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8-8高中数学核动力


第八章 平面解析几何

课 前 自 主 学 案

第8节

曲线与方程(理)

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1.(2012·济南模拟)方程(x-y)2+(xy-1)2=0的曲线是

(

)
A.一条直线和一条双曲线 C.两个点 B.两条双曲线

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D.以上答案都不对 ?x-y=0, ? 2 2 【解析】 (x-y) +(xy-1) =0?? ?xy-1=0. ?
?x=1, ? ∴? ?y=1, ? ?x=-1, ? 或? ?y=-1. ?

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【答案】 C
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2.(2010·重庆高考)到两互相垂直的异面直线的距离相
等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的
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轨迹是(

) B.椭圆 D.双曲线 在长方体ABCD-A1B1C1D1 中建立如图所示

A.直线 C.抛物线 【解析】

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的空间直角坐标系,
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易知直线AD与D1C1是异面垂直的两条直线,过直线AD
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与D1C1平行的平面是面ABCD,设在平面ABCD内动点M(x,
y)满足到直线AD与D1C1 的距离相等,作MM1⊥AD于M1 , MN⊥CD 于 N , NP⊥D1C1 于 P , 连 接 MP , 易 知 MN⊥ 平 面 CDD1C1,MP⊥D1C1,则有|MM1|=|MP|,|y|2=x2+a2(其中a 是异面直线AD与D1C1间的距离),即有y2-x2=a2,因此动点 M的轨迹是双曲线.故选D. 【答案】 D

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3.(2010· 北京高考改编)在平面直角坐标系 xOy 中, B 点
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与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 1 的斜率之积等于- .则动点 P 的轨迹方程为( 3 A.x2+3y2=4 B.x2-3y2=4 )

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C.x +3y =4(x≠± 1) D.x2-3y2=4(x≠± 1)

2

2

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【解析】 因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,所
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以点 B 的坐标为(1,-1).设点 P 的坐标为(x,y), y-1 y+1 1 由题意得 · =- , 3 x+1 x-1 化简得 x2+3y2=4(x≠± 1). 故动点 P 的轨迹方程为 x2+3y2=4(x≠± 1).

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【答案】 D

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4.(2011· 陕西高考改编)如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上 的动点, D 是 P 在 x 轴上的投影, 为 PD 上一点, 点 M 且|MD|
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4 = |PD|.当 P 在圆上运动时,则点 M 的轨迹 C 的方程为 5 ________.

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【解析】 设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xp,yp),
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?xp=x, ? 由已知得? 5 ?yp=4y, ? 5 2 x2 y2 ∵P 在圆上,∴x2+ y =25,即 C 的方程为 + =1. 4 25 16
x 2 y2 【答案】 + =1. 25 16

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5. (2011· 北京高考)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0) 和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a2(a>1)的点的轨迹.给出下
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列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; 1 2 ③若点 P 在曲线 C 上,则△F1PF2 的面积不大于 a . 2

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其中,所有正确结论的序号是________.

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【解析】 设动点 M(x,y)到两定点 F1,F2 的距离的积 等于 a2,得曲线 C 的方程为
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?x+1? +y · ?x-1? +y =a ,
2 2 2 2 2

∵a>1, 故原点坐标不满足曲线 C 的方程, 故①错误. 以 -x,-y 分别代替曲线 C 的方程中的 x、y,其方程不变,故 曲线 C 关于原点对称,即②正确. 1 1 1 因为 S△F1PF2 = |PF1||PF2|sin∠F1PF2≤ |PF1||PF2|= 2 2 2 1 2 a ,即面积不大于 a ,所以③正确. 2 【答案】 ②③
2

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1.曲线与方程
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一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与
一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解 .

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(2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点 ,那么这个方程叫做 曲线的方程 ,这条曲线
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叫做

方程的曲线



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如果只满足第(2)个条件,会出现什么情况?
提示:若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点”,则这个方程可能只是部分曲线的方程,而非整个 曲线的方程,如分段函数的解析式.

