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第7讲 导数的概念及其运算


第七讲 导数的概念及其运算
【考纲解读】
1.了解导数的概念及其实际背景,理解导数的几何意义,能用导数求切线的斜率. 2.掌握常见函数的导数和导数的运算法则,会求多项式函数的导数.

【命题规律分析】
由近几年高考试题统计分析可以看出, 对导数概念及其运算的考查, 单独考查导数运算 的题目很少出现,主要是以导数的运算为工具,考查导

数的几何意义为主,最常见的问题就 是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系,以平行或垂直直线斜率间的 关系为载体求参数的值, 以及与曲线的切线相关的计算题.考查的题型以选择题、 填空题为主. 预计未来的高考中,考查方式和内容不会有大的变化,在保持稳定的基础上可能对条件的设 置情景进行创新,考查方式仍然会以客观题为主,考查内容以导数的运算公式和运算法则为 基础,以导数的几何意义为重点.

【知识回顾】
1.导数的定义: 设函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处附近有定义, 当自变量在 x ? x0 处有增量 ?x 时, 则函数 y ? f ( x) 相应地有增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ,如果 ?x ? 0 时, ?y 与 ?x 的比

?y ?y (也叫函数的平均变化率)有极限即 无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做 ?x ?x
函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 y?
x ? x0

,即 f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) . ?x

在定义式中,设 x ? x0 ? ?x ,则 ?x ? x ? x0 ,当 ?x 趋近于 0 时, x 趋近于 x 0 ,因此, 导数的定义式可写成 f ?( x0 ) ? lim 2.导数的几何意义: 导数 f ?( x0 ) ? lim

?x ?o

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ? lim . x ? x0 ?x x ? x0

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处的瞬时变化率,它反 ?x

映了函数 y ? f ( x) 在点 x 0 处变化 的快慢程度. .. 它的几何意义是曲线 y ? f ( x) 上点 ( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率.因此, 如果 y ? f ( x) 在 点 x 0 可 导 , 则 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 处 的 切 线 方 程 为

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) .
3.几种常见函数的导数:

C ' ? 0 ( C 为 常 数 ) ; ( x n )' ? nx n ?1 ( n ? Q ) ; (sin x)' ? cos x ; (cos x)' ? ? sin x ;

(ln x)? ?

1 1 x x x x ; (log a x)? ? log a e , (e )? ? e ; (a )? ? a ln a x x
法则 2 : [u( x)v( x)]? ? u?( x)v( x) ? u( x)v?( x) , [Cu ( x)]? ? Cu '( x)

4.求导法则:法则 1 : [u( x) ? v( x)]? ? u?( x) ? v?( x) .

? u ? u ' v ? uv ' (v ? 0) 法则 3 : ? ? ? v2 ?v?
5.复合函数的导数:设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 u? x ? ? ?( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 的对 应点 u 处有导数 y?u ? f ? ? u ? , 则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处也有导数, 且 y ' x ? y 'u ?u ' x 或

'

f ?x (? ( x)) ? f ?(u ) ? ? ?( x)
6.复合函数的求导法则:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以 中间变量对自变量的导数.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代 7.导数的几何意义是曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率,即 k ? f ?( x0 ) , 要注意“过点 A 的曲线的切线方程”与“在点 A 处的切线方程”是不尽相同的,后者 A 必为 切点,前者未必是切点.

【考点分析】
考点一:导数的概念 例 1 用导数的定义,求函数 y ? f ( x) ?

1 在 x ? 1 处的导数. x

选题意图:借助本题希望帮助学生回忆起导数的定义. 难度分级:B 答案解析:∵ ?y ? f (1 ? ?x) ? f (1) ?

1 ?1 1 ? ?x

?

1 ? 1 ? ?x 1 ? 1 ? ?x ? 1 ? ?x (1 ? 1 ? ?x ) 1 ? ?x

?

