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南溪一中高2011级2009-2010学年第一学期半期考试题(必修5+选修2-1)


南溪一中高 2011 级 2009-2010 学年第一学期半期考试题
数学 (理科)
(命题人:张均华)

注意:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 2.第Ⅰ卷答案填在机读卡上,第Ⅱ卷答案直接写在答题卷上。 3.考试结束后,将答题卷和机渎卡一并交回。 4.本试卷总分 150 分,考试时间 120 分钟.

r />第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一. 选择题(本大题共 12 小题, 每小题 5 分, 60 分, 共 每个小题只有一个正确答案)
1.如果 a > b , 则以下结论正确的是 (A)
a c ? b c

( (C) a ? c > b ? c (D) a c ? b c
2 2

)

(B) lg( a ? b ) ? 0

2.已知 A (1, ? 3 ), B ( ? 1, 3 ) ,则直线 A B 的倾斜角为 (A) ?

(

)

?
3
(B)

2? 3
(C)

?
3
(D)

?
2
( (D) x ? y ? 5 ? 0 (
2 2

3.过点 A ( 2 ,3 ) ,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直的直线方程为 (A) x ? y ? 1 ? 0 (B) x ? y ? 0 (C) x ? y ? 3 ? 0

)

4.已知 A ( 2, 2 ) , B ( ? 4,1 0 ) ,则以 A B 直径的圆方程为 (A) ( x ? 1) ? ( y ? 6 ) ? 2 5
2 2

)

(B) ( x ? 1) ? ( y ? 6 ) ? 2 5 (D) ( x ? 1) ? ( y ? 6 ) ? 1 0 0
2 2

(C) ( x ? 1) ? ( y ? 6 ) ? 1 0 0
2 2

5. 不等式

( x ? 3)( x ? 2 x ? 3)
2

x?2

≤0 的解集是 (B){x|1<x<2 或 x=-3} (D){x|1≤x≤2 或 x=-3}

(

)

(A){x|1≤x<2} (C){x|1≤x<2 或 x=-3}

6. a ? ? 1 是直线 x ? ay ? 2 a - 2 与 ax ? y ? a - 1 平行的 (A)充要条件 (C)必要不充分条件
2 2

(

)

(B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 )

7.两直线 x ? y ? 0 和直线 x ? 2 围成一个三角形区域(含边界) ,则该区域可表示为( 南溪一中高 2011 级 2009-2010 学年第一学期半期考试数学(理科)试卷 第 1 页 (共 6 页)

?x ? y ? 0 ? (A) ? x ? y ? 0 ?x ? 2 ? ?x ? y ? 0 ? (C) ? x ? y ? 0 ?x ? 2 ?
?1 3

?x ? y ? 0 ? (B) ? x ? y ? 0 ?x ? 2 ? ?x ? y ? 0 ? (D) ? x ? y ? 0 ?x ? 2 ?

8.若 x ? (10 , 1), a ? lg x , b ? 2 lg x , c ? lg x , 则 (A) a ? b ? c
2 2

( (D) b ? c ? a (
2

)

(B) c ? a ? b

(C) b ? a ? c

9.圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 1 关于直线 y ? ? x 对称后的圆的方程为 (A) ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 1
2 2

)

(B) ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 1
2

(C) ( x ? 2 ) ? ( y ? 1) ? 1
2 2 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 1
2 2

10.若直线 ( m ? 1) x ? y ? 2 m ? 1 ? 0 不经过第一象限,则实数 m 的取值范围是 (A)
1 2 ? m ?1

(

)

(B)

?1 ? m ?

1 2

(C) ?

1 2

? m ?1

(D)

1 2

? m ?1

11. 数 y ? lo g a ( x ? 3 ) ? 1( a ? 0 , a ? 1) 的 图 象 恒 过 点 A , 点 A 在 直 线 mx ? ny ? 1 ? 0 函 若 上,其中 m ? 0、 n ? 0, 则 (A) 7
1 m ? 2 n

的最小值为 (C) 9 (D)10
7 4

(

)

(B) 8

) 12.已 知 圆 心 在 原点, 径为 R ( R >0) 的 圆 与 连 结 M ( 1 , 1、 N ( 半

,0 ) 的 线 段 有 公

共点,则 R 的取值范围是 (A)? , ? 5 4
? ? ?7 7?

