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2013版【三维设计】高中数学人教A版选修2-1【配套课件】第二章 2.2.1 椭圆及其标准方程


知识点一

理解教材新知
知识点二

2.2

考点一

第 二 章

2.2. 1

把握热点考向

考点二 考点三

应用创新演练

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2.2.1

椭圆及其标准方程

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取一条定长的无弹性的细绳,把它的两端分别固定在
图板的两点F1,F2处,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖. 问题1:若绳长等于两点F1,F2的距离,画出的轨迹是 什么曲线? 提示:线段F1F2. 问题2:若绳长L大于两点F1,F2的距离,移动笔尖(动 点M)满足的几何条件是什么?

提示:|MF1|+|MF2|=L.
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椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的 距离之和等于常数(大于 |F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 焦点, 两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距.

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在平面直角坐标系中,设A(-4,0),B(4,0),C(0,4),D(0,

-4).
问题1:若|PA|+|PB|=10,则P点的轨迹方程是什么? x2 y2 提示:轨迹方程为25+ 9 =1. 问题2:若|PC|+|PD|=10,则P点的轨迹方程是什么?
y2 x2 提示:25+ 9 =1.

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若|F1F2|=2c,|MF1|+|MF2|=2a (a>c),则椭圆的标 准方程焦点坐标及a,b,c的关系见下表:

焦点在x轴上
标准方程 焦点坐标 a、b、c的 关系
x2 y2 a2+b2=1

焦点在y轴上
x2 y2 a2+b2=1

(a>b>0) (-c,0),(c,0)
c2 =

(a>b>0) (0,-c),(0,c)

a2-b2
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1.平面内到两定点F1,F2的距离和为常数,即|MF1|

+|MF2|=2a.
当2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆; 当2a=|F1F2|时,轨迹是一条线段F1F2; 当2a<|F1F2|时,轨迹不存在. 2.标准方程中根据x2,y2对应的分母的大小可以确

定椭圆的焦点在哪条坐标轴上:x2对应的分母大,焦点
就在x轴上;y2对应的分母大,焦点就在y轴上.
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3.标准方程中的两个参数a,b确 定了椭圆的形状和大小,是椭圆定型 的条件.a,b,c三个量满足:a2=b2

+c2,恰好是一个直角三角形的三条边,构成如图所示的
直角三角形,称为椭圆的“特征三角形”.椭圆的特征三角 形清晰地反映了参数a,b,c的几何意义.

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[例 1]

如图所示,已知椭圆的方程

x2 y2 为 4 + 3 =1,若点 P 在第二象限,且∠PF1F2 =120° ,求△PF1F2 的面积.

[思路点拨]

由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于

|PF1|和|PF2|的方程,解方程组求得|PF1|,再用面积公式求
解.

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[精解详析] 由已知得 a=2,b= 3, 所以 c= a2-b2= 4-3=1,|F1F2|=2c=2. 在△PF1F2 中,由余弦定理,得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|· 1F2|cos 120° |F . 即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.① 由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, 即|PF2|=4-|PF1|.② 6 将②代入①解得|PF1|= . 5 1 1 6 3 3 3 ∴S△PF1F2= |PF1|· 1F2|· 120° × ×2× = |F sin = , 2 2 5 2 5 3 即△PF1F2 的面积是 3. 5
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[一点通] 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1,F2 构成的△ F1PF2 称为焦点三角形.解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充 分利用椭圆的定义、 三角形中的正弦定理和余弦定理等知识. 对 1 于求焦点三角形的面积,若已知∠F1PF2,可利用 S= absin C 2 把|PF1|· 2|看成一个整体,运用公式|PF1|2 +|PF2|2 =(|PF1|+ |PF |PF2|)2-2|PF1|· 2|及余弦定理求出|PF1|· 2|,而无需单独求 |PF |PF 出|PF1|和|PF2|,这样可以减少运算量.

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x2 y2 1.设 F1,F2 是椭圆25+ 9 =1 的焦点,P 为椭圆上一点,则△ PF1F2 的周长为 A.16 C.20 B.18 D.不确定 ( )

x2 y2 解析:椭圆 + =1 中,a=5,b=3,∴c=4. 25 9 △PF1F2 的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2×5+2×4=18.

答案:B
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x2 y2 2. 已知椭圆25+ 9 =1 上的点 M 到该椭圆一个焦点 F 的距离为 2, 是 MF 的中点, 为坐标原点, N O 那么线段 ON 的长是( A.2 C.8
则|MF|+|ME|=10, ∴|ME|=8. 又 ON 为△MEF 的中位线, 1 ∴|ON|= |ME|=4. 2

)

B.4 3 D.2

解析:设椭圆的另一个焦点为 E,如图,

答案:B
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[例 2] 标准方程.

