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二元一次方程组,一元一次不等式


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主题 序
二元一次方程组
例: 解下列方程组:
? x ? 4 y ? ?1 ⑴? ?2 x ? y ? 16

教学过程补充表

教学过程

? 4 ? x ? y ? 1? ? 3 ?1 ? y ? ? 2 ? ⑵?x y ? ? ?2 ?2 3

?2 x ? 3 y ? 2 ? 0 ? ⑶ ? 2x ? 3y ? 5 ? 2y ? 9 ? 7 ?

典型例题分析 1. 解下列方程组:
?9 ? m ? n ? ? 18 ? ?5 (1) ? ? 2 m ? 3 ? m ? n ? ? 20 ? 2 ?3
?1995 x ? 1997 y ? 5989 (2) ? ?1997 x ? 1995 y ? 5987

?3 x ? y ? 2 z ? 3 ? (3) ? 2 x ? y ? 3 z ? 11 ? x ? y ? z ? 12 ?

?x? y y ? z z ? x ? ? ? (4) ? 2 3 4 ? x ? y ? z ? 27 ?

?x ? 2 ?ax ? by ? 7 2.如果 ? 是方程组 ? 的解,则 a与c 的关系是( ?y ?1 ?bx ? cy ? 5

) D. 2a ? c ? 9

A. 4a ? c ? 9

B. 2a ? c ? 9

C. 4a ? c ? 9

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? x ? y ? 5k 3.关于 x、y 的二元一次方程组 ? 的解也是二元一次方程 2 x ? 3 y ? 6 的解,则 k 的值 ? x ? y ? 9k



. 时,方程为一元一次方程; 当

4. 若已知方程 ? a 2 ? 1? x 2 ? ? a ? 1? x ? ? a ? 5 ? y ? a ? 3 ,则当 a =

时,方程为二元一次方程. ① ? ax ? 5 y ? 15 5. 已知方程组 ? 由于甲看错了方程①中的 a 得到方程组的解为   4 x ? by ? ? 2   ② ? x ? ? 3 ? ?x ? 5 ;乙看错了方程②中的 b 得到方程组的解为 ? ,若按正确的 a、b 计算,求原方程组 ? ?y ? 4 ? y ? ?1 的解.

a=

6. 若 4 x ? 3 y ? 6 z ? 0, x ? 2 y ? 7 z ? 0 ? xyz ? 0 ? , 求代数式

5x2 ? 2 y 2 ? z 2 的值. 2 x 2 ? 3 y 2 ? 10 z 2

7. 求二元一次方程 3x ? 2 y ? 20 的:⑴所有正整数解;⑵一组分数解;⑶一组负数解.

? mx ? 2 y ? 10 8.已知关于 x、y 的方程组 ? 有整数解,即 x、y 都是整数, m 是正整数,求 m 的值. ?3 x ? 2 y ? 0

强化训练 一、选择题:
?2 x ? y ? 2 1. 二元一次方程组 ? 的解是( ?? x ? y ? 5 ?x ? 1 A. ? ?y ? 6 ? x ? ?1 B. ? ?y ? 4

)
?x ? 3 D. ? ?y ? 2

? x ? ?3 C. ? ?y ? 2

1 2.已知代数式 x a ?1 y 3 与 ?3x ? b y 2 a ?b 是同类项,那么 a、b 的值分别是( 2
?a ? 2 A. ? ?b ? ? 1 ?a ? 2 B. ? ?b ? 1 ? a ? ?2 C. ? ?b ? ? 1



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?x ? 9 ?4 x ? 7 y ? a ? b 3. 若 ? 是方程组 ? 解, 则 a、b 的值是( ?y ? 2 ?3x ? y ? a ? b
a? A. ? ? ? 81 2 ? 1 ?b ? ? ? 4

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)

?a ? 3 B. ? ?b ? ?17

C.

47 ? a? ? ? 2 ? ?b ? ? 3 ? ? 2

?a ? 5 D. ? ?b ? ?19

? ?4 x ? 3 y ? 7 4. 如果方程组 ? 的解 x、y 的值相等,则 k 的值是( ? ? kx ? ? k ? 1? y ? 3

)

A.1 二、填空题:

B.0

C.2

D. ?2

? ?x ?1? 6 y ? 0 1.方程组 ? 的解是 ? ? 2 ? x ? 1? ? y ? 11
2

. ,y= . .

2.如果 ? x ? y ? 5 ? 与 3 y ? 2 x ? 10 互为相反数,那么 x =

? x ? ?2 3. 若 ? 是方程 3x ? 3 y ? m 和 5x ? y ? n 的公共解,则 m2 ? 3n = ?y ? 3

? x ? ?2 ?ax ? by ? 1 4. 已知 ? 是二元一次方程组 ? 的解,则 ? a ? b ?? a ? b ? 的值是 ?bx ? ay ? 1 ? y ? 31

.

