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[原创]高中数学总复习经典易错题会诊与试题预测5


考点 5:三角函数
13 假设 A 型进口车关税率在 20 典型例题)函数 y=|sinx|cosx-1 的最小正周期与最大值的和 为 [考场错解] 填? ?
1 2

?1 ? 2 sin 2 x ? 1, (sin x ? 0). ∵函数 y= ? ? ?? 1 sin x ? 1, (sin x ? 0). ? 2 ?

r />∴函数的最小正周期为 T=

2? 1 ? ? .最大值为2 2 1 2

∴最小正周期与最大值的和是 ? ? . [专家把脉]上面解答错在最小正周期的计算,应结合其图象考虑. 对症下荮填 2? ?
1 2

?1 ? 2 sin 2 x ? 1, ( 2k? ? 2k? ? ? ) ∵ y= ? 作出其图 ? ?? 1 sin 2 ? 1, ( 2k? ? ? ? x ? 2k? ) ? 2 ?

像知原函数的最小正周其为 2π ,最大值为- .故最小正周期和最大值之和为 2π - . 2. (典型例题)函数 f(x)=sinx+2|sinx|,x∈(0,2π )的图像与直线 y=k 有且仅有两个不同 的交点,则众的 取值范围是 . [考场错解] 填[0,3] ∵f(x)= ?
?3sin x, x ? [0,? ] ?? sin x, x ? (? ,2? ]

1 2

1 2

∴f(x)的值域为(0,3),∵f(x)与 y=k 有交点, ∴k∈[0,3]. [专家把脉] 上面解答求出 k 的范围只能保证 y= f(x)的图像与 y=k 有交点,但不能保证 y=f(x)的图像与 y=k 有两个交点,如 k=1,两图像有三个交点.因此,正确的解答要作出了 y=f(x)的图像,运用数形结合的思想求解. [对症下药] 填(1,3) ∵f(x) ?
?3sin x, x ? (0,? ] ?? sin? x, x ? (? ,2? ]

作出其图像如图

从图 5-1 中可看出:当 1<k<3 时,直线 y=k 与 yf(x)有两个交点. 3.(典型例题)要得到函数 y= 2 cosx 的图像,只需将函数 y= 2 sin(2x+ 有的点的 ( )
? 1 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 8 2 ? )的图像上所 4

A.横坐标缩短到原来的

个单位长度

-1-

B.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 [考场错解] B 或 D ∵将函数 y= 2 sin(2x+

1 2

? 个单位长度 4 ? 个单位长度 4 ? 个单位长度 8

? ? 1 )的所有点的横坐标缩短到原来的 倍, 得函数 y= 2 sin(x+ ) 4 4 2 ? )= 2 cosx 的图像. 2

的图像,再向右平行移动子个单位长度后得函数 y= 2 sin(x+ 故选 B. 将函数 y= 2 sin(2x+

? ? )变形为 y= 2 sin2(x+ ). 若将其图像横坐标伸长到原来的 2 倍 4 4 ? ? ) 的图像.再向右平行移动 8 8

( 纵坐标不变 ) 后得函数 y= 2 sin(x+ y= 2 cosx 的图像,选 D.

个单位长度后得

[专家把脉] 选 B 有两处错误, 一是若将函数 y f(x)= 2 sin(2x+ 倍,(纵坐标标不变)所得函数 y=f(x)= sin(4x+ 数 y=f(x)= 2 sin(x+

? 1 )横坐标缩短到原来的 4 2

? ? ),而不是 f(x)= 2 sin(x+ ),二是将函 4 4

? ? )向右平行移动 得函数 y=f(x)= 2 sinx 的图像,而不是 y= 4 4 ? 选 D 同样是 4

f(x)= 2 cosx 的图像.因为函数图像变换是针对自变量而言,应该是 x 变为 x-

两处错误.一是横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变)得函数 y= 2 sin(x+
1 8

? ? ? )而不是 y= 2 sin(x+ ).由 y= 2 sin(x+ )的图像 4 4 8

向右平移 个单位长度得了 y= 2 sinx 的图像,而不是 y= 2 cosx 的图像. [对症下药] 选 C 将函数 y= 2 sin(2x+ ( 纵坐标不变 ) ,得函数 y= 2 sin(x+ y= 2 sin(x+
? )图像上所有的点的横坐标伸长到原来的 2 倍 4

? ) 的图像;再向左平行移动子个单位长度后便得 4

? ? + )= 2 cosx 的图像.故选 C. 4 4 ? . 8

4. (典型例题Ⅰ)设函数 f(x)=sin(2x+ ? )(-π < ? <0), y=f(x)图像的一条对称轴是直线 x= (1)求 ? ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间; (3)画出函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图像. [考场错解] (1)∵x=
? ? ? ? 是函数 y=f(x)的图像的对称轴,∴sin(2? + ? )=±1,∴ + ? =kπ + k 8 8 4 2

-2-

Z.∴ ? =kπ +

? 3 ,∵-π < ? <0,∴ ? =- π . 4 4
3 4 3 4

(2)由(1)知 ? = π ,因此 y=sin(2?- π ). ∵最小正周期为 T= kπ 2? =π .由题意得 4

? 3? ? ≤2x≤kπ + ,k∈Z. 2 4 2 ? 1 5 ≤x≤ kπ +π ,k∈Z. 8 2 8
3
1

解得 kπ +

? 所以函数 y=sin(2x- ? )的单调查递增区间为 ? ? 2 k? ? 8 , 2 k? ? 8 ? ?, k ? Z . 4 5 ? ?

? 1

[专家把脉] 因若把 2 x ?

3 ? ?? 以上解答错在第 (2) 小题求函数单调区间时, 令 2x ? ? ? ? ?k? ? , k? ? ? 处, 4 ? 2 2?

? ?? 3? 3? ? 看成一个整体 u, 则 y=sinu 的周期为 2π 。 故应令 2 x ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ?, k ? Z . 4 4 , ? ?

解得的 x 范围才是原函数的递增区间. [对症下药](1)解法 1 ∴
?
4 ? ? ? k? ?

∵x?
?
4

?
8

是函数 y=f(x)的图像的对称轴,∴sin(2×

? + ? )=±1。 8

?
2

, k ? Z ,?? ? k? ?

3 ,? ?? ? ? ? 0,? k ? ?1时,? ? ? ? . 4

解法 2 ∵x= f(0)=f(

? ? 是 y=f(x)图象的对称轴,∴对任意的 x 有 f(x)=f( -x).令 x=0 时,有 8 4

? ? 3 ).即 sin ? =sin( + ? )=cos ? .即 tan ? =1.又 ? ? (?? ,0). ?? ? ? ? . 4 2 4
3 3

(2)由(1)得 ? ? ? 4 ? ,因此, y ? sin(2 x ? 4 ? ). 由题意得
3? ? ? 2k? ? , k ? Z . 4 2 ? 5 解得k? ? ? x ? k? ? ? , k ? Z . 8 8 3 ? 5 ? ? ? 函数y ? sin(2 x ? ? )的单调递增区间的 ?k? ? 8 , k? ? 8 ? ?, k ? Z . 4 ? ? 2k? ? 2 ? 2x ?

?

(3)由 y ? sin(2x ? x y

3? )知 4

0
? 2 2

? 8

3? 8

5? 8

7? 8

π
?