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2.求曲线方程的一般步骤
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已知圆的方程为x2+y2=4,动抛物线过
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点A(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点 的轨迹方程是________________. 【尝试解答】 设P(x0,y0)为圆上任一点,过该点的切

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线l:x0x+y0y=4(|x0|≤2),以l为准线过A、B两点的抛物线焦
点F(x,y),A、B到l距离分别为d1 、d2 ,根据抛物线的定
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义, |-x0-4| |x0-4| x0+4 4-x0 |FA|+|FB|=d1+d2= 2 2 + 2 2= + 2 2 x0+y0 x0+y0

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=4>|AB|,
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∴F 点的轨迹是以 A、B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,
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∴c=1,∴b2=3, x 2 y2 ∴方程为 + =1. 4 3
x2 y 2 【答案】 + =1 4 3

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(2011· 广东高考)设圆 C 与两圆(x+ 5)2+y2=4, (x- 5)2
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+y =4 中的一个内切,另一个外切.求 C 的圆心轨迹 L 的 方程.

2

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【尝试解答】 依题意得两圆的圆心分别为 F1(- 5, 0),F2( 5,0),从而可得 |CF1|+2=|CF2|-2 或|CF2|+2=|CF1|-2,
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所以||CF2|-|CF1||=4=2a<|F1F2|=2 5=2c, 所以圆心 C 的轨迹是以原点为中心,焦点在 x 轴上,且 实轴长为 4,焦距为 2 5的双曲线,
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因此 a=2,c= 5,b2=c2-a2=1,
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x2 2 故 C 的圆心轨迹 L 的方程为 -y =1. 4

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【归纳提升】
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通过图形的几何性质判断动点的轨迹是
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何种图形,再求其轨迹方程,这种方法叫做定义法,运用定 义法,求其轨迹,一要熟练掌握常用轨迹的定义,如线段的 垂直平分线,圆、椭圆、双曲线、抛物线等;二是熟练掌握

平面几何的一些性质定理.
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已知BC是圆x2 +y2 =25的动弦,且|BC|

=6,则BC的中点的轨迹方程是________________.
【尝试解答】 设BC中点为P(x,y),则OP⊥BC, ∵|OC|=5,|PC|=3,∴|OP|=4,∴x2+y2=16. 【答案】 x2+y2=16

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(2013·青岛模拟)如图,两条过原点O的
直线l1,l2分别与x轴、y轴成30°的角,点P(x1,y1)在直线l1
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上运动,点Q(x2,y2)在直线l2上运动,且线段PQ的长度为2.

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(1)求动点M(x1,x2)的轨迹C的方程;
(2)设过定点T(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两
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点A、B,且∠AOB为锐角,求直线l的斜率k的取值范围.

【尝试解答】 (1)由已知得直线 l1⊥l2, 3 l1:y= x,l2:y=- 3x, 3 ∵点 P(x1,y1)在直线 l1 上运动,点 Q(x2,y2)在直线 l2

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上运动, 3 ∴y1= x1,y2=- 3x2, 3 由|PQ|=2,得(x2+y2)+(x2+y2)=4, 1 1 2 2
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4 2 x2 2 1 即 x1+4x2=4? +x2=1, 2 3 3
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x2 2 ∴动点 M(x1,x2)的轨迹 C 的方程为 +y =1. 3 (2)直线 l 的方程为 y=kx+2, x2 2 将其代入 +y =1, 3 化简得(1+3k2)x2+12kx+9=0,

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设 A(x3,y3)、B(x4,y4), ∴Δ=(12k)2-36×(1+3k2)>0?k2>1, 12k 9 且 x3+x4=- 2,x3x4= 2, 1+3k 1+3k
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→ OB → ∵∠AOB 为锐角,∴OA· >0, 即 x3x4+y3y4>0?x3x4+(kx3+2)(kx4+2)>0,
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∴(1+k2)x3x4+2k(x3+x4)+4>0. 12k 9 将 x3+x4=- ,x x = 代入上式, 1+3k2 3 4 1+3k2 13-3k2 2 13 化简得 . 2 >0?k < 3 1+3k 13 由 k >1 且 k < , 3 39 39 得 k∈- ,-1∪1, . 3 3
2 2

