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2.2超几何分布课件 (北师大版选修2-3)


理解教材新知 2.1

第 二 章

2.1.3 超几 何分 布

把握热点 考向

考点一 考点二
考点三

应用创新演练

2.1.3

超几何分布

从含有5件次品的100件产品中任取3件.
问题1:这100件产品可分几类? 提示:两类:次品和非次品 问题2:取到的次品数X的取值有哪些? 提示:0、1、2、3. 问题3:求次品数X=2的概率.
1 C2 C 5 95 提示:P(X=2)= 3 . C100

超几何分布 设有总数为N件的两类物品,其中一类有M件,从所 有物品中任取n件(n≤N),这n件中所含这类物品件数X是 一个离散型随机变量 ,它取值为m时的概率为P(X=m)
n m Cm MCN-M = (0≤m≤l,l为n和M中较小的一个)称离散型 n CN 随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布,也称X


服从参数为N,M,n的超几何分布.

1.超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意 公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用

公式求解,但不能机械的记忆公式,应在理解的前提下
记忆. 2.凡类似“在含有次品的产品中取部分产品,求所 取出的产品中次品件数的概率”的问题,都属于超几何分 布的模型。

[例1]

生产方提供50箱的一批产品,其中有2箱不合

格产品.采购方接收该批产品的准则是:从该批产品中任 取5箱产品进行检测,若至多有一箱不合格产品,便接收 该批产品.问:该批产品被接收的概率是多少? [思路点拨] 先找出计算公式中的N、M、n再代入

计算.

[精解详析]

50 箱的一批产品,从中随机抽取 5 箱,

用 X 表示“5 箱中的不合格品的箱数”,则 X 服从超几何 分布,其中参数 N=50,M=2,n=5. 这批产品被接收的条件是 x=0 或 1,所以被接收的概 率为
5 4 C0 C1 243 2C48 2C48 P(X≤1)= 5 + 5 = . C50 C50 245

243 即该批产品被接收的概率是 . 245

[一点通]

超几何分布的概率计算方法是:

(1)确定所给问题中的变量服从超几何分布; (2)写出超几何分布中的参数N,M,n的值; (3)利用超几何分布公式,求出相应问题的概率.

1.在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球,这些球除颜 色外完全相同,从中摸出 3 个球,至少摸到 2 个黑球 的概率等于 2 A. 7 3 C. 7
3 0 C2 C1 2 3· 5+C3C5 解析: = . 3 C8 7

( 3 B. 8 9 D. 28

)

答案:A

2.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本), 从中任取2本,至多有1本语文课本的概率是,则语文 课本共有 A.2本 B.3本 ( )

C.4本

D.5本

解析: 设语文书 n 本, 则数学书有 7-n 本(n≥2).
0 C2 C 2 n 7-n 则 2 本都是语文书的概率为 = , C2 7 7

由组合数公式得 n2-n-12=0,解得 n=4.

答案:C

[例2]

从一批含有13件正品、2件次品的产品中,不

放回地任取3件,求取得的次品数X的分布列. [思路点拨] 在取出的3件产品中,次品数X服从超几

何分布,其可能取值为0,1,2,对应的正品数应是3,2,1.

[精解详析] M=2,n=3.

由题意知 X 服从超几何分布,其中 N=15,

它的可能的取值为 0,1,2,相应的概率依次为
3 C0 22 2C13 P(X=0)= 3 = , C15 35 2 C1 C 12 2 13 P(X=1)= 3 = , C15 35 1 C2 1 2C13 P(X=2)= 3 = . C15 35

所以 X 的分布列为 X P 0 22 35 1 12 35 2 1 35

[一点通] (1) 超几何分布模型的特征是总体由较明显的两部分 组成,如男生,女生;正品,次品;优,劣等. (2)在计算超几何分布模型的分布列时,可以直接代入
n-k Ck C M N-M 公式 P(X=k)= (k=0,1,2, ?, m, 其中 m=min{M, Cn N

n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N+),从而简化了解题 过程.

