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求阴影部分面积的常用方法


学科探究 小学教学 ·

求阴影部分面积的常用方法
高金军
(华池县教育局教研室 在平面图形的学习中, 经常会遇到计算求阴影部分面 积的问题。 面对复杂多变的图形 , 不少同学是老虎吃天 , 无处 下爪 , 可谓是束手无策。 那么怎样才能快速准确地求解阴影 部分的面积呢 ? 我在平时的教学中 , 总 结 出 如 下 几 种 常 用 的 方法。 甘肃 庆阳

745600 )

分析解答。 就可使复杂的问题简单化。 连接 DF ,由三角形面积计算公 式 可 得 S△ADF=AD×FG÷2 , S△FDC=DC×EF÷2 , 又因为 AD=DC ,FG=EF , 所 以 S△ADF=S△FDC, 即: 即三角形 AFD 的 面 积 - 三 角 形 FDH 的 面 积 = 三 角 形 FDC 的 面 积 - 三 角 形 FDH 的 面 积 ,S △AFH=S △DHC,因 此 ,阴 影 部 分 面 积 = 正方形面积 ABCD 的一半 =8×8÷2=32 (平方厘米)。

1. 直接法。 根据已知条件,从整体出发 ,运 用 平 面 图 形
面积计算公式 , 直接求出阴影部分的面积。 例 1. 下图中,大小正方形的边长分别为 5 厘 米 和 3 厘 米 , 求图中阴影部分的面积。 分析与解: 此图中的阴影部分恰 好 是 一 个 底 3 厘 米 ,高 5 厘 的 三 角 形 ,所 以 ,可 不 管 两 个 正 方 形 的 面 积 ,用 三 角 形面积计算公式就能直接求出阴影部 分的面积。 即:S阴 影 =5×3÷2=7.5( 平方厘 米 )。

4. 割 补 法 。 有 些 阴 影 部 分 比 较 零 散 , 且 又 不 规 则 , 通
过 图 形 的 巧 妙 割 补 ,把 要 计 算 的 分 散 的 面 积 集 中 在 一 起 , 将不规则的图形割补拼成规则 的图形。 这种方法叫割补法。 例 4. 求右图阴部分的面积。 分析与解: 将图中上半弓形 阴影部分割下来, 补到半圆的左
6 6 6 6

下角,这时阴影部分恰好成为一个三角形,所以阴影部分的 面积 = 三角形的面积 =6×3÷2=9 (平方厘米)。

2. 观察法。 有些图形 , 是由最基本、最简单的几个图形叠
加组合而成,不需割补、剪拼,直接通过观察,就能获得解题 的方法。 这种方法叫做观察法。 例 2. 已 知 梯 形 的 上 底 是 4 厘 米 , 下 底 是 7 厘 米 , 求 阴 影 部 分的面积 . 分析与解: 通过观察左图,我 们发现,阴影部分面积可直接用梯 形面积减去半圆的面积,由于梯形 的高恰好是半圆的半径,所以阴影 部 分 的 面 积=梯 形 的 面 积-半 圆 的 面积 = (4+7 )×2÷2-3.14× ( 4 )2÷2=4.72 (平方厘米)。 积。

5. 重组法。 根据具体情况和计算的需要,把原来图形拆
拼 、重 组 成 一 个 新 的 图 形 ,然 后 再 通 过 观 察 分 析 思 考 ,很 快 求出阴影部分的面积。 例 5. 已知下图是边长 4 厘米的正方形 ,求 阴 影 部 分 的 面 分析与解: 把正方形下半部 分, 沿中线剪开, 再将其图形旋 转 、拼 凑 ,重 组 成 一 个 新 的 图 形 , 这时就很容量看出, 阴影部分的 面 积=正 方 形 的 面 积-圆 的 面 积=

