当前位置:首页 >> 数学 >>

讲义---平面向量


平面向量
【题型分类】 题型一:向量的概念与几何运算 〖例 1〗下列命题:①若 a ? b ,则 a ? b ; ②若 A、B、C、D 是不 共线的四点,则 AB ? DC 是四边形为平行四边形的充要条件; 若 a ? b, b ? c ,则 a ? c ; ③ ④ a ? b 的充要条件是 a ? b 且 a ∥ b ; 其中,正确命题的序号是

⑤若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c 。 ____________

→ 〖例 2〗 (2011 四川) 如图 1-2, 正六边形 ABCDEF 中, BA+→ CD+→ EF= ( )

A.0 B. → BE C..→ AD D.→ CF 〖例 3〗 (2011 届杭二模)已知非零向量 a,b 满足|a + b| =|a–b 2 3 |= |a|,则 a + b 与 a–b 的夹角为( ) 3 A. 30 ? B. 60 ? C. 120? D. 150? 〖例 4〗已知 OA ? a, OB ? b, OC ? c, OD ? d , OE ? e ,设 t ? R ,如果

3a ? c, 2b ? d , e ? t (a ? b) ,那么 t 为何值时, C, D, E 三点在一条直线 上?

题型二:平面向量的坐标运算 〖例 1〗 已知向量 a =(cos ? , sin ? ),b =(cos ? , sin ? ), |a -b |
2 2 2 2

=2

5 5

,求 cos(α -β )的值.

→,→ 〖例 2〗 (2011 湖南)在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设→ BC=2BD CA →,则→ =3CE AD·→ BE=________.
1

〖例 3〗在平行四边形 ABCD 中,A(1,1), AB =(6,0),点 M 是线 段 AB 的中点,线段 CM 与 BD 交于点 P.若 AD =(3,5),求点 C 的坐 标;
D P A M B C

( 二 ) 若 向 量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ), , 且 b ? 0 , 则

a / /b ?

1

x2 ? y

1

y。 ? x 2 0

1. (1)已知向量 a ? (2,3), b ? ( x,6), ,且 a / / b ,则 x=_______。 (2)已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x,1), u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u // v ,求 实数 x 的值。
3 1 练 习 1 : 设 a ? ( ,sin ? ), b ? (cos ? , ) , 且 有 a // b , 则 锐 角 2 3 。 ?? 练习 2: (1) 向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (10, k ) ,当 k 为何值时, A, B, C 三点共线?

(2) 已知 a ? (1, 0),b ? (2,1) ,(1 )求 | a ? 3b | ; (2)当 k 为何实数 时, ka ? b 与 a ? 3b 平行, 平行时它们是同向还是反向?.

题型三:平面向量的数量积 二:若向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ), ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 〖例 1〗已知向量 a =(sin ? ,1), b =(1,cos ? ),- ? (1) 若 a⊥b,求 ? ; (2) 求| a + b |的最大值.
2 ?? ?

?
2



2

例 2:在△ABC 中,∠C=90° , AB ? (k ,1), AC ? (2,3), ,则 k 的值是 ( ) 3 3 A5 B -5 C D ? 2 2 练习:已知向量 a ? (3, 4), b ? (2, ?1) ,如果向量 a ? xb 与 b 垂直,则 x 的值为 2 23 3 ( A) ( B) (C ) 2 (D) ? 5 3 23 三:若 a ? ( x, y) 则 | a |2 ? x2 ? y2 ,或 | a |? x 2 ? y 2 例 3:(1)已知向量 a ? (?2, 2), b ? (5, k ), ,若 | a ? b | 不超过 5,则 k 的 取值范围是__________。 (2) 已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60° ,那么 | a ? 3b | = __________ (3) 已知向量 a ? (cos? ,sin ? ) ,向量 b ? (3, ?1) ,则| 2a ? b |的最大值 是___________。 a ?b 四:求夹角可用 cos ? ? 解决。 | a |?| b | 例 4:(1)若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角 为( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° (2)已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) ①若| c | ? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标; ②若| b |=
5 , 且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? . 2

