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高一数学必修1新课标人教A版1.3.1(1)函数的单调性


1.3.1单调性与最大 (小)值(1) ------函数的单调性 一.引入课题 观察下列各个函数的图象,并说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律: y y y 1 1 1 -1 1 -1 x -1 1 -1 x -1 1 -1 x 问:随x的增大,y的值有什么变化? 画出下列函数的图象,观察其变化规律: 1.f(x) = x ① 从左至右图象上升还是下______? ②在区间 ____________ 上,随着x的增大, f(x)的值随着 ________ . 2.f(x) = -2x+1 ① 从左至右图象上升还是下降 ______? ②在区间 ____________ 上,随着x的增 大,f(x)的值随着 ________ . 3.f(x) = x 2 ①在区间 ____________ 上,f(x)的值随 着x的增大而 ________ . ② 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 着x的增大而 ________ . (一)函数单调性定义 二.新课教学 1.增函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定 义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 ,x 2 , 当x1 <x 2时,都有f(x1 )<f(x2 ),那么就说f(x)在区间 D上是增函数(increasing function). y y f ( x) f ( x) f ( x1 ) x1 图3 f ( x2 ) x2 f ( x1 ) x1 f ( x2 ) x2 x x 图4 思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义. 注意: ① 函数的单调性是在定义域内的某 个区间上的性质,是函数的局部性 质; ②必须是对于区间D内的任意两个 自变量x1,x2;当x1<x2时,总有 f(x1)<f(x2) . 2.单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减 函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间: 注意:⑴函数的单调区间是其定义域的子集; ⑵应是该区间内任意的两个实 数,忽略需要任意取值这个条 件,就不能保证函数是增函数 (或减函数),例如,图5中, 在那样的特定位置上,虽然使 得f( x1 )>f( x2 ),但显然此图象表 示的函数不是一个单调函数; y f ( x) f ( x1 ) x1 图5 f ( x2 ) x2 x ⑶几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图 象上升,则为增函数,图象下降则为减函数. 结论1:一次函数 y 单调区间: ? kx ? b(k ? 0)的单调性, 结论2:二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的单调性,单调区间: (二)典型例题 例1.如图6是定义在闭区间[-5,5]上的函 数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单 调区间,以及在每一单调区间上,函数 y=f(x)是增函数还是减函数. y f ( x) -2 -5 x 1 图6 3 5 注意:函数的单调性是对某个区间而言的, 对于单独的一点,由于它的函数值是唯一 确定的常数,因而没有增减变化,所以不 存在单调性问题;对于闭区间上的连续函 数来说,只要在开区间上单调,它在闭区 间上也就单调,因此,在考虑它的单调区 间时,包括不包括端点都可以; 例2.作出函数 y = x - 4| x|+ 3 2 的图象并指出它的的单调区间. k 例3.物理学中的玻意定律

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