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平面解析几何 高考复习知识点


平面解析几何 一、直线的倾斜角、斜率

高考复习知识点

1、直线的倾斜角: (1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线 l ,如果把 x 轴绕着交点按 逆时针方向转到和直线 l 重合时所转的最小正角记为 ? ,那么 ? 就叫做直线的倾斜角。当直 线 l 与 x 轴重合或平行时,规定倾斜角为 0; (2)倾斜角的范围 ?0, ? ? 。 2、直线的斜率 (1)定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k ,即 k = tan ? ( ? ≠90°);倾斜角为 90°的直线没有斜率; (2)斜率公式:经过两点 P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) 的直线的斜率为 k ? 1 2

? (3)直线的方向向量 a ? (1, k ) ,直线的方向向量与直线的斜率有何关系?
(4)应用:证明三点共线: k AB ? k BC 。

y1 ? y 2 ?x1 ? x2 ? ; x1 ? x2

例题:

例 1.已知直线 的倾斜角的变化范围为

,求该直线斜率的变化范围;

思路点拨:已知角的范围,通过正切函数的图像,可以求得斜率的范围,反之,已知斜 率的范围,通过正切函数的图像,可以求得角的范围

解析:



, ∴



总结升华: 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围, 或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范

围时,可利用





上是增函数分别求解.当

时,





时,

;当

时,

;当 不存在时,

.反之,亦成立.

类型二:斜率定义
例 2.已知△ABC 为正三角形,顶点 A 在 x 轴上,A 在边 BC 的右侧,∠ BAC 的平分线在 x 轴上,求边 AB 与 AC 所在直线的斜率. 思路点拨: 本题关键点是求出边 AB 与 AC 所在直线的倾斜角, 利用斜率的定义求出斜 率. 解析: 如右图,由题意知∠BAO=∠OAC=30° ∴直线 AB 的倾斜角为 180°-30°=150°,直线 AC 的倾斜角为 30°,

∴kAB=tan150°=

kAC=tan30°=

总结升华: 在做题的过程中, 要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向② 轴正向③ 小于 的角,只有这样才能正确的求出倾斜角.

类型三:斜率公式的应用
例 3. 求经过点 , 直线的斜率并判断倾斜角为锐

角还是钝角. 思路点拨: 已知两点坐标求斜率,直接利用斜率公式即可. 解析: 且 ,

经过两点的直线的斜率 即当 时, 为锐角,当 ,

,即 时, 为钝角.



例 4、过两点 值. 【答案】 由题意得:直线 的斜率

的直线 的倾斜角为

,求 的



故由斜率公式 解得 或 . 经检验

, 不适合,舍去. 故 .

例 5.已知三点 A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数 a 的值. 思路点拨: 如果过点 AB,BC 的斜率相等,那么 A,B,C 三点共线. 解析:

∵A、B、C 三点在一条直线上,

∴kAB=kAC.即

二、直线方程的几种形式
1、点斜式:已知直线过点 ( x0 , y0 ) 斜率为 k ,则直线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,它不包 括垂直于 x 轴的直线。 2、斜截式:已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k ,则直线方程为 y ? kx ? b ,它不包 括垂直于 x 轴的直线。

3 、 两 点 式 : 已 知 直 线 经 过 P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) 两 点 , 则 直 线 方 程 为 1 2

y ? y1 x ? x1 ,它不包括垂直于坐标轴的直线。 ? y 2 ? y1 x2 ? x1
4、截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a , b ,则直线方程为

x y ? ? 1 ,它不包 a b

括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。 5、一般式:任何直线均可写成 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)的形式。 提醒:(1)直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还 有截距式呢?) ;(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等 ? 直线 的斜率为-1 或直线过原点;直线两截距互为相反数 ? 直线的斜率为 1 或直线过原点;直线 两截距绝对值相等 ? 直线的斜率为 ?1或直线过原点。如过点 A(1, 4) ,且纵横截距的绝对 值相等的直线共有___条(答:3) 注:设直线方程的一些常用技巧: (1)知直线纵截距 b ,常设其方程为 y ? kx ? b ; (2)知直线横截距 x0 ,常设其方程为 x ? my ? x0 (它不适用于斜率为 0 的直线); (3)知直线过点 ( x0 , y0 ) ,当斜率 k 存在时,常设其方程为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 ,当斜 率 k 不存在时,则其方程为 x ? x0 ; (4)与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为 Ax ? By ? C1 ? 0 ; (5)与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 . 提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解。

三、两直线之间的位置关系
1、距离公式 (1)平面上的两点错误!未找到引用源。间的距离错误!未找到引用源。 。特别地, 原点 O(0,0)与任意一点的 P(x,y)的距离错误!未找到引用源。 (2)点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



(3)两平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离为 d ? 2、直线 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 与直线 l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的位置关系: 1

C1 ? C2 A2 ? B 2



(1)平行 ? A B2 ? A2 B1 ? 0 (斜率)且 B1C2 ? B2C1 ? 0 (在 y 轴上截距) ; 1 (2)相交 ? A B2 ? A2 B1 ? 0 ; 1 (3)重合 ? A B2 ? A2 B1 ? 0 且 B1C2 ? B2C1 ? 0 ; 1 (4)垂直 ? A A2 ? B1B2 ? 0 1 提醒: (1)

A1 B1 C1 A B A B C ? ? 、 1 ? 1 、 1 ? 1 ? 1 仅是两直线平行、相交、重合的充 A2 B2 C2 A2 B2 A2 B2 C2