? ? ? ? ? ? (3)设两个向量 e1 、 e 2 ,满足 | e1 |? 2 ,| e2 |? 1 , e1 、 e 2 的夹角为 60° , ? ? ? ? 若向量 2te1 ? 7e2 与向量 e1 ? te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

例 5(2011 全国) 已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数, 若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则 k=________. 例 6(2011 浙江)若平面向量α ,β 满足|α |=1,|β |≤1,且以
3

1 向量α ,β 为邻 2 边的平行四边形的面积为 ,则α 和β 的夹角θ 的 2 取值范围是________. 例 7(2011 福建)已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1),若点 M(x,y)

?x+y≥2, 为平面区域?x≤1, ?y≤2
(

上的一个动点,则→ OA·→ OM的取值范围是

) A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2] D.[-1,2] 五:求向量 8:平面向量 a , b 中,已知 a ? (4,3),| b |? 1 ,且 a ? b ? 5 ,则向量
b =____________。

练习 1:.已知向量 a ? (1, ?2) , b 与 a 方向相反,且 | b |? 2 | a | ,那么 向量 b 的坐标是_ ____.

练习 2 已知 a ? (5, 4), b ? (3, 2) ,则与 2a ? 3b 平行的单位向量的坐标 为 。 六:求数量积 9(1)已知平面上三点 A、B、C 满足 | AB |? 3,| BC |? 4,| CA |? 5 ,则

AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等于___________。 (2)已知向量 a 和 b 的夹角是 120° ,且| a |=2,| b |=5,则 (2 a ?b) ?a = 七:向量与三角函数结合 10 函 数

f ( x) ? m ? n, 其中向量 m ? (2 cos x,1), n ? (cosx, 3 sin 2x), x ? R.
求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间

C 三点的坐标分别为 A(3,0) 、 B(0,3) 、 C (cos? , sin ? ) , 11. 已知 A 、B 、

? 3? ? ?( , ), (1)若 AC ? BC ,求角 ? 的值; (2)若 AC ? BC ? ?1 ,
2 2

4



2 sin 2 ? ? sin 2? 的值 1 ? tan?

三、链接高考

1

A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为



4? 3? ?3 ?4 ? 3 4? ? 4 3? A. ? ,- ? B. ? ,- ? C. ? ? , ? D. ? ? , ? 5? 5? ?5 ?5 ? 5 5? ? 5 5?

2 .已知点 A(?1, 1) 、 B(1, 2) 、 C (?2, ? 1) 、 D(3, 4) ,则向量 AB 在 CD 方 向上的投影为 A.
3 2 3 15 3 2 B. C. ? 2 2 2

( D. ?
3 15 2

3 已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? , 若 ? m ? n ? ? ? m ? n ? , 则? = (

)

A. ?4 B. ?3 C. -2 D. -1 4 . (2013 年高考湖南(文) )已知 a,b 是单位向量,a·b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ _ A. 2 ? 1 B. 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 2 )



6 已知向量 a ? (1, m), b ? (m, 2) , 若 a//b, 则实数 m 等于 ( A. ? 2 B. 2 C. ? 2 或 2

D.0

7 已 知 点 O ? 0, 0? , A ? 0, b ? , B ? a , a3 ? .若? ABC为直角三角形 ,则必有 ( )
1 a

A . b ? a3 B . b ? a3 ?

1? ? C . ? b ? a3 ? ? b ? a3 ? ? ? 0 a? ?

D. b ? a 3 ? b ? a 3 ?

1 ?0 a

8 ) 在四边形 ABCD 中, AC ? (1,2), BD ? (?4,2) ,则该四边形的面积为

5

A. 5

B. 2 5

C.5

D.10

二、填空题 9 . (2013 年高考四川卷(文) )如图,在平行四边形 ABCD 中,对角 线 AC 与 BD 交于点 O , AB ? AD ? ? AO ,则 ? ? _____________.

