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2014·新课标高考总复习·数学8-4直线与圆、圆与圆的位置关系


2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

第四节

直线与圆、圆与圆的位置关系

菜 单

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一、直线与圆的位置关系 设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联 立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.

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二、圆与圆的位置关系
2 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r1(r1>0),

圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2(r2>0). 2

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[疑难关注] 1.圆的弦长的常用求法 l ?2 2 (1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则 2? =r -d2; ? ? (2)代数方法:运用韦达定理及弦长公式: |AB|= 1+k2|x1-x2|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2.]
? ? ? ?

注意:常用几何法研究圆的弦的有关问题. 2.求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点是否在圆 上.然后设出切线方程,用待定系数法求解. 注意:斜率不存在情形.

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1.(课本习题改编)直线l:y-1=k(x-1)和圆x2+y2-2y=0的位

置关系是(
A.相离 C.相切

)
B.相交 D.相切或相交

|k| 解析:圆心(0,1),半径 r=1,则圆心到直线 l 的距离 d= <1, 1+k2 所以直线与圆相交.
答案:B

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2. (2013 年泉州模拟)过坐标原点且与圆 x2-4x+y2+2=0 相切的直 线方程为( )

A.x+y=0 B.x-y=0 C.x+y=0 或 x-y=0 D.x+ 3y=0 或 x- 3y=0
解析:圆 x2-4x+y2+2=0 的圆心为(2,0),半径为 2,易知过原点 与该圆相切时, 直线必有斜率. 设斜率为 k, 则直线方程为 y=kx, 则 = 2, ∴k2=1,∴k=± 1, ∴直线方程为 y=± x. |2k| k2+1

答案:C
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3.(2013 年兰州模拟)若圆 x2+y2=r2(r>0)上仅有 4 个点到直线 x-y -2=0 的距离为 1,则实数 r 的取值范围为( A.r> 2+1 2+1 )

B. 2-1<r< C.0<r< D.0<r<

2-1 2+1

2 解析:由题意得,圆心到直线 l 的距离为 = 2

2>1,得到右边草

图.直线 l:x-y-2=0 与圆相交,l1,l2 与 l 平行,且与直线 l 的距离 为 1,故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线 l2 的距离 2+1,故选 A.

答案:A
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4.(课本习题改编)直线x-y+2=0被圆x2+y2+4x-4y-8=0截
得的弦长等于________.
解析:由题意知圆心为(-2,2),r=4. 则圆心到直线的距离 d= 2. 又∵r=4,∴|AB|=2 14.

答案:2 14

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5.(2013年泰州模拟)过点C(3,4)且与x轴,y轴都相切的两个圆的 半径分别为r1,r2,则r1r2=________. 解析:由题意知,这两个圆的圆心都在第一象限,且在直线y=x 上,故可设两圆方程为(x-a)2+(y-a)2=a2,(x-b)2+(y-b)2=b2,且 r1=a,r2=b. 由于两圆都过点C,所以(3-a)2 +(4-a)2 =a2 ,(3-b)2 +(4-b)2 =b2,即a2-14a+25=0,b2-14b+25=0. ∴a,b是方程x2-14x+25=0的两个根.

∴r1r2=ab=25.
答案:25

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考向一 直线与圆的位置关系
[例1] (2012年高考重庆卷)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2 ) +y2=2的位置关系一定是(

A.相离
C.相交但直线不过圆心

B.相切
D.相交且直线过圆心

[解析] 利用圆心到直线的距离与半径的大小比较求解. |0-0+1| ∵x +y =2 的圆心(0,0)到直线 y=kx+1 的距离 d= = 1+k2
2 2

1 2≤1,又∵r= 2,∴0<d<r. 1+k ∴直线与圆相交但直线不过圆心.

[答案] C
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1.(2012年高考陕西卷)已知圆C:x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0) 的直线,则( ) B.l与C相切 D.以上三个选项均有可能

A.l与C相交 C.l与C相离

解析:将点P的坐标代入圆的方程,判断确定.

将点P(3,0)的坐标代入圆的方程,得
32+02-4×3=9-12=-3<0, ∴点P(3,0)在圆内.

∴过点P的直线l一定与圆C相交.
答案:A

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考向二 [例2]

圆的切线、弦长问题 (2013年揭阳调研)已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x

-1)2+(y-2)2=4. (1)求过M点的圆的切线方程; (2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值. [解析] (1)圆心C(1,2),半径r=2, 当直线的斜率不存在时,方程为x=3.

由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知,
此时,直线与圆相切. 当直线的斜率存在时,设方程为y-1=k(x-3),

即kx-y+1-3k=0.

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|k-2+1-3k| 3 由题意知 =2,解得 k=4. k2+1 3 ∴圆的切线方程为 y-1=4(x-3), 即 3x-4y-5=0. 故过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0. |a-2+4| 4 (2)由题意得 =2,解得 a=0 或 a=3. a2+1

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在本例条件下,若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A、B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值.

|a+2| 解析:∵圆心到直线 ax-y+4=0 的距离 d= 2 , a +1
? |a+2| ?2 ?2 3?2 3 ? +? ? =4,解得 a=- . ∴? 2 4 ? a +1? ? 2 ?

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考向三 [例3]

圆与圆的位置关系 (2013年扬州月考)已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2

-10x-12y+m=0.

