q 曲线 C 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 经过伸缩变换 ﹣
2

得到曲线 C′,设 M(x,y)为 C′上任意一点,求 x

2

xy+2y 的最小值,并求相应的点 M 的坐标.

选修 4-5:不等式选讲 24.已知正数 a,b,c 满足 a+b+c=6,求证: .

甘肃省兰州一中 2015 届高考数学模拟试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题 2 2 2 1. (5 分)设集合 M={x|2x ﹣y =1},N={y|y=x },则 M∩N=() A.{(1,1)} B.{(﹣1,1) , (1,1)} C. D.

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 中 x 的范围确定出 M,求出 N 中 y 的范围确定出 N,找出 M 与 N 的交集即 可. 解答: 解:由 M 中 2x ﹣y =1,得到 x≥ 由 N 中 y=x ≥0,得到 N=[0,+∞) ,
2 2 2

或 x≤﹣

,即 M=(﹣∞,﹣

]∪[

,+∞) ,

则 M∩N=[

,+∞) ,

故选:D. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2. (5 分)设 i 是虚数单位,那么使得 A.2 B. 3 C. 4

的最小正整数 n 的值为() D.5

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由已知 = = 解答: 解:因为已知 = 故 故选 B. 点评: 本题考查了复数的运算;对于已知 =
2 2

, =1;由此得到答案. = , =1;

=1;

=

, =1 经常用到.

3. (5 分)如果直线 ax+by=4 与圆 C:x +y =4 有两个不同的交点,那么点(a,b)和圆 C 的 位置关系是() A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.不能确定 考点: 专题: 分析: 解答: 点与圆的位置关系. 直线与圆. 由圆心到直线的距离小于半径即可得到选项. 2 2 解:∵直线 ax+by=4 与圆 C:x +y =4 有两个不同的交点, <2,

∴圆心(0,0)到直线 ax+by﹣4=0 的距离 d=
2 2

∴a +b >4, ∴点(a,b)在圆 C 的外部. 故选 A. 点评: 本题主要考查点与圆,直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式.

4. (5 分)要得到函数 y=sin2x 的图象,只需将函数 A.向右平移 C. 向右平移 个单位长度 个单位长度 B. 向左平移 D.向左平移

的图象() 个单位长度 个单位长度

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用诱导公式化简函数 y=cos(2x﹣ 选项. 解答: 解:因为函数 y=cos(2x﹣ 所以可将函数 y=cos (2x﹣ )=sin(2x+ ) , , 得到 y=sin[2 (x﹣ ) + ]=sin2x, )为正弦函数类型,然后通过平移原则,推出

) 的图象, 沿 x 轴向右平移

得到函数 y=sin2x 的图象, 故选:C. 点评: 本题考查三角函数的诱导公式的应用,函数的图象的平移,考查计算能力.

5. (5 分)过椭圆 点,则 A.

的右焦点 F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于 A,B,C,D 四 的值为() B. C. 1 D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 当直线 AB 的斜率不存在时,AB:x=1,推导出 = ;当直线 AB 的斜

率存在时,设 AB:y=k(x﹣1) (k≠0) ,CD:y=﹣ (x﹣1) .分别利用弦长公式求出|AB|、|CD| 的长度,由此能推导出 = 为定值.

解答: 解:由椭圆

,得椭圆的右焦点为 F(1,0) ,

当直线 AB 的斜率不存在时,AB:x=1, 则 CD:y=0.此时|AB|=3,|CD|=4, 则 = ;

当直线 AB 的斜率存在时,

设 AB:y=k(x﹣1) (k≠0) ,则 CD:y=﹣ (x﹣1) . 又设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 联立方程组
2


2 2 2

消去 y 并化简得(4k +3)x ﹣8k x+4k ﹣12=0, ∴ ,

∴|AB|=

=

=



由题知,直线 CD 的斜率为﹣ ,

同理可得|CD|=





=

为定值.

