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空间向量与垂直关系二一


空间向量与垂直关系 2014 年新田一中选修 2-1 课后作业(二十一)
班级 ___________ 姓名 ___________学号 ___________

1.若 a=(2,-1,0),b=(3,-4,7),且 (λa+b)⊥ a,则 λ 的值是( A.0 B.1 C .-2

). D.2

2.若平

面 α、β 的法向量分别为 a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),并且 α⊥β, 则 x 的值为 A.10 B.-10 C. 1 2 ( ). 1 2

D.-

3.两平面 α、β 的法向量分别为 u=(3,-1,z),v= (-2,-y,1),若 α⊥β, 则 y+z 的值是 A.-3 B.6 C .-6 ( ). D.-12

1 4.若 l 的方向向量为(2 ,1,m ) ,平面 α 的法向量为(1 , ,2),且 l⊥α,则 m = 2 ________. → ·n=0 的点 5.设 A 是空间任一点,n 为空间内任一非零向量,则适合条件AM M 的轨迹是________. 6.向量 a=(-1,2,-4),b=(2,-2,3)是平面 α 内的两个不共线的向量,直 线 l 的一个方向向量 m=(2,3,1),则 l 与 α 是否垂直?______(填“是”或 “否”). 7.已知点 A,B,C 的坐标分别为 (0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),点 P 的 → ,→ → ,则点 P 的坐标为________. 坐标为(x ,0,z),若→ PA⊥AB PA⊥AC 8.在正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中,P 为 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心, 求证:OB1 ⊥平面 PAC.

9.三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示,截面为 A1 B1 C1 , ∠BAC=90°,A1 A⊥平面 ABC.A1 A= 3 ,AB=AC=2A1 C1 =2,D 为 BC 中点. 证明:平面 A1 AD⊥平面 BCC1 B1 .

10.如图所示,矩形 ABCD 的边 AB=a, BC=2,PA⊥平面 ABCD,PA=2,现 有数据:a= 3 ;a=1;a=2;a= 3 ;a=4. 2

若在 BC 边上存在点 Q,使 PQ⊥ QD,则 a 可以取所给数据 中的哪些值?并说明理由.

1. 若直线 l 的方向向量 a=(1, 0, 2), 平面 α 的法向量为 u=(-2, 0, -4), 则 A.l∥α C.l?α 解析 答案 ∴u=-2a,∴a∥ u,∴l⊥α. B B.l⊥α D.l 与 α 斜交

(

).

2. 若 a=(2, - 1, 0) , b=(3, -4, 7), 且(λa+b)⊥ a, 则 λ 的值是 A.0 解析 B.1 C.-2 D.2

(

).

λa+b=λ(2,-1,0)+(3,-4,7)=(3+2λ,-4-λ,7)

∵(λa+b)⊥a ∴2(3+2λ)+4+λ=0,即 λ=-2. 答案 C

3.若平面 α、β 的法向量分别为 a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),并且 α⊥β,则 x 的值 为 A.10 解析 B.-10 1 C. 2 D.- 1 2 ( ).

因为 α⊥β,则它们的法向量也互相垂直,所以 a· b=(-1,2,4)· (x,-1,-2)

=0,解得 x=-10. 答案 B

1 4.若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 α 的法向量为(1, ,2),且 l⊥α,则 m=________. 2 解析 2 1 m 由 l⊥α 得, = = ,即 m=4. 1 1 2 2 4

答案

→ 5.设 A 是空间任一点,n 为空间内任一非零向量,则适合条件AM·n=0 的点 M 的轨迹是 ________. 解析 答案 → → → ∵AM·n=0,∴AM⊥n,或AM=0,∴M 点在过 A 且与 n 垂直的平面上. 过 A 且以 n 为法向量的平面

6.在正方体 ABCD-A 1 B1 C1 D1 中,P 为 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中心,求证:OB 1 ⊥平面 PAC. 证明 如图,建立空间直角坐标系,不妨设正方体棱长为 2,则

A (2,0,0),P (0,0,1),C(0,2,0), B 1 (2,2,2),O(1,1,0). → 于是OB 1=(1,1,2),

→ AC=(-2,2,0), → AP=(-2,0,1), → → 由于OB 1·AC=-2+2+0=0 → → 及OB 1·AP=-2+0+2=0. → → → → ∴OB 1⊥AC,OB 1⊥AP, ∴OB 1 ⊥AC,OB 1 ⊥AP. 又 AC∩AP =A ,∴OB1 ⊥平面 PAC.

综合提高(限时 25 分钟)
7.两平面 α、β 的法向量分别为 u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若 α⊥β,则 y+ z 的 值是 A.-3 解析 答案 B.6 C.-6 D.-12 ( ).

α⊥β?u·v=0?-6+y+z=0,即 y+z=6. B ( ).

