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安徽省宿州市2014届高三数学第一次教学质量检测试题 理


安徽省宿州市 2014 届高三数学第一次教学质量检测试题 理(扫描版)新人教 A版

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2

3

4

宿州市 2014 届高中毕业班第一次教学质量检测 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 1 2 3 4

5 6 7 8 答案 C C B C B C D D 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11. x x ? ?1或 ? 1 ? x ? 1

9 C

10 C

?

?

12.16

13.

3

14.11

15. ?

1 16

16.解: (1)在 ?ABC 中,由 S ? ∵0 ? A ?? (2)由 a ? ∴A?

1 3 bc cos A ? bc sin A ,得 tan A ? 3 2 2

?
3

……………………………………………………………5 分

3, A ?

?
3

及正弦定理得:

a c ? ? sin A sin C

3 ?2, 3 2
2? ? x) 3

∴ c ? 2sin C ? 2sin(? ? A ? B) ? 2sin( ∵A? ∴0 ?

?
3

∴0 ? x ?

2? 3

2? 2? ?x? 3 3
2? 2? ? x) ? 1 , 0 ? 2sin( ? x) ? 2 ,即 c ? (0, 2] 3 3
……………………………………12 分

∴ 0 ? sin(

?x ? ?e ,?1 ? x ? 0 17. (1)由题可知 f ( x ) ? ? 2 ? ?4 x ? 4 x ? 1,0 ? x ? 1

由图可知,函数 f ( x) 在 ?? 1,1? 的单调递减区间为 ( ?1, ] , 在 ?? 1,1? 递增区间为 [ ,1]

1 2

1 2

……………………………………6 分

考察数形结合思想 (2)当 k ? e 时, g ?x ? 有 1 个零点…………8 分 当 1 ? k ? e 时, g ?x ? 有 2 个零点…………10 分 当

1 ? k ? 1 时, g ?x ? 有 3 个零点…………12 分 3

5

当0 ? k ?

1 时, g ?x ? 有 4 个零点………13 分 3

18.. 解: (1)证明:连接 PC,交 DE 与 N,连接 MN, 在△PAC 中,∵M,N 分别为两腰 PA,PC 的中点 ∴MN∥AC,…(2 分) 又 AC ? 面 MDE,MN? 面 MDE, 所以 AC∥平面 MDE. …………………………………(4 分) (2)以 D 为空间坐标系的原点,分别以 DA,DC,DP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐 标系, 则 P(0,0, a) ,B(a,a,0) ,C(0,2a,0) , 所以 , ,…(6 分) 设平面 PAD 的单位法向量为 设面 PBC 的法向量 则有 ,取 z =1, ∴ ………………………………………………(10 分) ,则可取 , ……………………(7 分)

即: 则

设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 θ , ∴ ………………………………………………………(11 分)

∴θ =60°,所以平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 60°…(12 分)

6

19.解: (1)由题意可知: PQ max ? 2a ? 2 6 ,则 a ? 求椭圆 E 的方程为

6 , c ? 2 ,从而 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ,故所

x2 y 2 ? ? 1 .……………………………………………………5 分 6 2


(2)解: M , F , Q 三点共线。 证明: AP ? ( x1 ? 3, y1 ) , AQ ? ( x2 ? 3, y2 ) 由已知得方程

? x1 ? 3 ? ? ? x2 ? 3? ? ? y1 ? ? y2 ? x2 y 2 5? ? 1 注意 到 ? ? 1 ,解得 x2 ? , 因为 ? 1 ? 1 ?1 2 ? 2 ?6 ? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 2 ?6 F ? 2,0? , M ? x1, ? y1 ? ,所以

?1? ? ? ? ? ?1 ? FM ? ( x1 ? 2,? y1 ) ? (? ( x2 ? 3) ? 1,? y1 ) ? ? ,? y1 ? ? ?? ? , y2 ? , ? 2 ? ? 2? ?
又 FQ ? ( x2 ? 2, y2 )

? ? ?1 ? ?? , y2 ? ,所以 FM ? ?? FQ ,从而三点共线。………………………………12 分 ? 2? ? 20、 (1) x ? 0 时, f ?( x) ? e x ? cos x ? 1 ? cos x ? 0 ,所以函数 y ? f ( x) 在 [0,??) 上
单调递增;…………………………………………………………………………4 分 (2)因为 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以 e 1 ? sin x1 ? x2 ? 2 ………………………………5 分
x