故选:D. 点评: 本题考查定值的证明,考查弦长公式的运用,体现了分类讨论的数学思想方法,考 查计算能力,难度较大. 6. (5 分) 已知△ ABC 的外接圆半径为 R, 且 中 a,b 分别是∠A,∠B 的对边) ,那么角 C 的大小为() A.30° B.45° C.60°

(其

D.90°

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理把原等式转化为关于 a,b 和 c 的关系式,进而利用余弦定理求得 cosC 的值,进而求得 C. 2 2 2 2 解答: 解:2R(sin A﹣sin C)=2Rsin A﹣2Rsin C=asinA﹣csinC=( a﹣b)sinB, 2 2 2 ∴由正弦定理得 a ﹣c = ab﹣b , ∴cosC= ∴C= . = ,

故选 C. 点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.角化边或边化角,是解三角形问题的 常用方法. 7. (5 分)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是某多面件的 三视图,该多面体的体积为()

A.40cm

3

B.50cm

3

C.60cm

3

D.80cm

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是由长方体截割去 4 个等体积的三棱锥所得到 的几何体,由此求出几何体的体积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得: 该几何体是由长方体截割得到,如图中三棱锥 A﹣BCD,

由三视图中的网络纸上小正方形边长为 1cm, 得该长方体的长、宽、高分别为 6cm、4cm、5cm, 则三棱锥的体积为 V 三棱锥=6×4×5﹣4× × ×6×4×5=40cm . 故选:A. 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状. 8. (5 分)从集合 A={1,3,5,7,9}和集合 B={2,4,6,8}中各取一个数,那么这两个数 之和除 3 余 1 的概率是()
3

A.

B.

C.

D.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 求出所有基本事件,两数之和除 3 余 1 的基本事件,即可求两数之和除以 3 余 1 的 概率 解答: 解:从集合 A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8}各取一个数,基本事件有(1,2) , (1,4) , (1,6) , (1,8) , (3,2) , (3,4) , (3,6) , (3,8) , (5,2) , (5,4) , (5,6) , (5,8) , (7,2) , (7,4) , (7,6) , (7,8) , (9,2) , (9,4) , (9,6) , (9,8)共 20 个; 其中两个数的和除以 3 余 1 基本事件有(1,6) , (3,4) , (5,2) (5,8) , (7,6) , (9,4) 共 6 个, ∴两个数的和除 3 余 1 的概率为 P= = .

故选:D. 点评: 本题考查概率的计算,考查学生的计算能力,确定基本事件的个数是关键. 9. (5 分)已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,△ ABC 是边长为 1 的正三角 形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此三棱锥的体积为() A. B. C. D.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据题意作出图形, 利用截面圆的性质即可求出 OO1, 进而求出底面 ABC 上的高 SD, 即可计算出三棱锥的体积. 解答: 解:根据题意作出图形: 设球心为 O,过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1,则 OO1⊥平面 ABC, 延长 CO1 交球于点 D,则 SD⊥平面 ABC. ∵CO1= ∴OO1= = = , , ,

∴高 SD=2OO1=

∵△ABC 是边长为 1 的正三角形, ∴S△ ABC= , = .

∴V 三棱锥 S﹣ABC= 故选:C.

点评: 本题考查棱锥的体积, 考查球内接多面体, 解题的关键是确定点 S 到面 ABC 的距离. 10. (5 分)执行如图程序框图,如果输入的正实数 x 与输出的实数 y 满足 y=x,则 x=()

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 y 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:第一次执行循环体后,n=2,y= 再次执行循环体后,n=3,y= 再次执行循环体后,n=4,y= 故 =x ,不满足输出条件, ,不满足输出条件, ,满足输出条件,

将 A,B,C,D 四个答案代入验证可得 D 答案符合要求,

故选:D 点评: 本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环 的方法解答. 11. (5 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2n=4(a1+a3+…+a2n﹣1) ,a1a2a3=27,则 a6=() A.27 B.81 C.243 D.729 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用等比数列的性质可得,a1a2a3=a2 =27 从而可求 a2,结合 S2n=4(a1+a3+…+a2n﹣1) 考虑 n=1 可得,S2=a1+a2=4a1 从而可得 a1 及公比 q,代入等比数列的通项公式可求 a6 3 解答: 解:利用等比数列的性质可得,a1a2a3=a2 =27 即 a2=3 因为 S2n=4(a1+a3+…+a2n﹣1) 所以 n=1 时有,S2=a1+a2=4a1 从而可得 a1=1,q=3 5 所以,a6=1×3 =243 故选 C 点评: 本题主要考查了等比数列的性质,等比数列的前 n 项和公式及通项公式,属基础题. 12. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣mx,x∈R,若方程 f(x)=2 在 x∈[﹣4,4]恰有 3 个不同的 实数解,则实数 m 的取值范围是() A. B. D. C.
3 3