8. 在正方体 ABCD—A 1B 1 C1 D1 中, 若 E 为 A 1 C1 的中点, 则直线 CE 垂直于 A.AC 解析 B.BD C.A 1 D D.A1 A

建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱

长为 1. 则 A (0,1,0),B (1,1,0),C(1,0,0),D(0,0,0), 1 1 A 1 (0,1,1),C1(1,0,1),E( , ,1), 2 2 1 1 → ∴CE =(- , ,1), 2 2 → → AC=(1,-1,0),BD=(-1,-1,0), → → A 1 D=(0,-1,-1),A 1 A=(0,0,-1) 1 1 → → ∵CE ·BD=(-1)×(- )+(-1)× +0×1=0, 2 2 ∴CE ⊥BD 答案 B

9.向量 a=(-1,2,-4),b=(2,-2,3)是平面 α 内的两个不共线的向量,直线 l 的一个 方向向量 m =(2,3,1),则 l 与 α 是否垂直?______(填“是”或“否”). 解析 m· a=(2,3,1)· (-1,2,-4)

=-2+6-4=0, m ·b=(2,3,1)· (2,-2,3)=4-6+3=1≠0.

∴l 与 α 不垂直. 答案 否

10.已知点 A ,B ,C 的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),点 P 的坐标为(x, → → → → 0,z),若PA⊥AB,PA⊥AC,则点 P 的坐标为________. 解析 → → → 因为AB=(-1,-1,1),AC=(2,0,1),PA=(-x,1,-z),

? ?x-1-z=0, → → → → 由PA·AB=0,PA·AC=0,得? ? -2x-z=0, ?

1 2 则 x= ,z=- , 3 3 1 2 所以 P ( ,0,- ). 3 3 答案 1 2 ( ,0,- ) 3 3

11. 三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如图所示, 截 面为 A 1 B1 C1 ,∠BAC=90°,A 1A ⊥平面 ABC. A1 A = 3,AB = AC=2A 1 C1 =2,D 为 BC 中点. 证明:平面 A 1AD⊥平面 BCC1B 1 . 证明 法一 如图,建立空间直角坐标系.则

A (0,0,0),B (2,0,0),C(0,2,0),A 1 (0,0, 3),C1 (0, 1, 3), ∵D 为 BC 的中点, ∴D 点坐标为(1,1,0), → → → ∴BC=(-2,2,0),AD=(1,1,0),AA 1=(0,0, 3), → → → → ∵BC·AD=-2+2+0=0,BC·AA 1=0+0+0=0, → → → → ∴BC⊥AD,BC⊥AA 1,∴BC⊥AD,BC⊥AA1 , 又 AD∩AA 1 =A ,∴BC⊥平面 ADA 1 , 而 BC?平面 BCC1 B 1 , ∴平面 A 1AD⊥平面 BCC1 B 1 . 法二 同法一,得

→ → AA 1=(0,0, 3),AD=(1,1,0), → → BC=(-2,2,0),CC1 =(0,-1, 3), 设平面 A 1AD 的法向量 n1 =(x1 ,y1 ,z1 ), 平面 BCC1 B 1 的法向量为 n2 =(x2 ,y2 ,z2 ).

→ ? AA 1=0, ?n 1 · ? 3z1 =0, 由? 得? → ?n1 ·AD ? =0, ?x1 +y1 =0. 令 y1 =-1 得 x1 =1,z1 =0, ∴n1 =(1,-1,0). → ? BC=0, ?n 2 · ?-2x2 +2y2 =0, 由? 得? → ? -y2 + 3z2 =0. ?n2 ·CC ? 1 =0, 令 y2 =1,得 x2 =1,z2 = ∴n2 =(1,1, 3 ). 3 3 , 3

∴n1 ·n2 =1-1+0=0,∴n1 ⊥n2. ∴平面 A 1AD⊥平面 BCC1 B 1 . 12. (创新拓展)如图所示, 矩形 ABCD 的边 AB =a, BC=2, PA ⊥ 平面 ABCD, PA =2, 现有数据: a= a=4. 若在 BC 边上存在点 Q,使 PQ⊥QD,则 a 可以取所给数据 中的哪些值?并说明理由. 解 建立如图所示的空间直角坐标系, 3 ; a=1; a=2; a= 3; 2

则 A (0,0,0),P (0,0,2),D(0,2,0). 设 Q(a,x,0)(BQ=x,0≤x≤2), → → 于是PQ=(a,x,-2),QD=(-a,2-x,0). 由 PQ⊥QD 得 → → PQ·QD=-a2 +x(2-x)-2×0=0, 即 x2 -2x+a2 =0,此方程有解,Δ≥0, ∴0<a≤1. 当 a= 3 3 1 时,方程的解为 x= 或 x= ,满足 0≤x≤2. 2 2 2

当 a=1 时,方程的解为 x=1,满足 0≤x≤2. 因此满足条件的 a 的取值为 a= 3 或 a=1. 2


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