4×4-3.14×22=16-12.56=3.44 (平 方
厘米)。

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3. 添 线 法 。 有 些 图 形 的 计 算 ,从 表 面 上 看 好 像 有 点 棘
手,但只要加上一条或几条适当的辅助线,就可使隐藏的条 件明朗起来,从而就能很快找到解题的方法,迅速求出阴影 部分的面积。 例 3. 已知正方形 ABCD 和正方 形 DEFG ,且 正 方 形 ABCD 的边长为 8 厘米。 求阴影部分的面积。 分 析 与 解 :观 察 左 图 , 可 知 阴 影部分是个三角形, 从已知条件 看 , 要 想 求 出 其 底 和 高 ,再 求 面 积 是 不 现 实 的 ,也 是 不 可 能 的 ,但 我 们可通过添 加 一 条 辅 助 线 ,再 进 行

6. 平移法。 某些图形,纵横交错,相互重叠,很难直接求
出 它 的 面 积 ,但 我 们 可 通 过 平 移 、重 新 整 合 ,使 其 变 得 简 单 明了。 例 6. 一块白色的正方形手帕,它的边 长 是 12 厘 米 ,手 帕 上 横 竖 各 有 两 道 红 条 (图 中 阴 影 部 分 ),红 条 宽 都 是 2 厘 米 , 那么,手帕的红色部分(阴影部分)的面积是多少平方厘米。 分析 与 解 :假 设 手 帕 上 的红条(也 就 是 阴 影 部 分 的 面积)能 够 平 移 ,我 们 将 竖 着的两个红条移到手帕的 最左边,横 着 的 两 个 红 条 移

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到 手 帕 的 最 下 边 ,这 时 ,阴 影 部 分 的 位 置 虽 然 变 了 ,但 它 的 面积并没有变。 因此,红色手帕阴影部分的面积 = 大正方形 的面积 - 小正方形的面积 =12×12- (12-4 )× (12-4 )=144-64= 积 分 别 是 6 平 方 厘 米 和 15 平 方厘米 , 且梯形 ABCD 下底是 上 底 的3倍,那 么,阴 影 部 分 的 面积是多少 ? 分析与解: 假设梯形

80 (平方厘米)。 7. 扩倍法。 某些图形直接求解感觉到非常困难,但若将
其扩大一定的倍数,就可顺利获解。 例 7. 如 图 扇 形 的 半 径 6 厘
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ABCD 的 上 底 为 1 厘 米 , 则 下
底 的 长 就 是 3 厘 米 , 因 为 三 角 形 AOD 和 三 角 形 BOC 的 面 积 分 别 是 6 平 方 厘 米 和 15 平 方 厘 米 , 所 以 , 我 们 很 快 可 以 求 出 它 们 底 边 AD 和 BC 所 对 应 的 高 分 别 是 6×2÷1=12 厘 米 和 15× 2÷3=10 厘 米 , 又 因 为 梯 形 ABCD 的 高 正 好 等 于 这 两 个 三 角 形 高 的 和 , 所 以 , 梯 形 ABCD 的 面 积 就 是 (1+3)×(12+10)÷2=44 ( 平 方 厘 米 ), 从 而 求 得 阴 影 部 分 的 面 积 = 梯 形 面 积 - 两 个 三 角 形 的 面 积 =(1+3)×(12+10)÷2-6-15=4×22÷2-6-15=44-

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米,求阴影部分的面积。 分 析 与 解 :由 图 可 知 ,阴 影 部分的面积等于扇形面积减去 三角形的面积,而三角形的面积

由 已 知 条 件 无 法 求 出 ,我 们 只 要 将 原 图 形 扩 大 2 倍 ,就 很 容 易看出,阴影部分的 面 积 = (扇 形 面 积 - 大 三 角 形 的 面 积 )÷2 即:(3.14×62× 1 -6×6÷2 )× 1 =10.26× 1 =5.13 (平方厘米)。 4 2 2

