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高二数学双曲线复习专题及考试题型


双曲线---专项复习 【1、基本知识点】 双曲线的第一定义: 双曲线的第二定义: 注意点: (1)双曲线定义中, “距离的差”一定要加绝对值,否则只表示双曲线的一支。 (2)定义中的小于 | F1F2 | 这一限制条件 标准方程: 【2、几何性质】

【 3、弦长公式】 1、若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、B 的横坐标,



AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

, AB ? k 2 ? 1 x1 ? x2 ? k 2 ? 1

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2
2

? , |a|

若 y1 , y2 分别为 A、B 的纵坐标,则 AB ?

1 1 ? 1 y1 ? y2 ? 2 ? 1 2 k k

? y1 ? y2 ?

? 4 y1 y2 。

2b 2 2、通径的定义:过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 A、B 两点,则弦长 | AB |? 。 a
3、若弦 AB 所在直线方程设为 x ? ky ? b ,则 AB = 1 ? k
2

y1 ? y2 。

4、特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解 【4、常见双曲线题型】
题型一 双曲线定义的应用 1、如图所示,在△ABC 中,已知|AB|=4 2 ,且三内角 A、B、C 满足 2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系, 求顶点 C 的轨迹方程. 解 :如图所示,以 AB 边所在的直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,

a b c ,sinB = ,sinC = . 2R 2R 2R c 1 ∵2sinA+sinC=2sinB,∴2a+c=2b,即 b ? a= .从而有|CA| ? |CB|= |AB|=2 2 <|AB|. 2 2 2 2 2 由双曲线的定义知,点 C 的轨迹为双曲线的右支. ∵a= 2 ,c=2 2 ,∴b = c ? a = 6. x2 y 2 ? ? 1, (x> 2 ). 所以顶点 C 的轨迹方程为 2 6 【反思感悟】 使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”,即||PF1| ? |PF2||=2a,而|PF1|-|PF2|=2a 表示一支.
则 A( ? 2

2 ,0)、B(2 2 , 0 ).由正弦定理得 sinA =

x2 y2 2、P 是双曲线 - =1 上一点,F1、F2 是双曲线的两个焦点,且|PF1|=9,求|PF2|的值. 16 20 x2 y2 解 在双曲线 - =1 中,a=4,b=2 5. 16 20 故 c=6.由 P 是双曲线上一点, 得||PF1|-|PF2||=8. ∴|PF2|=1 或|PF2|=17. 又|PF2|≥c-a=2,得|PF2|=17. 3、已知双曲线 面积。
0 x2 y2 ?F PF ? ? 1 的左右焦点分别是 F1 、F2 , 若双曲线上一点 P 使得 ?F1PF2 ? 90 ,求 1 2 的 9 16

题型二

由方程研究几何性质

4、求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程. y2 x2 解 把方程 9y2-16x2=144 化为标准方程 2- 2=1. 由此可知,实半轴长 a=4, 4 3 虚半轴长 b=3; c= a2+b2= 42+32=5, 焦点坐标是(0,-5),(0,5); c 5 4 离心率 e= = ; 渐近线方程为 y=± x. a 4 3

【反思感悟】 求双曲线的几何性质可先将双曲线方程化为标准形式 2- 2=1 (或 2- 2=1),再根据它确 定 a,b 的值,进而求出 c.
5.若方程 x2 y2 + =1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是( ) |k|-2 5-k A.k<-2,或 2<k<5 B.-2<k<5 C.k<-2,或 k>5 ?|k|-2>0, ? 解析 由题意知:(|k|-2)(5-k)<0,即? ?5-k<0, ?
?|k|-2<0. ? 或? 解得:k>5,或-2<k<2.故选 D. ?5-k>0. ?

x2 y2 a b

y2 x2 a b

D.-2<k<2,或 k>5

题型三

由几何性质求双曲线的标准方程 x2 y2 6、 设双曲线与椭圆 + =1 有相同的焦点, 且与椭圆相交, 一个交点 A 的纵坐标为 4, 求此双曲线的标准方程. 27 36 2 2 y x 解 方法一 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由题意知 c2=36-27=9,c=3. a b 又点 A 的纵坐标为 4,则横坐标为± 15,于是有