-1

0

1

0

2 2

故函数 y=f(x)在区间[0,π ]上图像是 5.(典型例题)求函数 y ? sin4 x ? 2 3 sin x cos x ? cos4 x 的最小正周期和最小值;并写出该函 数在[0,π ]上的单调递增区间. [考场错解]
? y ? sin4 x ? cos4 x ? 2 3 sin x cos x

-3-

? (sin2 x ? cos 2 x)(sin 2 x ? cos 2 x) ? 3 sin 2 x ? ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin(2 x ? 故该函数的最小正周期 T ?

?
6

).

2? ? ?. 2

当 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

.k ? Z ,即x ? k? ?

?
6

时,函数 y 有最小值-2.

?? 当 x?? ?0, ? 时,函数单调递增.
? 2?

?? ∴函数递增区间是 ? ?0, ? .
? 2?

[专家把脉] 上面解答错在求函数的递增区间上, ∵当 x∈[0, ]时, 2xπ )函数不为单调函数.应先求出函数 y=2sin(2x[0,π ]的交集.

? 6

? ? 5 (- , 6 6 6

? )在 R 上的单调递增区间,再求它与区间 6

[对症下药] ∵函数 y=sin x+ 3 sinxcosx-cos x =(sin2x-cos x)(sin x+cos x)+ = 3 sin2x-cos2x=2sin(2x当 2x? ).故该函数的最小正周期是π . 6

4

4

2

2

2

2 sin2x

? ? ? =2kπ - 时,即 x=kπ - 时,y 有最小值 6 2 6 ? ? ? ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z. 6 2 2

2.令 2kπ 解得 kπ -

? ? ≤x≤kπ + ,k∈Z. 6 6 ? ? ? 5 3 ≤x≤ .又∵0≤x≤π ,∴0≤x≤ , K=1 时, π ≤x≤ π 6 3 3 6 4

令 K=0 时,5 6

又∵0≤x

≤π .∴ π ≤x≤π . ∴函数 y=2sin(2x? ? 5 )的递增区间是[0, ] [ π ,π ]. 6 3 6

专家会诊 利用三角函数图像研究三角函数性质(周期性、单调性、最值),应以基本的三角函数图像 y= sinx , y=cosx , y=tanx 为基础,在研究单调性要注意复合函数 ( 如 y=1-sin(x+ y=sin(
? -2x), y=log 6 ? ), 6

sin(2x+

? ? ))的单调性,在解决这类问题时,不能简单地把,x+ , 4 6

? ? -2x,2x+ ,看作一个整体,还应考虑函数的定义域等问题. 6 4

y=Asin(ω x+ ? )与 y=sinx 图像间的关系:由 y=sinx 图像可以先平移后伸缩,也可先伸缩 后平专家会诊移.要注意顺序不同,平移单位也不同. 一般地,y=Asib(ω x+ ? )的图象向左平移 a 个单位得到 y=Asin[ω (x+a)+ ? ] 的图象,再

-4-

把其上所有点的横坐标变为原来的 考场思维训练 1 已知函数 y=tan 在(A.0<ω ≤1

1 ,即得到 y=Asin[ω w1+ω a+ ? ]的图像. w

? ? , )内是减函数,则 2 2

(

)

B.-1≤ω <0

C.ω ≥1
? ?
2 2

D. ω ≤-1

答案:D 解析∵函数 y=tan ω x 在(- , )内是减函数,∴w<0,又∵函数 y=tan(-wx)在
? ? ? ? ? ? ? 2 2w ( ,? )上是增函数,∴有 ? ? w ? ?1. 2w 2w ?? ? ? ? ? 2w ?2

?

?

2 函数 f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期为 A.
? 4

(

)

B.

? 2

C.π

D.2π
? ? )|.∵y=sin(x+ ) 4 4 ? )|的最小正周期为π . 4

答案: C 解析:∵f(x)= 2 |sin(x+

的最小正周期为 2π ,∴f(x)= 2 |sin(x+ 3 A.2 当 0<x<

1 ? cos 2 x ? 8 sin2 x ? 时,函数 f(x)= 的最小值为 xin2 x 2

(

)

B.2 3

C.4

D. 4 3
2 cos 2 x ? 8 sin2 x ? cotx+4tanx 2 sin x cos x

答案: C 解析:∵f(x)= ∵0<x<
? ,∴tan 2

x >0,cot

x>0,∴f(x)≥ cot x ? 4 tan x ? 4

4 化简 f(x)=cos(

6k ? 1 6k ? 1 ? π -2x)+ 2 3 sin( ? 2 x) (x∈R, k∈Z)求函数 f(x) ? ? 2x +2x)+cos( 3 3 3

的值域和最小正周期. 答 ? 3






3

析 sin(
? 3





f(x)=cos(2k
? 3

π
3

+ sin(

? 3 ? 3

+2x)+cos(2k +2x)=4sin(
? 6

π +

-2x)+2

+2x)=2cos(

+2x)+2

? ? +2x)=4sin( +x)=4cos2x. 3 2

∴f(x)的值域为[-4,4];最小正周期为 T: 命题角度 2 三角函数的恒等变形 1.(典型例题Ⅱ)设α 为第四象限的角,若 [考场错解] 填±

2? =π . 2

sin 3? 13 ,则 tan2α = ? sin? 5

.

3 sin 3? sin(? ? 2? ) sin? cos? ? cos? ? sin 2? 13 ∵ ? ? ? cos 2? ? 2 cos2 ? ? 4 sin? sin? sin? 5

-5-


3 ? 8 4 4 2 3 sin 2? 3 2 5 2 cos 2? ? ,? cos f 2? ? ,? sin 2? ? ? 1 ? co 2? ? ? 1 ? ( ) ? ? . ? tan 2? ? ? ? tan 2? ? ? . 4 5 5 5 5 cos 2? 4 5

[专家把脉]

上面解答错在由 cos2α = 得 sin2α =± 时没有考虑角α 是第四象限角. 2α 是

4 5

3 5

第三、四象限角 sin2α 只能取负值.因而 tan2α 也只能为负值. [ 对症下药 ] +1= 填3 sin 3? sin(? ? 2? ) sin? cos 2? ? cos? sin 2? 2 =cos2 α +2cos α =2cos2 α ? ? ? 4 sin? sin? sin?

13 3? 4 ∴cos2α = .又∵α 为第四象限角,即 2kπ + <α < 2kπ +2π ,k∈Z,∴4kπ +3π 5 2 5

<2 α <4k π +4 π , k ∈ Z
2



2 α 为 第 三 、 四 象 限 角 . ∴ sin2 α

3 ? 4 2 3 sin 2? 3 5 =- cos 2? ? ? 1 ? ( ) ? ? . ? tan 2? ? ? ?? . 4 5 5 cos 2? 4 5

2.(典型例题)已知-

? 1 <x<0,sinx+cosx= , 2 5

(1)求 sinx-cosx 的值; (2)求
3 sin2 x x x ? 2 sin ? cos 2 2 2 2 的值. tan x ? cot x

[考场错解] 2sinxcosx=又∵-

(1) 由 sinx+cosx=

1 1 2 2 , 平 方 得 sin x+ 2sinxcosx+cos2x=( ) , 即 5 5

24 49 2 .∵(sinx- cosx) =1-2sinx?cosx= . 25 25

? <x<0,∴sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0. 2
7 5

∴sinx-cosx=3 sin2

(2)

x x x x x ? 2 sin cos ? cos 2 2 sin2 ? sin x ? 1 1 ? cos x ? sin x ? 1 2 2 2 2 ? 2 =cosx ? sinx(2+cosx-sinx)= ? sin x cos x tan x ? cot x sin2 x ? cos 2 x ? cos x sin x cos x ? sin x

(?