分不必要条件!为什么? (2)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体 几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线; 3、两直线夹角公式 (1) l1 到 l2 的角是指直线 l1 绕着交点按逆时针方向转到和直线 l2 重合所转的角 ? ,

? ? ?0, ? ? 且 tan ? =

k 2 ? k1 ( k1k2 ? ?1); 1 ? k1 k 2

( 2 ) l1 与 l2 的 夹 角 是 指 不 大 于 直 角 的 角 ? , ? ? (0, ( k1k2 ? ?1)。

?
2

] 且 tan ? = ︱

k 2 ? k1 ︱ 1 ? k1 k 2

提醒:解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点 M 是直线 2 x ? y ? 4 ? 0 与 x 轴的交点,把直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 45°,得到的直线方程是 ______(答: 3x ? y ? 6 ? 0 ) 例题: 例 1、两条直线 l1: ? 3) x ? 2 y ? 5 ? 3m , l2:x ? (5 ? m) y ? 16 ,求分别满足下列条 4 (m 件的 m 的值. (1) l1 与 l 2 相交; (4) l1 与 l 2 垂直; 解:由 (2) l1 与 l 2 平行; (5) l1 与 l 2 夹角为 45 ? . (3) l1 与 l 2 重合;

m?3 2 2 ? 得 m ? 8m ? 7 ? 0 ,解得 m1 ? ?1 , m2 ? ?7 . 4 5? m m ? 3 5 ? 3m ? 由 得 m ? ?1 . 4 16
(1)当 m ? ?1 且 m ? ?7 时,

a1 b1 ? , l1 与 l 2 相交; a2 b2

(2)当 m ? ?7 时,

a1 b1 c1 ? ? . l1 // l2 ; a2 b2 c2 a1 b1 c1 ? ? , l1 与 l 2 重合; a2 b2 c2
11 时, l1 ? l2 ; 3

(3)当 m ? ?1 时,

(4)当 a1a2 ? b1b2 ? 0 ,即 (m ? 3) ? 4 ? 2 ? (5 ? m) ? 0 , m ? ? (5) k1 ? ?

m?3 4 k ? k1 , k2 ? ? .由条件有 2 ? tan45? ? 1 . 2 5? m 1 ? k2 k1
2

将 k1 , k2 代入上式并化简得 m ? 14m ? 29 ? 0 , m ? ?7 ? 2 5 ;

m2 ? 2m ? 15 ? 0 , m ? ?5或3 .∴当 m ? ?7 ? 2 5 或-5 或 3 时 l1 与 l 2 夹角为 45 ? .
( ( 例 2 当 a 为何值时, 直线 l1:a ? 2) x ? (1 ? a) y ? 1 ? 0 与直线 l2:a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0
互相垂直? 解:由题意,直线 l1 ? l2 .

3 5 (1)若 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ,此时直线 l1:x ? 1 ? 0 , l2: y ? 2 ? 0 显然垂直; x 5 (2)若 2a ? 3 ? 0 ,即 a ? ? 时,直线 l1: ? 5 y ? 2 ? 0 与直线 l2:x ? 4 ? 0 不垂直;
(3)若 1 ? a ? 0 ,且 2a ? 3 ? 0 ,则直线 l1 、 l 2 斜率 k 1 、 k 2 存在,

3 2

k1 ? ?

a?2 a ?1 , k2 ? ? . 1? a 2a ? 3 a?2 a ?1 ) ? (? ) ? ?1 ,∴ a ? ?1 . 1? a 2a ? 3

当 l1 ? l2 时, k1 ? k2 ? ?1 ,即 (?

综上可知,当 a ? 1 或 a ? ?1 时,直线 l1 ? l2 .

x x 例 3 已知直线 l 经过点 P ( 3 , 1 ) ,且被两平行直线 l1: ? y ? 1 ? 0 和 l2: ? y ? 6 ? 0 截得
的线段之长为 5,求直线 l 的方程. 解法一:若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x ? 3 ,此时与 l1 、

l 2 的 交 点 分 别 为 A' ( 3, ? 4 ) 和 B' ( 3, ? 9 ) , 截 得 的 线 段 AB 的 长

AB ? ? 4 ? 9 ? 5 ,符合题意,
若直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ? 1 .

? y ? k ( x ? 3) ? 1, 4k ? 1 ? ? 3k ? 2 ,? 解方程组 ? 得 A? ?, k ?1 ? ? k ?1 ? x ? y ? 1 ? 0, ? y ? k ( x ? 3) ? 1, 9k ? 1 ? ? 3k ? 7 ,? 解方程组 ? 得 B? ?. k ?1 ? ? k ?1 ? x ? y ? 6 ? 0, ? 3k ? 2 3k ? 7 ? ? 4k ? 1 9k ? 1 ? 2 ? ? 由 AB ? 5 ,得 ? ? ? ?? ? ?5 . k ?1 ? ? k ?1 k ?1 ? ? k ?1
解之,得 k ? 0 ,即欲求的直线方程为 y ? 1 . 综上可知,所求 l 的方程为 x ? 3 或 y ? 1 . 解法二:由题意,直线 l1 、 l 2 之间的距离为 d ?
2 2

1? 6 2

?