??x (1 ? 1 ? ?x ) 1 ? ?x



?y 1 ?? ?x (1 ? 1 ? ?x ) 1 ? ?x

∴ f '(1) ? lim

?y 1 ?? . ?x ?0 ?x 2

小结:利用导数的定义求导数的步骤:第一步求函数的增量 ?y ;第二步求平均变化率 第三步取极限得导数. 例 2 函数 f(x)在 x=x0 处可导,用 f ? ? x0 ? 表示下列各式: (1) lim (2) lim
h ?0 ?x ?0

?y ; ?x

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ?x f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) h

选题意图:考查学生对于导数定义的理解和灵活运用. 难度分级:A 答案解析:(1)原式=2· lim (2)原式=2· lim
h→0 Δx→0

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 2 f ? ? x0 ? . 2?x

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ?? 2 f ? ? x0 ? . 2h

点评:利用导数定义解题,要充分体会导数定义的实质,表达式不同,但表达的实质可能相 同. 变式训练:下列式子中与 f ? ? x0 ? 相等的是( (1) lim )

Δx→0

f ( x0 ) ? f ( x0 ? 2?x) ; 2?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? ?x) ; ?x f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ? ?x) ; ?x f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? 2?x) . ?x
C.(2)(3) D.(1)(2)(3)(4)

(2) lim

Δx→0

(3) lim

Δx→0

(4) lim

Δx→0

A.(1)(2) B.(1)(3)

解析:B 根据导数定义,分子中 x0 的增量应与分母相同,故选 B. 考点二:导数的计算 例 3 求下列各函数的导函数 (1) f ( x) ? ( x ? 1)(2 x ? 3) ;
2

(2)y= x 2sin x ; (4)y=

(3)y=

ex ?1 ; ex ?1

x ? cos x x ? sin x

命题意图:本题考查基本函数的导数公式以及导数的运算法则. 难度分级:A 答案解析: (1)法一:去掉括号后求导.

f ( x) ? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 2 x ? 3 f '( x) ? 6 x 2 ? 6 x ? 2
法二:利用两个函数乘积的求导法则

f '( x) ? ( x 2 ? 1) '(2 x ? 3) ? ( x 2 ? 1) ? (2 x ? 3) ' ? 2 x(2 x ? 3) ? ( x 2 ? 1) ? 2 ? 6 x2 ? 6 x ? 2
(2) y ? ? ? x 2 ?? sin x ? x 2 ? sin x ?? ? 2 x sin x ? x 2 cos x (3) y ' ? (4) y ' ?

(e x ? 1)?(e x ? 1) ? (e x ? 1)(e x ? 1)? ?2e x = x (e ? 1) 2 (e x ? 1) 2

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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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( x ? cos x)?( x ? sin x) ? ( x ? cos x)( x ? sin x)? ( x ? sin x) 2
=

(1 ? sin x)( x ? sin x) ? ( x ? cos x)(1 ? cos x) ( x ? sin x) 2 ? x cos x ? x sin x ? sin x ? cos x ? 1 ( x ? sin x) 2
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=

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点评:对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法 则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的作用,在实施化简时,要注意变换的等价性, 避免不必要的失误. 对于某些不满足求导法则条件的函数, 可适当进行恒等变形, 步步为营, 使解决问题水到渠成. 例 4 求下列函数导数. (1) y ?

1 ; (1 ? 3x) 4
2 x ?1

(2) y ? ln( x ? 2) ; (4) y ? cos(2 x ? 1) .

(3) y ? e



选题意图: 本题考查复合函数的求导运算.求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而 成的,然后再按复合函数的求导法则求导. 难度分级:B 答案解析: (1) y ? u
?4

, u ? 1 ? 3x .

y 'x ? y 'u ? u 'x ? (u ?4 ) '? (1 ? 3x) '

? ?4u ?5 ? (?3) ? 12u ?5 12 . ? 5 (1 ? 3 x)
(2) y ? ln u , u ? x ? 2 ∴ y 'x ? y 'u ? u 'x ? (ln u ) '? ( x ? 2) '

1 1 ? ?1 ? u x?2
(3) y ? e , u ? 2 x ? 1 .
u

∴ y 'x ? y 'u ? u 'x ? (e ) '? (2 x ? 1) '
u

? 2eu ? 2e2 x ?1
(4) y ? cos u , u ? 2 x ? 1 , ∴ y 'x ? y 'u ? u 'x ? (cos u ) '? (2 x ? 1) '

? ?2 s i u n ? ? 2 s ix n? (2.
小结:

1)

