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直线与方程教案


公开课教案
高考第一轮复习——§9.1 直线与方程
林秋林 2012.12.14

一.考纲要求(教学目标) :
1、在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素。 2、理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式。 3、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。 4、掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式) ,了解斜截式与一 次函数的关系。 5、能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。 6、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两 条平行直线间的距离。

二.教学重点:
1、理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式。 2、掌握直线方程的几种形式,掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两 条平行直线间的距离。

教学难点:
化归与转化思想,函数与方程思想,数形结合思想等数学思想方法。

三.教学内容:
(一)近几年福建高考数学解析几何题回顾:
(09 理题 13)过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的长
2

?

为 8,则 p ? ________________ 。 (09 理题 19)已知 A,B 分别为曲线 C:

x2 2 + y =1(y ? 0,a>0)与 x 轴 2 a

的左、右两个交点,直线 l 过点 B,且与 x 轴垂直,S 为 l 上 异于点 B 的一点,连结 AS 交曲线 C 于点 T.

AB (1)若曲线 C 为半圆,点 T 为圆弧 ? 的三等分点,试求出点 S 的坐标;
(II)如图,点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点,试问:是否存在 a , 使得 O,M,S 三点共线?若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由。 (10 理题 2)以抛物线 y ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为(
2

)
2

A. x +y +2x=0

2

2

B. x +y +x=0

2

2

C. x +y -x=0

2

2

D. x +y -2x=0

2

(10 理题 7) 若点 O 和点 F (?2, 0) 分别是双曲线 点,则 OP ? FP 的取值范围为 (

x2 ? y 2 ? 1(a>0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一 a2

??? ??? ? ?

)
-1-

A. [3-2 3, ??)

B. [3 ? 2 3, ??)

C. [- , ??)

7 4

D. [ , ??)

7 4

?x ? 1 ? (10 理题 8) 设不等式组 ? x-2y+3 ? 0 所表示的平面区域是 ?1 ,平面区域是 ?2 与 ?1 关于直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 对称, ?y ? x ?
对于 ?1 中的任意一点 A 与 ?2 中的任意一点 B, | AB | 的最小值等于( A. )

28 5

B.4

C.

12 5

D.2

(10 理题 17)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0)为其右焦点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l ,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在,求出直 线 l 的方程;若不存在,请说明理由。 (11 理题 7)设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 r 上存在点 P 满足 PF1 : F1 F2 : PF2 =4:3:2,则曲线 r 的离心率等于( A. 或 ) B.

1 2

3 2

2 或2 3

C.

1 或2 2

D. 或

2 3

3 2

(11 理题 17)已知直线 l:y=x+m,m∈R。 (I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (II)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? ,问直线 l ? 与抛物线 C:x2=4y 是否相切?说明理由。 (12 理题 8)已知 双曲线 离等 于( A. ) B. 4 2 C.3 D.5

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距 4 b2

5

(12 理题 19)如图,椭圆 E:

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,离心率 e ? 。过 F1 的直 2 a b 2

线交椭圆于 A、B 两点,且△ABF2 的周长为 8。 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程。 (Ⅱ)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相较于点 Q。试探究:在坐标平 面内是 否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由。

(二)要点整合:
1、直线的倾斜角 ①概念 x 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫直线的倾斜角。 ②当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。直线的倾斜角 ? ? 180 ,所以直线的倾斜角的
0

范围为 [0,180 ) ③任意直线都有倾斜角。 2、直线的斜率

0

-2-

①两点确定一条直线,给定两点 P ( x1 , y1 ) 与 P( x2 , y2 ) ,则过这两点的直线的斜率 k ? 1

y2 ? y1 (其中 x1 ? x2 ) x2 ? x1

k ? tan? (? ? 90 0 )
②倾斜角为 90°的直线没有斜率。 3、直线方程的几种形式 (1)点斜式方程 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式方程 y ? kx ? b ( b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式方程

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). ? 1 y2 ? y1 x2 ? x1 x y (4)截距式方程 ? ? 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) a b (5)直线方程的一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).

4、判断两条直线的位置关系 方法一:代数的方法(解方程组) 联立两条直线 l1 , l2 的方程得 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,若方程组无解,则 l1 ? l2 ; ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

若方程组有且只有一个解,则 l1 , l2 相交;若方程组有无数组解,则 l1 , l2 重合。 方法二:已知 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 若 A1 B2 ? A2 B1 ? 0 且两条直线不重合,则 l1 ? l2 ; 若 A1 B2 ? A2 B1 ? 0 ,则 l1 , l2 相交; 若 A1 A2 ? B1B2 ? 0 ,则 l1 ? l2 ; 若 A1 B2 ? A2 B1 ? A1C2 ? A2C1 ? B1C2 ? B2C1 ? 0 则 l1 , l2 重合。

5、距离公式 (1)点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ? (2)两条平行线间的距离公式 若 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 , l2 的距离为 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2 C1 ? C2 A2 ? B 2

注意:两条直线方程的 x, y 的系数必须化简的要一样,才能用这个公式。

(三)典例精析:
例 1 已知点 A(-3,4) B(3,2) , ,过点 P(2,-1)的直线 l 与线段 AB 有公共点,求直线 l 的斜率 k 的取 值范围.
-3-

解析:直线 PA 的斜率 k1=-1,直线 PB 的斜率 k2=3,所以要使 l 与线段 AB 有公共点,直线 l 的斜率 k 的取值 范围应是 k≤-1 或 k≥3. 点评:直线的倾斜角和斜率的对应关系是一个比较难的知识点,建议通过正切函数 y=tanx 在[0,

π 2

)∪



π 2

,π )上的图象变化来理解它.