三、解下列方程组:
? x ?1 ? 2y ? ⑴? 3 ? 2 ? x ? 1? ? y ? 11 ?
?361x ? 463 y ? ?102 ⑵? ?463x ? 361 y ? 102

?2 x ? ay ? 6 四、已知关于 x、y 的方程组 ? 有整数解,即 x、y 都是整数, a 是正整数, ?4 x ? y ? 7

求 a 的值.

常见题型归纳和经典例题讲解
1.常见题型分类 定义类 1.下列不等式中,是一元一次不等式的是( 1 A. +1>2 B.x2>9 x ) C.2x+y≤5 D.
1 (x-3)<0 2

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2.若 (m ? 2) x 2 m?1 ? 1 ? 5 是关于 x 的一元一次不等式,则该不等式的解集为 用不等式表示

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.

a 与 6 的和小于 5;
数轴题

x 与 2 的差小于-1;

1.a,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示:用“<”或“>”号填空:

a__________b; a-b__________0;

|a|__________|b|; a+b__________a-b;

a+b__________0 ab__________a.


2.已知实数 a、b 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是( A、ab>0 同等变换 1.与 2x<6 不同解的不等式是( A.2x+1<7 B.4x<12 借助数轴解不等式(组): ) C.-4x>-12 B、 a ? b C、a-b>0 D、a+b>0

D.-2x<-6

(这类试题在中考中很多见)

? x ?1 ≥0 ?1 ? 1.(2010 湖北随州)解不等式组 ? 3 ? ?3 ? 4( x ? 1) ? 1

2.(2010 福建宁德)解不等式

2 x ? 1 5x ? 1 ≤1,并把它的解集在数轴上表示出来. ? 3 2

?1 ? 2( x ? 1) ? 1, ? 3.(2006 年绵阳市) ? x 1 ? ? x. ? ?2 3

学高为师、身正为范! 此类试题易错知识辨析
(1)解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式 ax ? b (或 ax ? b ) ( a ? 0 )的形式的解集:
b b (或 x ? ) a a b b 当 a ? 0 时, x ? (或 x ? ) a a b b 当 a ? 0 时, x ? (或 x ? ) a a 4 若不等式(a+1)x>a+1 的解集是 x<1,则 a 必满足( (A)a<0 (B)a>-1 (C)a<-1

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当 a ? 0 时, x ?

). (D)a<1

5 若 m>5,试用 m 表示出不等式(5-m)x>1-m 的解集______.

6.如果不等式(m-2)x>2-m 的解集是 x<-1,则有( ) A.m>2 B.m<2 C.m=2 D.m≠2 b 7.如果不等式(a-3)x<b 的解集是 x< ,那么 a 的取值范围是________. a ?3

限制条件的解 1.不等式 3(x-2)≤x+4 的非负整数解有几个.( ) A.4 B.5 C.6 1 11 2.不等式 4x- ? x ? 的最大的整数解为( ) 4 4 A.1 B.0 C.-1 含绝对值不等式 1. 不等式|x|< 2. 分类讨论 1.已知 ax<2a(a≠0)是关于 x 的不等式,那么它的解集是( ) A.x<2 B.x>-2 C.当 a>0 时,x<2 D.当 a>0 时,x<2;当 a<0 时,x>2
7 的整数解是________.不等式|x|<1 的解集是________. 3

D.无数个

D.不存在

不等式的性质及应用 1. 若 x+y>x-y,y-x>y,那么(1)x+y>0, (2)y-x<0, (3)xy≤0,(4) 正确结论的序号为________。
y <0 中, x

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2(2010 四川乐山)下列不等式变形正确的是( (A)由 a > b ,得 a ? 2 < b ? 2 (B)由 a > b ,得 ? 2a < ? 2b (C)由 a > b ,得
a

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b

(D)由 a > b ,得 a 2 > b 2

依据题意列不等式 1.当 x_______时,代数式 2x-5 的值不大于 0. x ? 3 5x ? 1 2.当 x________时,代数式 的值是非负数. ? 2 6 x 3.当代数式 -3x 的值大于 10 时,x 的取值范围是________. 2 1 1 4.已知 x 的 与 3 的差小于 x 的- 与-6 的和, 根据这个条件列出不等式.你能估计出它的解 2 2 集吗? 已知解集求范围

1.关于 x 的方程 5-a(1-x)=8x-(3-a)x 的解是负数,则 a 的取值范围是( A、a<-4 B、a>5 C、a>-5

) D、a<-5

2.已知-4 是不等式 ax>9 的解集中的一个值,试求 a 的取值范围.

