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等差数列的性质与判定


课题

等差数列的性质与判定

1、等差数列的概念;
从第二项起,每一项与前一项的差是同一个常数

3、等差数列的通项公式;
an ? a1 ? ?n ? 1?d 或 an ? am ? ?n ? m?d

1、若{an } 为公差为 d 有穷等差数列,则把{an }倒序 排列

的数列仍然是等差数列,公差为 ? d 。 2、若 {an } 为等差数列,则等间隔抽取的子数列

也是等差数列。即脚码等差,项就等差。

如:a1,a4,a7,a10 , ?; a35,a30,a25,a20;

公差是 : 3d 公差是 : ? 5d

3、若 ?a n ? 、?bn ?是公差分别为 d1、d 2 的等差 ?k ? an ??k ? 0? 、 ?an ? bn ? 仍为 数列,则 ?a n ? k ? 、 等差数列,公差分别为 d1、kd1、d1 ? d 2 . 4、等差数列的首项为 {an } ,公差 d , 将前 m 项去掉,其余各项组成的数列仍 然是等差数列。新数列的首项为 am?1 公 差仍为 d 。

5、若 {an }为等差数列,且正整数p、q、 r、s满足 p ? q ? r ? s ,则一定有:

a p ? aq ? ar ? a s
性质5的推论:
你能证 明吗?

①若 {an }为等差数列,且正整数p、q、r 满足 p ? q ? 2r ,则一定有:

a p ? aq ? 2ar

证明: ? ?an ?是等差数列, d位公差
? a p ? a1 ? ( p ? 1)d,aq ? a1 ? (q ? 1)d 又 ? 2ar ? 2?a1 ? (n ? 1)d ? p ? q ? 2r ? a p ? aq ? 2 ar a p ? aq ? 2a1 ? ( p ? q ? 2)d

练习: 1 、在等差数列?an ?中,a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2,求a3 ? a13的值. 2、已知等差数列?an ?的公差为d ( d ? 0), 且 a3 ? a6 ? a10 ? a13 ? 32, 若am ? 8,则m等于() A.8 B.4 C.6 D.12

-4

A

3、设公差为-2的等差数列,若a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a97 ? 50, 那么a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a99 等于() D A、 -182 B、 -78 C、 -148 D、 -82 4、等差数列?an ?中,d ? 1, S98 ? 147, 则 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a98 ?

98

证明后一项与前一项的差是与n无关的常 数:

an ? an ?1 ? d (n ? 1) ? {an }是等差数列
3、通项公式法: 证明数列的通项是关于n的一次函数。

an ? pn ? q ? {an }是等差数列

证明:an ? pn ? q ? {an }是等差数列。
? an?1 ? an ? [ p(n ? 1) ? q] ? ( pn ? q) 证明:
? p (与n无关的常数)

a1? p ? q
?{an }是等差数列,首项为 p ? q,公差为p。

1、等差数列的性质;

p ? q ? r ? s ? a p ? aq ? ar ? a s
定义法: 通项公式法:

2、等差数列的判定;

an ? an?1 ? d (n ? 1)
an ? pn ? q

P40 习题2.2

A组: 3 , 4

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