5 2 ,且直线 l 被平等直线 l1 、 1

5 2 2 s ? l 2 所截得的线段 AB 的长为 5 如上图)设直线 l 与直线 l1 的夹角为 ? , n ? ? 2 ( , 则i , 5 2
故∴ ? ? 45? .

x 由直线 l1: ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 135°, 知直线 l 的倾斜角为 0°或 90°, 又由直线 l 过
点 P ( 3 , 1 ) ,故直线 l 的方程为 x ? 3 或 y ? 1 . 解法三:设直线 l 与 l1 、 l 2 分别相交 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则:

x1 ? y1 ? 1 ? 0 , x2 ? y2 ? 6 ? 0 .
两式相减,得 ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 5 . 又 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 25 ① ②

? x1 ? x2 ? 5 ? x1 ? x2 ? 0 联立①、②,可得 ? 或? ? y1 ? y2 ? 0 ? y1 ? y2 ? 5
由上可知,直线 l 的倾斜角分别为 0°或 90°. 故所求直线方程为 x ? 3 或 y ? 1 . 例 4 已知直线 l:x ? 2 y ? 8 ? 0 和两点 A(2 , 0) 、 B(?2 , ? 4) . (1)在 l 上求一点 P ,使 PA ? PB 最小; (2)在 l 上求一点 P ,使 PB ? PA 最大. 解:(1)如图,设 A 关于 l 的对称点为 A' (m , n)

? n ? m ? 2 ? ?2, ? 则? ?m ? 2 ? 2? n ? 8 ? 0 ? 2 2 ?
∴ m ? ?2 , n ? 8 . ∴ A (?2 , 8)
'

∴ A B 的的是 x ? ?2 , A B 与 l 的交点是 (?2 , 3) ,
' '

故所求的点为 P(?2 , 3) . (2)如下图,

AB 是方程 y ?
即 y ? x ? 2.

0 ? (?4) ( x ? 2) , 2 ? (?2)

代入 l 的方程,得直线 AB 与 l 的交点 (12 , 10) , 故所求的点 P 为 (12 , 10) .

四、对称问题——代入法(中心对称和轴对称)
1、 中心对称 (1)点关于点对称点 P( x0 , y0 )关于( a, b )对称的点为( 2a ? x0 ,2b ? y0 ) ; (2)线关于点对称: (转化为点点对称) 在已知直线上任意去两点,利用中点坐标公式求 出它们关于已知点对称的两点坐标,再有两点式求出直线方程,或者求出一个点,再利用两 直线平行(注:线关于点对称的另一条直线和已知直线平行) ,由点斜式求出直线方程。 特别的, 直线 x=a 关于点 P x0 , y0 ) ( 的对称直线为 x ? 2 x0 ? a ; 直线 y=b 关于点 P x0 , y0 ) ( 的对称直线为 y ? 2 y0 ? b 2、 轴对称 (1)点关于直线的对称问题: (1)点( x0 , y0 )关于 x 轴对称的点为( x0 ,? y0 ) ; (2)点( x0 , y0 )关于 y 轴对称的点为( ? x0 , y0 ) ; (3)点( x0 , y0 )关于原点对称的点为( ? x0 ,? y0 ) ; (4)点( x0 , y0 )关于 y ? x 对称的点为( y0 , x0 ) ; (5)点( x0 , y0 )关于 y ? ?x 对称的点为( ? y0 ,? x0 ) 。 (6)设点 P( x0 , y0 )关于直线 y=kx+b 的对称点错误!未找到引用源。则有错误!未找到 引用源。由此求出错误!未找到引用源。 特别的,点 P( x0 , y0 )关于直线 x=a 的对称点为;点 P( x0 , y0 )关于直线 y=b 的对称点 为错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 。 (2)直线关于直线的对称问题: 它的一般解题步骤是: 在所求曲线上选一点 M ( x, y ) ; 求出这点关于中心或轴 1. 2. 的对称点 M ' ( x0 , y0 ) 与 M ( x, y ) 之间的关系; 利用 f ( x0 , y0 ) ? 0 求出曲线 g ( x, y) ? 0 。 3. 直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题, 但它的解法很多, 现以一道典型习题 为例给出几种常见解法,供大家参考。 例题:试求直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 关于直线 l2 : 3x ? y ? 3 ? 0 对称的直线 l 的方程。

解法 1:(动点转移法)
在 l1 上任取点 P( x , y )(P ? l 2 ) ,设点 P 关于 l 2 的对称点为 Q ( x, y ) ,则
' '

? x' ? x y' ? y ? 4x ? 3y ? 9 ? ? ? 3 ? 0 ?x ' ? ?3 ? 2 2 5 ?? ? 3x ? 4 y ? 3 y' ? y 1 ? ? y' ? ?? ' ? 5 ? 3 x ?x ?
又点 P 在 l1 上运动,所以 x ? y ? 1 ? 0 ,所以

? 4 x ? 3 y ? 9 3x ? 4 y ? 3 ? ?1 ? 0 5 5 。即 x ? 7 y ? 1 ? 0 。所以直线 l 的方程是 x ? 7 y ? 1 ? 0 。

解法 2:(到角公式法)

? x ? y ?1 ? 0 ? x ?1 ?? ? 3x ? y ? 3 ? 0 ? y ? 0 所以直线 l1 ,l2 的交点为 A(1,0) 解方程组 ?
设所求直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , kx ? y ? k ? 0 ,由题意知,l1 到 l 2 与 l 2 到 l 的角相等, 即