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? ∴直线 l 的斜率 k 的范围是 k∈?- ? ?
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? ? 39 39? ? ? ? ,-1?∪?1, ?. 3 3 ? ? ?
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【归纳提升】

1.轨迹方程的实质是动点的横、纵坐标
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所满足的方程,因此探求轨迹方程实质上是寻求动点坐标所
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满足的等量关系,这就需要我们在情境中挖掘其等量关系, 从而找到动点坐标所满足的方程.设出动点所满足的方程 (或等式)代入坐标直接化简,称为直接法.

2.轨迹问题还应区别是“求轨迹”,还是“求轨迹方
程”.一般说来,若是“求轨迹方程”,求到方程就可以
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了;若是“求轨迹”,求到方程还不够,还应指出方程所表 示的曲线的类型.有时候,问题仅要求指出轨迹的形状.如 果能绕过求轨迹方程这一环节直接根据定义及已知知识指出

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轨迹是什么曲线,则可不求轨迹方程.
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已知 A(-1,0),B(1,4),在平面上动点 Q 满足
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→ QB → QA· =4,点 P 是点 Q 关于直线 y=2x-8 的对称点,则动 点 P 的轨迹方程________________.
【尝试解答】 设 Q(x,y), → → 则QA=(-1-x,-y),QB=(1-x,4-y), → QB → 故由QA· =4?(-1-x)(1-x)+(-y)(4-y)=4,

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即 x2+(y-2)2=32. 所以点 Q 的轨迹是以 C(0,2)为圆心,以 3 为半径的圆. ∵点 P 是点 Q 关于直线 y=2(x-4)的对称点.
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∴动点 P 的轨迹是一个以 C0(x0,y0)为圆心,半径为 3 的圆,其中 C0(x0,y0)是点 C(0,2)关于直线 y=2(x-4)的对称
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点,即直线 y=2(x-4)过 CC0 的中点,且与 CC0 垂直, ?y0-2 ? ×2=-1, ?x0-0 于是有? ?y0+2 x0+0 ? 2 =2 2 -4, ?
?2y0+x0-4=0 ? 即? ?y0-2x0+18=0 ? ?x0=8, ? ?? ?y0=-2. ?

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故动点 P 的轨迹方程为(x-8)2+(y+2)2=9.
【答案】 (x-8)2+(y+2)2=9
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如图所示,从双曲线x2-y2=1上一点Q引直
线x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方
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程.

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【尝试解答】

设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为
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(x1,y1),则N点的坐标为(2x-x1,2y-y1).
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∵点N在直线x+y=2上,
∴2x-x1+2y-y1=2,①

又∵PQ垂直于直线x+y=2,
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y-y1 ∴ =1.即 x-y+y1-x1=0.② x-x1
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由①、②联立,解得 3 1 ? ?x1=2x+2y-1, ? ?y1=1x+3y-1. 2 2 ? 又 Q 在双曲线 x2-y2=1 上, ∴x2-y2=1, 1 1 3 1 1 3 2 即 x+ y-1 - x+ y-12=1 2 2 2 2 整理得动点 P 的轨迹方程为 2x2-2y2-2x+2y-1=0.
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【归纳提升】

1.体会相关点求轨迹方程的实质,就是
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用所求动点P的坐标表达式(即含有x、y的表达式)表示已知
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动点M的坐标(x0,y0),即得到x0=f(x,y),y0=g(x,y),再 将x0 ,y0 的表达式代入点M的方程F(x0 ,y0)=0中,即得所 求.