(
7? ?

)

(B)? 2 , ? 4
?

?

(C)? , 2 ? 5
? ?

?7

?

(D)? 2 , 3 ?
? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13.不等式|2x -1|≤1 的解集为
2



14.直线 x ? 1 到直线 y ?
2 2

3 x ? 3 的角为

; ; 。

15.自M (1, 3) 向 圆 x ? y ? 1 引切 线,则 切 线 方 程 为 16. 直线 y ? x ? b 与曲线 x ? ? 4 ? y 有且仅有一个公共点,则 b 的取值范围
2

南溪一中高 2011 级 2009-2010 学年第一学期半期考试数学(理科)试卷 第 2 页 (共 6 页)

班级 姓名 考号 ——————————————————————————— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — ……………………… .密………………...封………………....线…………...…内………………不…………….…准……………… .答……………..………题……………………….. —————————————————————————— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —

南溪一中高 2011 级 2009-2010 学年第一学期半期考试题 数学(理科)答题卷
总分: ____________
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 15.
; ;

14. 16.

; 。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,要求写出必要的解答过程) 17.(本小题满分 12 分)已知 a , b , c , d 都是实数,且 a 2 ? b 2 ? 1, c 2 ? d 2 ? 1 , 求证: a c ? b d ? 1

18.(本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式

ax

2

ax ? 1

> x ( a ? R ).

南溪一中高 2011 级 2009-2010 学年第一学期半期考试数学(理科)试卷 第 3 页 (共 6 页)

19.(本小题满分 12 分)已知圆 x 2 ? y 2 ? 8 内有一点 P(-1,2) ,AB 为过点 P 且倾 斜角为 ? 的弦。 (1) 当 ? ?
3 4

? 时,求弦 A B 的长;

(2) 当弦 A B 被点 P 平分时,求直线 A B 的方程(用直线方程的一般式表示) 。

20.(本小题满分 12 分)某工厂拟建一座平面图为矩形且总面积为 200 平方米的三

级污水处理池,由于受地形限制,长宽都不能超过 16 米,如果池外圈建造单价为每 米 400 元,中间两条隔墙建造单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元, 池壁的厚度不计,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价。

南溪一中高 2011 级 2009-2010 学年第一学期半期考试数学(理科)试卷 第 4 页 (共 6 页)

21.(本小题满分12 分)在 平 面 直 角 坐 标 系xo y 中,设 二 次 函 数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? b
(x ? R)

的 图 象 与 两 坐 标 轴有 三 个 交 点 ,经 过 这 三 个 交 点 的 圆 记 为C .

(1) 求实数 b 的 取 值 范 围 ; (2) 求 圆C 的一般 方 程 (用含字母b 的表达式表示); (3) 问 圆C 是否 经 过 某 定 点 (其 坐 标 与b 无 关)?试 证 明 你 的 结 论。

南溪一中高 2011 级 2009-2010 学年第一学期半期考试数学(理科)试卷 第 5 页 (共 6 页)

22.(本小题满分 14 分)由动点 P 引圆 x 2 ? y 2 ? 1 0 的两条切线 P A 、 P B ,直线 P A 、
PB

的斜率分别为 k 1 、 k 2 .