12 7 204 )(2 ? ) ? ? . 25 5 125

[专家把脉]
2 sin2

以上解答在利用三角恒等变形化简时出现了错误.即由

x ? sin x ? 1 2 =sinxcosx(2-sinx -cosx)变形时认为 2sin2 sin x cos x ? cos x sin x

=1+cosx,用错了公式,因为

2sin2 =1-cosx.因此原式化简结果是错误的.

-6-

[对症下药] 2sinxcosx=24 . 25

解法 1

(1) 由 sinx+cosx=

1 1 2 2 , 平 方 得 sin x+2sinxcosx+cos x= 即 25 5

∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+ 又∵(2)
3 sin2

24 49 . ? 25 25

? 7 <x<0,∴sinx<0,∴cosx>0,sinx-cosx<0.∴sinx-cosx= . 2 5

x x x x ? 2 sin cos ? cos 2 2 2 2 2 2 ? 2 sin ? sin x ? 1 ? 1 ? cos x ? sin x ? 1 ? sin x ? cos x(2 ? cos x ? sin x) ? (? 12 )( 2 ? 1 ) ? 108 sin x cos x tan x ? cot x 25 5 125 sin2 x ? cos 2 ? cos x sin x sin x ? cos x

解法 2

1 ? 2 2 ?sin x ? cos x ? 5 ① (1)联立方程 ? ?sin2 x ? cos2 x ? 1 ② ?

由①得 slnx= -cosx,将其代入②,整理得 25cos x- 5cosx-12=0,∴cosx=- 或(cosx= )
3 ? sin x ? ? 7 5 故 sinx-cosx=4 5 cos x ? ? 5 ?

1 5

2

3 5

4 5

? ? ∵<x<0,∴ ? ? 2 ?

(

2

)

3 sin2

x x x x x ? 2 sin cos ? cos 2 2 sin2 ? sin x ? 1 2 2 2 2 ? 2 sin x cos x tan x ? cot x ? cos x sin x

=sinxcosx(2-cosx-sinx)=

3 4 4 3 108 (? ) ? (2 ? ? ) ? ? . 5 5 5 5 125

3.(典型例题)已知 6sin α +sinα cosα -2cos α =0,α ∈[ [ 考场错解 ] -cosα =0.
2 3

2

2

? ? ,π ].求 sin(2α + )的值. 2 3

由已知得 (3sin α +2cos α )(2sin α -cos α )=0 ? 3sin α +2cos α =0 或 2sin α
1 2

∴tanα =- 或 tanα = 又∵sin(2α + =sinα cosα +
sin? cos?
2 2 = sin ? ? cos ?

? ? ? )=sin2α cos +cos2α ?sin 3 3 3
3 2 2 (cos α -sin α ) 2
? 3 cos 2 ? ? sin2 ? 2 sin2 ? ? cos 2 ?

3 1 ? tan 2 ? ? ? ? . 2 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? tan ?

?

-7-

2 2 (? ) 1 ? (? ) 2 3 ? 2 3 3 ?? 6 ? 5 3 将 tanα =- 代入上式得 sin(2α + )= ? 2 2 2 2 13 26 3 3 1 ? (? ) 1 ? (? ) 2 3 3 1 1 1 ? ( )2 ? 3 1 2 ? 4?3 3 将 tanα = 时代入上式得 sin(2? ? ) ? 2 ? 1 2 1 2 3 2 10 2 1? ( ) 1? ( ) 2 2

即 sin(2? ? ) ? ?
3

?

6 5 4?3 3 ? 3或 13 26 10

[专家把脉]
1 2

上述解答忽视了题设条件提供的角的范围的运用,∵α ∈(

? ,π ),tanα <0, 2

∴tanα = 应舍去,因此原题只有一解. [对症下药] 解法 1 2sinα -cpsα =0.
2

由已知得(3sinα +2cosα ) (2sinα -cosα )=0 ? 3sinα +2sinα =0 或
? ? ,即α ∈( ,π ). 2 2

由已知条件可知 cosα ≠0,所以α ≠ 于是 tanα <0,tanα = sin(2α +
2 3

? ? ? )=sin2α cos +cos2α ?sin 3 3 3
? sin? ? cos? ? ? ? sin? cos? sin2 ? ? cos 2 ? tan ? 1 ? tan 2 ? ? 3 (cos 2 ? ? sin2 ? ) 2 ? 3 cos 2 ? ? sin2 ? ? 2 cos 2 ? ? sin2 ?

3 1 ? tan 2 ? 2 1 ? tan 2 ?

2 2 (? ) 1 ? ( )2 3 6 5 ? 2 3 3 将 tanα =- 代入上式得 sin(2α + )= ? ? ? 3 2 2 2 2 13 26 2 3 3 1 ? (? ) 1 ? (? ) 3 3

解法 2 由已知条件可知 cosα ≠0,则 a≠ 即(3tanα +2)(2tanα -1)=0. 又∵α ∈(
? ,π )∴tanα <0 2
2 3

? 2 ,所以原式可化为 6tan α +tanα -2=0. 2

∴tanα =- ,下同解法 1. 4.(典型例题)若函数 f(x)=
1 ? cos 2 x 4 sin( ? a sin x ? cos(π 2 2

?
2

)的最大值为 2,试确定常数 a 的值.

? x)

-8-

[考场错解]

∵f(x)

?

2 sin2 x 1 ? a sin x 4 sin x 2

= ( ? a) sin x ∵sinx 的最大值为 1,∴ ? a ? 2 . ∴a=3 [专家把脉] 上面解答在三角恒等变形中, 用错了两个公式: ①1+cos2x≠2sin x; ②sin(
2 2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

? +x) 2

≠sinx 因为 cos2x=1-2sin x=2cos x-1. ∴1+cos2x=2cos x.由诱导公式“奇变偶不变”知 sin( [ 对症下药 ]
s i n? ? 1 1 ? a2
2

? +x)=cosx. 2
1 a2 ? sin(x ? y) 其中角 ? 满足 4 4

∵ f(x)=
1 4

2 cos 2 x x x 1 1 ? a sin cos ? cos x ? a sin x ? 4 cos x 2 2 2 2

由已知有 ?

a2 =4,解之得,a= ? 15 4

专家会诊 由于三角函数式中包含着各种角,不同的三角函数的种类,以及不同的式了结构,所以三角 函数配凑、降次与升幂、引入辅助角等.同时在三角恒等变形中应多观察,以便发现角、三角 函数名称及式子结构差异,运用公式,找出差异的内在联系,选择适当的公式促使差异的转 化.另外,由于公式记错而在考试中失分是很常风的,应该熟练掌握各种要求记的公式及其使 用范围. 考场思维训练 1
2 sin 2? cos2 ? ? ? 1 ? cos 2? cos 2?

( B.tan2α

)

A.tanα c.1

D.

