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高中数学指数函数教案


函数第二讲 〖2.1〗指数函数
(1)根式的概念 ①如果 x
n

? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N ? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时,

a 的 n 次方根用符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方


根用符号 ?
n

a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根. a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当

②式子

n

n 为偶数时, a ? 0 .
③根式的性质:

( n a )n ? a


;当

n

为奇数时,

n

an ? a

;当

n

为偶数时,

n

(a ? 0) ?a a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0)

(2)分数指数幂的概念
m

①正数的正分数指数幂的意义是: a n 幂等于 0. ②正数的负分数指数幂的意义是: a 的负分数指数幂没有意义. (3)分数指数幂的运算性质 ①a
r

? n a m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数
m n

?

1 m 1 ? ( ) n ? n ( ) m (a ? 0, m, n ? N ? , 且 n ? 1) .0 a a

注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.

? a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? R)
r

② (a

r s

) ? a rs (a ? 0, r , s ? R)

③ (ab)

? a r br (a ? 0, b ? 0, r ? R)

四. 【典例解析】 题型 1:指数运算 例 1. (1)计算: [(3 )
4

3 8

?

2 3

? ? 4 (5 ) 0.5 ? (0.008 ) 3 ? (0.02) 2 ? (0.32) 2 ] ? 0.0625 0.25 ; 9

2

1

1

1

(2)化简:

a 3 ? 8a 3 b 4b ? 2 ab ? a
3
2

2 3

2 3

? (a

?

2 3

?

23 b a ? 3 a2 )? 。 5 3 a a? a
2 1

解: (1)原式= [(

8 3 49 1000 3 4 2 625 4 ) ? ( )2 ? ( ) ? 50 ? ]?( ) 27 9 8 10 10000

1

4 7 1 4 2 1 17 2 ? [ ? ? 25 ? ? ] ? ? (? ? 2) ? 2 ? ; 9 3 2 9 9 5 2 10

(2)原式=

a [( a ) ? (2b ) ] (a ) 2 ? a ? (2b ) ? (2b ) 2
1 3 1 3 1 3 1 3

1 3

1 3 3

1 3 3

?

a ? 2b (a ? a ) ? 1 1 1 a (a 2 ? a 3 ) 5
2 3

1 3

1 3

2 3

1 2

? a (a ? 2b ) ?

1 3

1 3

1 3

a a ? 2b
1 3 1 3

?

a a

5 6 1 6

? a ? a ? a ? a2 。

1 3

【2.1.2】指数函数及其性质 1.指数函数 (1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的 14C 的衰减,药物在人体内残留量 的变化等) ,了解指数函数模型的实际背景; (2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。 (3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象, 探索并理解指数函数的单调性与特殊点; (4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数,在历年的高考题中都占据着重要 的地位。从近几年的高考形势来看,对指数函数、对数函数、幂函数的考查,大多以基本函 数的性质为依托,结合运算推理,能运用它们的性质解决具体问题。为此,我们要熟练掌握 指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测 2010 年对本节的考察是: 1.题型有两个选择题和一个解答题; 2.题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。 同时它们与其它知识点交汇命题,则难度会加大
2.指数函数 函数名称 定义 函数 指数函数

y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax y ? ax

y
图象

y

y ?1
(0,1)

y ?1

(0,1)

O
定义域 值域

1
x 0
R
(0, ??)
图象过定点 (0,1) ,即当 x

O

1
x 0

过定点

? 0 时, y ? 1 .

奇偶性 单调性 在 R 上是增函数

非奇非偶 在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0)
函数值的 变化情况

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变化对

图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低.

例 1. (2008 广东 理 7) 设 a ?R ,若函数 y ? e ? 3x , x ?R 有大于零的极值点,则( B )
ax

1 3 ax ax 【解析】 f '( x) ? 3 ? ae ,若函数在 x ? R 上有大于零的极值点,即 f '( x) ? 3 ? ae ? 0 有 1 3 ax 正根。当有 f '( x ) ? 3 ? ae ? 0 成立时,显然有 a ? 0 ,此时 x ? ln(? ) ,由 x ? 0 我们 a a 马上就能得到参数 a 的范围为 a ? ?3 .
A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? ? D. a ? ? 题型 5:指数函数的图像与应用 例 9.若函数 y ? ( ) A.m≤-1