10. (在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点.
BE ? 1 , 则 AB 的长为______. 若 AC·

11.OA 为边, OB 为对角线的矩形中, OA ? (?3,1) , OB ? (?2, k ) ,则实 数 k ? ____________. 12. ( 2013 年高考山东卷(文) ) 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知
OA ? (?1, t ) , OB ? (2, 2) ,若 ?ABO ? 90o ,则实数 t 的值为______

13 . ( 2013 年高考浙江卷(文) ) 设 e1.e2 为单位向量 , 非零向量 b=xe1+ye2,x.y∈R..若 e1.e2 的夹角为 _______. 14 .若非零向量 a, b 满足 a ? 3 b ? a ? 2b , 则 a, b 夹角的余弦值为 _______. 16 . 已 知 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 2,E 为 CD 的 中 点 , 则
AE ? BD ? ________.
?
6

,则

|x| 的最大值等于 |b|

17 已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60 , c ? ta ? (1 ? t )b ,若 b ? c ? 0 , 则 t ? _____. 18 已 知 点 A(1, ?1) , B(3, 0) , C (2,1) . 若 平 面 区 域 D 由 所 有 满 足 的点 P 组成,则 D 的面积为 AP ? ? AB ? ? AC( 1 ? ? ? 2, 0 ? ? ? 1) __________. 19. (2011 安徽)已知向量 a,b 满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a |
6

=1,|b|=2,则 a 与 b 的夹角为________. 2π 20.(2011 江苏)已知 e1, e2 是夹角为 的两个单位向量, a=e1-2e2, 3 b=ke1+e2, 若 a·b=0,则实数 k 的值为________. 21.(2011 全国) (理)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为θ ,有下 2π ? ? 列四个命题:p1:|a+b|>1?θ ∈?0, ?;p2:|a+b|>1?θ ∈ 3 ? ? ?2π ? ,π ? ? ? 3 ? π? ? ?π ? p3:|a-b|>1?θ ∈?0, ?;p4:|a-b|>1?θ ∈? ,π ?. 3? ? ?3 ? 其中的真命题是( ) A.p1,p4 B.p1,p3 C.p2,p3 D.p2,p4 高考题 1.【2012 高考全国文 9】 ?ABC 中, AB 边的高为 CD ,若 CB ? a ,
CA ? b , a ? b ? 0 , | a |? 1 , | b |? 2 ,则 AD ?
1 1 (A) a ? b 3 3 4 4 a? b 5 5 2 2 (B) a ? b 3 3 3 3 (C) a ? b 5 5

(D)

2. 【 2012 高 考 重 庆 文 6 】 设 x ? R , 向 量 a ? ( x, 1),b ? (1, 且 ? 2),
a ? b ,则 | a ? b |?

(A) 5

(B) 10

(C) 2 5

(D) 10

3.【2012 高考浙江文 7】设 a,b 是两个非零向量。 A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ ,使得 b=λ a D.若存在实数λ ,使得 b=λ a,则|a+b|=|a|-|b| 4.【2012 高考四川文 7】设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中, 使

a b 成立的充分条件是( ? |a| |b|
7



A、| a |?| b | 且 a // b
a ? 2b

B、 a ? ?b

C、 a // b

D、

5.【2012 高考陕西文 7】设向量 a =(1. cos ? )与 b =(-1, 2 cos ? ) 垂直,则 cos 2? 等于 ( A
2 2

) B

1 2

C .0

D.-1 6.【2012 高考辽宁文 1】已知向量 a = (1,—1),b = (2,x).若 a ·b = 1,则 x = (A) —1 (B) —
1 2

(C)

1 2

(D)1

7.【2012 高考广东文 3】若向量 AB ? (1, 2) , BC ? (3, 4) ,则 AC ? A. (4, 6)
(2, 2)

B. (?4, ?6)

C. (?2, ?2)

D.

8.【2012 高考广东文 10】对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义

? ??

? ?? . 若两个非零的平面向量 a , b 满足 a 与 b 的夹角 ? ??

?n ? ?? ? ? ? ? ? , ? ,且 a b 和 b a 都在集合 ?   n ? Z  ? 中,则 a b ? ?4 2? ? ?2
A.
5 2

B.

3 2

C. 1

D.