3 ?1 k ?3 1 ? ?k ? 7 .所以直线 l 的方程是 x ? 7 y ? 1 ? 0 。 则 1 ? 3 ? 1 1 ? 3k

解法 3:(取特殊点法)

? x ? y ?1 ? 0 ? x ?1 ?? ? 3x ? y ? 3 ? 0 ? y ? 0 所以直线 l1 ,l2 的交点为 A(1,0) 解方程组 ?
在 l1 上取点 P(2,1),设点 P 关于 l 2 的对称点的坐标为 Q( x , y ) ,则
? x ' ? 2 y ' ?1 4 ? ? ?3 ? 0 ? x' ? ?3 ? 2 2 5 ?? ? 7 y ' ?1 1 ' ? ?y ? ?? ? 5 ? 3 x' ? 2 ?
' '

而点 A,Q 在直线 l 上,由两点式可求直线 l 的方程是 x ? 7 y ? 1 ? 0 。

解法 4:(两点对称法)
4 7 Q( , ) 对解法 3,在 l1 上取点 P(2,1),设点 P 关于 l 2 的对称点的坐标为 5 5 ,在 l1 上取点 M 12 1 N( , ) l2 的对称点的坐标为 5 5 而 N,Q 在直线 l 上,由两点式可求直 (0,1),设点 P 关于 线 l 的方程是 x ? 7 y ? 1 ? 0 。

解法 5:(角平分线法)

? x ? y ?1 ? 0 ? x ?1 ?? ? 3x ? y ? 3 ? 0 ? y ? 0 所以直线 l1 ,l2 的交点为 A(1,0) 解方程组 ?
l 设所求直线 l 的方程为: 设所求直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 .由题意知,2
为 l ,l1 的角平分线,在 l 2 上取点 P(0,-3),则点 P 到 l ,l1 的距离相等,由点到直线距离公

| 0 ? 3 ?1| | 0 ? 3 ? k | 1 ? ? k ? 或k ? ?1 2 7 2 1? k 式,有:
k? 1 7 。所以直线 l 的方程是 x ? 7 y ? 1 ? 0

k ? ?1 时为直线 l1 ,故
例题:

例 1 : 已知点 A(-2,3) ,求关于点 P(1,1)的对称点 B( x 0 , y 0 ) 。 分析:利用点关于点对称的几何特性,直接应用中点坐标公式求解。

?? 2 ? x0 ? 1, ? ?x 0 ? 4, ? 2 解:设点 A(-2,3)关于点 P(1,1)的对称点为 B( x 0 , y 0 ) ,则由中点坐标公式得 ? 解得 ? ? y 0 ? ?1 ? 3 ? y 0 ? 1, ? 2 ? 所以点 A 关于点 P(1,1)的对称点为 B(4,-1) 。 评注:利用中点坐标公式求解完之后,要返回去验证,以确保答案的准确性。
例 2 : 求直线 3x ? y ? 4 ? 0 关于点 P(2,-1)对称的直线 l 的方程。 分析:由已知条件可得出所求直线与已知直线平行,所以可设所求直线方程为 3x ? y ? b ? 0 。 解:由直线 l 与 3x ? y ? 4 ? 0 平行,故设直线 l 方程为 3x ? y ? b ? 0 。 由已知可得,点 P 到两条直线距离相等,得

| 6 ?1? 4| 32 ? 1

?

| 6 ?1? b | 32 ? 1

.

解得 b ? ?10 ,或 b ? ?4 (舍) 。则直线 l 的方程为 3x ? y ? 10 ? 0. 评注:充分利用直线关于点对称的特性:对称直线与已知直线平行且点 P 到两条直线的距离相等。几何图形特性的 灵活运用,可为解题寻找一些简捷途径。此题还可在直线 3x ? y ? 4 ? 0 上取两个特殊点,并分别求其关于点 P(2, -1)的对称点,这两个对称点的连线即为所求直线。 例 3 :求点 A(2,2)关于直线 2x ? 4 y ? 9 ? 0 的对称点坐标。 利用点关于直线对称的性质求解。 解法 1(利用中点转移法) :设点 A(2,2)关于直线 2x ? 4 y ? 9 ? 0 的对称点为 A′( x 0 , y 0 ) ,则直线 AA′与已 知直线垂直,故可设直线 AA′方程为 4x ? 2 y ? c ? 0 ,把 A(2,2)坐标代入,可求得 c ? ?12 。 ∴直线 AA′方程为 2x ? y ? 6 ? 0 。

?2x ? 4 y ? 9 ? 0, ?3 ? 由方程组 ? 解得 AA′中点 M ? ,3 ? 。 2x ? y ? 6 ? 0 ?2 ? ?

由中点坐标公式得

x 0 ? 2 3 y0 ? 2 ? , ? 3 ,解得 x 0 ? 1, y 0 ? 4. 2 2 2

∴所求的对称点坐标为(1,4) 。 评注:解题时,有时可先通过求中间量,再利用中间量求解结果。 分析: B a, 是 A 2, 关于直线 2x ? 4 y ? 9 ? 0 的对称点, 设 ( b) ( 2) 则直线 AB 与 l 垂直, 线段 AB 中点在直线 2x ? 4 y ? 9 ? 0 上。 解法 2(相关点法) :设 B(a,b)是 A(2,2)关于直线 2x ? 4 y ? 9 ? 0 的对称点,根据直线 AB 与 l 垂直,线段 AB 中点在直线 2x ? 4 y ? 9 ? 0 上,