3.现有10张奖券,其中8张1元的、2张5元的,从中同时 任取3张,求所得金额的分布列.
解:设所得金额为 X,X 的可能取值为 3,7,11. C3 7 8 P(X=3)= 3 = , C10 15
1 C2 C 7 8 2 P(X=7)= 3 = , C10 15 2 C1 C 1 8 2 P(X=11)= 3 = . C10 15

故 X 的分布列为 X P 3 7 15 7 7 15 11 1 15

4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机
变量X表示所选3人中女生的人数. (1)求X的分布列; (2)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率.
解:(1)X 可能取的值为 0,1,2,服从超几何分布,
3-k Ck · C 2 4 P(X=k)= ,k=0,1,2. C3 6 1 2 C3 1 C 3 4 2C4 即 P(X=0)= 3= ,P(X=1)= 3 = , C6 5 C6 5 1 C2 C 1 2 4 P(X=2)= 3 = . C6 5

所以 X 的分布列为 X P 0 1 5 1 3 5 2 1 5

(2)由(1)知,“所选 3 人中女生人数 X≤1”的概率 为 4 P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)= . 5

[例3]

(12分)在10件产品中,有3件一等品,4件二

等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件.求:
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列; (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的 概率. [思路点拨] 先确定X的取值情况,再求概率,列

表写出分布列.

[精解详析]

(1)由于从 10 件产品中任取 3 件的结果数

为 C3 10,从 10 件产品中任取 3 件,其中恰有 m(m≤3)件一
3-m 等品的结果数为 Cm C ,? 3 7

(2 分)

那么从 10 件产品中任取 3 件,其中恰有 m 件一等品
3-m Cm C 3 7 的概率为 P(X=m)= ,m=0,1,2,3.? C3 10

(4 分)

所以随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 7 21 7 P 24 40 40 ?

3 1 120 (6 分)

(2)设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为 事件 A, “恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品”为事件 A1, “恰 好取出 2 件一等品”为事件 A2,“恰好取出 3 件一等品”为事 件 A3.由于事件 A1,A2,A3 彼此互斥,且 A=A1∪A2∪A3,? (8 分)
2 C1 3 7 3C3 因为 P(A1)= 3 = ,P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X C10 40 40

1 =3)= , 120 3 7 1 31 所以 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + = . 40 40 120 120 即取出的 3 件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概 31 率为 .? 120 (12 分)

[一点通] (1)在超几何分布中,随机变量X取每个值的概率是用 古典概型计算的,明确每一个事件的意义是正确解答此类 问题的关键.

(2)超几何分布具有广泛的应用,它可以用来描述产品
抽样中的次品数的分布规律,也可用来研究我们熟悉的抽 奖或摸球游戏中的某些概率问题.在其概率的表达式中, 各个字母的含义在不同的背景下会有所不同.

5.袋中装有4个白棋子、3个黑棋子,从袋中随机地取棋
子,设取到一个白棋子得2分,取到一个黑棋子得1分, 从袋中任取4个棋子. (1)求得分X的分布列; (2)求得分大于6的概率.

解:(1)袋中共7个棋子,以取到白棋子为标准,则取到
白棋子的个数为1,2,3,4,对应的得分X为5,6,7,8. 由题意知,取到的白棋子数服从参数为N=7,M=4, n=4的超几何分布,故得分也服从该超几何分布.

3 2 2 C1 C 4 C 18 4 3 4C3 P(X=5)= 4 = ;P(X=6)= 4 = ; C7 35 C7 35 1 C3 12 C4 1 4C3 4 P(X=7)= 4 = ;P(X=8)= 4= . C7 35 C7 35

所以 X 的分布列为 X P 5 4 35 6 18 35 7 12 35 8 1 35

(2)根据 X 的分布列,可得到得分大于 6 的概率为 12 1 13 P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)= + = . 35 35 35

6.现有来自甲、乙两班学生共 7 名,从中任选 2 名都是 1 甲班的概率为 . 7 (1)求 7 名学生中甲班的学生数; (2)设所选 2 名学生中甲班的学生数为 X, 求 X 的分布 列,并求所选 2 人中甲班学生数不少于 1 人的概率.

解:(1)设甲班的学生数为 M, 由题意得 M?M-1? M?M-1? 2 1 C2 M = = = 7 C2 7 × 6 7× 6 7 2 整理得 M2-M-6=0, 解得 M=3 或 M=-2(舍去). 即 7 个学生中,甲班有 3 人.

(2)由题意知 X 服从参数 N=7,M=3,n=2 的超几何 分布,其中 X 的所有可能取值为 0,1,2.
2-k Ck C 3 4 P(X=k)= (k=0,1,2). C2 7 2 C0 C 6 2 3 4 即 P(X=0)= 2 = = , C7 21 7 1 C1 12 4 3C4 P(X=1)= 2 = = , C7 21 7 0 C2 C 3 1 3 4 P(X=2)= 2 = = . C7 21 7

所以 X 的分布列为 X P 0 2 7 1 4 7 2 1 7

由分布列知 4 1 5 P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)= + = . 7 7 7 5 即所选两人中甲班学生数不少于 1 人的概率为 . 7

解决超几何分布问题的关注点 超几何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式 求出X取不同m时的概率P(X=m),从而求出X的分布列.

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