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3.1.1方程的根与函数的零点(必修一 数学 优秀课件)


在人类用智慧架设的无数座从 未知通向已知的金桥中,方程的求 解是其中璀璨的一座,虽然今天我 们可以从教科书中了解各式各样方 程的解法,但这一切却经历了相当 漫长的岁月. 我国古代数学家已比较系统地 解决了部分方程的求解的问题。如 约公元50年—100年编成的《九章 算术》,就给出了求一次方程、二 次方程和三次方程根的具体方法…

方程的根与函数的零点

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思考:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?

问题· 探究
问题1 求出表中一元二次方程的实数根,画出相应的二次函 数图像的简图,并写出函数的图象与x轴的交点坐标 方程 x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 2 函数 y= x -2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3
函 数 的 图 象
方程的实数根 函数的图象 与x轴的交点

.
-1

y
2

.
-1 -2

.y
2

. . . 1 .
2

y

.

1

0

1

2

.

.
x
-1

3

x
-1

1

0

-3 -4

3 2 1

.

5 4

.
1

.
2

.

. x1=x2=1

0

3

x

x1=-1,x2=3 (-1,0)、(3,0)

无实数根

(1,0)

无交点

结论 :

这些二次函数图象与x轴交点的横坐标 就是相应方程的实数根。

问题2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元 二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系, 上述结论是否仍然成立?
判别式△ = b2-4ac △>0 △=0 △<0 没有实数根
y

方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 有两个相等的 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 (a>0)的根
y

函数y= +c(a>0)的图象

ax2 +bx
x1 0 x2 x

y

0

x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

结论 :

二次函数图象与x轴交点的横坐标 就是相应方程的实数根。

思考:对于一般的方程的实数根及其相应的 函数图像与X轴的交点横坐标是否也有这 样的关系呢?
答案是肯定的. 也就是说:如果一个一般方程f(x)=0的实 数根存在的话,那这个根就应该等于这个 方程相应函数y=f(x)图像与X轴交点的横 坐标

.

函数零点的定义: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。 注意:
零点指的是一个实数;
y= x2-2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3

零点是一个点吗?

函数的零点定义: 对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。 等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

问题3:函数y=f(x)在某个区间上是否一定有零点? 怎样的条件下,函数y=f(x)一定有零点?

问题探究

结 论

如果函数 y ? f ( x) 在区间? a, b ?上的图象是连续不断的一条曲线,
并且有 f (a) ? f (b) ? 0 , 那么, 函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b ? 内有零点,

即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。

y

y
b x

0 a y 0a
b

0 a y

b

x

x

0a

b

x

练习2、函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点( ) A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

f(-2) =-11
f(1)=1

f(-1)=-3
f(2)=9

f(0)=-1
f(3)=29

思考:若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零 点,一定能得出f(a)· f(b)<0的结论吗?
y

0

x1

x

结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点 f(a)· f(b)<0。

?

例题 2 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。 解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(表3-1) 和图象(图3.1—3)
x
1 2 3 1.1 4 3.4 5 5.6 6 7.8 7 9.9 8 12.1 9 14.2

f(x) -4 -1.3

由表3-1和图3.1—3可知 y f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)· f(3)<0, 14 12 说明这个函数在区间(2,3)内 10 8 有零点。 6 4 由于函数f(x)在定义域 2 (0,+∞)内是增函数,所以 0 它仅有一个零点。 -2
-4 -6

. .3 ..
4

.

.

.

.
5 6 7 8 9 10

1

2

x

.

小结
1.函数零点的定义:
等价关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

2.零点存在定理

试一试:
你能判断出方程 ㏑x = - x2 + 3 实数根的个数吗?
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

㏑x

0

0.7

1.1

1.4

1.6

1.8

1.9

2.1

2.2

思考:二次函数

y ? x2 ? kx ? (k ? 8) 与x轴只

有一个交点,求k的取值范围.

变式1:如果此函数与x轴至多有一个交点,
那么k的范围会是如何?

变式2:如果此函数有两个零点且都为正数,求k
的范围。

2 2 x ? 2 mx ? m ?1 ? 0 方程

的两个根都为 负数 ,则求实数 m的取值范围

变式1:如果此方程两个根都大于1,那么m的范围会
是如何?


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