1 3

1 2

|1? x|

? m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是(
C.m≥1 D.0<m≤1



B.-1≤m<0

? 1 x ?1 1 |1? x| ?( 2 ) 解:? y ? ( ) ?? 2 ?2 x ?1 ?
画图象可知-1≤m<0。 答案为 B。 例 10.设函数 f ( x) ? 2
x
| x ?1|?| x ?1|

( x ? 1)


( x ? 1)

, 求使f ( x) ? 2 2 x 的取值范围。

解:由于 y ? 2 是增函数, f ( x) ? 2 2 等价于 | x ? 1| ? | x ? 1|? 1)当 x ? 1时, | x ? 1| ? | x ? 1|? 2 ,?①式恒成立; 2)当 ?1 ? x ? 1 时, | x ? 1| ? | x ? 1|? 2 x ,①式化为 2 x ? 3)当 x ? ?1 时, | x ? 1| ? | x ? 1|? ?2 ,①式无解; 综上 x 的取值范围是 ? , ?? ? 。

3 2



3 3 ,即 ? x ? 1 ; 2 4

?3 ?4

? ?

【例 3】 (05 年福建卷.理 5 文 6)函数 f ( x) ? a x ?b 的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列 结论正确的是( ). A. a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0 解:从曲线的变化趋势,可以得到函数 f ( x) 为减函数,从而 0<a<1;从曲

线位置看,是由函数 y ? a x (0 ? a ? 1) 的图象向左平移|-b|个单位而得,所以-b>0,即 b<0. 所以 选 D. 点评:观察图象变化趋势,得到函数的单调性,结合指数函数的单调性,得到参数 a 的范围. 根据所给函数式的平移变换规律,得到参数 b 的范围. 也可以取 x=1 时的特殊点,得到 a?b ? 1 ? a0 ,从而 b<0. 【例 4】已知函数 f ( x) ? a 2?3 x (a ? 0, 且a ? 1) . (1)求该函数的图象恒过的定点坐标; (2)指出该函数的单调性.

2 时, a2?3 x ? a0 ? 1 . 3 2 所以,该函数的图象恒过定点 ( ,1) . 3 (2)∵ u ? 2 ? 3x 是减函数, ∴ 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 R 上是增函数;当 a ? 1 时, f ( x) 在 R 上是减函数.
解: (1)当 2 ? 3x ? 0 ,即 x ? 【例 2】已知 f ( x) ?

2x ? 1 . (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)讨论 f ( x) 的单调性. 2x ? 1

解: (1) f ( x) 的定义域为 R.

2? x ? 1 (2? x ? 1)?2 x 1 ? 2 x 2x ? 1 ? ?x ? ?? x ? ? f ( x) . 2? x ? 1 (2 ? 1)?2 x 1 ? 2 x 2 ?1 ∴ f ( x) 为奇函数.
∵ f ( ? x) ? (2)设任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2(2 x1 ? 2 x2 ) . ? x2 ? x1 2 x1 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 x2 ? 1)
∴ f ( x) 为增函数.

由于 x1 ? x2 ,从而 2 x1 ? 2 x2 ,即 2 x1 ? 2 x2 ? 0 . ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 点评:在这里,奇偶性与单调性的判别,都是直接利用知识的定义来解决. 需要我们理解两 个定义,掌握其运用的基本模式,并能熟练的进行代数变形,得到理想中的结果. 【例 3】求下列函数的单调区间: (1) y ? a x 解: (1)设 y ? au , u ? x2 ? 2 x ? 3 . 由 u ? x2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 4 知, u 在 (??, ?1] 上为减函数,在 [?1, ??) 上为增函数. 根据 y ? au 的单调性,当 a ? 1 时,y 关于 u 为增函数;当 0 ? a ? 1 时,y 关于 u 为减函数. ∴ 当 a ? 1 时,原函数的增区间为 [?1, ??) ,减区间为 (??, ?1] ; 当 0 ? a ? 1 时,原函数的增区间为 (??, ?1] ,减区间为 [?1, ??) . (2)函数的定义域为 {x | x ? 0} . 设 y ? 而根据 y ?
2

? 2 x ?3



(2) y ?

1 . 0.2 x ? 1

1 , u ? 0.2 x . 易知 u ? 0.2x 为减函数. u ?1

1 的图象可以得到,在区间 (??,1) 与 (1, ??) 上,y 关于 u 均为减函数. u ?1 ∴在 (??,0) 上,原函数为增函数;在 (0, ??) 上,原函数也为增函数.


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