(1)复合函数的求导,一定要抓住“中间变量”这一关键环节,然后应用法则,由外向里 一层层求导,注意不要漏层.熟练以后,可以摆脱引入中间变量的字母,只要心中记住就行, 这样可以使书写简单; (2)求复合函数的导数的方法步骤: ①分清复合函数的复合关系,选好中间变量; ②运用复合函数求导法则求复合函数的导数,注意分清每层是哪个变量对哪个变量求导 数; ③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数,并把中间变量换成自 变量的函数. 变式训练:求下列函数的导数: (1) y ? (1 ? 2 x ) ;
2 8

(2) y ? 3 x ? 3 x
?x

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(3)y=ln(x+ 1 ? x 2 ) ;
2

(4) f ( x) ? e (cos x ? sin x)
8

答案解析: (1)令 u ? 1 ? 2 x , y ? u ,
8 2 7 2 7 ? ? ? ? ? y? x ? y u u x ? (u ) (1 ? 2 x ) ? 8u ? 4 x ? 32 x(1 ? 2 x ) .

1

1

(2)令 u ? x ? x 3 , y ? u 3 ,
1 ? 1 1 1? 3? ? ? ? ? y? ? ( u ) ? ( x ? x ) ? ? u ( 1 ? x ) ? x ? x x ? 3 3 3? ? ? 1 3 1 3 ? 2 3 ? 2 3 ? 2 3

? 1 ?2 ? ?1 ? x 3 ?. ? 3 ? ? ?
1
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(3) y ' ?

1 x ? 1? x
?x

2

( x ? 1 ? x2 ) ' =

1 x ? 1? x
2

(1 ?

x 1? x
2

)=

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1? x

2

(4) f '( x) ? e

? (? x) '(cos x ? sin x) ? e? x ? (cos x ? sin x) '

? ?e? x (cos x ? sin x) ? e? x (? sin x ? cos x)

? e? x (? sin x ? cos x ? cos x ? sin x) ? e? x (? 2 s i x n )

? ?2e? x ? sin x

考点三:导数的几何意义
例 5 求曲线 y ? x3 ? 2 x 在 x ? 1 处的切线方程. 命题意图:本题考查了曲线上在某点处的切线方程的求法. 难度分级:A 答案解析: y ' ? 3x ? 2 ,
2

y ' |x ?1 ? 3 ?12 ? 2 ? 5
x=1 时,y=3, ∴切点为(1,3) ,切线斜率为 5 切线方程为 y―3=5(x―1),即 y=5x―2. 小结:求函数 y ? f ( x) 图像上点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程的求解步骤: ① 求出函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f '( x) ② 求出导函数在 x ? x0 处的导数 f '( x0 ) (即过点 P 的切线的斜率), ③ 用点斜式写出切线方程,再化简整理. 1 4 例 6 已知曲线 y= x3+ . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (3)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程; 选题意图: 本题考查了导数的几何意义, 分别给出了在某点处和过某点处的切线方程的求法, 请老师督促学生仔细体会. 难度分级:B 解析:(1)∵y′=x2,∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k= y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. 1 3 4? 1 4 (2)设曲线 y= x3+ 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A? ?x0,3x0+3?, 3 3 则切线的斜率 k= y′|x=x0=x2 0. 1 3 4? 2 2 4 2 ∴切线方程为 y-? x- x3 + . ?3x0+3?=x0(x-x0),即 y=x0· 3 0 3 2 3 4 3 2 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x2 0- x0+ ,即 x0-3x0+4=0, 3 3
3 2 2 ∴x0 +x2 0-4x0+4=0,∴x0(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,

∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. (3)设切点为(x0,y0),故切线的斜率为 k=x2 1, 0=1,解得 x0=± 5? 故切点为? ?1,3?,(-1,1). 5 故所求切线方程为 y- =x-1 和 y-1=x+1,即 3x-3y+2=0 和 x-y+2=0. 3 点评:(1)解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”;(2)对未知切点 坐标的问题,一般是首先设出切点的坐标,然后根据需要三个方面出击,即利用 “切点处的 导数等于切线的斜率”,“切点在曲线上”,“切点在切线上”建立方程组求解;(3)切点的横坐 标与该切点处的切线的斜率这两个量之间可以相互转化.另外,要注意曲线的切线与曲线不 一定只有一个公共点. 变式训练:已知 P(?1,1) , Q(2, 4) 是曲线 y ? x 上的两点,则与直线 PQ 平行的曲线 y ? x 2 的
2

切线方程是________. 答案解析: y ? x 的导数为 y ' ? 2 x .
2

设切点 M ( x0 , y0 ) ,则 y ' |x ? x0 ? 2 x0 . ∵ PQ 的斜率 k PQ ?