?1 b ? 2 ? 2 ? a ? 2 ? ?1, ? 则有 ? ?2 ? a ? 2 ? 4 ? b ? 2 ? 9 ? 0, ? 2 2 ? 解得 a ? 1, b ? 4. ∴所求对称点的坐标为(1,4) 。 评注:①中点在 2x ? 4 y ? 9 ? 0 上;②所求点与已知点的连线与 2x ? 4 y ? 9 ? 0 垂直。
例 4 : 求直线 l1 : x ? y ? 2 ? 0 关于直线 l 2 : 3x ? y ? 3 ? 0 对称的直线 l 的方程。 分析:设所求直线 l 上任一点为 P( x ?, y ? ) ,利用“相关点法”求其对称点坐标,并将其对称点坐标代入直线 l 1 方 程进行求解。 解:设所求直线 l 上任意一点 P( x ?, y ? ) P ? l 2 )关于 l 2 的对称点为 Q( x 1 , y 1 ) ( ,

? x 1 ? x ? y1 ? y ? ? 4 x ? ? 3y ? ? 9 ? , ?3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 0, ?x 1 ? ? ? 5 则? 解得 ? ? ? y ? y1 ? ?1, ? y ? 3x ? ? 4 y ? ? 3 . ? 1 ? x? ? x1 5 ? ?
又因为点 Q 在 l 1 上运动,则 x 1 ? y1 ? 2 ? 0。

? 4x ? ? 3y? ? 9 3x ? ? 4y? ? 3 ? ? 2 ? 0 ,解得 7x ? ? y? ? 22 ? 0 。即直线 l 的方程为 7 x ? y ? 22 ? 0 。 5 5
评注:直线关于直线对称实质是点关于线的对称。此题还可在直线 l 1 上任取一点(非两直线交点)并求其关于直线

l 2 的对称点,则该对称点与两直线交点的连线便是所求对称直线。

五、圆的方程:
2 1、圆的标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 。 2 2

2、①圆的一般方程:

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(D2+E2-4F ? 0) 2 2 2 2 特别提醒:只有当 D +E -4F ? 0 时,方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 才表示圆, D E 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆。 圆心为 (? , ? ) ,半径为 2 2 2
②常见圆的方程

圆心在原点: x2 ? y 2 ? r 2 ? r ? 0? ;过原点: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a ? b
2 2 2
2

2

?a

2

? b2 ? 0? ;

2 2 2 2 圆心在 x 轴上: ? x ? a ? ? y ? r ? r ? 0 ? ;圆心在 y 轴上: x ? ? y ? b ? ? r ? r ? 0 ? ; 2 2 2 圆心在 x 轴上且过原点: ? x ? a ? ? y ? a ? a ? 0 ? ; 2 2 2 圆心在 y 轴上且过原点: x ? ? y ? b ? ? b ? b ? 0 ? ; 2 2 2 与 x 轴相切: x ? a ? ? ? y ? b ? ? b ? b ? 0 ? ;与 y 轴相切: x ? a ? ? ? y ? b ? ? a ? a ? 0 ? ? ? 2 2 2 2

与两坐标轴都相切: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a
2 2

2

? a ? b ? 0?

3、圆的参数方程:

?xy ? ab ? rr cos?? ? ? sin

( ? 为参数) ,其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r 。圆的

参数方程的主要应用是三角换元: x2 ? y 2 ? r 2 ? x ? r cos? , y ? r sin ? ; x 2 ? y 2 ? t

? x ? r cos? , y ? r sin ? (0 ? r ? t ) 。 4、 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 为直径端点的圆方程 ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0
例题 例 1 求过两点 A(1 , 4) 、 (3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与 B 圆的关系. 解法一: (待定系数法)设圆的标准方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 . ∵圆心在 y ? 0 上,故 b ? 0 . ∴圆的方程为 ( x ? a) ? y ? r .
2 2 2

又∵该圆过 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 两点.

∴?

?(1 ? a ) 2 ? 16 ? r 2 ? ?(3 ? a ) 2 ? 4 ? r 2 ?

2 解之得: a ? ?1 , r ? 20.

所以所求圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 20 .
2 2

解法二: (直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 两点,所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上,又因 为 k AB ?

4?2 ? ?1,故 l 的斜率为 1,又 AB 的中点为 (2 , 3) ,故 AB 的垂直平分线 l 的方 1? 3

程为: y ? 3 ? x ? 2 即 x ? y ? 1 ? 0 . 又知圆心在直线 y ? 0 上,故圆心坐标为 C (?1 , 0)

∴半径 r ? AC ?

(1 ? 1) 2 ? 42 ? 20 .故所求圆的方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 20 . (2 ? 1) 2 ? 4 2 ? 25 ? r .

又点 P(2 , 4) 到圆心 C (?1 , 0) 的距离为 d ? PC ? ∴点 P 在圆外.