(1)m取何值时两圆外切?
(2)m取何值时两圆内切? (3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
[解析] 两圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=11, (x-5)2+(y-6)2=61-m, 圆心分别为 M(1,3),N(5,6), 半径分别为 11和 61-m. (1)当两圆外切时, = 11+ 61-m, 解得 m=25+10 11.
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?5-1?2+?6-3?2

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(2)当两圆内切时,因定圆的半径 11小于两圆圆心间的距离 5, 故只有 61-m- 11=5,解得 m=25-10 11. (3)两圆的公共弦所在直线方程为 (x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0, 即 4x+3y-23=0, ∴公共弦长为 2
?|4+3×3-23|?2 ? =2 7. ? 11? -? 42+32 ? ?
2

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2.(1)(2012年高考山东卷)圆(x+2)2 +y2 =4与圆(x-2)2 +(y-1)2 =9的位置关系为( A.内切 C.外切 ) B.相交 D.相离

(2)(2013 年唐山模拟)两个圆 C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与 C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三条公切线,则 a+b 的最小值为 ( ) A.-6 C.-3 2 B.-3 D.3

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解析:(1)比较两圆圆心距与两圆半径和差的大小关系进行判定. 两圆圆心分别为(-2,0), (2,1), 半径分别为 2 和 3, 圆心距 d= = 17.∵3-2<d<3+2,∴两圆相交. (2)圆 C1:(x+a)2+y2=4,C2:x2+(y-b)2=1,∴圆 C1 的圆心 C1(-a,0), 半径 r1=2, C2 的圆心 C2(0, 半径 r2=1.已知两圆恰有三条公切线, 圆 b), 则两圆相外切,圆心距等于两圆半径之和,∴ a2+b2=3,则|a+b|= ?a+b?2≤ 为-3 2. 3 2?a2+b2?= 2,∴-3 2≤a+b≤3 3,故 a+b 的最小值 42+1

答案:(1)B (2)C

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【创新探究】 直线与圆的位置关系的创新命题 【 典 例 】
? ? ? ? ? ? ? ? ?

(2011

年 高 考 江 苏 卷 ) 集 合

A =

? ? m 2 2 2 ?x,y? 2 ≤?x-2? +y ≤m ,x,y∈R? ,B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1, ? ?

x+y∈R},若 A∩B≠?,则实数 m 的取值范围是________.

【思路导析】 本题考查的是直线与圆的位置关系,解题的关键
是找出集合所代表的几何意义,然后结合直线与圆的位置关系,求得 实数m的取值范围.

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m 【解析】 ∵A∩B≠?,∴A≠?,∴m2≥ 2 , 1 ∴m≥2或 m≤0.显然 B≠?. 要使 A∩B≠?,只需圆(x-2)2+y2=m2(m≠0)与 x+y=2m 或 x+y |2-2m| |1-2m| =2m+1 有交点,即 ≤|m|或 ≤|m|, 2 2 ∴ 2- 2 2 ≤m≤2+ 2.

1 1 又∵m≥2或 m≤0,∴2≤m≤2+ 2. 当 m=0 时,(2,0)不在 0≤x+y≤1 内.
? 1 综上所述,满足条件的 m 的取值范围为 2,2+ 2?. ? ? ?1 ? 【答案】 ?2,2+ 2? ? ? ? ? ? ?

?

?

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【高手支招】 点:

解决直线与圆的位置关系问题时,要注意以下几

(1)根据题设条件,合理选择利用代数方法还是利用几何方法判断 其位置关系; (2)凡是涉及参数的问题,一定要注意参数的变化对位置关系的影

响,以便确定是否分类讨论.

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1.(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5 =0与圆x2+y2=4相交于A、B两点,则弦AB的长等于(
A.3 3 C. 3 B.2 3 D.1

)

解析:利用弦心距、半弦长、半径长满足勾股定理求解.圆 x2+y2 =4 的圆心为(0,0),半径为 2,则圆心到直线 3x+4y-5=0 的距离为 d = 5 =1. 32+42 ∴|AB|=2 r2-d2=2 4-1=2 3.

答案:B

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2.(2012年高考湖北卷)过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2
+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程 为( )

A.x+y-2=0
C.x-y=0

B.y-1=0
D.x+3y-4=0

解析:当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时,符合条件.

圆心O与P点连线的斜率k=1,∴直线OP垂直于x+y-2=0,故
选A. 答案:A

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3.(2012年高考浙江卷)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小 值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的 距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a= ________.

解析:曲线 C2 是圆心为(0,-4),半径 r= 2的圆,圆心到直线 l: |0+4| y=x 的距离 d1= =2 2, 所以曲线 C2 到直线 l 的距离为 d1-r= 2. 2 设曲线 C1 上的点(x0,y0)到直线 l:y=x 的距离最短为 d,则过(x0, y0)的切线平行于直线 y=x.

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1 1 已知函数 y=x2+a,则 y′|x=x0=2x0=1,即 x0=2,y0=4+a,点(x0,
?? ?1 ?1 ? ? -? +a?? ? ?2 ?4 ?? ?1 ? 1 ? ? ? ? -a? ? -a? 4 ? ?4 ? = ,由题意知 = 2, 2 2 ? ? ? ?

y0)到直线 l:y=x 的距离 d=

2

7 9 7 所以 a=-4或 a=4.当 a=-4时,直线 l 与曲线 C1 相交,不合题意,故 舍去.
9 答案:4

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