所以 P, Q 两点间的距离等于 x2 ? x1 ? e 1 ? sin x1 ? x1 ? 2 ,……………7 分
x

设 h( x) ? e x ? sin x ? x ? 2( x ? 0) ,则 h?( x) ? e x ? cos x ? 1( x ? 0) , 记 l ( x) ? h?( x) ? e ? cos x ? 1( x ? 0) ,则 l ?( x) ? e ? sin x ? 1 ? sin x ? 0 ,
x x

所以 h?( x ) ? h?(0) ? 1 ? 0 ,……………………………………………………10 分 所以 h( x ) 在 [0,??) 上单调递增,所以 h( x ) ? h(0) ? 3 -…………………11 分 所以 x2 ? x1 ? 3 ,即 P, Q 两点间的最短距离等于 3.-……………………12 分 21. (本题满分 14 分) 解: (1)由条件,得 1 ? Sm? n ? 在①中,令 m ? 1 ,得 1 ? Sn ?1 ?

2a2m (1 ? S2n ) 2a2 (1 ? S2 n )

① ② ③

令 m ? 2 ,得 1 ? Sn?2 ? 2a4 (1 ? S2 n ) ③/②得 等比数列。

a a 1 ? Sn? 2 ? 4 , ? n ? N ? ? ,记 4 ? q ,则数列 ?1 ? S n ? ? n ? 2, n ? N ? ? 是公比为 q 的 1 ? S n ?1 a2 a2

7

?1 ? S n ? ?1 ? S 2 ? q n ? 2 , ? n ? 2, n ? N ? ? ④
④-⑤,得 an ? ?1 ? S2 ? qn?3 ? q ?1? ,(n ? 3, n ? N ? ) ? ?? ,当 n≥3 时,{ an }是等比数列. 在①中, 令 m ? n ? 1, 得 1 ? S2? 所以 a2 ? 1 ? a1 。 又因为 a1 ? 1 ,所以 a2 ? 2 。…………2 分 在①中,令 m ? 1, n ? 2 ,得 1 ? S3 ? 在①中,令 m ? 2, n ? 1 ,得 1 ? S3 ? 则 q ? 2 ,由

n ? 3 时,?1 ? Sn?1 ? ?1 ? S2 ? qn?3 , ⑤

2a1 ( ?S )2 2

, 从而 (1 ? S2 )2 ? 2a2 (1 ? S2 ) , 则 2a2 ? (1 ? S2 ) ,

2a2 (1 ? S4 ) ,则 (4 ? a3 )2 ? 4(4 ? a3 ? a4 ) ⑥ 2a4 (1 ? S2 ) ,则 (4 ? a3 )2 ? 8a4 ⑦

由⑥⑦解得: a3 ? 4, a4 ? 8 。………………………………………………………6 分

an ? ?1 ? S2 ? qn?3 ? q ?1? ,(n ? 3, n ? N ? ) 得 an ? 4 ? 2n?3 ? 2 ?1? ? 2n?1,(n ? 3, n ? N ? )
又 a1 ? 1 , a2 ? 2 也适应上式,所以 an ? 2n?1 (n ? N * ) .……………………8 分 (2)在①中,令 m ? 2, n ? 2 ,得 1 ? S4 ? 在 ① 中 , 令 m ? 1, n ? 2 , 得 1 ? S3 ?

2a4 (1 ? S4 ) ,则 1 ? S4 ? 2a4 ,所以 1 ? S3 ? a4 ; 2a2 ( 1 ? S4 , ) 则 1 ? S3 ? 2a2 ( 1 ? S3 ? a4 , ) 所以

a4 ? 2a2 ? 2a4 ,则 a 4 ? 4a 2 , q ? 2 ;代入 ? ?? 式,得 an ? ?1 ? S2 ? 2n?3 ,(n ? 3, n ? N ? )
………………………………………………………12 分 由条件 a4 ? a2 (a1 ? a2 ? 1), 得

a1 ? a2 ? 1 ? 4, 又因 a2 ? 1 ? a1 ,所以 a1 ? 1, a2 ? 2
故 an ? 4 ? 2n?3 ? 2n?1 ,(n ? 3, n ? N ? ) , 因为 a1 ? 1 , a2 ? 2 也适应上式,所以 an ? 2n?1,(n ? N ? ) 。 所以数列 ?an ? 是等比数列.………………………………………………………………14 分

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