(1)若 k 1 + k 2 + k 1 k 2 = ? 1 ,求动点 P 的轨迹方程; (2)若点 P 在直线 x ? y ? m 上,且 P A ? P B ,求实数 m 的取值范围。

南溪一中高 2011 级 2009-2010 学年第一学期半期考试数学(理科)试卷 第 6 页 (共 6 页)

四川省南溪一中高 2011 级 2009-2010 学年第一学期半期考试题
高二数学 (理科) 参考答案 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每个小题只有一个正确答案)
题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 B 5 C 6 A 14.150° 16. ? 2 ? b < 2 或 b ? 2 2 7 D 8 C 9 B 10 D 11 B 12 A

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13.[-1,1] 15. 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 或 x ? 1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,要求写出必要的解答过程.
17. (法一)证明: ? a , b , c , d 都是实数,
a ?c
2 2

? ac ? bd ? a c ? b d ?

?

b ?d
2

2

?

a ?c ?b ?d
2 2 2

2

………………………10 分

2

2

2

又? a ? b ? 1, c ? d ? 1
2 2 2 2

? ac ? bd ? 1
2 (法二)证明:要证 ac ? bd ? 1 ,只需证明 ( ac ? bd ) ? 1

………………………………12 分

即只需证明 a c ? 2 abcd ? b d ? 1 ..........(1)
2 2 2 2

…………………2 分

由于 a ? b ? 1, c ? d ? 1 ,
2 2 2 2

因此(1)式等价于 a c ? 2 abcd ? b d ? ( a ? b )( c ? d )
2 2 2 2 2 2 2 2

即: ( a d ? b c ) ? 0
2

……………………………10 分

又? a , b , c , d 都是实数,
?

( a d ? b c ) ? 0 成立,即(1)式成立,原命题得证
2

……………………………12 分

(其他方法也可以酌情给分) 18.解:由
ax
2

ax ? 1

>x,得

ax

2

ax ? 1

-x>0,即

x ax ? 1

>0. …………………………………2 分 …………………………………5 分

此不等式与 x(ax-1)>0 同解. 若 a<0,则
1 a

<x<0;

南溪一中高 2011 级 2009-2010 学年第一学期半期考试数学(理科)试卷 第 7 页 (共 6 页)

若 a=0,则 x<0; 若 a>0,则 x<0 或 x>
1 a

…………………………………8 分 ………………………………11 分
1 a

综上,当 a<0 时,原不等式的解集是(

,0) ;

当 a=0 时,原不等式的解集是(-∞,0) ; 当 a>0 时,原不等式的解集是(-∞,0)∪( 19. 解:(1) ∵ k AB ? tan
3? 4 ? ?1 ,
1 a

,+∞).……………………12 分

∴ 直线 AB 的方程为: x ? y ? 1 ? 0 ,
1 2
1 2

……………………… 2 分

∴ 圆心到直线 AB 的距离 d ?

?

2 2



……………………… 4 分

∴ |AB|= 2 8 ? (2) ∵ 弦 AB 被点 P 平分, ∴ k OP · k AB ? ? 1 , 又∵ k OP = -2, ∴ k AB ?
1 2

?

30 ,

……………………… 6 分

………………………8 分


1 2 ( x ? 1) ,

……………………… 10 分

∴直线 AB 的方程为: y ? 2 ? 即 x ? 2y ? 5 ? 0 。

………………………12 分
200 x

20. 解:设污水池长为 x米 , 则 宽 为 则 Q ( x ) ? 400(2 x ? 2 ?
200 x

米,设总造价为 Q ( x ) 。
200 x

) ? 248 ?

? 2 ? 80 ? 200

? 800( x ?

324 x

) ? 16000
324 x

…………………………4 分

? 1600 x ? ? 44800
当且仅当

? 16000

x?

324 x

( x ? 0), 解 得 x ? 18.

………………………7 分

南溪一中高 2011 级 2009-2010 学年第一学期半期考试数学(理科)试卷 第 8 页 (共 6 页)

由题设 0 ? x ? 1 6, 且 0 ? 设

200 x

? 1 6 ,则定义域为 [ 225 ,1 6 ] ,但 1 8 ? [ 225 ,1 6 ] 。

f ( x) ? x ?

324 x

,设 x1 , x 2 ? [ 225 ,1 6 ], 且 x1 ? x 2 。则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? 3 2 4 ( ? ( x1 ? x 2 )( x1 x 2 ? 3 2 4 ) x1 x 2
所以 f ( x1 ) ? f ( x 2 ). 从而

1 x1

?

