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题型专题(十一) 等差数列与等比数列


题型专题(十一)等差数列与等比数列
主要考查基础知识、基本技能,应用所学 分析解决问题的能力

考点一:等差数列、等比数列的基本运算
——用公式、建方程、求未知 (1)两组求和公式 n?a1+an? n?n-1? ①等差数列:Sn= =na1+ d; 2 2 a1?1-qn? a1-anq ②等比数列:Sn= = (q≠1). 1- q

1-q (2)在进行等差(比)数列项与和的运算时, 若条件和结论 间的联系不明显,则均可化成关于 a1 和 d(q)的方程组求解, 但要注意消元法及整体计算,以减少计算量.

[典例]

(1)(2015· 全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为 1 的等差数 ( )

列,Sn 为{an}的前 n 项和,若 S8=4S4,则 a10= 17 A. 2 C.10 19 B. 2 D.12

[解析]

∵公差为 1,

8×?8-1? ∴S8=8a1+ ×1=8a1+28, 2 4×?4-1? S4=4a1+ ×1=4a1+6. 2 ∵S8=4S4,∴8a1+28=4(4a1+6), 1 解得 a1= , 2 1 19 ∴a10=a1+9d= +9= . 2 2 [答案] B

(2)(2015· 湖南高考)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 a1=1,且 3S1,2S2,S3 成等差数列,则 an=________.
[解析] 因为 3S1,2S2,S3 成等差数列,

所以 4S2=3S1+S3,即 4(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3. a3 化简,得 =3,即等比数列{an}的公比 q=3, a2 故 an=1×3n 1=3n 1.
- -

[答案]

3n

-1

方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用 等差(比)数列的通项公式、 求和公式中一共包含 a1, d(或 q),n,an 与 Sn 这五个量,如果已知其中的三个,就可以求 其余的两个.其中 a1 和 d(或 q)是两个基本量,所以等差数 列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量, 然 后根据通项公式、 求和公式构建这两者的方程组, 通过解方 程组求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.

[即时应用]
9 (2015· 重庆高考)已知等差数列{an}满足 a3=2,前 3 项和 S3= . 2 (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足 b1=a1,b4=a15,求{bn}的前 n 项和 Tn.

解:(1)设{an}的公差为 d,则由已知条件得 3×2 9 a1+2d=2,3a1+ d= , 2 2 3 1 化简得 a1+2d=2,a1+d= ,解得 a1=1,d= , 2 2 n- 1 n+ 1 故{an}的通项公式 an=1+ ,即 an= . 2 2

15+1 (2)由(1)得 b1=1,b4=a15= =8. 2 b4 设{bn}的公比为 q,则 q = =8,从而 q=2, b1
3

故{bn}的前 n 项和 b1?1-qn? 1×?1-2n? Tn= = =2n-1. 1-q 1-2

考点二:等差数列、等比数列的判定与证明
——常用方法有四种,题型不同分侧重 1.等差数列的四个判定方法 (1)定义法:证明对任意正整数 n 都有 an+1-an 等于同 一个常数. (2)等差中项法:证明对任意正整数 n 都有 2an+1=an+ an+2 后,可递推得出 an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1 -an-2=…=a2-a1,根据定义得出数列{an}为等差数列. (3)通项公式法:得出 an=pn+q 后,得 an+1-an=p 对 任意正整数 n 恒成立,根据定义判定数列{an}为等差数列.

(4)前 n 项和公式法:得出 Sn=An2+Bn 后,根据 Sn,an 的关系,得出 an,再使用定义法证明数列{an}为等差数列. 2.等比数列的四个判定方法 an+1 an * (1)定义法:若 a =q(q 为非零常数,n∈N )或 =q(q an-1 n 为非零常数且 n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列.
2 (2)中项公式法:若数列{an}中,an≠0 且 an an+2(n +1=an·

∈N*),则数列{an}是等比数列.

(3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c· qn 1(c,q


均是不为 0 的常数,n∈N*),则{an}是等比数列. (4)前 n 项和公式法:若数列{an}的前 n 项和 Sn=k· qn- k(k 为常数且 k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.

[典例]
*

(2015· 广东高考)设数列 an 的前 n 项和为 Sn, n

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

3 5 ∈N .已知 a1=1,a2= ,a3= ,且当 n≥2 时,4Sn+2+5Sn 2 4 =8Sn+1+Sn-1. (1)求 a4 的值;
? 1 ? ? ? ? a - a (2)证明: n+1 2 n?为等比数列; ? ? ? ?

