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8.4圆(2)圆的一般方程


第八章

直线和圆的方程
圆的一般方程

8.4.2

圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 展开圆的标准方程:
x2 ? 2ax ? a2 ? y 2 ? 2by ? b2 ? r 2
x2 ? y 2 ? (?2a) x ? (?2b) y ? (a2 ? b2 ? r 2 ) ? 0

令D ? ?2a, E ? ?2b, F ? a2 ? b2 ? r 2 , 则

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

观察这个式子, 它有什么特点?
8.4.1 圆的一般方程

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
具有以下特点: 1.这是一个二元二次方程; 2.方程含x2项的系数与含y2的系数都是1; 3.方程不含xy项.

是否具有这样特点的 就一定是圆的方程呢?
8.4.1 圆的一般方程

是否具有这样特点的就一定是圆的方程呢?
判断下列方程是什么图形:

x2 ? y 2 -2x ? 4 y ? 1 ? 0 x2 ? y 2 -2x ? 4 y ? 5 ? 0 x2 ? y 2 -2x ? 4 y ? 6 ? 0

( x ?1)2 ? ( y+2)2 ? 4 ( x ?1)2 ? ( y+2)2 ? 0 ( x ?1)2 ? ( y+2)2 ? -1

圆 点

不是任何图形

8.4.1 圆的一般方程

将x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0配方整理有
D 2 E 2 D2 ? E 2 ? 4F (x+ ) ? ( y ? ) ? 2 2 4
1.当D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0时,方程是一个圆,圆心C坐标( ? D E , ? ), 2 2

D2 ? E 2 ? 4F 半径为 ; 2 D E 2.当D 2 ? E 2 ? 4 F =0时,方程表示点(- ,- ); 2 2
3.当D2 ? E 2 ? 4F ? 0时,不是任何图形.

8.4.1 圆的一般方程

方程
x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 (其中D2 ? E 2 ? 4F ? 0)

叫做 圆的一般方程 其中D、E、F均为常数.
与标准方程的关系: 1.一般方程是标准方程的展开式,标准方程是一般方程的配 方式.

D E D2 ? E 2 ? 4F 2.a ? ? , b ? ? , r = 2 2 2
8.4.1 圆的一般方程

判断以下是否为圆的方程,若是指出圆心坐标和半径

(1) x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心(1,-2)半径3 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 (5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是

(2) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心(3,-1)半径 10 (4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是

8.4.1 圆的一般方程

已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3), 半径为4,求D、E、F. 由题意有:
a?? D E ? ?2, b ? ? ? 3 2 2

D2 ? E 2 ? 4F r? ?4 2

D ? 4, E ? ?6, F ? ?3

8.4.1 圆的一般方程

过点M(-1,1),并与已知圆x2+y2-4x+6y-3=0同心 的圆的方程.

圆x2+y2-4x+6y-3=0的圆心是(2, ?3)
故所求圆的圆心为 (2, ?3) 所求圆过M(-1,1),则所求圆的半径为
2 2 r ? (2 ?1 ) ? (-3 ?1 ) ?5

所以所求圆的方程为

( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25.
8.4.1 圆的一般方程

方程 x

2

? y ? ax ? 2ay ? 2a ? a ?1 ? 0 表示的
2 2

图形是一个圆,求a的取值范围. D=a,F=2a,E=2a2+a-1 ∵方程表示的图形是圆 ∴ a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0

整理得

3 a2 +4a-4<0

2 解得 ?2 ? a ? 3

8.4.1 圆的一般方程

1.x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程,则a满足的条件是 2.求下列各圆的一般方程 (1)过点A(5,1),圆心在点C(8,-3)

a?

1 2

.

x ? y ?16x ? 6 y ? 48 ? 0.
2 2

(2)圆的直径的两个端点坐标为A(-1,2),B(3,4).

( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 5

x ? y ? 2x ? 6 y ? 5 ? 0
2 2

8.4.1 圆的一般方程

3. 已知圆x2+y2-Dx-Ey-F=0的半径是4且与过点M(-1,1)的 圆x2+y2-4x+6y+F1=0是同心圆,求D、E、F、F1的值.

D ? 4, E ? ?6, F ? 3, F1 ? ?12

8.4.1 圆的一般方程

1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 2 ? ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? 2 2 D ? E ? 4F ? 0 ? ?

2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系 配方 ?? ?? 一般方程 标准方程(圆心,半径) ?? ? ? 展开 3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
8.4.1 圆的标准方程

第72页 习题8.4 第3题,第7题.

8.4.1 圆的标准方程


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