6 2 2 已知椭圆经过点( 3 , 3)和点( 3 ,1),求椭圆的

[思路点拨]

解答本题可设出椭圆的标准方程,也可设

为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式,以便讨论和运算

简化,再确定相应系数,要注意对焦点位置的讨论.

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[精解详析]

法一:当椭圆的焦点在 x 轴上时,

x2 y2 设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 6 2 2 因为点( 3 , 3)和点( 3 ,1)在椭圆上, ? 62 ?? ? 2 ? 3 +? 3? =1, ? a2 b2 所以? ??2 2?2 ? 3 12 ? a2 +b2=1. ?
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?a2=1, ? 所以? 2 ?b =9, ?

而 a>b>0,

所以 a2=1,b2=9,不合题意,即焦点在 x 轴上的椭圆不存在. y2 x2 设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 6 2 2 因为点( , 3)和点( ,1)在椭圆上,所以 3 3 62 ? ?? 3?2 ? 3 ? ? a2 + b2 =1, ? ? 2 ?2 2?2 ?12+ 32 =1, b ?a

?a2=9, ? 所以? 2 ?b =1. ?

y2 所以所求的椭圆的标准方程为 +x2=1. 9

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法二:设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 6 2 2 因为点( 3 , 3)和点( 3 ,1)都在椭圆上,所以 6 ? m· 3 ?2+n· 3?2=1, ? ? ? ? ?m·2 2?2+n·2=1, 1 ? ? 3

?2m+3n=1, ?3 即? ?8m+n=1. ?9

?m=1, ? 解得? 1 n=9. ? ?
y2 所以所求的椭圆的标准方程为 x2+ 9 =1.
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[一点通]

用待定系数法求椭圆的标准方程,一般解

题步骤可归纳为

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3.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10; (2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).
解:(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上, x2 y2 ∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b ∵2a=10,∴a=5, 又∵c=3,∴b2=a2-c2=52-32=16. x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 16
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(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 ∴设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b ∵椭圆经过点(0,2)和(1,0), ?4 0 ?a2+b2=1, ∴? ? 02+ 12=1 ?a b
?a2=4, ? ?? 2 ?b =1. ?

y2 故所求椭圆的标准方程为 +x2=1. 4
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[例3]

已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的

周长等于18,求这个三角形的顶点A的轨迹方程. [思路点拨] 由△ABC的周长等于18,|BC|=8,可知

点A到B,C两个定点的距离之和是10,所以点A的轨迹是

以B,C为焦点的椭圆,但点A与点B,C不能在同一直线
上.适当建立平面直角坐标系,可以求出这个椭圆的标准 方程.

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[精解详析] 以过 B,C 两点的直线为 x 轴,线段 BC 的垂直平分线为 y 轴,建立直 角坐标系 xOy,如图所示. 由|BC|=8,可知点 B(-4,0),C(4,0),c=4. 由|AB|+|AC|+|BC|=18,|BC|=8,得|AB|+|AC|=10 .因 此,点 A 的轨迹是以 B.C 为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两 焦点的距离之和 2a=10,但点 A 不在 x 轴上.由 a=5,c=4, x2 y2 得 b2 =a2 -c2 =25-16=9.所以点 A 的轨迹方程为 + = 25 9 1(y≠0).
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[一点通]

利用椭圆的定义求动点的轨迹方程,应先

根据动点具有的条件,验证是否符合椭圆的定义,即动点 到两定点距离之和是否是一常数,且该常数(定值)大于两 点的距离,若符合,则动点的轨迹为椭圆,然后确定椭圆 的方程.这就是用定义法求椭圆标准方程的方法,但要注 意检验.
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4.已知椭圆的两焦点为 F1(-2,0),F2(2,0),P 为椭圆上的一点, 且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项.该椭圆的方程是( x2 y2 A. + =1 12 64 x2 y2 C. + =1 4 16
∴2a=8,∴a=4, ∴b2=a2-c2=16-4=12, x2 y2 ∴椭圆方程是16+12=1.

)

x2 y2 B. + =1 16 12 x2 y2 D. + =1 4 12

解析:∵|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=2×4=8,

答案:B

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5.已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9, 动圆在圆C1内部且和圆C1内切,和圆C2外切,求动

圆圆心的轨迹方程. 解:如图所示,
设动圆圆心为M(x,y),半径为r. 由题意得动圆M内切于圆C1, ∴|MC1|=13-r. 圆M外切于圆C2, ∴|MC2|=3+r. ∴|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8,
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∴动圆圆心 M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点的椭圆, 且 2a=16,2c=8, b2=a2-c2=64-16=48, x2 y2 故所求轨迹方程为 + =1. 64 48

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1.运用椭圆定义解题时,一定要注意隐含条件a>c.
2.注意焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别 和联系. 3.求椭圆的标准方程常用的方法是定义法和待定系数 法.

4.解答与椭圆相关的求轨迹问题的一般思路是

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