例 2 求半径为 4,与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 y ? 0 相切的圆的方程. 解:则题意,设所求圆的方程为圆 C: ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 . (x 圆 C 与直线 y ? 0 相切,且半径为 4,则圆心 C 的坐标为 C1 (a , 4) 或 C2 (a , ? 4) . 又已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的圆心 A 的坐标为 (2 , 1) ,半径为 3. 若两圆相切,则 CA ? 4 ? 3 ? 7 或 CA ? 4 ? 3 ? 1. (1)当 C1 (a , 4) 时, (a ? 2)2 ? (4 ?1)2 ? 72 ,或 (a ? 2) 2 ? (4 ? 1) 2 ? 12 (无解),故可得

a ? 2 ? 2 10 .
∴所求圆方程为 ( x ? 2 ? 2 10)2 ? ( y ? 4)2 ? 42 ,或 ( x ? 2 ? 2 10)2 ? ( y ? 4)2 ? 42 . (2)当 C2 (a , ? 4) 时, (a ? 2) 2 ? (?4 ?1) 2 ? 72 ,或 (a ? 2) 2 ? (?4 ?1) 2 ? 12 (无解),故

a ? 2?2 6 .
∴所求圆的方程为 ( x ? 2 ? 2 6 )2 ? ( y ? 4)2 ? 42 ,或 ( x ? 2 ? 2 6 )2 ? ( y ? 4)2 ? 42 . 例 3 求经过点 A(0 , 5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程. 解:∵圆和直线 x ? 2 y ? 0 与 2 x ? y ? 0 相切, ∴圆心 C 在这两条直线的交角平分线上, 又圆心到两直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 的距离相等.



x ? 2y 5

?

x ? 2y 5

.∴两直线交角的平分线方程是 x ? 3 y ? 0 或 3x ? y ? 0 .

又∵圆过点 A(0 , 5) ,∴圆心 C 只能在直线 3x ? y ? 0 上. 设圆心 C (t , 3t ) ∵ C 到直线 2 x ? y ? 0 的距离等于 AC ,



2t ? 3t 5

? t 2 ? (3t ? 5) 2 .

化简整理得 t 2 ? 6t ? 5 ? 0 .解得: t ? 1 或 t ? 5 ∴圆心是 (1 , 3) ,半径为 5 或圆心是 (5 , 15) ,半径为 5 5 . ∴所求圆的方程为 ( x ?1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 5 或 ( x ? 5) 2 ? ( y ?15) 2 ? 125. 例 4、 设圆满足:(1)截 y 轴所得弦长为 2;(2)被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为 3 : 1 ,在 满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线 l:x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程. 解:设圆心为 P(a , b) ,半径为 r . 则 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为 b 和 a . 由题设知:圆截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为 90 ? ,故圆截 x 轴所得弦长为 2r . ∴ r 2 ? 2b 2 又圆截 y 轴所得弦长为 2. ∴ r 2 ? a2 ?1 . 又∵ P(a , b) 到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为

d?

a ? 2b 5

2 ∴ 5d ? a ? 2b

2

? a 2 ? 4b 2 ? 4ab

? a 2 ? 4b2 ? 2(a 2 ? b2 )
5 . 5

? 2b2 ? a 2 ? 1

当且仅当 a ? b 时取“=”号,此时 d min ?

这时有 ?

?a ? b
2 2 ?2b ? a ? 1

∴?

?a ? 1 ?a ? ?1 或? ?b ? 1 ?b ? ?1

2 2 又 r ? 2b ? 2

故所求圆的方程为 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 或 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2 2 2

六、点、直线与圆的位置关系
1、点与圆的位置关系
已知点 M ? x0 , y0 ? 及圆 C: ? x-a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ? r ? 0 ? ,
2 2 2 (1)点 M 在圆 C 外 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r ; 2 2 2 (2)点 M 在圆 C 内 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r ; 2 2 2 (3)点 M 在圆 C 上 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 。 2 2

2、直线与圆的位置关系
(1) 直线与圆的位置关系有相交、 相切、 相离三种情况, 分别对应直线与圆有两个公共点、 一个公共点、没有公共点。

相交 相切 (两个公共点) (一个公共点) (2)直线与圆的位置关系的判断方法 ①几何法: 通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断。 设直线 l:Ax+By+C=0 圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 设圆心到直线的距离为 d ,则 d ? 则d ? r 则d ? r 则d ? r ②代数法: 通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断 直线方程与圆的方程联立方程组 ? 直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交

相离 (没有公共点)

则圆半径为 r

aA ? bB ? C A2 ? B 2

? Ax ? By ? C ? 0
2 2 ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

求解, 通过解的个数来判

断: (1)当方程组有 2 个公共解时(直线与圆有 2 个交点) ,直线与圆相交; (2)当方程组有且只有 1 个公共解时(直线与圆只有 1 个交点) ,直线与圆相切; (3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点) ,直线与圆相离; 即:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ ,圆心 C 到直线 l 的距 离为 d,则直线与圆的位置关系满足以下关系: 相切 ? d=r ? Δ =0; 相交 ? d<r ? Δ >0;

相离 ? d>r ? Δ <0。 (3) 直线与圆的相交弦问题 ① 几何法: 弦 心距 d,半径 r 及 半弦 l/2 构 成直角三 角形的 三边 , 利 用垂径定 理和 勾股定理 :

AB ? 2 r 2 ? d 2

(其中 r 为圆的半径, d 直线到圆心的距离). ② 代数法(解析法) 利用弦长计算公式:设直线 y ? kx ? b 与圆相交于 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点, 则弦 AB ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

= 1 ? k 2 | x1 ? x2 | =错误!未找到引用源。

(4)切

线 : ① 过 圆 x2 ? y 2? R2上 点 P( x0 , y0 ) 圆 的 切 线 方 程 是 : xx0 ? yy0 ? R2 过 圆
2 2 2 ( x ? a) ? ( y ? b) ? 上点 P( x0 , y0 ) 圆的切线方程是:( x ? a)( x0 ? a) ? ( y ? a)( y0 ? a) ? R2 R