21=23( 平 方 厘 米 ) 。 11. 对称法。 根据对称原理,利用 轴 对 称 图 形 的 有 关 知
识,巧妙将图形对折,从而求解。 例 11. 求 下 图 阴 影 部 分的面积。 分 析 与 解:由 于 圆 是 轴对称图形 , 因此 , 可利用 对称知识将上半 圆 对 折, 巧 妙 将 图 1 转 化 为 图 2, 从 中 可 以 看 出,阴 影 部 分 恰 好 是 一 个 三 角 形 ,所 以 阴 影 部 分 的 面积 =15×6÷2=45( 平方厘米 ) 。 图1 图2

8. 旋转法。 有些图形,如果直接求其面 积 ,可 能 无 法 找
到解题思路和解题办法,但只要我们应用变化运动的观点, 将静止的图形运动起来,通过旋转图形或某一部分,就能很 快找到解题的突破口。 例 8. 下图中 ABC 为等 腰 直 角 三 角 形 ,且 BD=DC ,左 右 两 面是两个大小相等的扇形,求 阴影部分的面积。 分析与解:将右半部分的 扇形绕大三角形底边上的中 点 按 顺 时 针 方 向 旋 转 180 度 , 得到第二个图,这样就可很快 求出阴影部分的面积。 分析与解 : 通过旋转 , 我们可以发现 , 阴影 部 分 的 面 积 正 好等于半圆的面积 - 三角形的面积 =S 阴 影 =3.14×62× 1 -6×6÷

12. 转化法。 有些图形,直接计算相当困难,但我们如果
稍加转化,就会熟练求解。 例 12. 如 图 ,三 角 形 ABC 有 面 积 是 18 平 方 厘 米 ,BE=EF=

FC ,AD=DE ,求阴影部分的面积。
分析与解:此题阴影部分是个梯形,要想直接计算其面 积,乍一看,好 像 是 不 大 可 能 的, 但我们 可 通 过 添 加 一 条 辅助线的方 法 找 到 解 题 的 突 破口。 连接AF,将阴影部分分 成 三 角 形 ADF 和 三 角 形 AFC 两部分。 因 为 在 三 角 形 ABC 中 ,

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2=38.52 (平方厘米)。 9.等积变形法。 有些图形,表面上看,题中的条件十分隐
蔽, 但我们可利用等积变 形 ,将 图 形 巧 妙 进 行 转 化 , 从而求解。 例 9. 如图:OA 、OB 分 别
B

A

D

是两个小半圆的直径,且

OA =OB =8 厘 米 , ∠BOA = 90 度,求阴影部分的面积。
分 析 与 解 :由 图 可 知 ,阴 影 部 分 是 一 个 不 规 则 的 图 形 , 直接计算其面积是行不通的, 但我们可采用等积变形的方 法巧妙予以解决。 连接 AC 、BC 、OC ,再巧 妙 加 以 分 割 , 拼 凑 , 很容易发现 , 阴影部分经过变形后 , 恰好是一个边长为 8 厘米 的等腰直角三角形 , 所以 , 阴 影 部 分 的 面 积 =8×8÷2=32 (平 方 厘米)。

BE=EF=FC , 所 以 ABE 、AEF 、AFC 等 底 等 高 , 又 因 为 AD= DE ,所 以 , 可 知 ADF 和 DEF 也 是 等 底 等 高 , 由 此 可 知 ,AFC
的 面 积 正 好 是 ABC 面 积 的 三 分 之 一 ,ADF 的 面 积 是 ABC 面 积的六分之一, 由此我们可直接求出阴影部分的面积 =18× ( 1 + 1 )=18× 1 =9 (平方厘米)。

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综上所述 , 只要同学们仔细分析 , 认真观 察 , 熟 记 平 面 图 形 面 积 计 算 公 式,灵 活 应 用 以 上 多 种 方 法 ,巧 妙 将 图 形 加 以 分 割,便 可 快 速 准 确 地 解 答 有 关 求 阴 影 部 分 的 面 积 ,不 妨 一 试。 (责任编辑:崔建民)

10. 取值法。 对于某些特殊图形 , 我们可在不改变题意的
情况下 , 附以特定数值 , 巧妙求出阴影部分的面积。 例 10. 如图 : 梯形 ABCD 内三角形 AOD 和三角形 OBC 的面

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