1 2
2 sin 2? 2co ?
2

答案: B 解析:原式= 2 若 sin( A.C.
1 3 7 9

?

cos 2 ? =tan 2α . cos 2?

? 2? -α )=,则 cos( +2α )= 6 3

( )

B.D.

1 3

7 9

答案: A 解析:∵( =cos( =2cos (
2

? ? ? ? -α )+( +α )= .∴sin( -α ) 6 3 2 6

? 2? ? 1 +α )= .则 cos( +2α )=cos2( +α ) 3 3 3 3

? 1 2 7 +α )-1=2?( ) -1=- . 3 3 9

-9-

已知α 、β 均为锐角,且 cos(α +β )=sin(α -β ),则 tanα = . 答案:1 解析:∵cos(α +β )=sin(α -β ) ? cos α cosβ -sin α sinβ =sin α cosβ -cosα ?sinβ ? cosα (cosβ +sinβ ) =sinα (sinβ +cosβ ) 3 ∵β ∈(0, 4
? ),sinβ >0,cosβ >0,∴.tan(α =1. 2
2

已知函数 f(x)=- 3 sin x+sinxcosx (1)求 f(
25? )的值; 6
25? 1 25? 3 ? , cos ? 6 2 6 2

答案:∵sin ∴ f(

25? 25 25? 25? ) ? ? 3 sin 2 ? ? sin cos ? 0. 6 6 6 6
1 3 ? )= ? ,求 sinα 的值. 4 2 2

(2)设α ∈(0,π ),f( 答案: f ( x) ? ∴ f( )?
2
2

3 1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 2 2 2

?

3 1 3 1 3 cos ? ? sin ? ? ? ? 2 2 2 4 2

16sin α -4sinα -11=0,解得 sinα = ∵α ∈(0,π ),∴sinα >0,则 sinα = 5
2

1? 3 5 8

1? 3 5 8

已知函数 f(x)=2sin x+sin2x,x∈(0,2π )求使 f(x)为正值的 x 的集合.
? ), 4

答案:解:∵f(x)=1-cos 2x+sin 2x=1+ 3 sin(2x∴f(x)>0 ? 1+ 2 sin(2x? sin(2x-

? )>0. 4

2 ? ? ? 5? 3 )>+2kπ ? kπ <x< π +kπ ,又∵x∈[0,2π , ? - +2kπ <2x- < 2 4 4 4 4 4

∴x∈(0, 6

3? 7? )U(π , ). 4 4
1 ? cos 2 x 2 sin( ? x) 2

若函数 f(x)

?

+sinx+a sin( x ?

2

?
4

)的最大值为 2 +3,试确定常数队 a.

答案:解 f(x)=

2 cos ? x ? 2 +sinx+a sin(x+ ) 2 cos x 4

=cosx++sinx+a2sin(x+ = 2 sin(x+

? ) 4 ? ) 4

)+a2sin(x+

- 10 -

=( 2 +a )sin(x+

2

? ) 4
2

∴f(x)的最大值为 2 +a2.令 2 +a = 2 +3. ∴a=± 3 命题角度 3 三角函数的综合应用 1.(典型例题)如图,在直径为 1 的圆 O 中,作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形, 其中 y>x>0. (Ⅰ)将十字形的面积表示为θ 的函数; (Ⅱ)θ 为何值时,十字形的面积最大?最大面积是多少? [考场错解] 设 S 为十字形的面积,则 S=2xy=2sinθ ? cosθ =sin2θ ( (2)当 sin2θ =1 即θ =
? 时,S 最大,S 的最大值为 1. 4 ? ? ≤θ < ). 4 2

[专家把脉] 上面解答错在面积 S 的计算上,因为十字形面积等于两个矩形面积和还需减 去中间一个边长为 x 的正方形面积. [对症下药] (1)设 S 为十字形的面积,则 S=2xy-x =2sinθ cosθ -cos2θ ( (2) 解 法 1
5 5
2

? ? <θ < ) 4 2

S=2sin θ cos θ -cos θ =sin2 θ ? 时,S 最大. 2

2

1 2 cos θ 2

?

5 1 ,其中 sin(2? ? ? ) ? 2 2

? ? a r c c o s,当s i n 2?( ? ? ) =1,即 2θ - ? =

∴当θ =

?
4

?

5 ?1 1 2 5 时,S 最大,S 的最大值为 . ARCCOS 2 2 5
2

解法 2 ∵S=2sinθ cosθ -cos θ , 2 2 ∴S′=2cos θ - 2sin θ +2sinθ ?cosθ =2cos2θ +sin2θ . 令 S′=0.即 2cos2θ +sin2θ =0, 可解得θ = ∴当θ =
?
2

?
2

?

1 arctan(-2). 2

?

5 ?1 1 arctan(-2)时,S 最大,S 的最大值为 . 2 2

2.(典型例题)若 0<x< A.2x>3sinx C.2x=3sinx

? ,则 2x 与 3sinx 的大小关系为 2

(

)

B.2x<3sinx D.与 x 的取值有关
? f(x)>0. 2

[考场错解] 选 A 设 f(x)=2x-3sinx,∴f(x)= 2-3cosx,∵0<x< ∴f(x)在(0,
? )上是增函数 2

∴f(x)>f(0)=0. 即 2x>3sinx,选 A [ 专家把脉 ] ∵ f ′ (x)=3(
? 2 -cosx) .当 0<x< 时, f ′ (x) 不一定恒大于 0 ,只有当 x ∈ 2 3

- 11 -

(arccos , )时 f′(x)才大于 0. 因而原函数 f(x)在(0, )先减后增函数, 因而 2x 与 3sinx 的大小不确定. [对症下药] 选 D 设 y=(x)=2x-3sinx, ∵ y ′ =2-3cosx=3(
2 3
2 ? 2 2 -cosx) .∵当 cosx< 即 x ∈ (arccos , ) 时, y ′ >0 .当 x ∈(0 , 3 2 3 3

2 ? 3 2

? 2

arcccos )时,y′<0. 即当 x∈(arccos ,
2 3

? 2 )时,f(x)>0.口 P2x>3sinx 当 x∈(0,arccoss )时,f(x)<0.即 2 3

2x<3sinx.故选 D. 3.(典型例题)设函数 f(x)=xsinx(x∈R) (1)证明 f(x+2kπ )f(x)=2kπ sinx.其中 k∈Z; (2)设 x0 是 f(x)的一个极值点.证明[f(x0)] =
2

4 x0 2 1 ? x0


? 2

(3)设 f(x)在(0,+∞)的全部极值点按从小到大的顺序 a1,a2,?,an,?,证明: <an+1-an< π. [ 考场错解 ] (1)证明:由函数 f(x)的定义,对任意整数 k ,有 f(x+2k π )-f(x)=(x+2k π )?sin(x+2kπ )- xsinx=(x+2kπ )sinx-xsinx=2karsinx. (2)函数 f(x)在定义域 R 上可得 f′(x)=sinx+ xcosx. 令 f′(x)=0, sinx+xcosx=0. 显然, 对于满足上述方程的 x 有 cosx≠0,上述方程化简为 x=-tanx,此方程一定有解,f(x)的极值 点 x0 一定满足 tanx0=-x0?
由sin2 x ? sin2 x sin2 x ? cos 2 x ? tan 2 x 1 ? tan 2 x , 得 sin2 x0 ? tan 2 x0 1 ? tan 2 x0
2 2 , f 2 ( x0 ) ? x0 ? sin2 x0 ? x0 ?

tan 2 x0 1 ? tan 2 x0

2 ? x0 ?

