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2012年全国高中数学联赛各省预赛试题分类汇编5——数列


2012 年高中数学联赛各省预赛试题分类汇编 5——数列
一、选择题 1.(天津)数列{an}的前 n 项和 Sn=n2?2n,则 a3+a17 =( (A) 36 (B) 35 (C) 34 ) (D) 33

1 1 x? y ? , 2.(辽宁) 定义在(0,1)上的函数 f(x),对任意的 1<x<y< + ∞ 有 f ?

?? f ? ?= f ? x y 1? xy 1 ? ( n ∈ N ) ,则 a1 ?a2???a8 = ( ) 记 a n= f ? 2 n ?5 n?5 1 1 1 1 (A) f ? ? (B) f ? ? (C) f ? ? (D) f ? ? 2 3 4 5

3.(吉林)等差数列{an}中 a1>0 且 5a8=8a13,则前 n 项和 Sn 取得最大值时,n 的值为( (A) 20 (B) 21 (C) 22 (D) 23



4.(四川)设正三角形?1 的面积为 S1,作?1 的内切圆,再作内切圆的内接正三角形, 设为?2,面积为 S2,如此下去作一系列的正三角形?3,?4,...,其面积为 S3,S4,..., 设 S1=1,Tn=S1+S2+...+Sn,则 lim T n =( )
n ? ?∞

(A)

6 5

(B)

4 3

(C)

3 2

(D)

2

5.(黑龙江)数列{an}满足 a 1=1 , a 2= 则数列{an}的第 2012 项为( ) 1 1 (A) (B) 2010 2011

1 ,且 a n ? a n?1?a n?1 ?=2 an ?1?a n?1 ? n ≥2 ? , 2 (C) 1 2012 (D) 1 2013

6.(湖南)数列{an}共有 11 项, a 1=0 , a11= 4 ,且 ∣ak ?1 ?a k =1 , k =1,2,3,? , 10∣ , 满足这些条件的不同的数列的个数为( ) (A) 100 (B) 120 (C) 140 (D) 160 二、填空题
n ?∞

1.(天津)极限 lim 1?

? ?? ? ? ?
1 1 1 1? 2 ? 1? 2 2 2 3 n

=

an 当 an 为偶数时 2.(河北高二)已知数列{an}满足:a1=m (m 为正整数), a n= , 2 3 an ?1 当 an 为奇数时 若 a4=7,则 m 的所有可能的取值为 3.(河北高三)已知正项等比数列{an}满足: a 7= a6 ?2 a 5 ,若存在两项 am、an 1 4 ? 的最小值为 使得 ? a m?a n= 4 a 1 ,则 m n

{

4.(山西) a 1 , a 2, a 3, ? 是一个等差数列,其中 a 1?0 ,Sn 表示其前 n 项和,且 S3=S11, 若在 S1,S2,S3, ? 中最大数为 Sk,则 k?= 5.(辽宁)

?

1?

1 1 1 1? ? 1? 1? 2 1? 2? 3 1 ?2 ?3???2012

??

??

?

=

6.(吉林)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,令 T n= 若数列 a 1 , a 2, ? , a 100

S 1?S 2 ??? S n ,称 tn 为数列的“均数”。 n 的“均数”为 2012,则数列 ?1, a1 , a 2, ? , a 100 的“均数”为 1 1 1 , a 201 = , a 2012 = ,则 1992ac-1811bc-181ab = a b c ? n ?1 ? a n 2n
n∈N
*

7.(山东)等差数列{an}中 a 20=

8.(福建)已知数列{an}中, a 1=1 , a n?1= 则数列{an}的前 n 项和为

,

9.(江西)将各位数字之和为 5 的正整数安自小到达的顺序排成一个数列, 则 2012 是其中第 项。 10.(河南)各项均为正数的等比数列{an}中, 2 a4 ?a 3?2a 2 ?a 1=8 , 则 2 a8? a7 的最小值为

11.(湖北)已知数列{an}满足:a1 为正整数, a n?1= 若 a 1? a2 ?a 3=29 ,则 a 1 =

{

an , a n 为偶数 , 2 3 a n?1 , a n 为奇数

12.(四川)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S n=

? an ?1 ?2 ,则 S20= 4

13.(江苏)在等差数列{an}中,Sn 为前 n 项之和,若 S 4≤ 4 , S 5≥15 , 则 a4 的最小值为 14.(贵州)记 S ? n ? 表示非负正数 n 的各个数位上的数字之和, 如 S ?1997 ?=1? 9? 9? 7=26 ,则 S ?1 ?? S ? 2 ????S ? 2012 ? = 15.(浙江)设{an}为等比数列,且每项都大于 1, 2011 1 则 lg a1 lga 2012 ∑ 的值为 i = 1 lg a i lga i? 1 三、解答题 1.(天津)电脑每秒以相同的概率输出数字 1 或 2,将输出的前 n 个数字之和被 3 整除的概率 1 1 记为 Pn,证明:(1) Pn ?1 = ? 1? P n? ;(2) P2012 ? 。 2 3

2.(河北高二)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:, (1)求数列{an}的通项公式 a n?1 n 为奇数 (2)求数列 c n= 的前 2n 项和 Tn。 3?2 a n 为偶数

{

n? 1

1 3 3.(河北高三)已知数列{an}满足: a 1= , a2 = , a n?1= 2 a n? a n? 1 ? n ≥2 ? , 4 4 1 数列{bn}满足: b 1≠ , 3 b n? bn ?1 =n ? n ≥ 2 ? ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn 4 (1)证明:数列{an?– bn}为等比数列; 11 (2)若 b 1= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn。 12