变式练习1 已知点 A(-3,4) ,B(3,2) ,过点 P(2,-1)的直线 l 与线段 AB 没有公共点,则直线 l 的斜 率 k 的取值范围为 . 例 2 (Ⅰ)求经过点 A(-5,2)且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程; (Ⅱ)若一直线被直线 4x+y+6=0 和 3x-5y-6=0 截得的线段的中点恰好在坐标原点,求这条直线方程. 解析:(Ⅰ)①当横截距、纵截距均为零时,设所求的直线方程为 y=kx,将(-5,2)代入得 k=方程 y=-2/5x,即 2x+5y=0; ②当横截距、纵截距都不是零时,设所求的直线方程为

2 ,此时直线 5

x y 1 ? ? 1 将(-5,2)代入得 a=- ,此时直线方程为 2a a 2

x+2y+1=0. 综上所述,所求直线方程为 2x+5y=0 或 x+2y+1=0. (Ⅱ)设所求直线与直线 4x+y+6=0,3x-5y-6=0 分别相交于 A,B. 设 A(a,-4a-6) ,则由中点坐标公式知 B(-a,4a+6) , 将 B(-a,4a+6)代入 3x-5y-6=0,得 3(-a)-5(4a+6)-6=0,解得 a=所以所求直线方程为 y=-

36 . 23

1 x. 6

点评:应用直线方程的几种形式假设直线方程时须注意其应用的适用条件;选用恰当的参变量,可简化运算量. 变式练习2 求适合下列条件的直线方程. (Ⅰ)过点 P(3,2) ,且在两坐标轴上的截距相等; (Ⅱ)过点 Q(0,-4) ,且倾斜角为直线 x+y+3=0 的倾斜角的一半. 例3 已知直线 l1:2x-y+a=0(a>0) ,直线 l2:-4x+2y+1=0 和直线 l3:x+y-1=0,且 l1 与 l2 的距离是

7 5。 10

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)能否找到一点 P,使得 P 点同时满足下列三个条件:①P 是第一象限的点;②P 点到 l1 的距离是 P 点到 l2 的距离的

1 2

;③点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离的比为 2 : 5 。若能,求出 P 点坐标;若不能,说明理由.

1 解析: (Ⅰ)直线 l2:2x-y- =0 所以 l1 与 l2 的距离 d ? 2

|a?

1 | 2 ? 7 5 ,因为 a>0,所以 a=3. 10 5

(Ⅱ)假设存在点 P,设点 P(x0,y0) 。 若 P 点满足条件②,则 P 点在与 l1,l2 平行的直线 l′:2x-y+C=0 上,且

| c ?3| 1 ? ? 2 5

1 |c? | 2 5

,解得 C=

11 13 11 13 或 .所以 2x0-y0+ =0,或 2x0-y0+ =0. 6 2 6 2

-4-

若 P 点满足条件③,则由点到直线距离公式,有

| 2 x0 ? y0 ? 3 | 5

?

2 | x0 ? y0 ? 1| , ? 5 2

即 | 2 x0 ? y0 ? 3 |?| x0 ? y0 ? 1| , 所以 x0-2y0+4=0 或 3x0+2=0, 由于 P 点在第一象限, 所以 3x0+2=0 是不可能的.

? x0 ? 3 13 ? 联立方程 2x0-y0+ =0 和 x0-2y0+4=0,解得 ? 1 (不合,舍去); 2 y0 ? ? ? 2

1 ? ? x0 ? 9 11 1 37 ? 联立方程 2x0-y0+ =0 和 x0-2y0+4=0,解得 ? ,所以存在点 P ( , ) 同时满足三个条件. 6 9 18 ? y ? 37 0 ? 18 ?
点评:利用两平行线间的距离公式时,x,y 项对应的系数必须相同;解决存在性问题,先假设存在,再加以推 证. 变式练习3 已知点 P(2,-1) ,过 P 点作直线 l. (Ⅰ)若原点 O 到直线 l 的距离为 2,求 l 的方程; (Ⅱ)求原点 O 到直线 l 的距离取最大值时 l 的方程,并求原点 O 到 l 的最大距离.

(四)方法提炼:
1.求斜率一般有两种方法,其一,已知直线上两点,根据 k ?

y2 ? y1 求斜率;其二,已知倾斜角α 或α 的三角 x2 ? x1

函数值,根据 k=tanα 求斜率.斜率范围与倾斜角范围的转化,要结合 y=tanx 在[0,

π π 2 )和( 2 ,π )上的变化

规律,借助数形结合解题. 2.直线方程的各种形式之间存在内在的联系,它是直线在不同条件下的不同表现形式,要掌握好它们之间的变 化;在解具体问题时,要根据问题的条件、结论灵活地选用公式,以便简化运算.一般地,确定直线方程基本可分 为两个类型;一是根据题目条件确定点和斜率或确定两点,进而利用直线方程的几种形式,写出直线方程.二是利 用直线在题目中具有的某些性质,先设出方程(含参数或待定系数法) ,在确定参数值.切记讨论斜率 k 的存在与 否. 3.求点到直线的距离问题时,直线方程要化成一般式;利用两平行线间的距离公式时,要注意 x,y 项的对应系 数必须相同. 4.判断两条直线平行或垂直时,不要忘记考虑两条直线中一条或两条直线均无斜率的情况. 5.注意截距不是距离,是一个数值,它可取正数,负数或零.

(五)课后作业:复习用书P122.

-5-


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