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 3 分析: 函数 f(x)=x ﹣mx,x∈R,若方程 f(x)=2 在 x∈[﹣4,4]恰有 3 个不同的实数解, 3 则 g(x)=x ﹣mx﹣2 在 x∈[﹣4,4]恰有 3 个不同的零点,进而求出函数的两个极值点,根据 极大值为正,极小值为负,g(﹣4)不大于 0,g(4)不小于 0,可得实数 m 的取值范围. 3 解答: 解:∵函数 f(x)=x ﹣mx,x∈R,若方程 f(x)=2 在 x∈[﹣4,4]恰有 3 个不同的 实数解, 3 ∴g(x)=x ﹣mx﹣2 在 x∈[﹣4,4]恰有 3 个不同的零点, g′(x)=3x ﹣m=0 时,x= 故 m>0,且
2



,即 0<m<48,



,即



解得:m∈



故选:B. 点评: 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,熟练掌握方程根与对应函数零点 之间的关系是解答的关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)采用系统抽样方法从 600 人中抽取 50 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 001, 002,…,600,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为 003,抽到的 50 人中, 编号落入区间[001,300]的人做问卷 A,编号落入区间[301,495]的人做问卷 B,编号落入区 间[496,600]的人做问卷 C,则抽到的人中,做问卷 C 的人数为 8. 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意可得抽到的号码构成以 3 为首项、以 12 为公差的等差数列,求得此等差数列 的通项公式为 an=12n﹣9,由 496≤12n﹣9≤600,求得正整数 n 的个数,即为所求. 解答: 解:∵600÷50=12, ∴由题意可得抽到的号码构成以 3 为首项、以 12 为公差的等差数列, 且此等差数列的通项公式为 an=3+12(n﹣1)=12n﹣9. 落入区间[496,600]的人做问卷 C, 由 496≤12n﹣9≤600, 即 505≤12n≤609 解得 42 ≤n≤50 .

再由 n 为正整数可得 43≤n≤50, ∴做问卷 C 的人数为 50﹣43+1=8, 故答案为:8 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式,系统抽样的定义和方法,根据系统抽样的定义 转化为等差数列是解决本题的关键,比较基础.

14. (5 分) 在△ ABC 中, ∠A=90°, AB=1, BC= λ∈R,若 ,则 λ= .

, 点 M, N 满足





考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

分析: 由题意推出 解答: 解:由题意可得 ∵ 由于 = 解得:λ= , 故答案为: . , =

,根据 , ,λ∈R, =[

,通过向量的转化求得 λ 的值.



]?[



]

=﹣4(1﹣λ)﹣λ=﹣2,

点评: 本题考查平面向量的数量积运算,着重考查了向量的线性运算法则、向量数量积的 定义与运算性质等知识,属于中档题.

15. (5 分)平面上满足约束条件

的点(x,y)形成的区域为 D,区域 D 关于

直线 y=2x,对称的区域为 E,则区域 D 和 E 中距离最近两点的距离为



考点: 二元一次不等式(组)与平面区域;两点间的距离公式. 分析: 先根据条件画出可行域,作出区域 D 关于直线 y=2x 对称的区域,再利用几何意义求 最值,只需求出点 A 到直线 y=2x 的距离的两倍,从而得最近两点的距离. 解答: 解:先根据约束条件画出可行域,如图,作出区域 D 关于直线 y=2x 对称的区域,它 们呈蝴蝶形,

由图可知,可行域内点 A(﹣2,2)到 A′的距离最小, 最小值为 A 到直线 y=2x 的距离的两倍 ∴最小值=2× 故填: . ×2= .

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题. 16. (5 分)函数 f(x)=2 log2e﹣2lnx﹣ax+3 的一个极值点在区间(1,2)内,则实数 a 的取 值范围是(0,3) . 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 求导 f′(x)=2 ﹣2? ﹣a,注意到其在(1,2)上是增函数,故可得 f′(1)f′(2) <0,从而解得. 解答: 解:∵f′(x)=2 ﹣2? ﹣a 在(1,2)上是增函数, ∴若使函数 f(x)=2 log2e﹣2lnx﹣ax+3 的一个极值点在区间(1,2)内, 则 f′(1)f′(2)<0, 即(﹣a) (3﹣a)<0, 解得,0<a<3, 故答案为: (0,3) . 点评: 本题考查了导数的综合应用,同时考查了极值的定义,函数的零点存在定理的运用, 属于中档题. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知点 A(sinθ,1) ,B(cosθ,0) ,C(﹣sinθ,2) ,且 (Ⅰ)记函数 , 的值. .
x x x x

,讨论函数的单调性,并求其值域;

