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2.4.2等比数列教案


新授课
2.4.2 等比数列

知识与技能:灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;熟悉等比数列的有关性质,并 系统了解判断数列是否成等比数列的方法 过程与方法:通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。 情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活 的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣。

重 点、 难 点: 教学 过 程:

教学重点:等比中项的理解与应用 教学难点:灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题

(一)课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就 叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠0) ,即: 2.等比数列的通项公式: an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) , an ? am ? q n?m (am ? q ? 0) 3. { an }成等比数列 ? 条件 4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 (二)研探新知 1.等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 为 a 与 b 的等 比中项. 即 G=± ab (a,b 同号) 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,则 反之,若 G =ab,则
2

an =q(q≠0) a n ?1

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) “ an ≠0”是数列{ an }成等比数列的必要非充分 an

G b ? ? G 2 ? ab ? G ? ? ab , a G

G b 2 ? ,即 a,G,b 成等比数列。∴a,G,b 成等比数列 ? G =ab(a·b≠0) a G

(三)质疑答辩,排难解惑,发展思维 课本 P51 例 4 证明: 设数列 ?an ? 的首项是 a1 , 公比为 q1 ; ?bn ? 的首项为 b1 , 公比为 q2 , 那么数列 ?an ? bn ?
1

的第 n 项与第 n+1 项分别为:

a1 ? q1

n?1

? b1 ? q2 与a1 ? q1 ? b1 ? q2 即为a1b1 (q1q2 ) n?1 与a1b1 (q1q2 ) n ?
n n

n?1

an?1 ? bn?1 a b (q q ) n ? 1 1 1 2 n?1 ? q1q2 . an ? bn a1b1 (q1q2 )

它是一个与 n 无关的常数,所以 ?an ? bn ? 是一个以 q1q2 为公比的等比数列 拓展探究: 对于例 4 中的等比数列{ an }与{ bn },数列{

an }也一定是等比数列吗? bn an a ,则 cn ?1 ? n ?1 bn bn ?1

探究:设数列{ an }与{ bn }的公比分别为 q1和q2 ,令 cn ?

an ?1 cn ?1 bn ?1 a b a q ? ? ? ( n ?1 ) ( n ?1 ) ? 1 ,所以,数列{ n }也一定是等比数列。 an cn an bn q2 bn bn
课本 P53 的练习 4
2 2 已知数列{ an }是等比数列, (1) a5 ? a3a7 是否成立? a5 ? a1a9 成立吗?为什么? 2 (2) an ? an?1an?1 (n ? 1) 是否成立?你据此能得到什么结论? 2 an ? an?k an?k (n ? k ? 0) 是否成立?你又能得到什么结论?

2.等比数列的性质:若 m+n=p+k,则 am an ? a p ak 在等比数列中,m+n=p+q, am , an , a p , ak 有什么关系呢? 由定义得: am ? a1q m?1

an ? a1q n?1
2

a p ? a1q p?1

ak ? a1 ? q k ?1

am ? an ? a1 q m?n?2
2

, a p ? ak ? a1 q p ? k ?2 则 am an ? a p ak

(四)课堂练习: 课本 P53 的练习 3、5 (五)课堂总结 1、等比中项 2、若 m+n=p+q,则 am ? an ? a p ? aq

2

3、若 ?an ?, ?bn ?是项数相同的等比数列,则 ?an ? bn ? 、{ (六)作业 课本 P54 习题 2.4A 组的 4、5、8 题 板书 设 计: 2.4 等比数列 1、等比中项 2、等比数列的性质 例题

an }也是等比数列 bn

练习

作业 若 m+n=p+q,则 am ? an ? a p ? aq

教学 反 思:

3


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