2 x0 2 1 ? x0

?

4 x0 2 1 ? x0

.

(3)证明:设 x0>0 是 f′,(x0)=0 的任意正实根即 x0 =-tax0,则存在一个非负整数 k,使 x0∈(
? +kπ ,π + kπ ).即 x0 在第二或第四象限内. 2

由题设条件,a1,a2,?,an 为方程 x=-tanx 的全部正实根,且满足 a1<a2<a3,?an,?, 那么对于 an+1-an= -(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1?tanan)?tan(an+1-an) ② 由于
? ? ? 3 +(n-1)π <an<π +(n-1)π , +nπ < an+1<π +nπ ,则 <an+1-an< π 2 2 2 2

由于 tanan+1?tanan>0,由②式知 tan(an-1,-an)< 0.由此可知 an+1-an 必在第二象限 ∴
? <an+1-an<π . 2 ? +kπ ,x0)和(x0+π +kπ )上的符号是否异号,这显 2

[专家把脉] 上面解答的错误出现在第三小题的证明,设 x0 是 f′(x0)的根,则认为 x0 是 f(x)的一个极值点,没有判断 f′(x)在(

然是错误的. [对症下药] (1)证明:由函数 f(x)的定义,对任意整数 k,有 f(x+2kπ )-π (x)=(x+2k π )sin(x+2kπ )- xsinx=(x+2kπ )sinx-xsinx=2kπ sinx. (2)证明:函数 f(x)在定义域 R 上可导 f′(x)=sinx +xcosx, ① 令 f′(x)=0,得 sinx+xcos=0 显然,对于满足上述方程 x 有 cosx≠0,上述方程化简为

- 12 -

x=-tanx.如图所示,此方程一定有解 f(x)的极值点 x0 一定满足 tanx0=-x0? 由 sin x=
2

sin2 x sin x ? cos x
2

2

2

?

tan 2 x 1 ? tan x
4 x0 2 1 ? x0 2

得 sin2 x0 ?

tan 2 x0 1 ? tan 2 x0

.

2 ∴[f(x0)] = x0 ? sin2 x0 ?

(3)证明:设 x0>0 是 f′(x)=0 的任意正实根,即 x0-tanx0,则存在一个非负整数 k,使 x0 ∈(
? +kπ ,π +kπ ),即 x0 在第二或第四象限内.由①式 f′(x)=cosx(tanx+x)在第二象限 2

或第四象限中的符号可列表如下: X f′(x)的符号 K 为奇数 K 为偶数 ( +
?
2 ? k? , x0 )
x0

x0 ,? ? k?

0 0

+ -

所以满足 f′(x)=0 的正根 x0 都为 f(x)的极值点. 由题设条件,a1,a2,?,an?为方程 x=-tanx 的全部正实根且满足 a1<a2<?<an<?那么对 于 n=1,2,? an+1-an=-(tanan+1-tanan) =-(1+tanan+1?tanan)tan(an+1-an). ② 由于
? ? ? 3? +(n-1) π <an< π +(n-1) π , +n π <an+1< π +n π , 则 <an+1-an< ,由于 2 2 2 2

tanan+1?tanan>0,由②式知 tan(an+1-an)<.0 由此可知 an+1-an 必在第二象限,即 an+1-an<π .综 上,
? <an+1-an<π 2

专家会诊 处理与角度有关的应用问题时,可优先考虑三角方法,其一般步骤是:具体设角、构造三 角函数模型,通过三角变换来解决.另外,有些代数问题,可通过三角代换,运用三角知识 来求解.有些三角问题,也可转化成代数函数,利用代数知识来求解如前面第 2、3 题. 考场思维训练 1 将参数方程 ?
? x ? 1 ? 2 cos? (θ 为参数)化为普通方程,所得方程是 ? y ? 2 sin?
2 2

答案:解析:(x-1) +y =4 由 ? ∴?
? x ? 1 ? 2 cos ? ? y ? 2 sin ?

? x ? 1 ? 2 cos ? ? y ? 2 sin ?

2

若 x +y =4,则 x-y 的最大值是

2

2

.
? ) 4

答案:2 2 解析:设 x:2cosθ ,y=2sinθ ,则 x-y=2(sinθ -cosθ )=2 3 sin(θ ∴当θ =2kπ + π 时,(x-y)max=2 2
3 4

3 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室.如图所示, ABCD 是一块边长为 50 米的正方形地皮,扇形 CEF 是运动场的一部分,其半径为 40 米,矩形 AGHM 就是拟建的健 身室,其中 C、M 分别在 AB 和 AD 上,H 在 EF 上,设矩形 AGHM 的面积为 S,∠HCF=θ ,请将 S 表示为θ 的函数,并指出当点 H 在 EF 的何处时,该健身室的面积最大,最大面积是多少? 答案:解:延长 GH 交 CD 于 P

- 13 -

∵GH∥AM,∴HP⊥CD. ∵∠HCP=∠HCF=θ ,CH=40, ∵HP=CH?sinθ =40 sinθ . CP=CH?cosθ =40 COSθ . 于是 HG=50-40sinθ ,HM=50-40cosθ , ∴矩形 AGHM 的面积 S=HG.HM =(50-40sinθ )(50-40cosθ )(0≤θ ≤ 整理,得 S=100[25-20(sinθ +cosθ )+16sinθ cosθ ]. 2 设 sinθ +cosθ =t,则 2sinθ cosθ =t -1. ∵0≤θ ≤
? ,∴1≤t≤ 2 2
2 2

? ). 2

∴S=100[25-20t+8(t -1)]=100(8t -20t+17)=800(t- ) +450. 当 t=1 时,S 有最大值,且 S 最大值=500. 此时,2sinθ cosθ =0,即 sin 2θ =0. ∵0≤2θ π ,∴θ =0 或
? , 2

5 4

2

当 H 在 EF 的端点 E 或 F 处时,健身室面积最大,最大面积为 500 平方米. 4 已知函数 f(x)=sin cos ? 3 cos
x 3 x 3 x 3

(1)将 f(x)写成 Asin(ω x+ ? )+k 的形式.并求其图像对称中心的横坐标; 答案:解 f(x)=sin( x+ 由 sin( x+ 得 x=
2 3
2 3
3 ? )+ , 2 3

? ? 2 )=0,即 x- =kπ (k∈Z). 3 3 3

3k ? 1 π ,k∈Z. 2 3k ? 1 π ,k∈Z. 2

即对称中心的横坐标为

(2)如果△ABC 的三边。a,b,c 成等比数列,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的取值范围及 此时函数 f(x)的值域. 答案:解析:(2)由已知 b2=ac,cosx= ∴0<x≤ ∴sin
?
3 ?

a 2 ? c 2 ? b ? a 2 ? c 2 ? ac ? 2ac 2ac

? . 3

? ? 2 <sin( x+ )≤1. 3 3 3

2 x ? 5? ? ? , 3 3 9

2 ? 3 3 3 ? sin( x ? ) ? ? 1? 3 3 2 2

即 f(x)的值域为[ 3 ,1+ 探究开放题预测

3 ]. 2

- 14 -

预测角度 1 三角函数的图象和性质 1.关于函数 f(x)=4sin(2x+
? )(x∈R)有下列命题: 3 ? ? ? <x1,x2< ,且 2f(x1)=f(x1+x2+ ), 6 12 6

①由 f(x1)=f(x2),可得 x1-x2 必是π 的整数倍;②若 则 x1<x2;③函数 y=f(x)的图像关于点(等式 2kπ -

? ,0)对称.④函数 y=f(-x)的单凋递增区间可由不 6

? ? ? ≤-2x+ ≤2kπ + (k∈Z)求得. 2 3 2

其中正确命题的序号是 . [解题思路] 利用函数 y=Asin(ω x+ ? )的图像和性质与数形结合的思想,去分析四个命题 的真假. [解答] ∵函数 f(x)=4sin(2x+
? )的周期为霄, 而且由图像易知, 其在任意一个长度为π 的 3

区间内,至少有两个不同的自变量的值,使函数值为零,故①错. ∵?
?
6 ? x1x2 ?