3.已知不等式

x -1>x 与 ax-6>5x 同解,试求 a 的值. 2

4.如果关于 x 的不等式-k-x+6>0 的正整数解为 1,2,3,正整数 k 应取怎样的值?

5.不等式 a(x-1)>x+1-2a 的解集是 x<-1,请确定 a 是怎样的值.

?3x ? 2 y ? p ? 1, 6.已知关于 x,y 的方程组 ? 的解满足 x>y,求 p 的取值范围. ?4 x ? 3 y ? p ? 1

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7.若关于 x 的方程 3x+2m=2 的解是正数,则 m 的取值范围是( A.m>1 B.m<1 C.m≥1 字母不等式 1 已知关于 x 的不等式 2< (1 ? a ) x 的解集为 x < A. a >0 B. a >1 C. a <0 D. a <1

) D.m≤1

2 ,则 a 的取值范围是( 1? a

) .

?x ? m ? 0 2 (2010 山东泰安) 若关于 x 的不等式 ? 的整数解共有 4 个, 则 m 的取值范围是 ( ?7 ? 2 x ? 1



A. 6 ? m ? 7

B. 6 ? m ? 7

C. 6 ? m ? 7

D. 6 ? m ? 7 .

3 关于 x 的方程 kx ? 1 ? 2 x 的解为正实数,则 k 的取值范围是

4 已知关于 x,y 的方程组

的解满足 x>y,求 p 的取值.

?1 ? x ? 2, 5 若不等式组 ? 有解,则 k 的取值范围是( ?x ? k

). (D)1≤k<2 ). (D)m≥1

(A)k<2

(B)k≥2

(C)k<1

? x ? 9 ? 5 x ? 1, 6 等式组 ? 的解集是 x>2,则 m 的取值范围是( ?x ? m ? 1

(A)m≤2

(B)m≥2

(C)m≤1

7 知(x-2)2+|2x-3y-a|=0,y 是正数,则 a 的取值范围是______.
? x ? y ? 2k , 8 k 满足______时,方程组 ? 中的 x 大于 1,y 小于 1. ?x ? y ? 4

9 若 m、n 为有理数,解关于 x 的不等式(-m2-1)x>n.

?2 x ? y ? 1 ? 3m, ① 10 已知方程组 ? 的解满足 x+y<0,求 m 的取值范围. ② ? x ? 2 y ? 1? m

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强化练习题 1.当 2(k ? 3) ?
10 ? k k ( x ? 5) 时,求关于 x 的不等式 ? x ? k 的解集. 4 3

?3x ? 5 y ? k , 2.当 k 取何值时,方程组 ? 的解 x,y 都是负数. ?2 x ? y ? ?5

? x ? 2 y ? 4k , 3.已知 ? 中的 x,y 满足 0<y-x<1,求 k 的取值范围. ?2 x ? y ? 2 k ? 1

?3 x ? 4 ? a, 4.已知 a 是自然数,关于 x 的不等式组 ? 的解集是 x>2,求 a 的值. ?x ? 2 ? 0

? x ? a ? 0, 5.关于 x 的不等式组 ? 的整数解共有 5 个,求 a 的取值范围. ?3 ? 2 x ? ?1

6.k 取哪些整数时,关于 x 的方程 5x+4=16k-x 的根大于 2 且小于 10?

? x ? y ? 2m ? 7, 7.已知关于 x,y 的方程组 ? 的解为正数,求 m 的取值范围. ? x ? y ? 4m ? 3

? x ? 15 ? x ? 3, ? ? 2 8.若关于 x 的不等式组 ? 只有 4 个整数解,求 a 的取值范围. ? 2x ? 2 ? x ? a ? 3 ?

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?x ? ? a≥ 2 9.(2009 年山东烟台)如果不等式组 ? 2 的解集是 0 ≤ x ? 1 ,那么 a ? b 的值为 ? ?2 x ? b ? 3
?x ? 3 10.(2009 年湖北恩施)如果一元一次不等式组 ? 的解集为 x ? 3 .则 a 的取值范围是( ?x ? a



)

A. a ? 3

B. a ≥ 3

C. a ≤ 3

D. a ? 3 )

11.(2009 湖北荆门)若不等式组 ? A. a ? ?1

? x ? a≥0, 有解,则 a 的取值范围是( ?1 ? 2 x ? x ? 2

B. a ≥ ?1

C. a ≤1

D. a ? 1 .

?x ? m ?1 12.(2009 年湖北孝感)关于 x 的不等式组 ? 的解集是 x ? ?1 ,则 m = ?x ? m ? 2

? x ? a ≥ 0, 13.(2009 年湖南长沙)已知关于 x 的不等式组 ? 只有四个整数解,则实数 a 的取值范 ?5 ? 2 x ? 1

围是




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