②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件, 运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求;过两切点的直线(即“切点弦” ) 方程的求法: 先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆, 该圆与已知圆的公共弦就是过 两切点的直线方程; ③切线长:过圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 )外一点
2 2
2 2 ; P( x0 , y0 ) 所引圆的切线的长为 x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ( ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? R 2 )

例题:
1.已知圆 O:x2+y2=5 和点 A(1,2),则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形 的面积等于________. 解析:依题意,过 A(1,2)作圆 x2+y2=5 的切线方程为 x+2y=5,在 x 轴上的截距为 5, 5 1 5 25 25 在 y 轴上的截距为 ,切线与坐标轴围成的三角形面积 S= × ×5= .答案: 2 2 2 4 4 2 2 2.过原点 O 作圆 x +y -6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q,则线段 PQ 的 长为________. 解析: ∵圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=5, 可知圆心为(3,4), 半径为 5. 如图可知,|CO|=5, PC 1 ∴OP= 25-5=2 5.∴tan∠POC= = .在 Rt△POC 中,OC· PM= OP 2 2 5× 5 OP· PC,∴PM= =2.∴PQ=2PM=4.答案:4 5 3.若直线 3x+4y+m=0 与圆 x2+y2-2x+4y+4=0 没有公共点,则实数 m 的取值范围是 ________. 解析:将圆 x2+y2-2x+4y+4=0 化为标准方程,得(x-1)2+(y+2)2=1,圆心为(1, -2),半径为 1.

若直线与圆无公共点,即圆心到直线的距离大于半径, |3×1+4×(-2)+m| |m-5| 即 d= = >1,∴m<0 或 m>10. 5 32+42 答案:(-∞,0)∪(10,+∞) 4.已知直线 3x-y+2m=0 与圆 x2+y2=n2 相切,其中 m,n∈N*,且 n-m<5,则满足条 件的有序实数对(m,n)共有________个. - 解析:由题意可得,圆心到直线的距离等于圆的半径,即 2m 1=n,所以 ?m=1 ?m=2 ?m=3 ?m=4 ? ? ? ? - 2m 1-m<5,因为 m,n∈N*,所以? ,? ,? ,? ,故有序实数 ? ? ? ? ?n=1 ?n=2 ?n=4 ?n=8 对(m,n)共有 4 个.答案:4 个 5.直线 ax+by+b-a=0 与圆 x2+y2-x-3=0 的位置关系是________. 解析:直线方程化为 a(x-1)+b(y+1)=0,过定点(1,-1),代入圆的方程,左侧小于 0,则定点在圆内,所以直线与圆总相交.答案:相交 6.已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),a 与 b 的夹角为 60° ,直线 xcosα+ysinα=0 1 与圆(x+cosβ)2+(y+sinβ)2= 的位置关系是________. 2 解析:cos60° =cosα· cosβ+sinα· sinβ=cos(α-β), |cosα· cosβ+sinα· sinβ| 3 2 d= =|cos(α-β)|= > =r.答案:相离 2 2 2 2 cos α+sin α 2 7.已知:以点 C(t, )(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B, t 其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值; (2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程. 4 2 4 解:(1)证明:∵圆 C 过原点 O,∴OC2=t2+ 2.设圆 C 的方程是(x-t)2+(y- )2=t2+ 2, t t t 4 令 x=0,得 y1=0,y2= ;令 y=0,得 x1=0,x2=2t. t 1 1 4 ∴S△OAB= OA· OB= ×| |×|2t|=4,即△OAB 的面积为定值. 2 2 t 1 (2)∵OM=ON,CM=CN,∴OC 垂直平分线段 MN.∵kMN=-2,∴kO C= , 2 1 2 1 ∴直线 OC 的方程是 y= x.∴ = t,解得:t=2 或 t=-2. 2 t 2 当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),OC= 5,此时圆心 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d 1 = < 5,圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于两点. 5 当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),OC= 5,此时圆心 C 到直线 y=-2x+4 1 的距离 d= > 5,圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交, 5 ∴t=-2 不符合题意舍去.∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

七、圆与圆的位置关系
(1)两圆位置关系的判定方法 ①几何法: 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d 。

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线;

外离

相切

相交

内切

内含

②代数法: 判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决 (方法同直线 与圆位置关系的代数法) 【一般不提倡用此法,太过繁琐】 (2)两圆的公共线 ① 定义:当两圆相交时,必有两个交点,那么过这两点交点的弦为圆的公共点。 ② 公共弦所在直线方程 设圆

C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 C2 : x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0

① ②

若两圆相交,则两圆的公共弦所在的直线方程是 用①-②得 ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0 ③

若圆 C1 与 C2 相交,则③式为公共弦所在的直线方程 若圆 C1 与 C2 外(内)切,则③式外(内)切线的方程 若圆 C1 与 C2 相离(外离或内含) ,则③式为圆的 C1、C2 相离的直线

例题:
例 1.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 2 3,则 a=________. 1 解析:两圆方程作差易知弦所在直线方程为:y= , a 1 如图,由已知|AC|= 3,|OA|=2,有|OC|= =1,∴a=1. a 答案:1 例 2.过点 A(11,2)作圆 x2+y2+2x-4y-164=0 的弦,其中弦长为整数的共有__条. 解析:方程化为(x+1)2+(y-2)2=132,圆心为(-1,2),到点 A(11,2)的距离为 12,最短 弦长为 10,最长弦长为 26,所以所求直线条数为 2+2×(25-10)=32(条).答案:32 例 3.已知圆 C1:x2+y2+2x+2y-8=0 与圆 C2:x2+y2-2x+10y-24=0 相交于 A、B 两 点,