?
12

,? 0 ? 2x1 ?

?
3

,2x2 ?

?
3

?

?
2

,

令 ai=2xi+

? (i=1,2),于是有 2sinα 1=sin(α 1+α 2)= sinα 1cosα 2+cosα 1sinα 2. 3

∵sinα 1>sinα 1cosα 2,sinα 1<cosα 1sinα 2,即 sinα 1<sinα 2. 又由α 1,α 2,均为锐角,故α 1<α 2. 即 x1<x2,故②对; 由函数 y=f(x)的图像可知,所有满足使 2x+ 图像的对称点, ∵x=
? ? ? ,4sin(2?( ? )+ )=0.故③对. 6 6 3 ? ? ? )的递增区间为满足不等式 2kπ + ≤-2x+ ≤ 3 2 3 ? = kπ (k∈Z)且 y=0 的点,均为函数 y=f(x) 3

由复合函数的知识可知,y=4sin(-2x+ 2kπ + π 的 x 的集合,故④错. 综合得只有②③正确. 故填②③ 2.函数 f(x)=2cos x+ 3 sin 2 x
2

3 2

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)当方程 f(x)+a=0 有解时,求 a 的取值范围; (3)当 cos(
?
4

1 ? ? ? )= ,0 ? ? ? 时,求 f(x)的值. 3 2

[解题思路]

(1)利用辅助角公式,化为一个角的三角函数形式后,用 T ?

2?

?

可求得函数

的最小正周期. (2)可转化为求函数的值域问题求解; (3)通过已知条件可求得 sin2α ,cos2α 的值,再求 f(α )的值就不难了.

- 15 -

[解答] (1)f(x)=1+cos2α + 3 sin2x=2sin(2x+ (2)sin(2x+
?

? 2? )+1.∴最小正周期 T ? ?? 6 2

? a? a ?1 )=,要使方程 f(x)+a=0 有解,则||≤1,得-3≤a≤1. 6 2 2

(3) cos( ? 2? ) ? cos 2( ? ? ) ? 2 cos2 ( ? ? ) ? 1 ? ? .即sin 2? ? ? .
2 4 4
?0 ? ? ?

?

?

7 9

7 9

?
2

, cos(

?
4

??) ?

1 ? ? 0,? 0 ? ? ? 3 4

? 0 ? 2? ? ? f (? ) ?

?
2

7 4 2 ,? cos 2? ? 1 ? (? ) 2 ? . 9 9

4 2 ?7 3 9

预测角度 2 运用三角恒等变形求值 1.若关于 x 的方程 x2-4x?Sinθ +α ?tanθ =0( (1)求 a 的取值范围; (2)当 a= 时,求 cos(θ +
6 5

? ? <θ < 有两个相同的实根. 4 2

? )的值 4 ? )的值, 再 4

[解题思路] (1)利有△=0 可得 a 表示为θ 的函数,通过来值域即可得 a 的取值范围. (2)可先通过第(1)问结果求出 sin2θ 的值, 再运用降幂公式可求得 cos (θ + 求 cos(θ +
? )的值就容易了. 4
2 2

[解答] (1)△=16sin θ -4a?tanθ =0 ∵
? ? <θ < ,∴sinθ ≠0 4 2

故 4sinθ ? <2θ <π , 2

a cos?



∵a=4sinθ cosθ =2sin2θ , . ? .0<sin20<1,∴0<a<2. (2)由 =2sin2θ , ∴sin2θ =
3 5
1 ? cos(2? ?

6 5

cos ( ? ?

-

?
4

?

)=

2

) 2 ? 1 ? sin 2? 2

?

1?

3 5 ? 1. 2 5



?
2

?? ?

?
4

?

3? ? 5 ,? cos(? ? ) ? ? . 4 4 5

- 16 -

2.已知θ ∈(0,

5 ? cos 2? ? sin 2? ? 1 ),sinθ -cosθ = ,求 的值. 5 2 1 ? tan?

[解题思路] 由已知可求得 sin2θ 及 tanθ 的值, 因此只要把 θ ,sin2θ ,及 tanθ 表示的式子,再代入计算即可. [解答] 解法 1 把 sinθ -cosθ 两边平方得
1 ? sin 2? ? 1 4 , sin 2? ? 5 5 cos 2? ? sin 2? ? 1 1 ? cos 2? ? sin 2? ? 1 ? tan ? tan ? ? 1 2 sin2 ? ? 2 sin? cos? sin? ? cos? cos? sin 2? (sin? ? cos? ) ? sin? ? cos? ? ? ? ? (0, ),? sin? ? cos? ? 0 2 ? sin? ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2 ? 1 ? sin 2? 4 3 ? . 5 5 4 3 ? cos? ? sin 2? ? 1 5 5 12 ? ? ? . 1 ? tan ? 5 5 5 ? 1?

cos 2? ? sin 2? 化为 sinθ -cos 1 ? tan?

?

解析 2 由已知 sin2θ = 且 2θ ∈(

4 5

? ,π ). 2

4 3 sin? 2 sin? ? cos? sin 2? ∴ cos 2? ? ? ,? tan? ? ? ? ? 5 ?2 5 cos? 1 ? cos 2? 1 ? 3 2 cos 2 ? 5
? 3 4 ? ?1 12 5 5 ? 1? 2 5

cos 2? ? sin 2? ? 1 ? ? 1 ? tan?

3.已知 cos(

? 12 ? ? 3 4 -α ),sin( π +β )=- 且β ∈(0, ),α ( , π ),求 sin(α +β )的值. 4 13 4 4 4 5
4 5

[解题思路] 注意已知角与未知角之间的联系,即α +β = π +β -( [解答] 由已知,α ∈( , π ).
4 4

? -α )-π . 4

? 3

所以 ? ? ? (?