1 x2

)

? 0.

f ( x) ? x ?

324 x

在 [ 225 ,1 6 ] 单调递减,
81 4

………………………10 分

当 x ? 1 6 时,

f ( x ) 的最小值为 1 6 ?

, ………………………11 分

所以 Q ( x ) 的最小值为 45000。

答:当污水池长为 1 6 米 , 则 宽 为 1 2 ? 5 米时,总造价最低为 45000。…………… 12 分 21.解(1)由题意知,二次函数的图象与 x 轴有两个交点且不过原点。 则? ? 4 ? 4 b ? 0 且b ? 0 ,即 b ? 1 且b ? 0 (2)设圆点C 的方程为x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 ,
2 2

…………… ……………………4 分

) 令 y ? 0 得 x ? D x ? F ? 0 ,则D ? 2, F ? b ,再把点(0, b 代入圆方程得E ? ? b ? 1 。
2

故所求方程为x ? y ? 2 x ? ( b ? 1) y ? b ? 0
2 2

……………………… …………8分

(3)圆C 过定点,证明如 下: 假设圆C 过定点(x 0 , y 0 ) x o ? y o ? 2 x o ? y o ? (1 ? y o ) b ? 0 , * ) ,则 (
2 2

为使(*)式对所有满足 b ? 1( b ? 0 ) 的 b 值都成立, 当且仅当 x o ? y o ? 2 x o ? y o ? 0 且 1 ? y 0 ? 0,
2 2

解得 ?

? x0 ? 0

? xo ? ? 2 或? ? yo ? 1 ? yo ? 1

即得过定点(0,1)和(-2,1)

………………………………… 12 分

南溪一中高 2011 级 2009-2010 学年第一学期半期考试数学(理科)试卷 第 9 页 (共 6 页)

22.解:(1)设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), P ( x 0 , y 0 ) ,则切线方程为 y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) 即: kx ? y ? kx 0 ? y 0 ? 0 而由题意得 1 0 ?
kx 0 ? y 0 k ?1
2

两边同时平方,

…………………………………2 分

整理得: (10 ? x 0 ) k ? 2 kx 0 y 0 10 ? y 0 ? 0
2 2 2

? 由韦达定理得: k 1 + k 2 ?

2 x0 y0 x0 ? 1 0
2

, k1 k 2 ?

10 ? y0 1 0 ? x0

2

2

…………………………………5 分

由题设 k 1 + k 2 + k 1 k 2 = ? 1 ,
?

2 x0 y0 x0 ? 1 0
2

?

10 ? y0 1 0 ? x0

2

2

? ?1

化解得 x 0 ? 2 x 0 y 0 ? y 0 ? 20
2 2

? x0 ? y0 ? ? 2 5

即所求点 P 的轨迹方程为 x ? y ? ? 2 5

…………………………………8 分

(2)若点 P 在直线 x ? y ? m 上,且 P A ? P B ,则四边形 O B P A 为正方形, 那么 O P ?
2 . 10
2 2

…………………………………10 分

? P 点轨迹为 x ? y ? 2 0 .

由 x ? y ? 2 0 与 x ? y ? m 联立得: 2 x ? 2 m x ? m ? 20 ? 0
2 2
2 2

由 ? ? 0 知 ?2 10 ? m ? 2 10 ,

…………………………………13 分

又由于 m ? 0 时, k 1 、 k 2 中有一个斜率不存在,不符合题意.
? m 的取值范围是 ? ? 2 1 0 , 0 ? 0, 2 1 0 ? ? ?

? ?

…………………………………14 分

南溪一中高 2011 级 2009-2010 学年第一学期半期考试数学(理科)试卷 第 10 页 (共 6 页)

南溪一中高 2011 级 2009-2010 学年第一学期半期考试数学(理科)试卷 第 11 页 (共 6 页)


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