(1)求公共弦 AB 所在的直线方程; (2)求圆心在直线 y=-x 上,且经过 A、B 两点的圆的方程. ?x2+y2+2x+2y-8=0 ? 解:(1)? 2 2 ?x-2y+4=0. ? ?x +y -2x+10y-24=0 (2)由(1)得 x=2y-4,代入 x2+y2+2x+2y-8=0 中得:y2-2y=0. ?x=-4 ?x=0 ? ? ∴? 或? ,即 A(-4,0),B(0,2), ? ? ?y=0 ?y=2 又圆心在直线 y=-x 上,设圆心为 M(x,-x),则|MA|=|MB|,解得 M(-3,3),∴⊙M: (x+3)2+(y-3)2=10. 例 4 已知圆 C1:x2 + y2 – 2mx + 4y + m2 – 5 = 0,圆 C2:x2 + y2 + 2x – 2my + m2 – 3 = 0,m 为何值时, (1)圆 C1 与圆 C2 相外切; (2)圆 C1 与圆 C2 内含. 【解析】对于圆 C1,圆 C2 的方程,经配方后 C1:(x – m)2 + (y + 2)2 = 9,C2:(x + 1)2 + (y – m)2 = 4. (1)如果 C1 与 C2 外切,则有 (m ? 1)2 ? (m ? 2)2 ? 3 ? 2 , 所以 m2 + 3m – 10 = 0,解得 m = 2 或–5. (2)如果 C1 与 C2 内含,则有 (m ? 1)2 ? (m ? 2)2 ? 3 ? 2 , 所以 m2 + 3m + 2<0,得–2<m<–1. 所以当 m = –5 或 m = 2 时,C1 与 C2 外切; 当–2<m<–1 时,C1 与 C2 内含. 例 5 求过直线 x + y + 4 = 0 与圆 x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0 的交点且与 y = x 相切的圆的方程. 【解析】设所求的圆的方程为 x2 + y2 + 4x – 2y – 4 + ? (x + y + 4) = 0. 联立方程组 ?
?y ? x
2 2 ? x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? ? ( x ? y ? 4) ? 0

得: x2 ? (1 ? ? ) x ? 2(? ? 1) ? 0 . 因为圆与 y = x 相切,所以 ? =0. 即 (1 ? ? )2 ? 8(? ? 1) ? 0, 则? =3 故所求圆的方程为 x2 + y2 + 7x + y + 8 = 0. 例 6 求过两圆 x2 + y2 + 6x – 4 = 0 求 x2 + y2 + 6y – 28 = 0 的交点, 且圆心在直线 x – y – 4 = 0 上的圆的方程. 【解析】依题意所求的圆的圆心,在已知圆的圆心的连心线上,又两已知圆的圆心分别 为(–3,0)和(0,–3). 则连心线的方程是 x + y + 3 = 0.
?x ? y ? 3 ? 0 由? ?x ? y ? 4 ? 0

1 ? ?x ? 2 ? 解得 ? . ?y ? ? 7 ? ? 2

1 7 所以所求圆的圆心坐标是 ( , ? ) . 2 2 2 2 设所求圆的方程是 x + y – x + 7y + m = 0 由三个圆有同一条公共弦得 m = –32.

故所求方程是 x2 + y2 – x + 7y – 32 = 0. 例 7.已知圆 C 的方程为 x2+y2=1,直线 l1 过定点 A(3,0),且与圆 C 相切. (1)求直线 l1 的方程; (2)设圆 C 与 x 轴交于 P、Q 两点,M 是圆 C 上异于 P、Q 的任意一点,过点 A 且与 x 轴垂直的直线为 l2, 直线 PM 交直线 l2 于点 P′, 直线 QM 交直线 l2 于点 Q′.求证: P′Q′ 以 为直径的圆 C′总过定点,并求出定点坐标. 解:(1)∵直线 l1 过点 A(3,0),且与圆 C:x2+y2=1 相切,设直线 l1 的方程为 y=k(x- 3),即 kx-y-3k=0, |3k| 2 则圆心 O(0,0)到直线 l1 的距离为 d= 2 =1,解得 k=± , 4 k +1 2 ∴直线 l1 的方程为 y=± (x-3). 4 (2)对于圆 C:x2+y2=1,令 y=0,则 x=± 1,即 P(-1,0),Q(1,0).又直线 l2 过点 A 且 与 x 轴垂直,∴直线 l2 方程为 x=3. t 设 M(s,t),则直线 PM 的方程为 y= (x+1). s+1

?x=3, ? 4t 2t 解方程组? 得 P′(3, ).同理可得 Q′(3, ). t s+1 s-1 y= (x+1), ? s+1 ?
∴以 P′Q′为直径的圆 C′的方程为 4t 2t (x-3)(x-3)+(y- )(y- )=0,又 s2+t2=1, s+1 s-1 6s-2 ∴整理得(x2+y2-6x+1)+ y=0, t 若圆 C′经过定点,只需令 y=0,从而有 x2-6x+1=0,解得 x=3± 2, 2 ∴圆 C′总经过定点,定点坐标为(3± 2,0). 2


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