3? ? ? ? ,? ), ? ? ? ( ,0) 4 4 4 2

- 17 -

? 5 5 3 又? ? (0, ), ? ? ? ? ( ? , ? ) 4 4 4 2 ? 3 4 所以sin( ? ? ) ? ? ? ( ) 2 ? ? . 4 5 5
4 12 5 cos( ? ? ? ) ? ? 1 ? (? ) 2 ? ? . 5 13 13

5 ? 5 ? 5? ? 12 3 5 4 所以sin[? ? (? ? ? )] ? ? sin(a ? ? ) ? sin[( ? ? ? ) ? ( ? ? )] ? sin( ? ? ? ) cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) sin( ? ? ) ? ? ? ? (? )( ? ) ? 4 4 4 4 4 4 13 5 13 5 56 ? sin(? ? ? ) ? . 65

预测角度 3 向量与三角函数的综合 1.已知向量 a=(2sinx,cosx),b=( 3 cosx,2cosx),定义函数 f(x)=a?b-1. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调减区间. [解题思路] 用向量的数量积的坐标运算求出 y=f(x)的解析式,再利用三角函数的图像和 性质求解. [解答] (1)f(x)=a?b-1= 2 3 sinxcosx+2cos x- 1= 3 sin2x+cosx=2sin(2x+ (2)令 2k? ?
?
2 ? 2x ?
2

? ). 6

?
6

3 ? 4? ? 2? ? 2k? ? ? ? 2k? ? ? 2x ? 2k? ? ? k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 2 3 3 6 3

∴函数 f(x)的单调减区间为[kπ + ,? ? ? ]k∈Z.
6

?

2 3

2.设 a=(1+cosα ,sinα ),b=(1-cosβ ,sinβ ),c=(1,0)α ∈(0,π ),β ∈(π ,2π ), a 与 b 的夹角为θ 1,b 与 c 的夹角为 ? 2 ,?1 ? ? 2 ? , 求sin
6

?

???
8

的值.

[解题思路] 通过向量的夹角公式找到θ 1、θ 2 与α 、β 的关系,从而得θ 1-θ 2 与α -β 的关 系,进而求得 sin [ 解 答
1 ? cos ?

???
8

的值. ]
2 cos 2 2


?









cos

θ

a?c ? 1= | a || c |

1 ? cos ? ? ? 2 2 ? 2 cos ?

2 ?| cos ? |? cos ? . ? ? ? (0,? ), ? ? (0, ? ); 1 2 2 2 2
2 sin2 2

b?c ? ?1 ? .同理 cos? 2 ? ? 2 |b|?|c| 而Q2 ? (0,? ),. ?

?

1 ? cos ?

1 ? cos ? ? ? 2 2 ? 2 cos ? ?? 2 ?

?

? ?? 2 ? sin ? ? sin ? ? cos? ? ? ?. 2 2 ? 2 2?

?
2

? 6 .

?
2

? (0, ). 2 2 3

?

?
2

?

?
2

又 ? Q1 ? Q2 ?

?
6

.

?
2

?

?
2 8

?

?
2

?

?

? ? ? ? ? ?.
2? 6 4

? sin

???

? ? ? ?? ? ? ? sin? ? ? ? sin? ? ? ? ? 12 ? ?4 3?

3. 已知 a=(sinoα , cosα ), b=(cosβ , sinβ ), b+c=(2cosβ , 0), a? b= ,a? c= 求 cos2(α

1 2

1 3

- 18 -

+β )+tanα ?cotβ 的值. [解题思路] 由 b+c 的坐标求出 c 的坐标,再利用向量的数量积的坐标运算公式转化为三角 函数关系式,再借助三角函数的恒等变形可求出 cos2(α +β )+tanα ? cotβ 的值. [解答] 设 c=(x,y),b+c=(2cosβ ,0)∴x=cosβ ,y=sinβ .即 c=(cosβ ,-sinβ ) 由 a?b= ,a?c= ,
1 ? sin? cos ? ? cos ? sin ? ? ? ? 2 ?? 1 ?sin? cos ? ? cos ? sin ? ? ? 3 ?

1 2

1 3

∴sinα cosβ =

5 1 1 cosα sinβ = ,sin(α +β )= 12 2 2

∴tanα ?cotβ =5,cos2(α +β )=1-2sin2(α +β )= ∴原式= ? 5 ? 考点高分解题综合训练
? 1 已知 x ? ? ? ? ,0 ? ,cos2x=a,则 sinx ( ) ? 2 ?

1 2

1 2

11 . 2

?

A. C.

1? a 2 1? a 2

B.D.

1? a 2 1? a 2 1? a ? 1 ? cos 2 x 1 ? a <x<0 知 sinx<0,sin2x= = .∴sinx=2 2 2 2

答案:B 解析:由2 已知 ?
?
4 ?? ?

3? cos 2 x ?? ? 3 , sin? ? ? ? ? , 则 的值为 ? 4 4 5 ? ? cos(? ? ) 4

(

)

A.

8 5

B.

5 8

C. A

4 5

D.

6 5

答 案 :

解 析 :
?

? 4

< α
?

<

3 π 4

, sin(

? 4

- α

)=

3 5

, cos(

? 4

-

4 α )= , 5

sin( ? 2? ) 2 sin( ? ? ) cos( ? ? ) ? 8 2 4 4 ? ? ? 2 cos( ? ? ) ? . ? ? ? 4 5 cos( ? ? ) cos( ? ? ) sin( ? ? ) 4 4 4 cos 2?

?

3 设 a ? cos 6? ?

1 2

3 2 tan13? 1 ? cos 50? ,则有 sin 6? , b ? ,C ? ? 2 2 1 ? tan13

(

)

A.O>b>c B.O<b<c C.O<c<6 D.6<c<O 答案: C 解析:由于 a=sin 30°COS 6°-cos 30°sin 6°=sin 24°,b=sin 26°,c=sin 25°,∴a<c<b. 4 函数 y=4sin(wx+
? ? )w(wx- )(w>0)的图像与直线 y=3 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到 4 4 ? ,则 w 等于( 2

大依次记为 P1,P2,P3,?,且|P3P5|=

)

- 19 -

A.4

B.1

C.2

D.

1 2

答案: C 解析:∵y=4sin(wx+ =4cos (
2

? ? )cos(wx- ) 4 4

? ? -wx)=2+2cos( -2cosx) 4 2
1 2

=2+2sin2wx,y=3 时,sin2wx= , |P3P5|=T=
2? ? ? ,w=2. 3w 2
1 ? cos 2? cot

5 已知 f(α )=

?

2

? tan

?
2

,? ? (0, ) ,则 f(α )取得最大值时α 的值是 2

?

(

)

A. C.

? 6 ? 3

B.

? 4
2 5

D. ?
2 cos 2 ? cos sin 2 cos 2 ? ? 4 sin ? cos ? ? 2 sin 2? cos ? 1 sin ? 2

答案: B 解析:∵f(x)=

? ?
2 ?

sin cos

? ?
2 2

?

2

∴当 sin2a=1,即α =

? 时 f(x)有最大值. 4 ? ),则α ∈( 2

6 若 sinα +cosα =tanα (0<α < 答案: C 解析: ∵0<α + +

)

2 ? ? 3 ? <α + ? π , ∴sin(α + )∈( , 1)∴sina+cosα = 2 sin(α 2 2 4 4 4

? )∈(1, 2 ),即 tanα ∈(, 2 ) 4

故α ∈(

? ?

, ). 4 3

7

cos 40? ? sin 50? (1 ? 3 tan10? ) sin 70 1 ? cos 40?

的值是

.
2 sin(30 ? ? 10 ? ) cos 10
?

答案: 2 解析:1+ 3 tan10°=
cos 40 ? ? sin 50 ? 2 sin 40 ?

cos 10 ? ? 3 sin 10 ? cos 10
?

