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2011-2012高三数学期中试题(文)


2011-2012 学年度第一学期中联考

数学试题(文)
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x 2 ? 2 x ? 0} , B ? {x | y ? lg( x ?

1)} ,则 (CU A) ? B 等 于( ) B. {x |1 ? x ? 2} D. {x |1 ? x ? 2} )
2

A. {x | x ? 2或x ? 0} C. {x |1 ? x ? 2} 2.下列命题中,真命题是( A. ?x ? R, x ? x
2

B.命题“若 x ? 1, 则x ? 1 ”的逆命题 D.命题“若 x ? y, 则sin x ? sin y ”的逆否命题 )

C. ?x ? R, x ? x
2

3. 若 s n 是等差数列 ?a n ?的前 n 项和, a2 ? a10 ? 4 ,则 s11 的值为( A.22 4.函数 y ? B.18 C.12 D.44 ( )

log 1 ( x 2 ? 1) 的定义域为
2

A. ? 2 ,?1 ? 1, 2 C. ?? 2,?1? ? ?1,2?

?

? ?

?

B. ( ? 2 ,?1) ? (1, 2 ) D. ( ?2,?1) ? (1,2) )

5.下列函数中,是奇函数且在区间 (0,1) 内单调递减的函数是( A. y ? log 1 x
2

B. y ?

1 x
1

C. y ? x

3

D. y ? tan x

1 x 6.已知函数 f ( x) ? ( ) ? x 3 ,那么在下列区间中含有函数 f (x) 零点的是( 2
A. (0, )



1 3

B. ( , )

1 1 3 2

C. ( , )

1 2 2 3

D. ( ,1)

2 3

7. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ,则函数 f ( x) 的大致图像为( y ) y y y

? 1 O1
x A 8.将函数 y ? cos(x ? 平移

?1
x B

O

1
x C

O

O x D

?
3

,再向左 ) 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) )

? 个单位,所得图像的一条对称轴方程为( 6 ? ? ? A. x ? B. x ? C. x ? D. x ? ? 9 8 2

9.函数 y ? x cos x ? sin x 的一个递增区间是( A. (

) D. (2? ,3? ) )

? 3?
2 , 2

)

B. (? ,2? ) C. (

3? 5? , ) 2 2

10.在△ ABC 中,如果 sin A ? A. 30 ? B. 45 ?

3 sin C , B ? 30 ? ,那么角 A 等于(
C. 60 ? D. 120 ?

11.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( ) A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

3 2 12.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 9 x ? 3, 若函数 g ( x) ? f ( x) ? m在x ? [?2,5] 上有 3 个零点,则

m 的取值范围为(
A. ?1,8? B. ?? 24,1?

) C. ?1,8? D. ?? 24,8?

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 16 分。把答案填在题中横线上.
x 13. 已知函数 f ( x ) ? xe ,则函数 f ( x ) 图象在点 (0, f (0)) 处的切线方程为_______

14.已知 sin ? ?

3 ?? ? ?? ? ?? ? , ? ? ? , ? ? ,则 cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? 的值为________ . 5 ?4 ? ?4 ? ?2 ?

15. 已知平面向量 a , b 满足 a ? 3 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60? , 若 (a - mb) ? a ,则实数 m 的值为 16.已知等比数列 {an } 的公比为 .

1 ,并且 a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a99 ? 60, 那么 2
.

a1 ? a 2 ? a3 ? ... ? a99 ? a100 的值是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系下,已知 A(2,0) , B(0,2) , C (cos 2 x, sin 2 x), (0 ? x ?

?
2

),

f ( x) ? AB ? AC .
(Ⅰ)求 f (x) 的表达式; (Ⅱ)求 f (x) 的最小正周期和值域.

18.(本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 3 且 a n?1 ? 2S n ? 3 ,数列 {bn } 为等差数列, 且公差 d ? 0 , b1 ? b2 ? b3 ? 15 . (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若

a a1 a ? b1 , 2 ? b2 , 3 ? b3 成等比数列,求数列 {bn } 的前项和 Tn 3 3 3

19.(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , cos C ? (Ⅰ)求证: A ? B ; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ?

4 , c ? 2b cos A . 5

15 ,求 c 的值. 2

20.(本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的单调函数 f ? x ? 是奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? (Ⅰ)求 f ? x ? 的解析式;
2 2

x ? 2x . 3

(Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求实数 k 的 取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 设{ a n }为等比数列, Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ... ? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1, T2 ? 4 (Ⅰ)求数列 ?an ?的首项和公比; (Ⅱ)求数列 ? n ? 的通项公式 T

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? ?2 时,问: m 在什么范围取值时,对于任意的 t ? ?1,2?, 函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 ?

?m ? ? f ' ( x)? 在区间 (t ,3) 上总存在极值? ?2 ?