(Ⅱ)若 O,P,C 三点共线,求

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)设设 P(x,y) ,由向量的坐标运算求出、和的坐标,由和向量相等的充要条 件求出 x 和 y,求出的坐标,由向量的数量积运算和三角公式化简,再根据三角函数的单调性 求出 f(x)的单调性和值域; (Ⅱ)根据条件得,代入向量共线的坐标条件,由商的关系求出 tanθ,再由二倍角的正弦公 式和平方、商的关系将 sin2θ 用 tanθ 表示出来并求值,再求出的值. 解答: 解:设 P(x,y) ,由 得 ,

即 (cosθ﹣sinθ,﹣1)=(x﹣cosθ,y) , 所以 x=2cosθ﹣sinθ,y=﹣1,亦即 P(2cosθ﹣sinθ,﹣1) ; (Ⅰ) ﹣1=﹣sin2θ﹣cos2θ= 由 所以,当 , 当 , 故,函数 f(θ)的单调递减区间为 值域为 . ∥ , , ,单调递增区间为 , 即 时,f(θ)单调递增,且 得 即 ; , 时,f(θ)单调递减,且 =2sin θ﹣2sinθcosθ
2

(Ⅱ)由 O、P、C 三点共线可知,

即 (﹣1)?(﹣sinθ)=2?(2cosθ﹣sinθ) ,得 所以

=

=

=



点评: 本题是向量与三角函数的综合题,考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量相等 的充要条件,三角恒等变换中公式,涉及的公式多,需要熟练掌握并会灵活运用 18. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°, AB=AD=2CD=2,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且△ PAD 是以 AD 为底的等腰三角形. (Ⅰ)证明:AD⊥PB; (Ⅱ)若四棱锥 P﹣ABCD 的体积等于 ,问:是否存在过点 C 的平面 CMN,分别交 PB,AB 于点 M,N,使得平面 CMN∥平面 PAD?若存在,求出△ CMN 的面积;若不存在,请说明理由.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由题意取 AD 的中点 G,连接 PG、GB、BD,因△ PAD 是等腰直角三角形, 所以 PG⊥AD,再由 AB=AD,且∠DAB=60°得 BG⊥AD,证出 AD⊥平面 PGB,即 AD⊥PB; (Ⅱ)分别取 PA、AB 的中点 M、N,连结 CM、MN、NC,证明四边形 ANCD 为平行四边 形,可得平面 CMN∥平面 PAD.证明△ CBM 是直角三角形,可得结论. 解答: (Ⅰ)证明:取 AD 的中点 G,连接 PG、GB、BD∵PA=PD, ∴PG⊥AD. (2 分) ∵AB=AD,且∠DAB=60°, ∴△ABD 是正三角形,∴BG⊥AD, 又∵PG∩BG=G,PG、BG?平面 PGB ∴AD⊥平面 PGB. ∴AD⊥PB. (5 分) (Ⅱ)解:存在,理由如下: 分别取 PA、AB 的中点 M、N,连结 CM、MN、NC,则 MN∥PA; ∵ABCD 是梯形,且 DC 平行且等于 AB, ∴DC 平行且等于 AN,于是,四边形 ANCD 为平行四边形, ∴平面 CMN∥平面 PAD. 由(Ⅰ)知,MN=1,CN=2,在△ PBC 与在△ CBM 中: ∴△PBC∽△CBM,得 CM= ∴ ,∴△CBM 是直角三角形, ,

.…(12 分)

点评: 本题主要考查了线面垂直和平行的判定定理的应用,主要用了中位线和等腰三角形 的中线证明线线平行和垂直.

19. (12 分)“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20 ﹣80 mg/100ml(不含 80) 之间,属于酒后驾车,血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上时,属醉酒驾车.”2009 年 8 月 15 日晚 8 时开始某市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查,经过两个 小时共查出酒后驾车者 60 名,图甲是用酒精测试仪对这 60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进 行检测后依所得结果画出的频率分布直方图.

(1)求这 60 名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数; (图甲中每组包括左端点,不包括右端点) (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,图乙的程序框图是对这 60 名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计,求出图乙输出的 S 值,并说明 S 的统计意义; (图乙中数据 mi 与 fi 分别表示图甲中各组的组中值及频率)

(3)本次行动中,吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在 70mg/100ml(含 70)以 上,但他俩坚称没喝那么多,是测试仪不准,交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精 浓度在 70mg/100ml(含 70)以上的酒后驾车者中随机抽出 2 人抽血检验,求吴、李两位先生 至少有 1 人被抽中的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 专题: 计算题;作图题. 分析: (1)依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上者,由频率 分布直方图知共有 0.05×60 人. (2)由程序框图知输出的 S=0+m1f1+m2f2+…+m7f7,根据所给的数据作出结果,得到 S 的统计 意义为 60 名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值.