2.当题目中的条件同时具有以下特征时,一般可以用
相关点法求其轨迹方程:
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①某个动点P在已知方程的曲线上移动; ②另一个动点M随P的变化而变化; ③在变化过程中P和M满足一定的规律.
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过点 M(-2,0)作直线 l 交双曲线 x2-y2=1 于 A、 高 → → → B 两点,已知OP=OA+OB. 求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
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【尝试解答】 设l的方程为y=k(x+2), 代入方程x2-y2=1,
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得(1-k2)x2-4k2x-4k2-1=0. 当k≠±1时,设A(x1,y1),B(x2,y2),





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4k2+1 4k 则 x1+x2= ,x x = ,① 1-k2 1 2 k2-1
2
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y1+y2=k(x1+2)+k(x2+2) =k(x1+x2)+4k k· 2 4k 4k = +4k= . 1-k2 1-k2 → → → 设 P(x,y),由OP=OA+OB,

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4k2 4k 得(x,y)=(x1+x2,y1+y2)= , . 1-k2 1-k2 ∴
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4k2 ? ?x= , 1-k2 ? ? ?y= 4k . ③ ? 1-k2 ? x ②÷ ③得 =k,④ y 4x y 将④代入③得,y= ,化简, x2 1- y 得 x2-y2+4x=0, 即(x+2)2-y2=4.⑤
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当斜率不存在时,易知P(-4,0)满足方程⑤,
故所求轨迹方程为(x+2)2-y2=4,其轨迹为双曲线.

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参数法求轨迹方程有时很难直接找出动
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点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参 数),使x、y之间建立起联系,然后再从所求式子中消去参 数,得出动点的轨迹方程.





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●考情全揭密●
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从近几年的高考看,求曲线的方程是高考的常考题型,
主要以解答题第一小题的形式出现,属中档题,考查轨迹方 程的求法以及利用轨迹方程研究曲线的几何性质,往往与函 数、方程、向量、数列、平面几何知识相联系,着重考查考 生分析问题、解决问题的能力.

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预测2014年高考将以考查方程的曲线与曲线的方程的对
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应关系、利用直接法或定义法求轨迹方程为主要考点,但要 注意能结合平面向量知识确定动点轨迹,并会研究轨迹的有

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关性质.
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●命题新动向●
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求轨迹方程(轨迹)
求动点的轨迹方程可用直接法、定义法、相关代入法、 交轨法、参数法等,应注意以下两点,一:纯粹性和完备 性,特别是在有三角形、斜率等条件时,一定考虑限制条 件;二:轨迹方程与轨迹是两个不同的概念.

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(2012·湖北高考)设A是单位圆x2+y2=1
上的任意一点,l是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴
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的交点,点M在直线l上,且满足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1). 当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C. 求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求其 焦点坐标; 【规范解答】 如图,

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设 M(x,y),A(x0,y0),
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则由|DM|=m|DA|(m>0,且 m≠1), 可得 x=x0,|y|=m|y0|, 1 所以 x0=x,|y0|= |y|.① m 因为 A 点在单位圆上运动, 所以 x2+y2=1.② 0 0

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将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 y2 x2+ 2=1(m>0,且 m≠1). m
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因为 m∈(0,1)∪(1,+∞),所以 当 0<m<1 时, 曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆, 两焦点坐 标分别为(- 1-m2,0),( 1-m2,0); 当 m>1 时, 曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆, 两焦点坐标

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分别为(0,- m2-1),(0, m2-1).

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●针对训练●
(2012· 四 川 高 考 ) 如 图 , 动 点 M 到 两 定 点 A( - 1,0) 、
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B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB,设动点M的轨迹为
C.求轨迹C的方程.

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【解】 设 M 的坐标为(x,y),显然有 x>0,y≠0. 当∠MBA=90° 时,点 M 的坐标为(2,± 3).
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当∠MBA≠90° 时;x≠2.由∠MBA=2∠MAB, 2tan∠MAB 有 tan∠MBA= , 1-tan2∠MAB |y| 2 x+1 |y| 即- = . |y| 2 x-2 1- x+1 化简得:3x2-y2-3=0,而又经过(2,± 3). 综上可知,轨迹 C 的方程为 3x2-y2-3=0(x>1).
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