? ?a2=4, ?42-(± 15) =1, ? b2 解得? 2 ?a ?b =5. ? ? ?a2+b2=9,
2 2

y2 x2 所以双曲线的标准方程为 - =1. 4 5 方法二 将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(± 15,4),又两焦点分别为 F1(0,3),F2(0,-3).所以 2a=| (± 15-0)2+(4+3)2- (± 15-0)2+(4-3)2| =4, 即 a=2,b2=c2-a2=9-4=5, y2 x2 所以双曲线的标准方程为 - =1. 4 5 方法三 若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点, 则可设双曲线为 x2 y2 + =1(27<λ<36), 再将点 A(± 15, 27-λ 36-λ

4)代入求 λ,进而求方程,不过这种解题方法有一定的技巧性. 7、求实轴长为 4 5且过点 A(2,-5)的双曲线的标准方程 解析 由题意知 2a=4 5,a2=20, 若双曲线焦点在 x 轴上,则可设方程为

x2 y2 - =1, 20 b2

-25 16 4 25 代入点 A(2,-5),得: - 2 =1,即 2 = ,矛盾. 20 b b 20 x2 y2 4 25 1 因此设双曲线的方程为- 2+ =1.代入 A(2,-5),得: 2=-1+ = ,∴b2=16. b 20 b 20 4 2 2 x y 8.双曲线与椭圆 + =1 有相同的焦点,它的一条渐近线为 y=x,则双曲线方程为( ) 16 64 A.x2-y2=96 B.y2-x2=160 C.x2-y2=80 D.y2-x2=24 答案 D

解析 由题意知双曲线的焦点为(0,± 4 3),即 c2=48,又因一条渐近线方程为 y=x. a 所以 =1.即 a=b,∴48=2a2,a2=b2=24.故选 D. b x2 y2 9、 (重庆高考)已知双曲线 2- 2=1 (a>0, b>0)的一条渐近线为 y=kx (k>0), 离心率 e= 5k, 则双曲线方程为( ) a b 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y A. 2- 2=1 B. 2- 2=1 C. 2- 2=1 D. 2- 2=1 a 4a a 5a 4b b 5b b b?2 b b 1 解析 双曲线的渐近线方程可表示为 y=± x,由已知可得 k= .又离心率 e= 1+? ?a? = 5k,所以 k=2. a a b 1 即 = ,故 a=2b. 答案 C a 2 x2 y2 3 10、已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为 y=± x,若顶点到渐近线的距离为 1,则双曲线方程 a b 3 为____________. a a 解析 双曲线顶点为(a,0),渐近线为 x+ 3y=0, ∴1= = ,∴a=2. 1+ 3 2 b 3 2 3 又 = ,∴b= , a 3 3 题型四 求双曲线的离心率 x2 3 ∴双曲线方程为 - y2=1. 4 4

3 11、已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的离心率为________; 4 x2 y2 3 12、设双曲线 - =1(b>a>0)的半焦距为 c,直线 l 过(a,0)、(0,b)两点.已知原点到直线 l 的距离为 c,则双 a2 b2 4 曲线的离心率为________. 2 2 b b 3 c2 a + b 9 25 解析 (1)当焦点在 x 轴上时,其渐近线方程为 y=± x,依题意, = ,e2= 2= 2 =1+ = , a a 4 a a 16 16 5 a ∴e= ;当焦点在 y 轴上时,其渐近线方程为 y=± x, 4 b 2 2 2 a 3 c a +b 16 25 5 依题意 = ,e2= 2= 2 =1+ = , ∴e= . b 4 a a 9 9 3 |b· 0+ a· 0-ab| x y 3 3 (2)直线 l 的方程为 + =1,即 bx+ay-ab=0. 于是有 = c,即 ab= c2. 2 2 a b 4 4 a +b 两边平方得 16a2b2=3c4,∴16a2(c2-a2)=3c4. 即 3c4-16a2c2+16a4=0,∴3e4-16e2+16=0. a2+b2 4 b2 b2 解得 e2=4,或 e2= , ∵b>a>0,∴ 2>1, ∴e2= 2 =1+ 2>2,故 e2=4,∴e=2. 3 a a a 5 5 答案 (1) 或 (2)2 3 4 x2 y2 13、(全国Ⅱ高考)设 a>1,则双曲线 - =1 的离心率 e 的取值范围是( ) a2 (a+1)2 A.( 2,2) 解析 B.( 2, 5) x2 y2 ∵双曲线方程为 2- =1, a (a+1)2 1 2 2+ 2+ = a a C.(2,5) ∴c= 2a +2a+1.
2