(3)求数列 an 的通项公式.

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

[解]

(1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即

? ? ? ? 3 5 3? 3 5? 4?1+2+4+a4?+5?1+2?=8?1+2+4?+1, ? ? ? ? ? ?

7 解得a4= . 8 (2)证明:由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2), 得4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2), 即4an+2+an=4an+1(n≥2). 5 ∵4a3+a1=4× +1=6=4a2, 4 即n=1时也满足上式,

∴4an+2+an=4an+1,n∈N*, 1 an+2- an+1 4a -2a 2 n+2 n+1 ∴ = 1 4an+1-2an an+1- an 2 4an+1-an-2an+1 2an+1-an 1 = = = , 4an+1-2an 2?2an+1-an? 2
? 1 ? ? ? 1 ? ? ∴数列 an+1-2an 是以 a2- a1=1 ? ? 2 ? ?

1 为首项, 为公比的等 2

比数列.

?1? - an+1 1 an n 1 ? ? (3)由(2)知,an+1- an= 2 ,即? ? -? ? =4. 2 1 1 ? ? ? ?n+1 ? ?n ?2? ?2?

? ? an ? ? a1 ? ? 1 ∴数列?? ?n?是以 =2 为首项,4 为公差的等差数列, 1 ? ??2? ? ? 2 an ∴? ? =2+4(n-1)=4n-2, 1 ? ?n ?2? 即
?1? - ? ?n 1, an=(2n-1)· ?2?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

∴数列 an 的通项公式为

?1? - ? ?n 1 . an=(2n-1)· ?2?

巧造等差或等比判定方法 (1)判断一个数列是等差(等比)数列,还有通项公式法及 前 n 项和公式法,但不作为证明方法; (2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列,只需判断存 在连续三项不成等差(等比)数列即可;
2 (3)an =an-1an+1(n≥2,n∈N*)是{an}为等比数列的必要

而不充分条件,也就是要注意判断一个数列是等比数列时, 要注意各项不为 0.

[即时应用]
(2015· 河北省五校联考)已知数列{an}的各项均为正数,前 n an?an+1? 项和为 Sn,且 Sn= (n∈N*). 2 (1)求证:数列{an}是等差数列; 1 (2)设 bn=S ,Tn=b1+b2+…+bn,求 Tn. n

an?an+1? 解:(1)证明:Sn= (n∈N*),① 2 an-1?an-1+1? Sn-1= (n≥2).② 2
2 a2 + a - a n n n-1-an-1 ①-②得:an= (n≥2), 2

整理得:(an+an-1)(an-an-1)=(an+an-1)(n≥2). ∵数列{an}的各项均为正数,∴an+an-1≠0, ∴an-an-1=1(n≥2). 当 n=1 时,a1=1, ∴数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列.

n2+n (2)由(1)得Sn= , 2
?1 1 ? 2 2 ? ∴bn= 2 = =2?n-n+1? ?, n +n n?n+1? ? ?

?? 1? ?1 1? ?1 1? 1 ?? ?1 ∴Tn=2 ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+?+? ? ?? 2 2 3 3 4 n n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? 1 ? 2n ? ? =2?1-n+1?= . n + 1 ? ?

考点三:等差数列、等比数列的性质
——数列性质应活用,运算快捷轻巧功 等差数列 (1)若m,n,p,q∈N*, 且m+n=p+q,则am+an 性 =ap+aq 质 (2)an=am+(n-m)d (3)Sm,S2m-Sm,S3m- S2m,…仍成等差数列 等比数列 (1)若m,n,p,q∈N*, 且m+n=p+q,则am· an =ap· aq; (2)an=amqn
-m



(3)Sm,S2m-Sm,S3m- S2m,…仍成等比数列 (Sn≠0)

[典例]

(1)(2015· 唐山统考)设Sn是等比数列{an}的前n ( 7 B. 3 D.1或2 )

S4 S6 项和,若 =3,则 = S2 S4 A.2 3 C. 10

[解析]

设S2=k,S4=3k,由数列{an}为等比数列,得

S2,S4-S2,S6-S4为等比数列,∴S2=k,S4-S2=2k,S6 S6 7k 7 -S4=4k,∴S6=7k,∴ = = . S4 3k 3 [答案] B

1+an (2)(2015· 贵阳监测)已知数列{an}满足 a1=2,an+1= 1-an (n∈ N*),则该数列的前 2 015 项的乘积 a1· a2 · a3· …· a2 ________.
015 =