(3)本题是一个古典概型,可以列举出试验发生所有的事件,根据列举出的结果,看出满足 条件的事件数,根据古典概型概率公式得到结果. 解答: 解: (1)依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在 80mg/100ml(含 80)以上者,由图 甲知,共有 0.05×60=3(人) (2)由图乙知输出的 S=0+m1f1+m2f2+…+m7f7 =25×0.25+35×0.15+45×0.2+55×0.15+65×0.1+75×0.1+85×0.05=47(mg/100ml) S 的统计意义为 60 名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值. (3)由题意知本题是一个古典概型, 酒精浓度在 70mg/100ml(含 70)以上人数为: (0.10+0.05)×60=9 设除吴、李两位先生外其他 7 人分别为 a、b、c、d、e、f、g, 则从 9 人中抽出 2 人的一切可能的结果组成的基本事件如下: (吴,李) , (吴,a) , (吴,b) , (吴,c) , (吴,d) , (吴,e) , (吴,f) , (吴,g) , (李,a) , (李,b) , (李,c) , (李,d) , (李,e) , (李,f) , (李,g) , (a,b) , (a,c) , (a,d) , (a,e) , (a,f) , (a,g) , (b,c) , (b,d) , (b,e) , (b,f) , (b,g) , (c,d) , (c,e) , (c,f) , (c,g) , (d,e) , (d,f) , (d, g) , (e,f) , (e,g) , (f,g)共 36 种. 用 M 表示吴、李两位先生至少有 1 人被抽中这一事件,则 M 所含的基本事件数为 15, 故 .

点评: 本题考查频率分步直方图,考查程序框图,考查古典概型,是一个概率统计的综合 题,本题的情景比较新颖,有比较接近于我们的生活,是一个很成功的题目.

20. (12 分)已知椭圆 C:

的左右焦点 F1,F2 与椭圆短轴的一个端点

构成边长为 4 的正三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过椭圆 C 上任意一点 P 做椭圆 C 的切线与直线 F1P 的垂线 F1M 相交于点 M,求点 M 的轨迹方程; (Ⅲ)若切线 MP 与直线 x=﹣2 交于点 N,求证: 为定值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由题意求出 a,b 的值则求出椭圆方程. (Ⅱ)设出切线方程,表示出 MF1 的方程,继而根据条件求出轨迹方程. (Ⅲ)依题意及(Ⅱ) ,点 M、N 的坐标可表示为 M(﹣8,yM) 、N(﹣2,yN) ,点 N 在切线 MP 上, 由①式得 , 点 M 在直线 MF1 上, 由②式得 ,

由上述 2 式求解. 解答: 解: (Ⅰ)依题意,2c=a=4,∴c=2,b= ∴椭圆 C 的标准方程为 ; …(2 分)



(Ⅱ)设 P(x0,y0) ,由(Ⅰ) ,F1(﹣2,0) ,设 P(x0,y0) ,M(x,y) 过椭圆 C 上过 P 的切线方程为: ,①

直线 F1P 的斜率

,则直线 MF1 的斜率



于是,则直线 MF1 的方程为:



即 yy0=﹣(x0+2) (x+2) ,② ①、②联立,解得 x=﹣8, ∴点 M 的轨迹方程为 x=﹣8; …(8 分) (Ⅲ)依题意及(Ⅱ) ,点 M、N 的坐标可表示为 M(﹣8,yM) 、N(﹣2,yN) , 点 N 在切线 MP 上,由①式得 ,

点 M 在直线 MF1 上,由②式得





=





=

,③

注意到点 P 在椭圆 C 上,即



于是

代人③式并整理得





的值为定值 .…(12 分)

点评: 本题主要考查椭圆方程和轨迹方程的求解方法和直线与圆锥曲线的综合问题,属于 难度较大的题目. 21. (12 分)设函数 (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)如果对于任意的 值范围. ,都有 x1?f(x1)≥g(x2)成立,试求实数 a 的取 ,g(x)=x ﹣x ﹣3.
3 2

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , 讨论得到函数的单调区间. (Ⅱ)由题对于任意的 ,都有 x1?f(x1)≥g(x2)成立,则 x1?f(x1)≥g ,对参数 a