?

?

2 sin 40 ? cos 10 ?

原式=
sin 70 ?

? 2 ? cos 10 ? ? cos 40 ? 1 ? 2 cos 20 2 cos 2 20 ? 2 cos 2 20 ? 2 cos 2 20 ?

8 函数 y=(sin 答 案 :

? -2x)的单调减区间是 3
k? ?

.
?Z

[

?
12

, k? ?

5 ? 12

](k

)

















- 20 -

y ? ? sin(2x ? ) ?令 ? ? 2k? ? 2x ? ? ? 2k? , 解得 3 2 3 2 k? ?

?

?

?

?

?
12

? x ? k? ?

5 ?. 12

即函数单调减区间为[ k? ? 9 求函数 f(x)=
4

?
12

, k? ?

5 ? ](k ? Z ) 12

sin x ? cos 4 x ? sin2 x cos 2 的最小正周期、最大值和最小值. 2 ? sin 2 x

答案:解析:f(x)=

(sin 2 x ? cos 2 x) 2 ? sin 2 x cos 2 x 1 ? sin 2 x cos 2 x 1 1 1 ? ? (1 ? sin x cos x) ? sin 2 x ? . 所 2 ? 2 sin x cos x 2(1 ? sin x cos x) 2 4 2

以函数 f(x)的最小正周期为π ,最大值是 ,最小值是 . 10 已知函数 y=Asin(w+ ? )(x∈R)(其中 A>O,w>0)的图像在 y 轴右侧的第一个最高点为 M(2, 2 2 ),与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N(0,0) (1)求这个函数的解析式; 答案: 解: (1) 根据题意可知, A=2 2 , 将点 M 的坐标代入 y=2 2 sin( x ? ? )
8
T 2? ? ? =6-2=4, ∴T=16, 于是 w= ? 所以 y=2 2 sin( x ? ? ) 4 T 8 8

3 4

1 4

?

即 sin ( ? ? ) ? 1 .
4

?

∴满足

?
4

?? ?

?
2

的? 为最小正数解,即 ? ?

?
4

.故所求的解析工为 y=2 2 sin( x ? )( x ? R)
8 4

?

?

(2)此函数可以由 y=sinx 经过怎样的变换得到?(写出每一个具体变换).
4 ? y ? sin(x ? y ? sin x ???? ? 向左平移

?

?
4

? ) ???????? ? ?? y ? sin(

横坐标伸长到原来的

8



?
8

x?

?
4

) ???????????

纵坐标伸长到原来的 2 2倍

y=2 2 sin(

?
8

x?

?
4

)
k? ,k∈Z, 4

11 已知三点 A,B,C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3)C(cosα ,sinα ),α ≠ 若 AC ? BC =-1,求
1 ? sin 2? ? cos 2? 的值. 1 ? tan ?

答案:解:由 AC =(cosα -3,sinα ), BC =(cosα ,sinα -3) AC BC ? ?1. 得(cosα -3)cosα +sinα (sinα -3)=-1 ∴sinα +cosα = 又
2 3



1 ? sin 2? ? cos 2? 2 sin 2 ? ? 2 sin ? cos ? ? ? 2 sin ? cos ? . sin ? 1 ? tan ? 1? cos ?

由①式两边平方得 1+2sinα cosα = ,2sinα cosα =- .

4 9

5 9

- 21 -



2 sin 2 ? ? sin 2? 5 ?? 1 ? tan ? 9

12 已知向量 a= ? ? cos
?

?? 3x 3x ? x ?? ? 5? ? x ? ?? , sin ?, b ? ? , 且x ? [? , ] ? cos ? ?,? sin? ? ? ? ? ? 4 4 ? 4 3? 6 6 ? 4 3 ?? ??
2

(1)若 f(x)=(a+b) ,求 f(x)的解析式; 答案: f(x)=(a+b) =|a| +|b| +2a?b=2+ 2 cos(x ? )
3
2 2 2

?

? 5 ( x ? [? , ? ]) 6 6

(2)求函数 f(x)的最大值和最小值; 答案:由 x∈[- , 当 x+ 当 x+
? 5?
6 6

]得 x+

? ? 7 ∈[ , π ] 3 6 6

? ? ? = ,即 x=- 时,函数 f(x)取最大值 3 +2; 3 6 6

? 2? =π ,即 x= 时,函数 f(x)取最小值为 0 3 3
3 5
5 ,求 tan(2α -β )的 13

13 已知α 为第二象限的角,sinα = ,β 为第一象限的角,cosβ = 值. 答案:解:∵α 为第二象限的角,sinα = ,cosα =- . ∴ tan α =3 , 又 ∵ 4 3 5 4 5

β 为 第 一 象 限 的 角 , cos β =

5 , sin β 13

3 12 ? ? 12 12 tan ? ? tan ? 63 ? . ? tan ? ? ,? tan(? ? ? ) ? ? 4 5 ? . 3 12 13 5 1 ? tan ? tan ? 1 ? ? 16 4 5 3 63 ? 204 ? tan(2? ? ? ) ? tan[? ? (? ? ? )] ? 4 16 ? . 3 63 253 1? ? 4 16 ?

14 如图所示,有一农民在自留地建造一个长 10 m,深 0.5 m,横截面为等腰梯形的封闭式引 水槽侧面材料每平方米造价 50 元,顶盖材料每平方米造价 10 元. (1)把建立引水槽的费用 y(元)表示为引水槽的侧面与地面所成的角∠DAE=θ 的函数; 答案:作 AH⊥CD,垂足为 H,则 AH= , ∠ADH=θ ∴ = AH(AB+CD). 即
1 1 1 cot? ? ? (x ? x ? 2 ? ) 4 2 2 2 1 4 1 2 1 2

- 22 -

?x ?

1 ? cot ? 1 ? cot ? 1 ? cot ? .即AB ? , CD ? . 2 2 2 1 ? cot ? 1 1 ? cot ? 5 ? 5 cot ? 1 ? cot ? 4 4 所以材料费y ? ? 10 ? 50 ? ? 10 ? 40 ? ? 10 ? 10 ? 100( ? ? ) ? 100( ? 3 ? 2 cot ? ) ? 300 ? 2 2 sin? 2 2 2 sin? sin? 2 ? cos? (元) sin?

(2)引水槽的侧面与地面所成的角θ 多大时,其材料费最低?最低材料费是多少?(精确到 0.01, 3 ≈1.732) 答
(2) y ? 300 ? 200


2 ? cos? ? ? ? ? ? 300 ? 100(3 tan ? cot ) ? 300 ? 200 3 tan cot ? 300 ? 200 3 ? 646.4(元) sin? 2 2 2 2



等号当且仅当 3tan

? ? ? =cot 即 tan = 2 2 2

. ∴θ =60°.即当引槽的侧面与地面所成角为

60°材料费最低为 646.4 元. (3)按照题没条件,在引水槽的深度和横截面积及所在的材料不改变的情况下,将引水槽 的横截面形状改变为正方形时的材料费与(2)中所求得的材料费相比较,哪一种设计所用材料 费更省?省多少?

答案:截面为正方形时,材料费为

?10=700 元.

所以横截面为等腰梯形时比横截面为正方形时,材料费用较省,省 53.6 元.

- 23 -


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