4 ?1 ? 1,又切线平行于 PQ , 2 ?1 1 1 1 ,∴切点 M ( , ) , 2 2 4

∴ k ? y ' |x ? x0 ? 2 x0 ? 1 ,∴ x0 ? ∴切线方程为 y ?

1 1 ? x ? ,即 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 . 4 2
2

变式训练:已知直线 l1 为曲线 y ? x ? x ? 2 在点(1,0)处的切线, l 2 为该曲线的另一条切 线,且 l1 ? l2 . (1)求直线 l 2 的方程; (2)求由直线 l1 、 l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积. 答案解析: (1) y ' ? 2 x ? 1 , y ' |x ?1 ? 2 ?1 ? 1 ? 3 直线 l1 的方程为 y ? 3x ? 3 . 设直线 l 2 过曲线 y ? x ? x ? 2 上的点 B(b, b ? b ? 2) ,
2 2

(b ? b ? 2) ? (2b ? 1) (x ? b) 则 l 2 的方程为 y ? ,即 y ? (2b ? 1) x ? b ? 2 .
2 2

因为 l1 ? l2 ,则有 2b ? 1 ? ?

1 2 ,b ? ? . 3 3

所以直线 l 2 的方程为 y ? ?

1 22 x? . 3 9

? y ? 3x ? 3, ? (2)解方程组 ? 1 22 y ? ? x? , ? 3 9 ?

1 ? ?x ? 6 , 得? 5 ?y ? ? . ? 2
5 2 22 , 0) , 3

所以直线 l1 和 l 2 的交点坐标为 ( , ? ) . l1 、 l 2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0) 、 (? 所以所求三角形的面积为 S ?

1 6

1 25 5 125 . ? ?? ? 2 3 2 12

考点四:函数图象与导函数图象的关系
例 7 函数 y=f(x)的图象如图所示,那么导函数 y=f′(x)的图象可能是( )

选题意图:本题考查了原函数图象与导函数图象之间的关系. 难度分级:B 答案:A 解析:由原函数的单调性可以得到导函数的正负性情况,依次是“正、负、正、负”,即导函 数的图象与 x 轴的位置应是“上、下、上、下”,符合规律的只有 A. 点评:解决此类问题时,审题应看清已知条件是导函数还是原函数,然后用“导数的正负性决 定原函数的增减”原则进行判断. 点评:由原函数的图象变化趋势是“增、减、增、减”,运用“增则正,减则负”规律,即可判 断导函数的图象. 变式训练: 已知函数 y ? f ? x ? , y ? g ? x ? 的导函数的图象如下图, 那么 y ? f ? x ? , y ? g ? x ? 的图象可能是( )

选题意图:本题考查了原函数图象与导函数图象之间的关系及导数的几何意义,注意到从导 数的图像不仅能得到原函数的增减情况,还能得到原函数上每一点的切线斜率变化情况. 难度分级:C 答案:D 解析:由导函数的图象可知,函数 y ? f ? x ? , y ? g ? x ? 均为增函数,四个答案均符合要求; 另外, 函数 y ? f ? x ? 的导函数图像呈单调递减趋势, 即函数 y ? f ? x ? 的切线斜率应越来越小, 同理函数 y ? g ? x ? 的切线斜率应越来越大,故排除答案 A 和 C; 又注意到在 x ? x0 处函数 y ? f ? x ? , y ? g ? x ? 的导数值相同,即切线斜率相同, 同时在此点的左侧应函数 y ? f ? x ? 的切线斜率大,在此点的右侧应函数 y ? g ? x ? 的切线斜率 大,故排除 B,应选 D.