4.(辽宁)设递增数列{an}满足 a 1=1 , 4a n?1= 5 a n?? 9 a 2 n ?16 ? n ≥1, n ∈ N ? (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 1 ? ? ??? ? 2 (2)证明: a1 a 2 a3 an

5.(吉林)设数列{an}满足: a 1=1 , a2 =2, a3 =3, a 4= 4, a5= 5 ;当 n ≥5 时, 2 2 a n?1= a1 a 2 ? an ?1 ,问:存在几个正整数 m,使得 a 1 a2 ? a m= a1 ? a2 2??? a m

6.(吉林)已知数列{an}的通项公式 an=2012+3n,求所有的正整数 n,使得数列{an} 的前 n 项能分成两部分,这两部分的和相等。

2 2 7.(山东)给定的正整数 n,对于满足 a 1? a n?1≤ 2n ? 1

2 的等差数列{an}, 5

试证明:

i= n? 1



ai ≤ n ? 1

8.(福建)已知数列{an}为等差数列,且 a 2= 5 , a 8=23 ;数列{bn}是各项均为正数的等 比数列, b 1=2 ,且对任意正整数 s、t 都有 b s?t =b s?bt 成立。 (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求证:数列{bn}中有无数多项在数列{an}中。

9.(江西)数列{an}的定义如下:a1=1,对于每个 n ∈ N , a 4n ?1 , a4n ?2 , a 4n?3 构成等差数列, 1 其公差为 2,而 a 4n?3 , a4n? 4 , a 4n?5 构成等比数列,其公比为 , 2 证明:{an}为有界数列,并求出其最小上界。

10.(河南)数列{xn}中, x 1=1 ,且 x n ?1 =1? (1)设 a n=

1 。 x n? 1

1 ,求数列{an}的通项公式; x n? ? 2

?2 . (2)设 b n=∣x n ?? 2∣ ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,证明: S n? 2

11.(湖北)已知数列{an}满足 ? a n a n?1? an an ?2= 4 ? a n a n?1?a 2 n? 1 ? 3 ? an a n ? 1 且 a 1=1 , a 2=8 ,求数列{an}的通项公式。

n 2 12.(四川)设函数 f n ? x ?= x ? 1? x ? 在

(1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:对任何正整数 n,都有 a n≤

[ ]
1 ,1 2

上的最大值为 a n ? n =1,2,3, ??

1 成立; ? n ?2 ?2 7 成立。 16

(3)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求证:对任意的正整数 n,都有 S n?

13.(陕西)已知数列{an}满足 a 1= (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b n=1 ? 不等式

1 * , a n= 2 a n a n ? 1? 3 a n? 1 ? n ∈ N ? 。 2

1 ? n ∈ N * ? ,且对任意正整数 n ? n ≥2 ? , an

∑ n ?log
k =1

n

1

3

bk

?

m 恒成立,求整数 m 的最大值。 24 a n ? 1 ? an ? 1 =n ,且 a ?2 = 6 , a n ? 1 ? an ? 1

14.(甘肃)已知数列{an}满足

(1)求数列{an}的通项公式; bn a (2)设 b n= n ? n ∈ N * ? ,c 为非零常数,若数列{bn}成等差数列,记 c n= n , n? c 2 S n=c 1?c 2 ???c n ,求 Sn。

15.(黑龙江)已知函数 f ? x ?=

1 2 x ?3 , n∈ N * . ,数列{an}满足 a 1=1 , a n?1= f an 3x

? ?

(1)求数列{an}的通项公式; (2)令 T n= a1 a 2? a 2 a3? a3 a 4? a 4 a5 ???a 2 n a2 n?1 ,求 Tn。

16.(江苏)数列{xn}定义为 x 1=3 , x n?1=[ ? 2 x n ] ? n ∈ N * ? ,求所有的 n, 使得 x n , x n ?1 , x n?2 成等差数列。(这里[x]表示不超过实数 x 的最大整数)

17.(贵州)设数列{an}满足 a 1=3 , a 2=8 , a n?2= 2 a n?1?2 a n , n ∈ N * , 求数列{an}的通项公式。

18.(安徽)设无穷数列{an}满足 a 1=1 , a n= an ?1 ?

1 an ?1

? n ≥2 ? ,证明:

(1)当 n ≥2 时, a n≥ ? 2n ; (2)不存在实数 c , 使得 a n? ? 2 n ?c 对所有 n 都成立。

19.(湖南)设{an}是正项递增的等差数列,求证: a l ? 1 al a l ? 1 ? ? (1)对任意的 k, l ∈ N * ,当 l ?k ≥2 时, ; a k ?1 ak a k ?1 (2)对任意的 k ∈ N * ,当 k ≥2 时,

?
k

a 2013 k ?1 a k ?2 a2 k ?2 a3 k ? 2 a 2012 k ?2 k a 2012k? 2 。 ? ? ? ? ? a k ?1 a k ?1 a 2 k ?1 a3 k ?1 a2012 k ?1 a2

?

2 20.(新疆)给定 n n ≥2 个一元二次方程 x ?a i x ?b i=0 , i =1,2, ? , n ,其中 2n 个实数 a 1 , a 2, ? , a n , b 1 , b 2, ? , b n 互不相同,试问:是否可能 a 1 , a 2, ? , a n , b 1 , b 2, ? , b n 中的 每个数都是其中某个一元二次方程的根?

21.(全国)已知数列{an}的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n, 2 3 3 3 都有 ? a 1?a 2???a n ? = a1? a2 ??? an , (1)当 n ≥2 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a 1 , a 2 , a 3 ; (2)是否存在满足条件的无穷数列{an},使得 a 2013 =?2012 ? 若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,请说明理由。


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