1 2

9.【2102 高考福建文 3】已知向量 a=(x-1,2) ,b=(2,1) ,则 a⊥b 的充要条件是 1 A.x=B.x-1 C.x=5 D.x=0 2
8

10.【2012 高考天津文科 8】在△ABC 中,? A=90°,AB=1,设点 P, Q 满足 AP = ? AB , AQ =(1- ? ) AC , ? ? R。若 BQ ( A) 二、填空题 1. 【 2012 高 考 新 课 标 文 15 】 已 知 向 量 a, b 夹 角 为 45? , 且
a ? 1, 2a ? b ? 1 ;则 0 b ? _____
1 3
? CP

=-2,则 ? = (D)2

(B)

2 3

C)

4 3

2. 【2012 高考安徽文 11】 设向量 a ? (1,2m) ,b ? (m ? 1,1) ,c ? (2, m) , 若 (a ? c) ? b ,则 | a |? ______. 3.【2012 高考湖南文 15】如图 4,在平行四边形 ABCD 中 ,AP⊥ BD,垂足为 P, AP ? 3 则 AP AC = .

4.【2012 高考浙江文 15】在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3, BC=10,则 AB ? AC =________. 5.【2012 高考山东文 16】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位 圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0), 圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2, 1)时,OP 的坐标

为____. 6. 【2012 高考江西文 12】 设单位向量 m= (x, y) , b= (2, -1) 。 若 ,

9



=_______________

7. 【2012 高考江苏 9】 (5 分) 如图, 在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 , 点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若 AB AF ? 2 ,则 AE BF 的 值是 ▲ .

8.【2012 高考上海文 12】在矩形 ABCD 中,边 AB 、 AD 的长分别为 2、1,若 M 、 N 分别是边 BC 、 CD 上的点,且满足 则 AM ? AN 的取值范围是 9.【2012 高考湖北文 13】已知向量 a=(1,0) ,b=(1,1) ,则 (Ⅰ)与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为____________。 10【2102 高考北.京文 13】已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? CB 的值为________, DE ? DC 的最大值为 ______。

BM BC

?

CN CD



10


相关文章:
高一 平面向量讲义
高一 平面向量讲义_数学_高中教育_教育专区。平面向量讲义§ 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1.向量:既有___,又有___的量叫向量. 2.向量的几何表示:以...
高中数学平面向量讲义
高中数学平面向量讲义_数学_高中教育_教育专区。高中数学平面向量讲义平面向量(学生专用) 专题六 一. 基本知识 【1】 向量的基本概念与基本运算 (1)向量的基本概念...
平面向量复习讲义
平面向量复习讲义_数学_高中教育_教育专区。平面向量复习讲义一.向量有关概念: 1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线 段来...
平面向量讲义
平面向量讲义_数学_高中教育_教育专区。平面向量 1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示---...
平面向量讲义
平面向量讲义_数学_高中教育_教育专区。中小学 1 对 1 课外辅导 睿资教育学科讲义教师: 学生: 日期: 时段: 第一讲:向量的概念和基本运算【考纲解读】一、知识...
高三平面向量复习讲义
量的模: 有向线段三要素:起点、方向、大小 有向线段三要素 零向量——长度为 0 的向量向量向量与任一向量平行,与任一向量垂直 单位向量——长度等于一...
平面向量讲义
平面向量【思考引导】 一.提问题 1.什么是向量,向量如何表示? 2.向量的加法,减法,数乘,数量积如何运算,它们几何意义如何理解? 3.平面向量的基本定理内容是什么...
平面向量讲义
平面向量讲义 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 教学内容 平面向量一、向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念 定义:既有大小又有方向的量。 向量一般用 a,...
平面向量专题经典讲义
平面向量专题经典讲义_高三数学_数学_高中教育_教育专区。基本不等式及其应用 2 1.在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= 的图象交于 P...
更多相关标签:
空间向量讲义 | 向量讲义 | 基本平面图形 讲义 | 叶中豪平面几何讲义 | 初中平面几何讲义 | 平面构成讲义 | 平面镜成像讲义 | 平面直角坐标系讲义 |