考点五 导数的应用(切线)
例 8(2011 全国Ⅱ文 20)已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax 2 ? (3 ? 6a) x ? 12a ? 4(a ? R) (Ⅰ)证明:曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 0 的切线过点 ? 2, 2 ? ; (Ⅱ)若 y ? f ? x ? 在 x ? x0 处取得极小值, x0 ? ?1,3? ,求 a 的取值范围. 答案解析:(Ⅰ) f ?( x) ? 3x 2 ? 6ax ? (3 ? 6a) , f ?(0) ? 3 ? 6a ,又 f (0) ? 12a ? 4 曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 0 的切线方程是: y ? (12a ? 4) ? (3 ? 6a) x , 在上式中令 x ? 2 ,得 y ? 2 所以曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 0 的切线过点 ? 2, 2 ? . (Ⅱ)由 f ?( x) ? 0 得 x 2 ? 2ax ? 1 ? 2a ? 0 , (i)当 ? 2 ? 1 ? a ?

2 ? 1时, f ( x) 没有极小值;

(ii)当 a ? 2 ? 1 或 a ? ? 2 ? 1 时,由 f ?( x) ? 0 得

x1 ? ? a ? a 2 ? 2a ? 1, x2 ? ? a ? a 2 ? 2a ? 1

故 x0 ? x2 .由题设知 1 ? ?a ? a 2 ? 2a ? 1 ? 3 , 当 a ? 2 ? 1 时,不等式 1 ? ?a ? a 2 ? 2a ? 1 ? 3 无解; 当 a ? ? 2 ? 1 时,解不等式 1 ? ?a ? a 2 ? 2a ? 1 ? 3 得 ? 综合(i)(ii)得 a 的取值范围是 (?

5 ? a ? ? 2 ?1 2

5 , ? 2 ? 1) . 2

【课后练习】
一、选择题 1. (2011 江西文 4)曲线 y ? e x 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.1 B.2 C. e D. )

1 e

【答案】A 【解析】 y ' ? e x , x ? 0, e 0 ? 1 2.(2011 全国Ⅱ理 8)曲线 y ? e ?2 x ? 1 在点(0,2)处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三 角形的面积为 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)1

【答案】A 【命题意图】 : 本小题主要考查导数的求法、 导数的几何意义及过曲线上一点切线的方程的求 法.
?2 x 【 解 析 】 y? |x ?0 ? (?2e ) |x ?0 ? ?2 , 故 曲 线 y ? e ?2 x ? 1 在 点 ( 0,2 ) 处 的 切 线 方 程 为

1 y ? ?2 x ? 2 ,易得切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形的面积为 . 3
3.(2011 全国Ⅰ理 9)由曲线 y ? (A)

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为
(C)

10 3

(B)4

16 3

(D)6

【答案】C 4.(2011 江西理 4)设 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 4 ln x ,则 f ' ( x) ? 0 的解集为 A. (0,??) 【答案】C
' 【 解析 】 f ( x) 定 义域 为 (0,??) ,又由 f ( x) ? 2 x ? 2 ?

B. (?1,0) ? (2,??)

C. (2,??)

D. (?1,0)

4 2( x ? 2)( x ? 1) ? ? 0 ,解得 x x

? 1 ? x ? 0 或 x ? 2 ,所以 f ' ( x) ? 0 的解集 (2,??)
5.(2011 辽宁理 11)函数 f ( x) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则

f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为
A. ( ? 1 ,1) 【答案】B 6. (2011 重庆文 3)曲线 y ? ? x3 ? 3x 2 在点 ?1, 2 ? 处的切线方程为 ( ) (A) y ? 3x ? 1 (C) y ? 3x ? 5 【答案】A 7.(2011 湖南文 7)曲线 y ? A. ? (B) y ? ?3x ? 5 (D) y ? 2 x B. ( ? 1 ,+ ? ) C. ( ? ? , ? 1 ) D. ( ? ? ,+ ? )

sin x 1 ? ? 在点 M ( , 0) 处的切线的斜率为( sin x ? cos x 2 4
2 2
D.



1 2

B.

1 2

C. ?

2 2

【答案】B 【解析】 y' ? 所以 y'|x ? ? ?
4

cos x(sin x ? cos x) ? sin x(cos x ? sin x) 1 ? , 2 (sin x ? cos x) (sin x ? cos x)2

(sin

?