(x)max,然后分离参数,求出 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , 当 a≤0 时,f'(x)≥0,函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增; 当 a>0 时,若 ,则 f'(x)≥0,函数 f(x)单调递增; 若 ,则 f'(x)<0,函数 f(x)单调递减; 所以,函数 f(x)在区间 上单调递减,在区间 (4 分) (Ⅱ) 可见,当 当 而 依题意,只需当 即 令 , 时,g'(x)≥0,g(x)在区间 时,g'(x)≤0,g(x)在区间 ,所以,g(x)在区间 时,xf(x)≥1 恒成立,
2



上单调递增.…

, 单调递增, 单调递减, 上的最大值是 1,

恒成立,亦即 a≥x﹣x lnx; …(8 分) ,

则 h'(x)=1﹣x﹣2xlnx,显然 h'(1)=0, 当 时,1﹣x>0,xlnx<0,h'(x)>0, 上单调递增;

即 h(x)在区间

当 x∈(1,2]时,1﹣x<0,xlnx>0,h'(x)<0, (1,2]上单调递减; 所以,当 x=1 时,函数 h(x)取得最大值 h(1)=1, 故 a≥1,即实数 a 的取值范围是[1,+∞) .…(12 分) 点评: 本题主要考查含参数的函数求单调区间的方法和利用导数求最值问题,属于难题, 在 2015 届高考中作为压轴题出现.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,按所做的第一题计分,作答时请写清 题号.选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,在四边形 ABCD 中,已知∠BAD=60°,∠ABC=90°,∠BCD=120°,对角 线 AC,BD 交于点 S,且 DS=2SB,P 为 AC 的中点. 求证: (Ⅰ)∠PBD=30°; (Ⅱ)AD=DC.

考点: 相似三角形的性质. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: (Ⅰ)A,B,C,D 四点共圆,AC 为直径,P 为该圆的圆心,作 PM⊥BD 于点 M, 知 M 为 BD 的中点,即可证明∠PBD=30°; (Ⅱ)作 SN⊥BP 于点 N,则 ,证明 Rt△ PMS≌Rt△ PNS,∠DAC=45°=∠DCA,即

可证明 AD=DC. 解答: 证明: (Ⅰ)由已知得∠ADC=90°,从而 A,B,C,D 四点共圆,AC 为直径,P 为 该圆的圆心. 作 PM⊥BD 于点 M,知 M 为 BD 的中点, 所以∠BPM= =∠A=60°,

从而∠PBM=30°. …(5 分) (Ⅱ)作 SN⊥BP 于点 N,则 .

又 ∴ ∴Rt△ PMS≌Rt△ PNS, ∴∠MPS=∠NPS=30°, 又 PA=PB,所以

, ,



故∠DAC=45°=∠DCA,所以 AD=DC.…(10 分) 点评: 本题考查圆的性质,考查三角形相似的证明与运用,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标 系,直线 L 的参数方程为 (t 为参数)

(1)写出直线 L 的普通方程与 Q 曲线 C 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 经过伸缩变换 ﹣
2

得到曲线 C′,设 M(x,y)为 C′上任意一点,求 x

2

xy+2y 的最小值,并求相应的点 M 的坐标.

考点: 椭圆的参数方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)直接消去参数 t 得直线 l 的普通方程,根据 ρ =x +y 可得曲线 C 的直角坐标方 程; (2)先根据伸缩变换得到曲线 C′的方程,然后设 M(2cosθ,sinθ) ,则 x=2cosθ,y=sinθ 代 入 ,根据三角函数的性质可求出所求. (t 为参数) , ,
2 2 2

解答: 解: (1)∵直线 l 的参数方程为 ∴消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 ∵ρ=2, ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x +y =4;
2 2 2 2

(2)∵曲线 C:x +y =4 经过伸缩变换

得到曲线 C',

∴C′:



设 M(2cosθ,sinθ)则 x=2cosθ,y=sinθ, ∴ ∴当 θ= +kπ,k∈Z 时,即 M 为( , )或 时 的最小

值为 1. 点评: 本题主要考查了极坐标方程,参数方程化直角坐标方程,以及椭圆的参数方程在求 最值上的应用和三角函数求出最值,同时考查了运算求解的能力,属于中档题. 选修 4-5:不等式选讲 24.已知正数 a,b,c 满足 a+b+c=6,求证: .

考点: 专题: 分析: 解答:

不等式的证明. 证明题;推理和证明. 由已知及均值不等式,即可证明结论. 证明:由已知及均值不等式:

=

=

…(10 分)

点评: 本题考查不等式的证明,正确运用均值不等式是关键.


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