D.(2, 5)

c ∴e= = a

?1+1?2+1. 又∵a>1,∴0<1<1.∴1<1+1<2. ?a ? a a
答案 B

1?2 ∴1<? ?1+a? <4.∴ 2<e< 5. 题型五

直线与双曲线 x2 y2 14、直线 l 在双曲线 - =1 上截得的弦长为 4,其斜率为 2,求直线 l 在 y 轴上的截距 m. 3 2 解 设直线 l 的方程为 y=2x+m, ?y=2x+m, 由?x2 y2 ? ? 3 - 2 =1,

?

得 10x2+12mx+3(m2+2)=0.

6 3 设直线 l 与双曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由韦达定理,得 x1+x2=- m,x1x2= (m2+2). 5 10 又 y1=2x1+m,y2=2x2+m,∴y1-y2=2(x1-x2), ∴|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2 36 3 =5[(x1+x2)2-4x1x2]=5[ m2-4× (m2+2)]. 25 10 36 210 210 ∵|AB|=4,∴ m2-6(m2+2)=16. ∴3m2=70,m=± . ∴直线 l 在 y 轴上的截距为± . 5 3 3 题型六 直线与双曲线的位置关系 16、已知双曲线 x2-y2=4,直线 l:y=k(x-1),试讨论实数 k 的取值范围. (1)直线 l 与双曲线有两个公共点;(2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点;(3)直线 l 与双曲线没有公共点. ?x2-y2=4 ? 解 由? 消去 y, ?y=k(x-1) ? 得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0(*) (1)当 1-k2=0,即 k=± 1,直线 l 与双曲线渐近线平行,方程化为 2x=5,故此方程(*)只有一个实数解,即 直线与双曲线相交,且只有一个公共点. (2)当 1-k2≠0,即 k≠± 1 时, 2 2 2 2 Δ=(2k ) -4(1-k )(-k -4)=4(4-3k2) 2 ? ?4-3k >0 2 3 2 3 ? ① 即- < k< ,且 k≠± 1 时,方程(*)有两个不同的实数解,即直线与双曲线有两个公共 2 3 3 1 - k ≠ 0 ? ? 点.
?4-3k2=0 ? 2 3 ②? 即 k=± 时,方程(*)有两个相同的实数解,即直线与双曲线有两重合的公共点. 2 3 ?1-k ≠0 ?
2 ? ?4-3k <0 2 3 2 3 ③? 即 k<- 或 k> 时,方程(*)无实数解,即直线与双曲线无公共点. 2 3 3 1 - k ≠ 0 ? ?

2 3 2 3 <k<-1 或-1<k<1 或 1<k< 时,直线与双曲线有两个公共点. 3 3 2 3 当 k=± 1 或 k=± 时,直线与双曲线有且只有一个公共点. 3 2 3 2 3 当 k<- 或 k> 时,直线与双曲线没有公共点. 3 3 综上所述,当-

【反思感悟】 讨论直线和双曲线的公共点的个数问题,常常归结为讨论含参数的一元二 次方程在特定区间内是否存在实根或讨论实根的个数问题,但要注意转化的等价性.
y2 =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4,这样的直线有( ) 2 A. 1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解析 右焦点坐标为( 3,0),把 x= 3代入双曲线方程得:y=± 2,即当直线过右焦点.垂直于 x 轴时,l 与双曲线交的弦长|AB|=4,当 l 与 x 轴重合时,|AB|=2.由数形结合知,还存在两条直线,使得|AB|=4,故选 C. 17、过双曲线 x2-

知识点七、焦点三角形问题
x2 -y2=-1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且∠F1PF2=90° ,则△ F1PF2 的面积是( ) 4 A. 2 B.4 C.8 D.16 2 ?||PF1|-|PF2||=2 ① ? x 解析 方程变形为 y2- =1,由题意? 由①式两边平方得:20-2|PF1||PF2|=4, 2 2 2 4 ?|PF1| +|PF2| =(2 5) ② ? 1 1 ∴|PF1||PF2|=8,S△F1PF2= |PF1|· |PF2|= ×8=4. 2 2 18、F1、F2 为双曲线


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