1

? cos )2 4 4

?

?

1 2.

8.(2011 湖北理 10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断 减少,这种现象称为衰变,假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中,其含量 M (单位: 太贝克)与时间 t (单位:年)满足函数关系: M ?t ? ? M 2 ? 30 ,其中 M 0 为 t ? 0 时铯 137 0 的含量,已知 t ? 30 时,铯 137 的含量的变化率是 ? 10 ln 2 (太贝克/年) ,则 M ?60 ? ? A. 5 太贝克 【答案】D 【解析】因为 M / ?t ? ? ? 则 M / ?30 ? ? ?
? 1 ln 2 ? M 0 2 30 , 30 t

t

B. 75 ln 2 太贝克

C. 150 ln 2 太贝克

D. 150 太贝克

? 1 ln 2 ? M 0 2 30 ? ?10 ln 2 ,解得 M 0 ? 600 , 30

30

所以 M ?t ? ? 600 ? 2 所以选 D.

?

t 30

,那么 M ?60 ? ? 600 ? 2

?

60 30

? 600 ?

1 , ? 150 (太贝克) 4

9. (2012 重庆理 8) 设函数 f ( x) 在 R 上可导, 其导函数为 f ( x) , 且函数 y ? (1 ? x) f ' ( x) 的
,

图像如图所示,则下列结论中一定成立的是(



(A)函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) (B)函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) (C)函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) (D)函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) 【答案】D 【解析】由图象可知当 x ? ?2 时, y ? (1 ? x) f ' ( x) ? 0 ,所以此时 f ' ( x) ? 0 ,函数递增. 当 ? 2 ? x ? 1 时, y ? (1 ? x) f ' ( x) ? 0 ,所以此时 f ' ( x) ? 0 ,函数递减. 当 1 ? x ? 2 时, y ? (1 ? x) f ' ( x) ? 0 ,所以此时 f ' ( x) ? 0 ,函数递减. 当 x ? 2 时, y ? (1 ? x) f ' ( x) ? 0 ,所以此时 f ' ( x) ? 0 ,函数递增. 所以函数 f ( x) 有极大值 f (?2) ,极小值 f (2) ,选 D. 二、填空题: 10.(2012 广东理 12)曲线 y ? x3 ? x ? 3 在点 ?1,3 ? 处的切线方程为 【答案】 2 x ? y ? 1 ? 0 【解析】 y? ? 3x ? 1 ,当 x ? 1 时, y? ? 2 ,此时 k ? 2 ,
2



故切线方程为 y ? 3 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 . 11.(2012 陕西理 14)设函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0 , D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲 ??2 x ? 1, x ? 0
.

线在点 (1, 0) 处的切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为 【答案】2

【解析】函数 y ? f ( x) 在点 (1,0) 处的切线为 y ? 0 ? f ' (1)( x ? 1) ,即 y ? x ? 1 . 所以 D 表示的平面区域如图

当目标函数直线经过点 M 时 z 有最大值,最大值为 z ? 0 ? 2 ? (?1) ? 2 . 三、解答题: 12. (2012 重庆理 16) 设 f ( x) ? a ln x ? 处的切线垂直于 y 轴. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值. 【解析】 (Ⅰ)因 f ? x ? ? a ln x ?

1 3 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) ? x ? 1, 其中 a ? R , 2x 2

1 3 a 1 3 ? x ? 1 ,故 f ? ? x ? ? ? 2 ? 2x 2 x 2x 2

由于曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线垂直于 y 轴,故该切线斜率为 0,即 f ? ?1? ? 0 , 从而 a ?

?

?

1 3 ? ? 0 ,解得 a ? ?1 2 2
1 3 ? x ? 1? x ? 0 ? , 2x 2

(Ⅱ)由(1)知 f ? x ? ? ? ln x ?

1 1 3 3x 2 ? 2 x ? 1 f ?? x? ? ? ? 2 ? ? x 2x 2 2x2

? f ?? x? ?

(3x ? 1)( x ? 1) 2 x2 1 3
1 不在定义域内,舍去) , 3

令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ? (因 x2 ? ?

当 x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0,1? 上为减函数; 当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数; 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极小值 f ?1? ? 3 .


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