数学(文)参考答案及评分标准
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 A 14、 5 B 6 B 7 C 8 C 9 B 10 D 11 D 12 A 得分

二、填空题:13、 y ? x 三、解答题

49 50

15、3 16、90

17.解: (Ⅰ)依题意得 AB ? (?2,2), AC ? (cos 2 x ? 2, sin 2 x) ∴ f ( x) ? AB ? AC ? (?2,2) ? (cos 2 x ? 2, sin 2 x)

? 4 ? 2 cos2x ? 2 sin 2x ----------------------------------------3 分 ? ? 2 2 sin(2 x ? ) ? 4 --------------------------------------5 分 4 ? ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 得 f ( x) ? 2 2 s i n2 x ? ) ? 4 , 所 以 f (x) 的 最 小 正 周 期 为 ( 4 2? T? ? ? ------------------------------------- 6 分 2 ? ? ? 3? -------------------7 分 ? 0 ? x ? ,? ? ? 2 x ? ? 2 4 4 4
∴?

2 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ----------------------9 分 2 4
--------10 分

∴ 2 ? f ( x) ? 4 ? 2 2 ;所以函数 f (x) 的值域是 (2 , 4 ? 2 2 ]

设 b1 ? 5 ? d , b2 ? 5, b3 ? 5 ? d ,∴ 64 ? (5 ? d ? 1)(5 ? d ? 9) , ∴ d 2 ? 8d ? 20 ? 0 ,得 d ? 2 或 d ? ?10 (舍去)-------------10 分

n(n ? 1) n(n ? 1) d ? 3n ? ? 2 ? n 2 ? 2n --------------------12 分 2 2 19.(Ⅰ)证明:因为 c ? 2b cos A ,由正弦定理得 sin C ? 2sin B ? cos A ,
故 Tn ? nb1 ? 所以 sin( A ? B) ? 2sin B ? cos A , sin( A ? B) ? 0 ,-------3 分 在△ ABC 中,因为 0 ? A ? π , 0 ? B ? π , 所以 ?π ? A ? B ? π 即 A? B. 所以 A ? B ? 0 -----------6 分

(2)? f ?1? ? ?

? f ? x ? 在 R 上单调递减
2 2

5 ? f ? 0 ? ? 0 且 f ? x ? 在 R 上单调 3
------------8 分

2 2 由 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 得 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k )

? f ( x) 是奇函数
又? f ( x) 是减函数

? f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 )

---------------0 分 ? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 2 即 3t ? 2t ? k ? 0 对任意 t ? R 恒成立

?? ? 4 ? 12k ? 0 得 k ? ? 即为所求 ------------------12 分
21、解: (I)设等比数列 ?an ?的公比为 q,则

1 3

T1 ? a1 , T2 ? 2a1 ? a2 ? a1 (2 ? q).


T1 ? 1, T2 ? 4,?a1 ? 1, q ? 2.

------------4 分

(Ⅱ) 解法一:由(I)知 a1 ? 1, q ? 2, 故 a n ? a1q n ?1 ? 2 n ?1 , ------------6 分 因此 Tn ? n ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2 n ?2 ? 1 ? 2 n ?1 , ------------8 分

?Tn ? 2Tn ? Tn

? n ? 2 ? (n ? 1) ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2 n ?1 ? 1 ? 2 n ? [n ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2 n ?2 ? 1 ? 2 n ?1 ]
? ?n ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 n?1 ? 2 n

? ?n ?

2 ? 2 ? 2n 1? 2

? ?n ? 2 n ?1 ? 2 ? ?(n ? 2) ? 2 n ?1. -----------12 分
解法二:设 S n ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an . 由(I) a n ? 2 n ?1.

? S n ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? 1.

?Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? ?2an?1 ? a n ? a1 ? (a1 ? a2 ) ? ? ? ? ? (a1 ? a2 ? ? ? ? ? an?1 ? an )

? S1 ? S 2 ? ? ? ? ? S n ? (2 ? 1) ? (2 2 ? 1) ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1)

? (2 ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 n ) ? n ?

2 ? 2 ? 2n ? n ? 2 n ?1 ? 2 ? n. 1? 2

∴ 函数 g ' ( x) 在区间 (t ,3) 上总存在零点, 又∵函数 g ' ( x) 是开口向上的二次函数,且 g ' (0) ? ?2 ? 0

∴ ?

? g ' (t ) ? 0 ? g ' (3) ? 0

-----------------10 分

由 g ' (t ) ? 0 ? m ?

2 2 2 ? 3t ? 4 ,令 H (t ) ? ? 3t ? 4 ,则 H ' (t ) ? ? 2 ? 3 ? 0 , t t t

所以 H (t ) 在 ?1,2? 上单调递减,所以 H (t ) ? H (t ) min ? H (2) ? ?9 ?m ? ?9, --7 分 由 g ' (3) ? 27 ? (4 ? m) ? 3 ? 2 ? 0 ,解得 m ? ? 所以当 m 在 (?

37 ;综上得: 3

?

37 ? m ? ?9 3

37 ?m ? 对于任意的 t ? ?1,2?, 函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? ? f ' ( x)? 在 ,?9) 内取值时, 3 ?2 ?
-------------14 分

区间 (t ,3) 上总存在极值.

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