[解析]

1+a1 1+a2 1 由题意可得,a2= =-3,a3= =- , 2 1-a1 1-a2

1+a3 1 1+a4 a4= = ,a5= =2=a1, 1-a3 3 1-a4 ∴数列{an}是以4为周期的数列,且a1· a2 · a3· a4=2×(-
? 1? 1 3)×?-2?× =1.而2 ? ? 3

015=4×503+3,

∴前2 015项乘积为a1a2a3=3. [答案] 3

(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项 的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行 求解; (2)数列是一种特殊函数,具有函数的一些性质,如周 期性、单调性(如本例(2),应用1).

[即时应用]
1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,(n+1)Sn<nSn+1(n∈ a8 N ).若 <-1,则 a7
*

( B.Sn的最小值是S8 D.Sn的最小值是S7

)

A.Sn的最大值是S8 C.Sn的最大值是S7

解析:由(n+1)Sn<nSn+1, n?a1+an? ?n+1??a1+an+1? 得(n+1)· <n· , 2 2 整理得an<an+1, 所以等差数列{an}是递增数列, a8 又 <-1,所以a8>0,a7<0,所以数列{an}的前7项为负 a7 值,即Sn的最小值是S7. 答案:D

2.(2015· 兰州诊断)数列{an}的首项为a1=1,数列{bn}
1 an+1 为等比数列,且bn= a ,若b10b11=2 015 10 ,则a21 n

=________.

an+1 a2 解析:由bn= a ,且a1=1,得b1= =a2. a1 n a3 a4 b2= ,a3=a2b2=b1b2,b3= ,a4=a3b3=b1b2b3, a2 a3 …, an=b1b2…bn-1,∴a21=b1b2…b20. ∵数列{bn}为等比数列, ∴a21=(b1b20)(b2b19)…(b10b11)=(b10b11) = 2 015 答案:2 015
10
? ? ? ?

1 ? ?10 10 ?
?

=2 015.

主要考查迁移思维、数学素养,多角度、 创造性地思考和解决问题的能力

数列与其他知识的交汇点
数列在中学教材中既有相对独立性,又有较强的综合 性,很多数列问题一般转化为特殊数列求解,一些题目常与 函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合,考查数 列的基本运算与应用.

[典例]

已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数, 对于任

意的 x,y∈R,都有 f(xy)=xf(y)+yf(x)成立.数列{an}满足 an = f(2n)(n ∈ N*) ,且 a1 = 2 ,则数列 {an} 的通项公式 an = ________.

[解析]

由题意知,

an+1=f(2n+1)=2f(2n)+2nf(2)=2an+2n+1, an+1 an 则 n+1= n+1, 2 2
? ?an? ? ? 所以?2n? 是首项为1,公差为1的等差数列, ? ? ?

an 所以 n=n,an=n· 2n. 2 [答案] n· 2n

本题利用抽象函数的性质把函数问题转化为数列问 题,即an+1=2an+2
n+1

,利用关系式判断

? ?an? ? ? n? ? ?2 ? ?

为等差数

列,问题得以解决.

[即时应用]
1 1.(2015· 辽宁五校联考)抛物线x = y在第一象限内图象上 2
2

一点(ai,2a 2 i )处的切线与x轴交点的横坐标记为ai+1,其中 i∈N*,若a2=32,则a2+a4+a6等于 A.64 C.32 B.42 D.21 ( )

解析:令y=f(x)=2x2, 则切线斜率k=f′(ai)=4ai, 切线方程为y-2a2 i =4ai(x-ai). 1 令y=0,得x=ai+1= ai. 2 由a2=32,得a4=8,a6=2,所以a2+a4+a6=42. 答案:B

2.(2015· 山西四校三联)设数列{an}满足 a2+a4=10,点 ?????? ? * Pn(n,an)对任意的 n∈N ,都有向量 Pn Pn+1 =(1,2),则 数列{an}的前 n 项和 Sn=________.
解析:∵Pn(n,an),∴Pn+1(n+1,an+1), ?????? ? ∴ Pn Pn+1 =(1,an+1-an)=(1,2), ∴an+1-an=2,∴{an}是公差 d 为 2 的等差数列. 又由 a2+a4=2a1+4d=2a1+4×2=10,解得 a1=1, n?n-1? ∴Sn=n+ ×2=n2. 2 答案:n2

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